人教版高中数学必修二练习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）
A 、[0º，90º]
B 、（0º，90º）
C 、[0º，180º]
D 、[0º，180º)
2．若直线上有两个点在平面外，正确结论是（ ）
A 、直线在平面内
B 、直线在平面外
C 、直线上所有点都在平面外
D 、直线与平面相交
3．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点，则正方体的过P 、Q 、R 的截面图形的面积是 （
A.
86 B. 6
3 C.
433 D. 8
33 4．直线l 与平面α内的两条直线都垂直，则直线）
A 、平行
B 、垂直
C 、在平面α内
D 、无法确定 5．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题
① 若////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② 若//////m n n m ββ⎫
⇒⎬⎭
③ 若
,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ 若//m m αββα⊥⎫
⇒⊥⎬⎭
其中假命题有（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点A 到△A 1BD 所在平面的距离=（ ）
A 、1
B 、
2
1
C 、23
D 、33
7．如果△ABC 的三个顶点到平面α的距离相等且不为零，那么△ABC 的( )
A 、三边均与α平行
B 、三边中至少有一边与α平行
C 、三边中至多有一边与α平行
D 、三边中至多有两边与α平行
8．正三棱锥中相对的两条棱所成的角= 。
9．已知直线a ，如果直线b 同时满足下列二个条件：
①直线b 与a 是异面直线；②b 与a 所成的角为定值θ。
那么这样的直线b 有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、无数条 10．已知a 和b 是两条异面直线，下列结论正确的是 ( )
A 、过不在a 、b 上的任意一点，可作一个平面与a 、b 都平行
B 、过不在a 、b 上的任意一点，可作一条直线与a 、b 都相交
C 、过不在a 、b 上的任意一点，可作一条直线与a 、b 都平行
D 、过a 有且只有一个平面与b 平行 11．已知一条与平面α相交的线段，长度为10cm ，两端点到平面α的距离分别是2cm ，3cm ，这条线段与平面α所成角是 .
12．空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点. ①若AC=BD ，则四边形EFGH 的形状是 ； ②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 的形状是
．
13．过直线l 外一点A 作直线l 的垂线有 条；过A 点作直线l 的垂面有 个；过A 点作直线l 的平行线有 条；过A 点作直线l 的平行平面有 个。
14．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，如图，P 在AB 上，Q 在B 1C 1上，且AP ＝B 1Q ，N 是PQ 的中点，M 是正方形ABB 1A 1的中心．求证：⑴MN ∥平面B 1D 1；⑵MN ∥A 1C 1．
C 1
A C
A
15．已知矩形ABCD 的边长AB ＝6cm ，BC ＝4cm ，在CD 上截取CE ＝4cm ，以BE 为棱将矩形折起，使△BC′E 的高C′F⊥平面ABED ，求：
⑴点
C′到平面ABED 的距离； ⑵二面角C′—AB —C 的正切值； ⑶点C′到边AD 的距离．
C'
A
第二章点、直线、平面之间的位置关系
B级 9—10. DD 11．300
12.①菱形②矩形 13．无数，1，1，无数
C级14．如图，可证明MN‖RQ‖A1C1（略）
15．⑴22 cm ⑵2⑶26 cm。
人教A版高中数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系
的直线与另一个平面垂直
二面角二 范围 面： 角[的0°平，面18角0°]
专题突破
专题一 空间中的位置关系 1．空间中两直线的位置关系：相交、平行、异面． 2．空间中直线与平面的位置关系：直线在平面内、直线 与平面平行、直线与平面相交． 3．两个平面的位置关系：平行、相交．
[例 1] 下面四个命题中，正确命题的个数是( )
如上图，AB∥平面 CDD′C′，BB′∥平
③ × 面 CDD′C′，AB∩BB′＝B，即 AB 与
BB′不平行，③不正确
序号 正误
原因分析
如上图，设直线 l 是平面 ABB′A′内与 AB 平行的任一条直线，l 有无数条，即 AB 与 ④× 平面 ABB′A′内的无数条直线平行，但 AB⊂平面 ABB′A′，④不正确
[解析] ∵AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点， ∴BC⊥AC，
DBCA⊂⊥平平面面AABBCC⇒DA⊥BC
BC⊥AC
AC∩DA＝A
⇒BACF⊂⊥平平面面DDAACC ⇒
BC⊥
AF⊥DC
BC∩DC＝C
⇒ABFD⊥⊂平平面面DDCCBB⇒ BD⊥AF
BD⊥AE
AF∩AE＝A
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行 平面与平面平行
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行
平面与平面之间的位置关系
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
平面与平面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线
[例2] (2011·江苏高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，平 面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是 AP，AD的中点．
高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试(一)
