计算机算法概论
计算概论知识点总结
计算概论知识点总结一、基本概念1. 计算概论的概念计算概论是一门研究计算的基本理论和方法的学科。
它是计算机科学的基础，包括了算法、数据结构、分析技术、计算复杂性理论等内容。
计算概论的研究对象是计算的过程和方法，它研究计算机问题的抽象和形式化描述、计算机问题的求解方式、计算机问题求解的复杂性以及计算机问题求解的效率等问题。
2. 算法的概念算法是解决问题的一种有序的数学过程，它包括了从问题描述到问题求解的所有步骤。
算法是对问题求解的精确描述，是计算机问题求解的基础，因此算法的设计和分析是计算概论中的重要内容。
3. 数据结构的概念数据结构是一种用来组织和存储数据的方式，它包括了数据的逻辑组织和物理存储。
数据结构是算法的载体，它的设计和选择对算法的效率有很大的影响，因此数据结构的研究也是计算概论的重要内容之一。
4. 复杂性理论的概念复杂性理论是研究计算问题的复杂性和可解性的学科。
它研究计算问题求解的时间和空间资源的需求与问题规模之间的关系，同时也研究计算问题的难解性和不可解性等问题。
二、算法分析1. 时间复杂度算法的时间复杂度是描述算法在求解问题时所需的时间资源的度量。
它通常用算法的基本操作数量与问题规模的关系来描述。
时间复杂度是算法效率的重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的时间资源。
2. 空间复杂度算法的空间复杂度是描述算法在求解问题时所需的空间资源的度量。
它通常用算法所需的额外空间与问题规模的关系来描述。
空间复杂度是算法效率的另一个重要指标，它决定了算法在不同规模的问题上所需的空间资源。
3. 算法的渐进分析算法的渐进分析是描述算法复杂度的一种常用方法，它用来描述算法在问题规模趋近无穷时的复杂度情况。
渐进分析包括了最坏情况复杂度、平均情况复杂度和均摊情况复杂度等。
4. 算法的正确性算法的正确性是指算法对于所有输入数据都能得到正确的输出。
算法正确性是算法设计的基本要求，同时也是算法分析的关键内容。
计算机算法总结
算法总结1•穷举法穷举法，又称暴力算法，即列举问题解空间所有可能情况，并逐个测试，从而找出符合问题条件的解。
这份通常是一种费时算法，人工手动求解困难，但计算机的出现使得穷举法有了用武之地。
例如：密码破译通常用的是穷举法，即将密码进行逐个推算直到找到真正的密码为止。
理论上讲，穷举法可以破解任何一种密码，但对于一个长度为n位的密码，其可能的密码有25种。
可见，当n较大时穷举法将成为一个NP难度问题。
典型例题【百钱买百鸡问题】公元5世纪末，中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提到了著名的 -百钱买百鸡『可题:鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问翁、母、雏各几何？分析:设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数各为x、y、乙百钱买百鸡问题可以用如下方程式表示：5x+3y+z/3=100x+y+z=1001<=x<20,1<=y<33,3<=z<100,z mod3=0对于百钱买白鸡问题，很容易用穷举法对x、y、z的取值，判断方程(1 )、( 2)及z mod3=0是否成立，若成立，则是问题的一个解。
百钱买白鸡问题求解算法：//百钱买白鸡问题穷举算法〃设鸡翁、鸡母、鸡雏的个数分别为x、y、z for (x=1;x<20;x++ )for (y=1;y<33;y++ )for (z=3;z<100;z++)if (x+y+z= =100 ) and (5x+3y+z/3==100 ) and (z mod 3==0)writein (x,y,z)上述算法是一个三重循环，最内层的条件判断需要执行19*32*97次，即58976。
