基于MATLAB的血管三维重建及模型检验
三维血管重建优秀论文含源代码
三维血管重建优秀论文含源代码Prepared on 21 November 2021血管的三维重建摘要本文探讨血管的三维重建，由血管的相继100张平行切片图像计算血管的中轴线与半径，并绘制血管在三个坐标平面上的投影。
由于血管的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成，由此我们得出结论：每个切片一定包含滚动球的大圆，并且它一定为切片的最大内切圆，而最大圆所对应的半径即为血管半径，所以求血管半径就转化为求每一个切片内部的点到切片外部轮廓的最大半径。
首先，读取100张血管切面图，把它们转换成Logical矩阵，从中提取切片截面轮廓点构成一个新的矩阵。
然后找到原图片矩阵中像素点的内点（切片图片中轮廓线中的点），从而得到内点到切片轮廓点的最小距离矩阵和最小距离中的最大值矩阵，最大值即为血管半径。
最后计算所有切片的血管半径，并对这些半径求平均值，得到平均血管半径为：μm。
由100张切片的最大内切圆圆心坐标拟合得出中轴线方程以及其在三个坐标平面内的投影曲线方程。
由中轴线得到血管的三维立体重建图，用平面)74=iiZ去截血,0(,=2449,,管的三维立体重建图，得到新的4张截面图。
把它们分别与题设中的对应截面进行内点个数对比。
我们定义两张切片所共同拥有的内点个数与原切片内点个数的比值为重合度。
计算得到平均重合度为：% 。
关键词：血管半径中轴线切片重建（来自作者：欢迎各界人士批评指正，。
文章作于2011年8月10日，陕西科技大学理学院实验室）1问题的重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1μm的切片，在显微镜下观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
血管的三维重建论文(完结版)2
血管的三维重建摘要本文对于血管的三维重建问题，通过分析给定图片的像素数据，通过以下方法完成了血管的三维重建。
首先我们假定血管为等径管道，将血管看作半径不变的球沿着一条中轴线滚动形成。
根据题目中提供的100张BMP图片的像素点坐标数据，通过分析其几何特性，给出寻找其中轴线和半径的方法，由此找到每张图片中最大内切圆的圆心和半径，利用平均法，得到半径的平均值约为29.25 m.，即为管道半径。
接下来利用100个圆心的坐标利用最小二乘法拟合得到中轴线的方程：x t=7.9021t7−1.6321t6+0.1378t5−0.0056t4+0.0001t3y t=−2.9429t7+0.6330t6−0.0546t5+0.0023t4−0.0001t3z t=t通过对圆心坐标点绘制出的曲线与拟合后的曲线进行对比，发现拟合的曲线与得到的圆心坐标点非常吻合，从而更好的反映了中轴线上各点。
然后再用枚举法以得到的圆心坐标点为球心，画出100个球面上的点组成的还原图与100张切片的边界叠加成的还原图进行比对，形状相符，成功的还原了血管的三维图像。
关键词：血管；三维重建；像素；还原；最小二乘拟合；滚动法；枚举法1.问题的重述断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
例如，将样本染色后切成厚约1 m的切片，在显微镜下可以观察该横断面的组织形态结构。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。
现有某管道的相继100张平行切片图像，记录了管道与切片的交。
图像文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个像素（pixel）。
血管三维重建的数学模型
血管三维重建的数学模型刘俊健、吴友玲、徐勇哲[摘要]:本文探讨了血管的三维重建问题.我们首先利用数字图象处理的相关技术,从100张图中读取出相应数据,然后以定位所需的相关参数(包括中心轴线和半径)为目标,主要运用了包络面相关理论及几何拓扑网络中的相关知识得出了如下结论：切片一定包含一个滚动球的大圆,并且它恰好是切片内的最大圆.运用这些结论设计出有效的算法,利用数学软件(Matlab 及Maple)和计算机技术,对100个切片编程求解,找出切片所包含的最大圆,即得到中心轴线与100个切片交点的坐标及大圆半径.经过误差分析确定出管道半径为69849.29=r ,并给出了中心轴线上点的坐标,最后我们还绘制出中心轴线在zx yz xy ,,平面上的投影图.