《棱柱,棱锥和棱台的结构特征》习题
第一章1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1教师版
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答案 1．D 2.D 3.C 4．A 5．4 2 6．QMNP 7．解 如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 AE⊥BC，DE⊥BC.因为 3 1 1 AE＝ × 4＝2 3，所以 DE＝ 2 32＋22＝4，所以 S△BCD＝ BC· ED＝ 2 2 2 × 4× 4＝8(cm2)．所以截面 BCD 的面积是 8 cm2. 8．解 此题相当于把两个正三棱柱都沿 AA1 剪开拼接后得到的线段 AA1 的长，即最短路线长3 2 11. 2 12．解 (1)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图所示，将侧面沿 A1A 剪开并展开，由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路径为线段 MP.设 PC＝x，
在 Rt△MAP 中，有(3＋x)2＋22＝( 29)2⇒ x＝2， 4 故 PC＝2，NC＝ . 5
13．解 分三种情况展成平面图形求解． 沿长方体的一条棱剪开，使 A 和 C1 在同一平面上，求线段 AC1 的长即可，有如图所示 的三种剪法： (1)若将 C1D1 剪开，使面 AB1 与面 A1C1 共面，可求得 AC1＝ 52＋ 3 ＋42＝ 74. (2)若将 AD 剪开，使面 AC 与面 BC1 共面，可求得 AC1＝ 42＋ 3 ＋52＝ 80. (3)若将 CC1 剪开，使面 BC1 与面 AB1 共面，可求得 AC1＝ 5 ＋42＋32＝ 90. 相比较可得最短路线长为 74.
1.1.2
棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一)
一、基础过关 1． 下列命题中正确的一个是 ( ) A．四棱柱是平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．底面是矩形的四棱柱是长方体 D．六个面都是矩形的六面体是长方体 2． 下面关于长方体的判定正确的是 ( ) A．直四棱柱是长方体 B．过两条不相邻的侧棱的面是全等的矩形的四棱柱是长方体 C．侧面是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面是矩形的直四棱柱是长方体 3． 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状 可以是 ①三角形，②菱形，③矩形，④正方形，⑤正六边形， 其中正确的是 ( ) A．①②③④⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．③④ 4． 下面没有多面体的对角线的一种几何体是 ( ) A．三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 5． 长方体 ABCD—A1B1C1D1 的一条对角线 AC1＝8 2，∠C1AA1＝45° ，∠C1AB＝60° ，则 AD＝________. 6． M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这些集合之间的关系为__________． 7． 正三棱柱 ABC—A′B′C′的底面边长是 4 cm，过 BC 的一个平面交侧棱 AA′于 D，若 AD 的长是 2 cm，试求截面 BCD 的面积． 8． 如图，已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1，高为 8，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为多少？ 二、能力提升 9． 一个长方体，共一顶点的三个面的面积分别为 2， 3， 6，则这个长方 体对角线的长是 ( ) A．2 3 B．3 2 C．6 D. 6 10．下列说法正确的是 ( ) A．棱柱的侧面都是矩形 B．棱柱的侧棱不全相等 C．棱柱是有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体 D．棱柱的几何体中至少有两个面平行 11．如图在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝BC＝ 2，BB1＝2，∠ABC＝ 90° ，E，F 分别为 AA1，C1B1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的 最短路径的长度为________． 12．如图所示，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AB＝3，AA1＝4，M 为 AA1 的中点，P 是 BC 上一点，且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短 路线长为 29，设这条最短路线与 CC1 的交点为 N，求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC 和 NC 的长． 三、探究与拓展 13．如图所示，在长方体 A1B1C1D1—ABCD 中，已知 AB＝5，BC＝4，BB1 ＝3，从 A 点出发，沿着表面运动到 C1，求最短路线长是多少？