在条件判断中，利用了整数的求模运算，如果将鸡雏的个数设为3z,可以避免该项判断，且可减少内重循环次数。
即for (z=1;z<34;z++) if (x+y+3z==100 ) and (5x+3y+z==100 )writein (x,y,3z)【0-1背包问题1】给定n种物品和一个背包，物品i的重量是W i，其价值为V i，背包的容量为W m。
计算机算法
第一章绪论算法（Algorithm）理论处于计算机科学的核心地位，它与计算机应用的许多实际问题有着直接的联系。
§1 算法的基本概念1 算法的地位①算法（Algorithm）理论处于计算机科学的核心地位。
想要使用计算机解决问题，就要设计该问题的算法，要给出解决该问题所需的一系列解题步骤。
②算法与程序计算机软件的重要内容之一是程序，程序是计算机指令的序列，计算机一步一步地执行这个指令序列，就完成了希望它所做的事情。
程序设计就是按照一定的要求编排一个合理的指令序列。
程序设计主要包含两个方面，行为特性设计和结构特性设计。
结构特性设计是指确定合适的数据结构，将程序处理的数据在计算机内部表示和存放。
行为特性设计是确定要解决的实际问题的具体步骤，把全部解题过程完整地描述出来，这一过程就是算法设计。
算法设计是程序设计的基础。
美国《计算机科学基础》一书指出，“算法代表了对问题的解”，“程序是算法在计算机上的特定实现”。
N．Wirth指出“程序就是在数据的某些特定的表示方法和结构的基础上对抽象算法的具体表述。
”通俗地讲，程序是用计算机语言表述的算法。
数据结构是程序设计的另一基础。
程序的目的是加工数据，具体的数据加工步骤为算法，程序是算法和数据结构的统一。
著名计算机科学家N．Wirth于1976年提出了“程序=算法+数据结构”的概念。
这个公式表明，算法与数据结构是密切相关的，算法的设计要与数据结构相适应。
算法不等于程序，它不需考虑具体的机器，算法也不等于计算方法，它比计算方法更具体。
算法知识位于程序设计的高层（算法，方法学，语言和工具），具有相对稳定性。
很多经典算法产生于20世纪50、60年代，如hash算法，快速排序算法，至今仍在使用。
2 算法的定义下面我们先看两个例子：例1 求一个数a的平方根。
利用迭代公式：x n+1=(x n+a/x n)/2 ，算法如下：①对x赋初值x0②如果| x2-a| < ε则转④③x=(x+a/x)/2, 转②④输出x例2 求m,n的最大公约数利用辗转除法可得求自然数m，n的最大公约数的算法如下：①r=m mod n②循环直到r=0m=nn=rr= m mod n③输出n可以看出，算法是解题方案的准确而完整的描述，它是由一些步骤组成的一个过程，这些步骤连在一起给出一类问题的解。
计算机算法的基本概念
计算机算法的基本概念
计算机算法是指为解决特定问题而设计的一系列有限、明确的计算步骤。
算法是计算机编程中最基本的概念之一，是实现计算机任务的必要手段。
算法的主要特点是：可行性、确定性、有限性和有效性。
可行性指算法必须能够被计算机实现；确定性指算法的每个步骤必须具有确定性，即对于相同的输入，输出结果必须相同；有限性指算法必须在有限步骤内结束；有效性指算法的效率应尽可能高。
算法的设计需要考虑算法的功能、效率、可靠性、可扩展性等因素。
一般而言，算法的设计过程包括以下步骤：问题描述、算法设计、算法分析、算法实现和算法测试。
常见的算法包括排序算法、查找算法、图算法、字符串算法等。
不同算法的共同点是它们都是为了解决具体的问题而设计的，因此在实际应用中应选择最符合实际需求的算法。
同时，算法的选择也应考虑算法的时间复杂度和空间复杂度，以保证算法的高效性。
最后，算法的研究和发展是计算机科学的一个重要分支，它的进一步发展对计算机技术和应用的发展有着重要的促进作用。
- 1 -。
计算机算法基础知识系统梳理