关键词：三维重建;最大圆;中轴线;有障碍物的最大空隙问题1 问题的提出生物组织连续切片的计算机三维重建技术是把一系列切片的图象，通过计算机进行处理,从而得到该生物组织立体结构的一种方法.在切片图象内部寻找定位结构,是此核技术的关键,同时也是目前国内外三维重建技术的共同难题.解决此难题的一个重要方向是通过提取切片中二维图象的数据信息,建立模型,以达到定位效果.假设某类血管表面可视为由球心沿着一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成.现有一此类血管相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交.图象格式为BMP,宽、高均为512个象素（pixel ）.假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点,球半径固定,切片间距以及图象象素的尺寸均为1.如果取坐标系的Z 轴垂直于切片,第1张切片为平面0=Z ,第100张切片为平面99=Z .z Z =切片图象中象素在文件中出现的前后次序为 （-256,-256,z ）,（-256,-255,z ）,…（-256,255,z ）, （-255,-256,z ）,（-255,-255,z ）,…（-255,255,z ）, ……（ 255,-256,z ）,（ 255,-255,z ）,…（255,255,z ）.试计算管道的中轴线与半径,给出具体的算法,并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图.2 基本假设和符号说明1) 假设血管为实心体,其表面为一包络面；2) 假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点,滚动球的半径固定； 3) 假设切片间距以及图象的象素尺寸均为1； 4) m 表示中轴线,是一空间曲线； 5) r 表示滚动球的半径；6) S 表示球心沿中轴线滚动形成的包络面；7) V 表示由曲面S 与平面0=Z ,99=Z 所围成的管道体； 8) i F 表示管道体V 与平面i Z =的切片； 9) i e 表示i F 的边界.没有说明的符号在文中初次引用时均作出了说明.3 问题的分析与模型的建立首先分析题目中所给出的100张图片.对这100张黑白图片通过计算机图象处理,我们可以观察到其切片呈现一个旋转渐变的过程,如图（一）因此我们估计该血管的形状类似一条螺旋管.只要将这一百张切片在空间中定位,由于切片间距非常小（为一个象素）,所以就可以近似地还原出血管的三维结构.现先对每张图作出一些数据上的分析.针对BMP 图象的存储格式,我们将所给的图片转为二值图象处理.所谓二值图象,就是只有黑白两个灰度级,即象素灰度级非1即0.我们可以从每张图中读取出一个512阶的0-1矩阵.其中0表示象素为黑色.1表示象素为白色.我们可以给出矩阵元素的位置与题目中所定坐标系之间的坐标变换.即矩阵的第i 行,第j 列的元素坐标相应转化为)256,257(i j --.现在我们把问题转化为数学语言.在笛卡尔坐标系内,有一半径为r 的球,沿空间的某一曲线m （称为中轴线）,滚动包络形成空间曲面S ,现有100张平面图,99,,1,0===Z Z Z ,其中0Z ,99Z 与曲面S 围成一实心管道体,现题目就是要求我们求出该管道体的中轴线m 及滚动球的半径,并要给出中轴线m 在XY,YZ,ZX 平面上的内投影图.现设管道V 中轴线m 的方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 其中99)(,0)(],,[990990==∈t Z t Z t t t 由于管道体中心轴线m 与每张切片有且只有一个交点,则不妨设中心轴m 与切片)990( =i F i 有且只有点)),(),((i t Y t X O i ,i Z 与1+i Z 的间距为1个象素,在如此小的间距下,我们可以用100个交点i O 近似地刻画中轴线.结论1：管道体V 与平面i Z =的切片i F 一定包含一个过滚动球球心,半径为r 的圆A . 现证明如下：以中心轴m 与平面i F 的唯一交点)),(),((i i Y t X O i 为球心（亦即包含一个滚动球的大圆）,r 为半径所作出的球A 与平面i Z =交于圆A ,其中圆A 的半径为r ,由于球A 在管道体V 内,所以球A 与平面i Z =的切片也在管道体与i Z =的切片内,亦即圆在i F 内,结论1得证.