课时作业19：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．下列几何体中，柱体有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．如果一个棱锥的各个侧面是等边三角形，那么这个棱锥不可能是()A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()A B C D4．正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为2，则其高为__________．5．直平行六面体的侧棱长为100 cm，底面相邻边长分别为23 cm和11 cm，底面的两条对角线的长度比为2∶3，求它的两个对角面的面积．课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形2．下列命题中正确的是()A．一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B．两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱C．两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱D．一条侧棱垂直于底面两边的棱柱是直棱柱3．在棱柱中()A．只有两个面互相平行B．所有的棱都相等C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也平行4．设四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两个侧棱都垂直于底面中一边的平行六面体是直平行六面体；④体对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上四个命题中，真命题的个数是()A．1B．2C．3D．45．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面的形状为() A．梯形B．菱形C．长方形D．正方形6．如图所示，选项中哪一个长方体是由下边的平面图形围成的()A B C D7．如下图所示，直三棱柱ABB1－DCC1中，∠ABB1＝90°，AB＝4，BC＝2，CC1＝1，DC 上有一动点P，则△APC1周长的最小值是________．8．一个正三棱锥P－ABC的底面边长和侧棱长都是4，E、F分别是BC、P A的中点，则EF 的长为__________．9．如下图所示，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？10．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．(1)(2) (3)【参考答案】课堂练：课堂检测(限时：10分钟)1．【解析】根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．【答案】D2．【解析】6个等边三角形可组成正六边形，故选D.【答案】D3．【解析】A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．【答案】D4．【答案】35．解：如图所示，已知AC1是直平行六面体，所以两个对角面A1ACC1，BDD1B1都是矩形，其侧棱AA1的长是平行六面体的高．不妨设AB＝23 (cm)，AD＝11 (cm)，AA1＝100 (cm)，BD∶AC＝2∶3，设BD＝2x (cm)，AC＝3x (cm)，由平行四边形对角线的性质可得：BD2＋AC2＝2(AB2＋AD2)，即(2x)2＋(3x)2＝2(232＋112)，化简得13x2＝1 300，∴x＝10.∴BD＝2x＝20(cm)，AC＝3x＝30(cm)．故对角面BDD1B1的面积S1＝BD·BB1＝20×100＝2 000(cm2)，对角面ACC1A1的面积S2＝AC·AA1＝30×100＝3 000(cm2)．课后练：课堂反馈(限时：30分钟)1．【解析】由棱柱的性质可知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形．【答案】D2．【解析】由两个相邻的侧面垂直于底面，可以得到侧面是矩形．【答案】C3．【解析】由棱柱的性质可知D正确．【答案】D4．【解析】命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直于底面，这时四棱柱仍是斜平行六面体；②不是真命题，若底面是菱形，此时直四棱柱不是正方体；③不是真命题，因为有两条侧棱垂直于底面一边，这时两个相对的侧面是矩形，但是不能得到侧棱与底面垂直；④是真命题，由体对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而可得侧棱与底面垂直，此时平行六面体是直平行六面体．【答案】A5．【解析】本题主要考查截面形状的判定，解题时要正确地分析与判断．如图，显然有BP>AB，则排除B、D.由AB与平面BCC1B1的垂直关系，可知AB⊥BP，即截面为长方形．【答案】C6．【解析】由长方体的展开图可知：长方体中有两个相对面是白色的．其他面是黑色的，故选D.【答案】D7．【解析】在直三棱柱中，AC1＝42＋22＋12＝21.在△DCC1展到ABCD所在的平面上，如下图所示，P A＋PC1′≥AC1′＝42＋（2＋1）2＝5，则△APC1周长的最小值为5＋21.【答案】5＋218．【解析】如下图所示，在正△ABC 中，AE ＝2 3.在正△PBC 中，PE ＝2 3.在△P AE 中，AE ＝PE ＝23，P A ＝4，F 为P A 的中点， ∴EF ＝ AE 2－⎝⎛⎭⎫AP 22＝2 2.【答案】229．解：折叠后可知是三棱锥．10．解：(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH 和四边形ABCD ；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE 和四边形DCGH ；(3)是三棱柱，底面是△EBF 和△HCG .。
棱柱、棱锥和棱台的结构特征(1)
② 棱柱的主要结构特征：
1）两个底面互相平行； 2）其余每相邻两个面的交线互相平行， 各侧面是平行四边形。
问题1：有两个面互相平行，其余各面都 是四边形的几何体一定是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题2：有两个面互相平行，其余各面都是 平行四边形的几何体一定是棱柱吗？
如四面体、五面体、六面体等.