计算机算法基础知识系统梳理计算机算法是指解决特定问题的一系列步骤或指令。
算法的设计和分析是计算机科学领域的核心内容之一。
为了更好地理解和应用算法，我们需要对计算机算法的基础知识进行系统梳理。
本文将从算法的定义、分类、特性以及常见的算法设计思想进行介绍。
一、算法的定义算法是指一种具体可行的解决问题的方法，描述了在有限的时间和空间内，如何将输入转化为输出。
算法必须具备以下特点：明确性、有限性、确定性和可执行性。
明确性表示算法的步骤必须明确而不含糊；有限性表示算法必须在有限的步骤内结束；确定性表示算法的每一步都有确定的含义；可执行性表示算法能够被计算机实现。
二、算法的分类根据问题的性质和算法的设计思想，算法可以分为以下几类：1. 递归算法：递归算法是指在解决问题时，调用自身来进行子问题的求解。
递归算法通常包括基本情况和递推关系两个部分。
递归算法的典型应用包括斐波那契数列的求解和二叉树的遍历等。
2. 分治算法：分治算法是指将一个大问题划分成若干个相互独立且具有相同结构的子问题，然后逐个求解，并最后将各个子问题的解合并得到原问题的解。
经典的分治算法有归并排序和快速排序等。
3. 贪心算法：贪心算法是一种通过每一步的局部最优选择来达到整体最优解的算法。
贪心算法通常不是全局最优解，但在某些问题中可以得到近似最优解。
常见的贪心算法有Prim算法和Kruskal算法来解决最小生成树问题。
4. 动态规划算法：动态规划算法是一种将问题划分为多个阶段，每个阶段的求解依赖于之前阶段的结果，并通过保存之前阶段的结果来避免重复计算的算法。
动态规划算法常用于解决最优化问题，如背包问题和最短路径问题等。
5. 回溯算法：回溯算法也被称为试探法，通过枚举所有可能的解，并逐步剪枝来找到问题的解。
回溯算法通常用于求解组合、排列、子集等问题，典型的应用有八皇后问题和0-1背包问题等。
三、算法的特性算法的性能可以通过时间复杂度和空间复杂度来评估。
算法概论答案
算法概论答案算法是计算机科学的重要分支之一，它是为了解决特定问题而提出的一系列计算步骤。
算法的设计与实现对于计算机科学的发展具有重要的作用。
在本文中，我们将探讨算法概论的相关问题，包括算法的定义、分类、特点以及设计原则等。
一、算法的定义算法是计算机程序的基础。
简单地说，算法就是一系列解决问题的步骤。
这些步骤是有序的、有限的，每个步骤都能够完成一定的操作，并最终得出答案。
算法的基本特点应该是：确定、有穷、可行、有效、优化。
二、算法的分类1.按照运行方式分：顺序执行算法、分支算法、循环算法。
2.按照设计要求分类：精确算法、近似算法、随机算法。
3.按照执行效率分类：最优算法、多项式时间算法、指数时间算法。
4.按照应用范围分类：字符串算法、图论算法、数值算法、模拟算法、动态规划算法等。
三、算法的特点1.算法必须具有输入和输出，能够根据输入计算出相应的输出。
2.算法是有限的，必须在有限的时间内完成计算。
3.算法是确定的，相同的输入始终得到相同的输出。
4.算法是可行的，任何人都能够根据算法的描述实现相应的程序。
5.算法是有效的，其时间和空间运行速度都要足够快。
6.算法可优化，可以通过设计和实现等方式来提高效率。
四、算法的设计原则1.清晰：算法应该明确、清晰地描述问题，尽可能地简单明了。
2.正确：算法的执行结果必须正确。
3.有效：算法必须尽可能地高效，具有较快的执行速度和占用资源少的特点。
4.可读性：算法应该具有可读性和可维护性，容易检查和修改。
5.健壮性：算法应该能够处理各种异常情况和输入不合法的情况。
总结算法是计算机科学中非常重要的一个分支，其涉及到计算机程序开发的各个方面。
算法的定义、分类、特点以及设计原则对于我们学习和应用算法都具有非常重要的意义。
希望通过本文的介绍，能够让读者对于算法有更加全面的了解。
算法概述知识点总结