结论2：管道体V 与平面i Z =的切片i F 内的最大圆恰好是滚动球中过球心半径为r 的圆A ,并且最大圆唯一.现证明如下： 由中轴线m 的方程：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t Z z t Y y t X x ],[990t t t = )1( 其中99)(,0)(990==t Z t Z . 有曲面S （即包络面）的方程来：⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)('))(()('))(()('))(())(())(())((2222t Z t Z z t Y t Y y t X t X x r t Z z t Y y t X x )2(现考虑i Z =,取't t =使得i t Z =)'(则⎩⎨⎧=-+-=-+-0)('))(()('))(())'(())'((0000222t Y t Y y t X t X x r t Y y t X x )3( （3）式的几何意义是,在切片i F 的边界曲线i S 上的点与中轴线和切片的交点的最近距离为r ,即可作以))'(),'((t Y t X 为圆心,半径为r 的圆.边界曲线i S 和中轴线m 与切片i F 的交点)),(),((i t Y t X O i 的距离达到最大值r .又由于每一个i 属于集合{}99,,1,0 ,i z =与中轴线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t Z z t Y y t X x 只有唯一交点,故只有唯一点t 满足i t Z =)(,所以切片包含的最大圆唯一.结论2得证.至此,我们只要在每个切片上找出一个能被切片i F 包含的最大圆的圆心,即为该切片与中轴线的交点.就一般包络面而言,切片的最大圆应是唯一的,但由于数据存储误差,我们可能会找到多于一个的最大圆.所以我们需要一个能找出多人最大圆的可行算法.利用以上的分析和结论,我们试图求出管道体半径r 及每个切片与中轴线的100个交点,由于BMP 存储方式的限制,每个切片实际是由有限多个点组成.我们利用几何拓扑网络中的有障碍物的最大空隙问题解法,把障碍物视为半径为0的圆,因此我们可以在切片上作如下约束优化：222)()(R s.t.Rmax i i y y x x ---=其中,i i i i F y x S y x ∈∈),( ),(i F 为管道体切片,i S 为i F 的边界,且i F 、i S 均为限点集.上述模型可简化为如下：))()((22i i y y x x Min Max r -+-=其中i i i i F y x S y x ∈∈),( ),( i F 为管道体切片,i S 为i F 的边界,且i F ,i S 均为限点集,关于r 的求解和圆心坐标,算法及求解结果将于下部分给出.4 模型的求解与算法的实现我们根据上面的在切片上进行约束优化思想,利用计算机编程来寻找最优解.由于切片图象是用BMP格式存储的,因此它都有是由一些有限的点构成,我们用Matlab读入每张图,用一个512⨯512的0-1矩阵表示,其中0表示象素为黑色的点.去掉所有非零元素,并记下所有零元素在矩阵中出现的位置,再转化为题中的笛卡儿坐标系的坐标,这样,就可以用描点方法作出切片的用点集表示的图,如果我们对100个切片上的点都在空间中描出来,那么就可以大体反映出管道体的三维结构.受图片存储的精度所限,只能在表示切片的点集上寻找最大圆心.我们根据上节中所列出来的约束优化思想,再利用计算机编程的方法来寻找最大圆.首先我们要作出切片的边界.由于图上的点都是呈阵列排布的,只要依次取切片上的点,选出与1相邻的0点即为切片的边界.现在按如下算法寻找最大圆的圆心和半径:1．取出切片点集中的一个点,再算出该点与边界上各点的距离,找出最小值,记为h,这就是以该点为圆心所能作出的包含于切片的最大圆的半径.2．继续取点集中的下一个点,再算出该点与边界上各点的距离,再找出最小值与 h进行比较,若比h大则把值赋给h,若与h相等则把值赋给h并记下坐标,同时还把这个点都记起来,这样就保证若最大圆不唯一,也可把所有最大圆找出来.3．取遍切片点集上的所有点运行第二步,最后得出的h即为该切片中最大圆的半径,相应该点的坐标即为切片与中轴线交点的坐标.()．源程序见附录我们记每张切片上点的数目为n1,切片边界上点的数目为n2,显然n2远小于n1,我们要进行n1重循环,每一次循环作n2次比较,其复杂性不超过O()21n,所以,此算法为有效算法.