把多面体的任何一个面伸展为平面， 如果所有其他各面都在这个平面的同侧， 这样的多面体叫做凸多面体．
V
C学习棱柱.
棱
柱
观察上述多面体，可以发现它们具如下特征： （1）有两个面互相平行，其余各面都 是四边形； （2）每相邻两个四边形的公共边互相 平行．
√
) ) )
( (
√
(
× ×
√
)
)
（5） 如果棱柱有两个相邻侧面是矩形， 那么它是直棱柱.- - - - (
练习题： 1．下面没有体对角线的一种几何体是
（ A ） （A）三棱柱 （B）四棱柱
（C）五棱柱
（D）六棱柱
2．一个棱柱有两个侧面是矩形，能保证 它是直棱柱的是（ A ） （A）三棱柱 （B）四棱柱
（B） C B F D E A
（D）它们之间不都存在包含关系.
A B D F E
判断下列命题是否正确:
（1）直棱柱的侧棱长与高相等; - （2）直棱柱的侧面及过不相邻的两条 侧棱的截面都是矩形；- - - （3）正棱柱的侧面是正方形；- （4）如果棱柱有一个侧面是矩形， 那么它是直棱柱；- - - - - - (
复习题： 1．以下结论不正确的是（ C ） （A）平面上一定有直线 （B）平面上一定有曲线 （C）曲面上一定无直线
高中数学(人教A版)必修第二册课后习题：棱柱、棱锥、棱台的结构特征【含答案及解析】
第八章立体几何初步8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征课后篇巩固提升必备知识基础练1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是()A.棱柱的侧棱长都相等B.棱锥的侧棱长都相等C.三棱台的上、下底面是相似三角形D.有的棱台的侧棱长都相等,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.2.下面多面体中,是棱柱的有()A.1个B.2个C.3个D.4个,知这4个图都满足.3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是()A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.三棱台A'-BCC'B'.4.下列说法错误的有()①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.A.0个B.1个C.2个D.3个,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是(),看哪一个可以折叠围成正方体即可.6.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是()A.棱柱B.棱台C.棱柱与棱锥的组合体D.不能确定.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为cm.棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.8.一个几何体的平面展开图如图.(1)该几何体是哪种几何体;(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面?与“你”字面相对的是哪个面?该几何体是四棱台.(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).(1)一个三棱柱和一个多面体;(2)三个三棱锥.在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)关键能力提升练10.(多选题)(2021江苏宜兴期中)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是()A.三棱锥B.四棱台C.六棱锥D.六面体,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D 有可能.故选BC.11.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是()A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P,正方体是特殊的正四棱柱,正四棱柱是特殊的长方体,长方体是特殊的直四棱柱,所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱},故选B.12.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是(),变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.13.下列说法正确的有个.①棱台的侧棱都相等;②正棱锥的侧面是等边三角形;③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,满足底面△BCD为等边三角形,三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:(1)折起后形成的几何体是什么几何体?(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点?(3)每个面的三角形面积为多少?如图,折起后的几何体是三棱锥.(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF 为等腰三角形,△PEF 为等腰直角三角形,△DPE 和△DPF 均为直角三角形.(3)S △PEF =12a 2,S △DPF =S △DPE =12×2a×a=a 2,S △DEF =S 正方形ABCD -S △PEF -S △DPF -S △DPE =(2a )2-12a 2-a 2-a 2=32a 2.学科素养创新练15.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BC=4,A 1A=5,现有一只甲壳虫从点A 出发沿长方体表面爬行到点C 1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.,如图,有三种情况.对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC 1的长分别为√90,√74,√80,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形ABB 1A 1内由A 到E BE=157,再在长方形BCC 1B 1内由E 到C 1,也可以先在长方形AA1D1D内由A到F D1F=15,再在长方形DCC1D1内由F到C1,其最短路程为7√74.。