算法概述知识点总结一、算法的概念1. 算法是什么算法（Algorithm）是指用于解决特定问题的一系列具体操作步骤。
它是一种解决问题的方法论，能够将问题的输入转化为输出。
2. 算法的特点（1）确定性：算法在相同的输入条件下，能够得到相同的输出结果。
（2）可行性：算法的每一步操作可以实际执行，不会陷入无穷循环。
（3）有穷性：算法必须在有限的步骤内结束。
（4）输入输出：算法必须具有输入和输出。
3. 算法的重要性算法在计算机科学领域有着重要的地位，它是计算机程序的核心。
一个好的算法能够提高程序的执行效率和准确性，从而提高计算机系统的整体性能。
二、算法的设计方法1. 分治法分治法（Divide and Conquer）是一种算法设计方法，它将问题分解为更小的子问题，通过递归地解决子问题，最终得到原问题的解。
分治法常用于解决大规模问题，例如快速排序、归并排序、最近点对等。
2. 贪心法贪心法（Greedy Algorithm）是一种构造性的算法设计方法，它每次以最优的策略选择当前的最佳解，从而得到问题的整体最优解。
贪心法常用于最优化问题，例如最小生成树、哈夫曼编码等。
3. 动态规划动态规划（Dynamic Programming）是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂问题的算法设计方法。
动态规划通过存储子问题的解以减少重复计算，能够有效解决一些复杂的优化问题，例如背包问题、最长公共子序列等。
4. 回溯法回溯法（Backtracking）是一种通过不断试探和放弃来寻找问题解空间的算法设计方法。
回溯法常用于解决一些搜索和排列组合问题，例如全排列、N皇后问题等。
5. 分析设计算法的分析设计是指分析问题的特性和要求，设计出合适的算法来解决问题。
它是算法设计的关键环节，需要充分考虑问题的复杂度、特性和约束条件，从而选择合适的算法设计方法。
三、算法的复杂度分析1. 时间复杂度时间复杂度是算法执行所需时间的度量，它用大O表示法（O）来描述算法执行时间与输入规模之间的关系。
第1章 算法概论(4np完全性理论)
1§1.3 NP 完全性理论如何理解问题的难解？易解？多项式运行时间？⏹多项式的运行时间认为是易解算法，当然，你认为θ(n100)难解，但次数如此高的多项式时间问题非常少，且一般都会找到一个更有效的多项式时间算法。
⏹对很多合理计算模型来说，在一个模型上用多项式时间可解的问题，在另一个模型上也可以用多项式时间获得解决。
2如何理解问题的难解？易解？多项式运行时间？多项式时间可解问题类具有很好的封闭性。
比如一个多项式时间算法输出给另一个多项式时间算法作为输入，或被另一个多项式时间算法作为子程序常数次调用，这样的组合算法运行时间也都是多项式的。
3⏹一般来说，将可由多项式时间算法求解的问题看成易处理的问题，而把需要超多项式时间才能解决的问题看作难处理问题。
⏹“NP完全”（NP-Complete）问题，它的状态是未知的，迄今为止，既没有人找出求解NP完全问题的多项式算法，也没人能够证明对这类问题不存在多项式时间算法。
⏹P≠NP问题，自1971年提出以后，已经成为理论计算机科学研究领域中，最深奥和最错综复杂的开放问题之一了。
45⏹从表面上看，有些NP 完全问题有着与多项式时间算法的问题非常相似的特点，这很诱惑。
⏹最短与最长简单路径：有向图G=(V,E)，单源最短路径可在O(|V|2)时间内完成，但寻找两个顶点间最长简单路径（无重复顶点）问题是NP 完全的。
⏹欧拉游程和哈密顿回路：有向图G=(V,E)，欧拉游程指一个回路，遍历途中每条边一次，但可能不止一次的访问同一个顶点，这可在O(|E|)时间内找到。
哈密顿回路也是一个回路，包含V 中每个顶点。
确定有向图是否存在哈密顿回路的问题是NP 完全的。
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）⏹NPC类，称NP完全的(NP-complete)，属于NP的一个最难的子类。