我们用Matlab编程进行搜索,利用Matlab强大的矩阵运算功能,在编程时进行向量化,大大提高了程序的效率,对100张图分别算出如下半径和交点的坐标：注：上表中（X,Y,Z）表示与中轴线交点的笛卡儿坐标.R表示在切片上最大圆半径.由于图象精度问题及算法的误差.每张切片上算出的半径有微小差异,我们根据误差产生的原因进行分析（详细分析过程下节给出）,取出所有半径中最大值r=29.69849,即为题目所要求的半径,把所得的100个中轴线上的点在空间中描出来,得到结果如图（二）所示：图（二）为了不影响最终结果的客观性和全面性,我们对数据可以不作任何拟合,以图表的方式给出结果,以供有需要人士随时查阅.我们已经求出中轴线上100个紧密的点,因此中轴线在XY,YZ,ZX平面上的投影应该是一些紧密的点,为直观起见,我们把这些点用线段连接起来,得到的投影图如下：在XY平面的投影在XZ平面的投影在YZ平面的投影５ 结果分析由于BMP 图象是用点阵来表示的,用它读取出来的数据只能近似还原出原来的结构,因此得到的中轴线上的点必然有一定的误差,不过由于中轴线上的点非常密,作成的图表的效果也很不错.对于得到的100个半径的数据,我们取其中的最大值作为管道的半径,是基于如下的误差分析：由于程序算法可知,我们得到的最大圆的半径是切片点集中的所有点到边界点集的最短路距离中的最大值,所以由该点作出的圆不会超出切片的范围内,但由于我们找最大圆时,圆心都定在象素点上,而实际切片包含的最大圆的圆心可能不在象素点上,如图（三）所示：在正方形点集图上,每一个交点代表一个象素.我们取象素点为圆心找最大圆,只能找到半径为1的圆,其中中间的四个交点都可能是圆心,它实际包含的最大圆的半径应为1.5,圆心落在大正方形的中心点（非象素点）上.所以,当所得的大圆与切片只有一个切点时,大圆半径一定仍可以扩大,但所扩大的长度不会超过一个象素.而且有两段边界出现平行时,会出现不止一个最大圆圆心.而我们在程序中也考虑了进去,但并没有发现有出现这种情况.因此,只要提高图象的分辨率,便可减少误差.但由于点与点之间总有间隔.分辨率不可能无穷大,所以误差总是存在的.因此对于我们得出的100个半径值,我们取出其中最大值便是误差最小的,而我们这批数据找到的最大值为29.69849,最小值为28.86174,相差为0.83675,误差没有超过一个象素.CD图（三）６模型的改进与推广考虑到生物结构的完整性和连续性,我们当然希望得到的100个点能连成较为光滑的空间曲线,但实验数据在坐标平面上往往表现为一些离散的点.直接用这些观测点依序连结的折线来反映其变化情势常常过于粗糙.因此需要给出光滑的实验曲线,通常要求这条实验曲线与观测数据的残差平方和最小.对于本模型中的数据点,我们可作进一步的调整,从误差分析,我们可以知道许多切片上取得“最大圆”实质并非真正最大圆,但它必与已切片相切于一点,而与该点切线垂直的方向上的圆点,与切片的点相距应小于１个象素,所以其圆心可以适当向这个方向微调.经过调整修复后,我们还原出近似的三维血管图象如下：在误差分析时,我们发现误差很大程度上是由图象存储的精度决定的,只要数据足够精确,我们的模型将会得到更准确的结果,误差将会大大的减少.随着计算机技术的飞速发展和分辨电子显微学的发展,我们必能得出更为完善的结果.参考文献1.周培德、卢开澄. 计算几何. 北京：清华大学出版社.19992.夏良正.数学图象处理.南京：东南出版社. 1998.83.张宜华、史惠康.精通MA TLAB5. 北京：清华大学出版社.1999,６4.李世奇、杜梦琴.计算机代数系统应用程序设计.重庆：重庆大学生出版社.1999.45.数学手册编写组.数学手册.北京：高等教育出版社.19796.何昆等.生物组织细胞连续切三维重建的研究进展. 军事医学科学院刊. 2000年第24卷北京.2000.3 编辑:许智杰方创彬。
数学建模血管的三维重建问题
A题血管的三维重建问题摘要：本论文讨论基于切片的血管三维重建问题。
其背景是：采取存储二维切片信息，使用时再利用切片信息重建原物体三维形态的方法，可以有效地保存和利用三维信息。
此技术在实际中有很大的用途，在医学和其他领域有广泛的应用。
如要将人体全部三维信息，包含内部错综复杂的结构，完整地存储在计算机中，以现在的技术也是有一定难度的，但若改用存储人体切片信息，使用时重建再现的方法，则是利用现有技术可以解决的。
本论文基于题中对血管形态的假设，建立管道中轴线参数方程，并综合考虑实际情况中由于切片厚度及数字图像离散化带来的偏差，通过在每张切片图像中搜索其中阴影区域所能包含的最大圆面，确定管半径为R=29，在此基础上，将每张切片图像中阴影区域所能包含的半径大于等于R的圆面圆心作为中轴线与各切片交点（即中心点）的候选点集合。