2019秋高中数学第一章空间几何体1.1.1棱柱、棱锥、棱台的结构特征练习(含解析)新人教A版必修2
1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的构造特征A级根底稳固一、选择题1．以下关于棱柱的说法中正确的选项是( )A．只有两个面相互平行B．所有棱都相等C．所有面都是四边形D．各侧面都是平行四边形解析：由棱柱的概念和构造特征可知选D.答案：D2．观察如下图的四个几何体，其中判断不正确的选项是( )A．①是棱柱B．②不是棱锥C．③不是棱锥D．④是棱台解析：①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台．答案：B3．以下图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：A、B、C中底面多边形的边数与侧面数不相等．答案：D4.在如下图的长方体中，以O，A，B，C，D为顶点所构成的几何体是( )A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．四棱柱解析：此几何体有一个面ABCD为四边形，其余各面OAD，OAB，OCD，OBC为有一个公共顶点的三角形，所以此几何体是四棱锥．答案：B5．某同学制作了一个对面图案均一样的正方形礼品盒，如下图，那么这个正方体礼品盒的外表展开图应该为(对面是一样的图案)( )解析：其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪个棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻，又一样的图案是盒子相对的面，展开后绝不能相邻．答案：A二、填空题6．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，那么每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，每条侧棱都相等，所以每条侧棱长为12 cm.答案：127．关于空间多面体有下面四个结论：①棱锥的侧面不一定是三角形；②棱锥的各侧棱长一定相等；③棱台的各侧棱的延长线交于一点；④用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台．其中正确的结论是________(填写序号)．解析：棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱长不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各条侧棱的延长线一定交于一点，③正确；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，得到的两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台，故④不正确．答案：③8．如下图，在三棱台ABC-A′B′C′中，截去三棱锥A′-ABC后，剩余局部的几何体是________(指出几何体的名称及顶点)．答案：四棱锥A ′-BCC ′B ′三、解答题9.如图在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A ，B ，C 重合，重合后记为点P .问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)假设正方形边长为2a ，那么每个面的三角形面积分别为多少？解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2. B 级 能力提升1．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥解析：由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此一定不是六棱锥．答案：D2．一个正方体的六个面上分别标有字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，以下图是此正方体的两种不同放置，那么与D 面相对的面上的字母是________．解析：由图知，标字母C 的平面与标有A ，B ，D ，E 的面相邻，那么与D 面相对的面为E 面，或B 面，假设E 面与D 面相对，那么A 面与B 面相对，这时图②不可能，故与D 面相对的面上字母为B.答案：B3．如下图，M是棱长为2 cm的正方体ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体外表从点A到点M的最短路程．解：假设以BC为轴展开，那么A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是13 cm.假设以BB1为轴展开，那么A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体外表从点A到点M的最短路程是13 cm.。