如果一个问题属于NP，且与NP中任何问题一样“难的”。
⏹有宣称：如果任何NPC问题可以在多项式时间内解决，则NP中所有问题都有一个多项式时间的算法，即有P=NP了。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、什么是算法？
20世纪50年代，西方著名的词典中还未 曾收录过算法(Algorithm)一词，据西方数 学史家考证， Algorithm取自于古代阿拉 伯学者的名著《复原和化简的规则》一书 的作者的署名中的al-Khwarizmi，而从作 品名字中的al-jabr派生出了Algebra(代数) 一词。
• 这样，算法1.1中可以改为：
• void chicken_problem(int n,int &k,int g[],int m[],int s[])
•{
• int i,j,a,b,c;
• k=0;
• i=n/5;
• j=n/3;
• for(a=0;a<=i;a++){
•
for(b=0;b<=j;b++){
算法设计与分析课程介绍
课程内容 1.算法概述
2. 算法设计
1）穷举法 2）分治法及递归算法分析 3）图的算法 4） 贪心法 5） 动态规划法
6） 回溯法 7） 分支-限界法 8） NP—完全性
9）概率算法 10）近似算法
第一讲 算法概述 学习要点:
理解算法的概念。 理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联
(9) 布尔可满足性问题： 文字：x1 x1 x2 x3 x3 x4
子句：( x1 x2 ) (x1 x2 x4 ) ( x1 x3 ) 合取范式形式的布尔公式：
F = ( x1 x2 ) (x1 x2 x4 ) ( x1 x3 )
若存在对变元的一组赋值，使得F取真值，则 称F为可满足的。
问题求解(Problem Solving)
理解问题 精确解或近似解
选择数据结构 算法设计策略
设计算法 证明正确性
分析算法 设计程序
五、算法设计的例子—穷举法
例1.1 百鸡问题 公元5世纪末，数学家张丘建在《算
经》中，提出这样一个问题：“鸡翁一， 值钱五；鸡母一，值钱一；鸡雏三，值 钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各 几何”。
如果对任意数目的n个城市，分别用1-n的数 字编号，这个问题归结为带权有向图中，寻 找一条路径最短 的哈密尔顿回路问题。
思考：存储的实现方法
售货员的每一条路线，对应于城市编号 1,2,…, n的一个排列。用一个数组来存放 这个排列中的数据，数组中的元素依次 存放旅行路线中的城市编号。
n个城市具有n!个排列，售货员共有n!条 路线可供选择。采用穷举法逐一计算每 一条路线的费用，从中找出费用最小的 路线，便可求出问题的解。
•
for(c=0;c<=n;c++){
if((a+b+c==n)&&(5*a+3*b+c/3==n)&&(c%3==0)){
•
g[k]=a;
•
m[k]=b;
•
s[k]=c;
•
k++;
•
}
•ห้องสมุดไป่ตู้
}
•
}
•}
•}
• 当n=100时，内循环体执行次数大于100 万次
• 考虑到n元钱只可以买到n/5只公鸡，或 n/3只母鸡，有些组合可以不必考虑。而 小鸡的只数又与公鸡及母鸡的只数相关， 内循环可以省去。
以下六种计算时间的多项式时间算法是最为常见 的，其关系为：
O(1)＜O(longn) ＜O(n) ＜O(nlongn) ＜O(n2) ＜O(n3)
指数时间算法一般有以下几种，它们关系为： O(2n) ＜O(n!) ＜O(nn)
因此，只要有人能将现在指数时间算法中 的任何一个算法化简为多项式时间算法， 那就取得了一个伟大的成就!