数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.面α⋂面β=l ，A α∈，B α∈，AB ⋂l =D ，C β∈，C l ∉，则平面ABC 与平面β的交线是()A .有无数条B .有两条C .至多有两条D .有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A.)π１ B.4π C.3πD.5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .10B .5-C .5D .54.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC=BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是()A.梯形B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，Q 为AD 中点，点M 在线段PC 上，且PM tPC =，0t >，试确定实数t 的值，使得//PA 面MQB .A .14B .1C .23D .136.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点，点,D F 分别为,AC AB 上的动点，且GD EF ⊥，则线段DF 的最小值为A .12B .1C D .二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7.设a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，有以下结论：(1)当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成30角.(2)当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角.(3)直线AB 与a 所成角的最小值为45 .(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60.则正确结论的序号为A (1)B(2)C(3)D(4)8.一张A4纸的长宽之比为，E ，F 为AD ，BC 的中点.现分别将ABE ∆，CDF ∆沿BE ，DF 折起，且A ，C 在面BFDE 同侧，下列命题正确的是()(1)A ,G ,H ,C 四点共面.(2)当面ABE //面CDF 时，AC //面BFDE .(3)当A ，C 重合于点P 时，面PDE ⊥面PBF .(4)当A ，C 重合于点P 时，设面PBE ⋂面PDF =l ，则l //面BFDE .A (1)B(2)C(3)D(4)三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BA 1=C 1D =5，C 1A 1=BD =，DA1=BC 1=.则三棱锥B -A 1DC 1的体积为________10.已知点E ,F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AA 1点，且12AE AB =，113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点，且1//PB 面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β;③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β;④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n.其中正确的命题是________和________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 为1CC 中点，F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB ⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403(1)求棱A 1A 的长;(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积.数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试答案一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1选D 2选C 3选C 4选C 5选D 6选C二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7选B ，C 8选A BCD三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9.20解析：111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ，易求得5a =，4b =，3c =.所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=.10.无数条解析：取113BH BB =，连接FH ，则//FH AB .在线段1D E 上取113OE D E =，在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ，在段1D E 上任取一点M ，过点M 在面1D HE 中，作//HO MG ，交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ，交1C F 于N ，连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ，又MN ⊂面MNG ，所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点，故与面ABCD 平行的直线MN有无数条.11.11333⎡⎢⎣⎦，.解析：取112AM MA =，连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形，所以1//B M DF .取11D C 中点N ，连接1,B N MN ，则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ，连接MG ，则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B NGM 的交线上，即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是11333⎡⎢⎣⎦，.12(3)和(4)①不正确，面α，β可能相交.②不正确，当直线m ，n 平行时，α，β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m ，n 相交时，α∥β.③正确，根据面面平行的定义可知l 与β无公共点，即可知l ∥β.④正确，因为α∩β=l ，可知l ⊂α，又因为l ∥γ，γ∩α=n ，则m ∥n.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分)证明：如图所示，易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ，1111CB A B B ⋂=，所以BE ⊥面11A B C .由于1A C ⊂面11A B C ，所以BE ⊥1AC .