课时作业22：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征一、选择题1.下列描述中，不是棱柱的结构特征的是()A.有一对面互相平行B.侧面都是四边形C.相邻两个侧面的公共边都互相平行D.所有侧棱都交于一点2.观察如图的四个几何体，其中判断不正确的是()A.①是棱柱B.②不是棱锥C.③不是棱锥D.④是棱台3.四棱柱的体对角线的条数为()A.6B.7C.4D.34.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是()A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.六棱锥5.正三棱柱ABC A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，则截面BCD的面积为()A.6 cm2B.2 2 cm2C.8 cm2D.2 3 cm2二、填空题6.有下列说法：①有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②两个互相平行的面是平行四边形，其余各面是四边形的几何体不一定是棱台；③两个互相平行的面是正方形，其余各面是四边形的几何体一定是棱台.其中正确的说法的序号是________.7.如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________.8.下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________.(1)(2)(3)(4)三、解答题9.如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，问：这个空间几何体是什么几何体？10.根据下面对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的六边形，其他各面都是平行四边形；(2)由五个面围成，其中一个是正方形，其他各面都是有一个公共顶点的三角形.参考答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由棱柱的结构特征知D 错. 2. 【答案】B【解析】结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B 错误. 3. 【答案】C【解析】共有4条体对角线，一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成一条体对角线. 4. 【答案】D【解析】因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥. 5. 【答案】C【解析】如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC . 因为AE ＝32×4＝23， 所以DE ＝(23)2＋22＝4，所以S △BCD ＝12BC ·ED ＝12×4×4＝8(cm 2).所以截面BCD 的面积为8 cm 2. 二、填空题 6. 【答案】①②【解析】①正确，因为具有这些特征的几何体的侧棱一定不相交于一点，故一定不是棱台；②正确，如图所示；③不正确，当两个平行的正方形完全相等时，一定不是棱台.7. 【答案】10【解析】将三棱柱沿AA 1展开如图所示，则线段AD 1即为最短路线，即AD 1＝AD 2＋DD 21＝10.8. 【答案】(2)(3)【解析】(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样.三、解答题9.解：折起后是一个三棱锥(如图所示).10.解：(1)根据棱柱的结构特征可知，该几何体为六棱柱.(2)根据棱锥的结构特征可知，该几何体为四棱锥.。
课时作业20：1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征一、选择题1．下列几何体中是棱柱的个数为()A．1B．2C．3D．4 2．下面没有体对角线的一种几何体是()A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱3．棱柱的侧面都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．矩形4．设有三个命题：甲：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是直平行六面体．以上命题中真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题5．一个棱柱至少有________个面，有________个顶点，有________条棱．6．设有四个命题：(1)底面是矩形的平行六面体是长方体；(2)棱长相等的直四棱柱是正方体；(3)有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；(4)对角线相等的平行六面体是直平行六面体．以上命题中，真命题的是________．(填序号)三、解答题7．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．8.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过CC1到M的最短路线长为29，设这条最短路线与CC1的交点为N.求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；(2)求PC和NC的长．参考答案一、选择题1．【答案】C【解析】①③⑤为棱柱，故选C.2．【答案】A【解析】由几何体对角线的概念可知，选A.3．【答案】B【解析】根据棱柱的概念知，选项B正确．4．【答案】B【解析】甲命题符合平行六面体的定义；乙命题是错误的，因为底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直；丙命题也是错的，因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故选B.二、填空题5．【答案】569【解析】最简单的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．6．【答案】(4)【解析】(1)不正确，除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体；(2)不正确，当底面是菱形时就不是正方体；(3)不正确，两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面体；(4)正确，因为对角线相等的平行四边形是矩形，由此可以证明此时的平行六面体是直平行六面体．