本模型使用了三种改进算法对该候选点集进行筛选以确定实际交点。
最终迭代算法简述如下：1．对每个切片，建立中心点的候选点集，并取点集的中位点为中心点初值2．利用得到的中心点建立中轴线方程3．利用中轴线方程推导导数信息，根据导数信息比例选取中心点的候选点集的某点作为中心点的新值4．重复步骤2、3，直至结果达到较稳定状态为止5．输出中心点及中轴线方程在模型建立中，对选取侯选点集、求中位点、利用导数信息进行比例选取均给出完整的算法，并且对半径确定、候选点选取、采用导数作为比例选取依据等问题给出详尽的证明。
考虑到实际血管的中轴线应充分光滑，计算最终中轴线参数表达式时采取了六阶多项式拟合。
最后用还原的血管形态模拟切片过程可以得到一系列数字图像，与原切片图像进行比较，可以检验模型的合理性及精度。
该模型最终计算结果如下。
血管中轴线示意图从模型结果中看出，中心点分布均匀稳定，模拟检验的切片数字图像与原切片的数字图像吻合较好，模型结果精度及稳定性符合要求。
本模型算法简明，理论严密，比例选取算法使结果中心点尽可能收敛于真实中心点，迭代算法保证了结果的精度和稳定性，符合题目要求。
三维血管的重建
血管的三维重建摘要对于血管的三维重建，本文研究了血管这一类特殊管道的中轴线及其半径的算法，绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图这些问题，问题分为三部分。
针对第一部分，先将100张切片图片在MATLAB 中导出生成0-1矩阵数据，在计算100张切片的最大内切圆半径及对应圆心坐标，为减小误差求100张切片最大内切圆的平均半径41666.29 d 。
中轴线的曲线方程可在MATLAB 中拟合得到。
针对第二部分，得到中轴线曲线方程在MATLAB 中绘制出中轴线方程的空间曲线，之后将其投影在XY 、YZ 、ZX 平面上。
针对第三部分，对100张切片进行叠加重合，得到血管的三维立体图，再通过MATLAB 对血管的三维立体图进行优化完成血管的三维重建。
关键词：MATLAB 软件管道半径中轴线曲线方程一、问题重述1.1基本情况断面可用于了解生物组织、器官等的形态。
如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片，可依次逐片观察。
根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。
1.2相关信息假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。
图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均为BMP，宽、高均为512个象素（pixel）。
取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。
Z=z切片图象中象素的坐标依它们在文件中出现的前后次序为（-256，-256，z），（-256，-255，z），…（-256，255，z），（-255，-256，z），（-255，-255，z），…（-255，255，z），……（255，-256，z），（255，-255，z），…（255，255，z）。
1.3提出的问题问题一：计算出管道的中轴线与半径，给出具体的算法。
【 数学建模竞赛】血管的三维重建模型g
血管的三维重建模型摘要：本文对血管三维重建中，中轴线及球的半径确定问题进行了讨论。
首先，根据问题及图象处理提取有效数据，给出两种可行算法，利用上述数据建立了最大最小方法和二次规划方法。
搜索中心点，并给出全局和局部搜索，得到各切片中心点坐标(见表1)，并通过插值方式得到中轴线图象及其各投影。
最后对模型给出检验方式。
一 、问题的重述假设某些血管可视为一类特殊的管道,该管道的表面是由球心沿着某一曲线 (称为中轴线)的球（命名为包络球）滚动包络而成。
现有某管道的相继100张平行切片图象,记录了管道与切片的交。
假设：管道中轴线与每张图片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1.取坐标的Z 轴垂直于切片，第1张切片为平面0=Z ，第100张切片为平面99=Z . 计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线在XY 、YZ 、ZX 平面的投影图。
二、模型假设与符号说明1、 基本假设：（1） 该管道的表面为一定长半径的球沿一固定的曲线运动所得曲面族包络的光滑表面。