(3) 旅行商问题：给定整数n2, nn距离矩阵dij ， 以及整数B 0。判定：是否存在{1, 2, …, n}的 一个排列 ，使得C( ) B。
(4) 独立集问题：给定无向图G和整数k2。判定： 图G是否存在顶点集V的子集C满足|C| K,并使 得对所有vi，vjC, 在vi和 vj之间没有边。
算法1.3 穷举法版本的货郎担问题
输入：城市个数n，费用矩阵c[][]
输出：旅行路线t[]，最小费用min
• void salesman_problem(int n,float &min,int t[],float c[][])
•{
• int p[n],i=1;
• float cost;
• min=MAx_FLoat_NUM;
令a为公鸡只数，b为母鸡只数，c为小鸡只数
a+b+c=100
(1)
5a+3b+c/3=100 (2)
c%3=0
(3)
上述百鸡问题中，a、b、c的可能取值范围为 0-100，对在此范围内的a、b、c的所有组合进 行测试，凡是满足上述3个约束方程的组合， 都是问题的解。
• 输入：所购买的3种鸡的总数目n
(10) 二元可满足性问题： 二元合取范式形式的布尔公式: 所有子句最多 有两个文字的合取范式形式的布尔公式。
(11) 0/1背包问题
给定n 种物品和一个可容纳M重量的背包，以 及正数K。已知每一种物品i 的重量为wi , 如果把 物品i 放入背包，就会得到pi的效益( wi，pi>0; i = 1,2,…,n）。判定：是否存在一种装包方法，使装 入背包物品的总效益大于K？
(7) 整数划分问题：给定用二进制表示的n个非负整 数a1, a2, …, an的集合。判定：是否存在子集P
{ 1, 2, …, n }, 使得iP ai = iP ai ？
(8) 一进制整数划分问题：给定用一进制表示的n个 非负整数a1, a2, …, an的集合。判定：是否存在
子集P { 1, 2, …, n }, 使得iP ai = iP ai ？
(5) Clique问题：给定无向图G和整数k2。判定： 图G是否存在顶点集V的子集C满足|C| K,并使 得对所有vi，vjC, 在vi和 vj之间有边。
(6) 顶点覆盖问题：给定无向图G和整数B 2。判 定：图G是否存在顶点集V的子集C满足|C| B, 使得C覆盖G的所有边。
（“覆盖”：若一个顶点集V至少包含某条边 的一个端点，则称顶点集V覆盖边e。）
• 输出：满足问题的解的数目k，公鸡，母 鸡，小鸡的只数g[]，m[]，s[]
• void chicken_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[])
•{
• int a,b,c;
• k=0;
• for(a=0;a<=n;a++){
•
for(b=0;b<=n;b++){
• while(i<=n!){
•
产生n个城市的第i个排列于p;
•
cost=路线p的费用；
•
if(cost<min){
•
把数组p的内容复制到数组t；
•
min=cost;
•
}
•
i++;
•}
•}
六、 若干问题
(1) Euler回路：给定有向图G。判定：G中是否存 在经过每一条边恰好一次的回路？
(2) Hamilton回路：给定有向图G。判定：G中是否 存在经过每一条顶点恰好一次的回路？
• Tavg(n) = p(I)T(I) siz(eI)n
• 其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的 概率。
算法时间的渐近表示
假设某算法的计算时间是f(n)，其中变量n 可以是输入或输出量，也可以是两者之和，还 可以是它们之一的某种测度(例如，数组的维数， 图的边数等)。g(n)是在事前分析中确定的某个 形式很简单的函数，它是独立于机器和语言的 函数，而f(n)则与机器和语言有关。
• 选取c= |am|+…+|a0|，定理立即得证。
事实上，只要将n0取得足够大，可以证明只要 c是比|am|大的任意一个常数，此定理都成立。
这个定理表明，变量n的固定阶数为m的任一 多项式，与此多项式的最高阶nm同阶。因此 计算时间为m阶的多项式的算法，其时间都 可用O(nm)来表示。
• 从计算时间上可以把算法分成两类， 凡可用 多项式来对其计算时间限界的算法，称为多 项式时间算法(polynomial time algorithm)； 而计算时间用指数函数限界的算法称为指数 时间算法(exponential time algorithm)。
题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。 该子程序得到输出结果后便终止。
四、算法复杂性分析
• 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 • 算法的时间复杂性T(n)； • 算法的空间复杂性S(n)。 • 其中n是问题的规模（输入大小）。
算法的时间复杂性
• （1）最坏情况下的时间复杂性 • Tmax(n) = max{ T(I) | size(I)=n } • （2）最好情况下的时间复杂性 • Tmin(n) = min{ T(I) | size(I)=n } • （3）平均情况下的时间复杂性
随着时间的推移， Algorithm这个词的 含义，已经完全不同于它原来的含义了。
算法定义： 一个算法是一个有穷规则的集合。这些规则规
定了解决某一问题的一个运算序列。同时，一个 算法应该具有五个特性：有穷性、可行性、确定 性、输入、输出。
1. 有穷性：规则的有限性。或者说，求解问题的 运算序列，必须在有限的计算步后停止。