又BD ⊥CA ，BD ⊥1A A ，1CA A A A ⋂=，所以BD ⊥面1A AC .由于1A C ⊂面1A AC ，所以BD ⊥1AC .由于BE BD B ⋂=，所以1AC ⊥面EBD ，所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB.连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB.而DO∩DE=D ，故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角.由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°.不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=3.在Rt △DOE 中，DO=DE·sin 60°=32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO=DO AD =322=34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.15(本小题满分18分)(1)设A 1A=h ，因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为403，所以V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1-V B−A 1B 1C 1=403即S 四边形ABCD ·h-13·S △A 1B 1C 1·h=403，即2×2×h-13×12×2×2×h=403解得h=4.所以棱A 1A 的长为4.(2)如图，连接D 1B ，设D 1B 的中点为O ，连接OA 1，OC 1，OD.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，所以A 1D 1⊥平面A 1AB.因为A 1B ⊂平面A 1AB ，所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=12D 1B.同理OD=OC 1=12D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1D 12+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24，所以S 球=4π·(OD 1)2=4π·(D 1B 2)2=π·D 1B 2=24π.故经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为24π.。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。
人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系作业题及答案解析第2章2.2.2
千思兔在线教育平面与平面平行的判断【课时目标】 1．理解平面与平面平行的判断定理的含义． 2．能运用平面与平面平行的判断定理，证明一些空间面面平行的简单问题．1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥ β，直线a?α，则a与β的地点关系为 ________．2．下边的命题在“ ________处”缺乏一个条件，补上这个条件，使其组成真命题(M ， n 为直线，α，β为平面 )，则此条件应为________．m? αn? αm∥ β? α∥ βn∥ β一、选择题1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，能够作出( )A．0 个B．1 个C．0个或 1个D．1个或 2个2．α和β是两个不重合的平面，在以下条件中，可判断α∥ β的是 ( )A ．α内有无数条直线平行于βB．α内不共线三点到β的距离相等C．l 、M 是平面α内的直线，且 l ∥ α， M∥ βD． l 、M 是异面直线且 l ∥ α， M∥ α， l∥ β， M∥ β3．给出以下结论，正确的有( )①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不可以作一个平面与已知平面平行；④若 a， b 为异面直线，则过 a 与 b 平行的平面只有一个．A．1 个B．2 个C．3 个D．4个4．若不在同向来线上的三点A、 B、 C 到平面α的距离相等，且AD/∈ α，则 ( )A ．α∥平面 ABCB．△ ABC 中起码有一边平行于αC．△ ABC 中至多有两边平行于αD．△ ABC 中只可能有一边与α订交5．正方体 EFGH — E1F1G1H1中，以下四对截面中，相互平行的一对截面是( ) A ．平面 E1FG 1与平面 EGH1B．平面 FHG 1与平面 F1H 1GC．平面 F1H1H 与平面 FHE 1D．平面 E1HG 1与平面 EH 1G6．两个平面平行的条件是()A．一个平面内一条直线平行于另一个平面B．一个平面内两条直线平行于另一个平面C．一个平面内的随意一条直线平行于另一个平面D．两个平面都平行于同一条直线二、填空题7．已知直线a、 b，平面α、β，且 a∥ b， a∥ α，α∥β，则直线 b 与平面β的地点关系为______ ．8．有以下几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；② α∩ γ＝ a，α∩ β＝ b，且 a∥ b(α，β，γ分别表示平面，a， b 表示直线 )，则γ∥ β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥ β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥ β．此中正确的有 ________． (填序号 )9．如下图，在正方体 ABCD — A1B1C1D 1中， E、F 、G、H 分别是棱 CC1、C1D 1、D1D 、CD 的中点， N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 知足 ________时，有 MN ∥平面 B1BDD 1．三、解答题10．如下图，在正方体ABCD － A1B1C1D1中，S 是 B1D 1的中点，E、 F、G 分别是 BC、 DC 和 SC 的中点．求证：平面 EFG∥平面BDD 1B1．11．如下图， B 为△ ACD 所在平面外一点， M，N，G 分别为△ ABC，△ ABD，△ BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面 ACD ；(2)求 S△MNG∶S△ADC．能力提高12．三棱柱ABC－A1B1C1， D 是 BC 上一点，且A1B∥平面 AC1D ，D 1是 B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面 AC1D ．