（2） 该管道的中轴线连续而且光滑。
（3） 该管道的中轴线与每个切面有且只有一个交点。
（4） 图象象素的尺寸为1. （5） 切片的间距尺寸为1.2、 符号说明：L 中轴线R 包络球的半径()z y x O i ,, 中轴线与第i 个切片的交点（定为此切片的中心）i S 第i 个切片切得的图形 i D 第i 个切片的图象数据矩阵三、问题分析及建模准备 问题分析：通常血管的表面可认为是连续且光滑的曲面，断面可用于了解其形态等特性。
本问题给出的是一些离散的切面，要求重建出原图中轴线和求出包络球半径。
因为每一个切面与中轴线L 有且只有一个交点i O ，如果找出所有i O ,就可以用插值或拟合的方式作出L 的近似图象，其在坐标平面上的投影就很容易画出。
问题的关健转变为求每个平面上的i O . 建模准备：1、 图象的读取由于切片图象中只有黑、白两种颜色的象素,而且所给的BMP 格式图象文 件是512×512象素的.因此,把图象读取为一个512×512的数字矩阵；用数字1表示黑色的象素，用数字0表示白色的象素。
血管切片的三维重建
五、模型构成
首先我们用第一个C程序把BMP图 象文件格式转换为保存了图象点阵信 息的文本文件。每个BMP文件对应一 个文本文件（从00.txt到99.txt），每 个文本文件均为512行，512列，按图 象的视觉直观顺序，以0表示白色象素 点， 1表示黑色象素点( 如右图)，以 此方便后续程序的读写及人为地纠错。
给我们的计算带来一定的误差， 但是由于象素很小，误差就不会 很大，我们依然可以应用上述理 论，人为的进行误差分析和修改， 更准确地得到球心(x y z)及由假设 4可知半径r=29个像素单位 （29=<ri<=29.69）。
XYZXYZXYZXYZXYZ
(-161 0 0) (-161 0 1) (-161 0 2) (-161 0 3) (-161 0 4) (-161 0 5)(-161 0 6)(-161 1 7)(-161 1 8)(-161 1 9) (-161 2 10)(-161 2 11)(-161 2 12)(-161 4 13)(-161 5 14) (-161 6 15)(-161 8 16)(-161 10 17)(-161 13 18)(-161 17 19) (-161 18 20)(-161 19 21)(-161 20 22)(-161 20 23)(-161 20 24) (-161 20 25)(-161 20 26)(-160 29 27)(-160 30 28)(-159 35 29) (-159 35 30)(-159 35 31)(-158 40 32)(-157 44 33)(-156 48 34) (-155 51 35)(-156 48 36)(-156 48 37)(-152 60 38)(-150 65 39) (-150 65 40)(-138 88 41)(-136 91 42)(-136 91 43)(-136 91 44) (-136 91 45)(-136 91 46)(-119 112 47)(-118 113 48)(-117 114 49) (-116 115 50)(-115 116 51)(-114 117 52)(-113 118 53)(-112 119 54) (-104 126 55)(-96 132 56)(-71 147 57)(-71 147 58)(-60 152 59) (-60 152 60)(-46 157 61)(-20 163 62)(-20 163 63)(-20 163 64) (-13 164 65)(-13 164 66)(-13 164 67)(38 163 68)(43 162 69) (48 161 70)(53 160 71)(60 158 72)(60 158 73)(67 156 74) (75 153 75)(80 151 76)(87 148 77)(87 148 78)(116 131 79) (119 129 80)(131 119 81)(131 119 82)(132 118 83)(144 106 84) (144 106 85)(145 105 86)(145 105 87)(151 98 88)(151 98 89) (163 81 90)(166 76 91)(175 58 92)(175 58 93)(177 53 94) (180 45 95)(180 45 96)(181 42 97)(183 35 98)(184 31 99) 在此之后我们找到两种求中轴线的方案，并对其进行分析