三、解答题7．【解】(1)这个长方体是四棱柱，因为上下两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABCD是四边形，所以是四棱柱．(2)平面BCNM把这个长方体分成的两部分还是棱柱．左边部分几何体的两个面ABMA1和DCND1平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都平行，所以是棱柱，由于底面ABMA1是四边形，所以是四棱柱，即左边的部分几何体为四棱柱ABMA1－DCND1；同理右边部分的几何体为棱柱BMB1－CNC1.8.【解】(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为92＋42＝97.(2)如图，沿棱BB1剪开，使面BB1C1C与面AA1C1C在同一平面上，点P到点P1的位置，连接MP1交CC1于点N，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线，设PC＝x，则P1C＝x.在Rt△MAP1中，由勾股定理，得(3＋x)2＋22＝29，解得x＝2，∴PC＝P1C＝2，∴NCMA＝P1CP1A＝25，∴NC＝45.。
棱柱棱锥棱台的练习题
一、选择题1. 下列关于棱柱的说法，正确的是：A. 棱柱的侧面都是矩形B. 棱柱的底面可以是任意多边形C. 棱柱的侧面都是平行四边形D. 棱柱的底面边数与侧棱数相等2. 下列关于棱锥的说法，正确的是：A. 棱锥的侧面都是三角形B. 棱锥的底面可以是任意多边形C. 棱锥的侧棱都相等D. 棱锥的顶点到底面的距离都相等3. 下列关于棱台的说法，正确的是：A. 棱台的上、下底面是相似多边形B. 棱台的侧面都是梯形C. 棱台的侧棱都相等D. 棱台的上、下底面边数相同二、填空题1. 一个五棱柱的底面是正五边形，若底面边长为2cm，侧棱长为3cm，则该五棱柱的侧面积是______cm²。
2. 一个正四棱锥的底面边长为4cm，高为3cm，则该正四棱锥的侧面积是______cm²。
3. 一个棱台的上底面边长为3cm，下底面边长为6cm，高为4cm，则该棱台的体积是______cm³。
三、解答题1. 已知一个四棱柱的底面是矩形，底面长为6cm，宽为4cm，侧棱长为5cm，求该四棱柱的表面积和体积。
2. 已知一个正六棱锥的底面边长为4cm，侧面三角形的面积是8cm²，求该正六棱锥的高。
3. 已知一个棱台的上底面边长为2cm，下底面边长为8cm，高为6cm，求该棱台的侧面积和体积。
4. 在一个正四棱锥中，底面边长为3cm，侧棱长为4cm，求该正四棱锥的斜高。
5. 已知一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，侧棱长为5cm，求该正三棱台的侧面面积。
四、判断题1. 棱柱的侧棱与底面垂直。
（）2. 棱锥的侧面三角形面积相等。
（）3. 棱台的侧面是梯形，且上下底面中心连线垂直于底面。
（）4. 任何棱柱的侧面积都大于底面积。
（）5. 棱锥的体积与底面积成正比。
（）五、作图题1. 请画出底面为等边三角形的直三棱柱的直观图。
2. 请画出底面为正方形的正四棱锥的直观图，并标出高和斜高。
3. 请画出上底面边长为2cm，下底面边长为4cm，高为3cm的棱台的直观图。
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《棱柱、棱锥和棱台的结构特征》习题
1．下列说法中，正确的是（）
A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
3．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥
4．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为( )
A.32a2 B． a2 C. 12a2 D. 13a2
5．在下面4个平面图形中，哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是
________．(把你认为正确的序号都填上)
6．如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三
棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
7．如图所示，侧棱长为23的正三棱锥V—ABC中，∠AVB＝∠BVC
＝∠CVA＝40°，过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值．
8．一棱锥的底面积为S2，用一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面
面积为S1，现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两 部分之比为γ，求截面面积．
答案：
1．A 2.B 3.D 4.C
5．①②
6．解 过A1、B 、C 三点作一个平面，再过A1、B 、C1作一个平面，就把三棱台ABC —A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC ，B —A1B1C1，A1—BCC1.
7．解 将三棱锥沿侧棱V A 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示，线段AA1的长为所求△AEF 周长的最小值，取AA1的中点D ，则VD ⊥AA1，∠A VD ＝60°，可求AD ＝3，则AA1＝6.故△AEF 周长的最小值为6.
8．解 设截面面积为S 0，以S 1、S 0、S 2为底面的锥体的高分别为h 1、h 0、h 2.
由棱锥截面的性质得h 1∶h 0∶h 2＝S 1∶S 0∶S 2，
∴γ＝h 0－h 1h 2－h 0＝S 0－S 1S 2－S 0
. 由此可得S 0＝
S 1＋γS 21＋γ. ∴S 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋γS 21＋γ2.。