血管的三维重建
血管的三维重建1 摘要序列图像的三维重建在各学科中都起到至关重要的作用，本次讨论的是血管的三维重建。
首先，假设该管道是由球心沿着某一曲面的球滚动包络而成，故本次的主要目的是求出中轴线坐标及半径。
现有100张平行切片图像，本次建立的模型可分为四步;第一步，采集图形边界点数据。
由于每张图片都是512*512的矩阵，故此数据很大，采用imread()函数将其读入矩阵A中。
第二步，最大内切圆寻找及半径的确定。
提出两种方案,分别是切线法和最大覆盖法; 从上述两种方法分析及考虑到我们所使用的工具和材料, 可以得出方法二更加直观, 计算机实现更容易, 计算复杂度更低, 所以我们采用后者。
根据以上算法, 我们抽取了所有的切片图进行半径的提取, 然后再求其平均值, 求其均值得到球的半径为29.6345。
第三步，轨迹的搜索。
在第二步中求出了血管的半径，轨迹的搜索就可以建立在半径确定的基础上, 当然我们也可以求出每一个切面图形的最大内切圆, 然后得到每个圆心的坐标, 即中轴线坐标, 但这样做计算机的运算量会很大, 同时由于最大内切圆搜索法的稳定性不高, 从而会造成搜索的不精确, 所以采用定半径搜索。
本文提出了三种方法, 分别为网格法、蒙特卡罗法和非线性规划法;本次采用非线性规划来实现。
第四步，绘制中轴线空间曲线图和在XOY、YOZ、XOZ 三个平面的投影图。
由定理1: 切片上血管截面图的头部顶点在XOY 平面上的投影点一定会落在中轴线在XOY 平面上的投影曲线上（在论文中以证明），并得出推论：切片上血管截面中中位线与中轴线在XOY 面上的投影重合。
最后可由中轴线和血管半径在作图软件中达到血管的三维重建，本次的模型还存在一定的不足，其假设为管道中轴线与每个切面有且只有一个交点，事实上还存在有多个交点的情况，但为了简化模型在此做了一定的假设，故会存在一定的误差。
关键词：三维重建内切圆半径轨迹（中轴线）注：求边界时采用了老师的思想和程序。
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基于MATLAB的血管三维重建及模型检验
发表时间：2019-03-07T11:29:52.780Z 来源：《知识-力量》2019年5月下《知识-力量》2019年5月下作者：马军1 南东波2 [导读] 本文基于2001年数学建模国赛A题，通过MATLAB对血管切片中轴线进行曲线拟合，并画出三维血管图及其投影图，中轴线在平面上的投影图，并其拟合度均高于90%。
再求解重新切割前后的匹配率对模型检验。
本文优点在于考虑了模型的检验，而这占据了模型的一大半。
关键词：
（1.陕西科技大学，陕西西安 710021；2.榆林学院，陕西榆林 719000）
摘要：本文基于2001年数学建模国赛A题，通过MATLAB对血管切片中轴线进行曲线拟合，并画出三维血管图及其投影图，中轴线在平面上的投影图，并其拟合度均高于90%。
再求解重新切割前后的匹配率对模型检验。
本文优点在于考虑了模型的检验，而这占据了模型的一大半。
关键词：MATLAB；图像信息处理；曲线拟合；模型检验
一问题重述（略）
二模型假设
1.假设血管道是由球心沿中轴线且半径固定的球滚动包络而成。
2.假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点。
三模型的建立与求解
结合100个血管切片上的最大内切圆圆心在两平面XOZ、ZOY投影点，利用多项式拟合分别进行曲线拟合，求得曲线l1、l2与曲线方程l，其中， l1、l2可看作一条曲线l落在不同投影面上形成的投影曲线，l应为100个圆心点拟合后的中轴线曲线，见图1。
图1 圆心点拟合后的中轴线
计算结果：X-Z平面拟合度为99.78%，Y-Z平面拟合度为99.93%。
3.2 问题二：中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图与三维血管图
3.2.1 中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图
根据问题一中所得中轴线，运用MATLAB绘制其在XY、YZ、ZX平面的投影图(略)。
3.2.2 三维血管图
根据问题一中所得中轴线，运用MATLAB绘制三维血管图，见图2。
3.3 问题一、二中所的结果重新进行切片检验
3.3.1检验模型一：距离判断法
求出中轴线上的O点到该血管切片面域内各点之间的空间距离D，数学表达式如下：：。