13．如下图，在正方体 ABCD —A1B1C1D1中， O 为底面ABCD 的中心， P 是 DD 1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ∥平面 PAO?判断或证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判断定理：假如一个平面内有两条订交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．2．2．2 平面与平面平行的判断答案知识梳理1．无a∥ β2． M， n 订交作业设计1．C 2．D 3．B 4． B 5． A 6． C 7． b∥β或b? β8．③分析① 不正确，当两平面订交时，在一个平面双侧分别有无数点知足条件；②不正确，当平面β与γ订交时也可知足条件；③ 正确，知足平面平行的判断定理；④ 不正确，当两平面订交时，也可知足条件．9． M ∈线段 FH分析∵ HN ∥ BD ，HF∥ DD 1，HN∩HF＝H，BD ∩DD1＝D，∴平面 NHF ∥平面 B 1BDD 1，故线段 FH 上随意点M 与 N 连结，有 MN ∥平面 B1BDD1．10．证明如下图，连结 SB， SD，∵ F、 G 分别是 DC 、 SC 的中点，∴ FG∥ SD．又∵ SD? 平面 BDD 1 B1， FG?平面 BDD 1B1，∴直线 FG∥平面 BDD 1B 1．同理可证 EG∥平面 BDD 1B1，又∵ EG? 平面 EFG，FG? 平面 EFG，EG∩ FG＝ G，∴平面 EFG∥平面 BDD 1B1．11． (1)证明 (1)连结 BM ， BN ，BG 并延伸分别交AC ，AD ，CD 于 P，F， H．∵M，N，G 分别为△ ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BMMP＝BNNF＝BGGH＝ 2，且 P，H ，F 分别为 AC ， CD ， AD 的中点．连结 PF， FH， PH，有 MN ∥PF．又 PF? 平面 ACD ， MN ?平面 ACD ，∴MN ∥平面 ACD ．同理 MG ∥平面 ACD ，MG ∩MN ＝M ，∴平面 MNG ∥平面 ACD ．千思兔在线教育MG ＝ BG ＝2，(2)解 由(1)可知 PH BH 32∴MG ＝ PH ．31 1AD ． 又 PH ＝ AD ，∴MG ＝32同理 NG ＝ 1AC ，MN ＝ 1CD ．3 3 ∴△ MNG ∽△ ACD ，其相像比为 1∶3． ∴ S △ MNG ∶ S △ACD ＝ 1∶ 9． 12．证明连结 A 1C 交 AC 1于点 E ，∵ 四边形 A 1ACC 1 是平行四边形， ∴ E 是 A 1C 的中点，连结 ED ，∵ A 1B ∥平面 AC 1D ，ED? 平面 AC 1D ， ∴ A 1B 与 ED 没有交点，又 ∵ ED? 平面 A 1BC ，A 1B? 平面 A 1BC ， ∴ ED ∥ A 1B ．∵ E 是 A 1C 的中点， ∴D 是 BC 的中点．又 ∵ D 1 是 B 1C 1 的中点，∴ BD 1∥C 1D ，A 1D 1∥ AD ，∴ BD 1∥ 平面 AC 1D ，A 1D 1∥ 平面 AC 1D ．又 A 1D 1∩ BD 1＝D 1，∴平面 A 1BD 1∥平面 AC 1D ．13． 解 当 Q 为 CC 1 的中点时， 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．∵Q 为 CC 1的中点， P 为 DD 1 的中点， ∴ QB ∥PA ．∵ P 、O 为 DD 1、 DB 的中点， ∴ D 1B ∥ PO ．又 PO ∩ PA ＝ P ， D 1B ∩ QB ＝ B ， D 1B ∥ 平面 PAO ，QB ∥ 平面 PAO ，∴ 平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO ．。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元试卷(1)
第二章过关检测(90 分 ,分 100 分)知点散布表知点号分点、、面的地点关系1,3,1212平行的判断及性2,4,5,6,7,10,16(1),17 、35垂直的判断及性5,7,8,13,15,16(2),18(1)31距离9,118角度14,16(3),18(2)14一、 (本大共10 小 ,每小 4 分,共 40 分)1.以下推理不正确的选项是()A.A ∈ b,A ∈ β,B∈ b, B bB.M∈ α,M∈ β,N∈ α,N∈βα∩β＝直 MNC.直 m 不在α内 , A m AD.A、B、 C∈ α,A、B、 C∈ β,且 A、 B、C 不共α与β重合2.空两条直拥有以下条件之一,两直必定平行的是()A.同垂直于一条直B.同垂直于一个平面C.同平行于一个平面D.同在一个平面内3.异面直a、 b 分在平面α、β内,若α∩β＝l,直l⋯()A. 分与 a、 b 订交B.与 a、b 都不订交C.起码与 a、 b 中之一订交D.至多与 a、 b 中之一订交4.下边四个命:①分在两个平面内的两直平行;②若两个平面平行,此中一个平面内的任何一条直必平行于另一个平面;③假如一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;④假如一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.此中正确的命题是()A. ①②B. ②④C.①③D. ②③5.一个正方体纸盒睁开后如图,在原正方体纸盒中有以下结论:①AB ⊥EF;②AB 与 CM 成 60°角;③EF 与 MN 是异面直线 ;④MN∥CD.此中正确的选项是 ()A. ①②B. ③④C.②③D. ①③6.已知 a、b 是不重合的两条直线,α、β,γ是三个两两不重合的平面,给出以下四个命题:①若 a⊥ α,a⊥ β,则α∥ β；②若α⊥ γ,β⊥ γ,则α∥ β；③若α∥ β,a,b,则 a∥ b;④若α∥ β,α∩γ＝ a,β∩γ＝ b,则 a∥ b.此中正确的选项是 ()A. ①②B. ①③C.③④D. ①④7.(2009 苍山诚信中学·文科 )已知直线 l⊥平面α,直线m平面β,给出以下命题 :①α∥β l⊥ n;② α⊥ βl ∥ M;③l ∥ m α⊥β;④l ⊥ m α∥β.此中正确的命题是 ()A. ①②③B. ②③④C.②④D. ①③8.以下命题中 ,正确的选项是 ()A. 平面α⊥β,直线m∥ α,则m⊥ βB.l ⊥平面α,平面β∥直线l,则α⊥βC.直线l 是平面α的一条斜线,且l,则α与β必不垂直D.一个平面内的两条直线与另一平面内的两条直线分别平行,则这两个平面平行9.点 P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC ,PA＝ 8,在△ ABC 中 ,底边＝5,则 P 到 BC 的距离为 ()BC＝6,ABA.45B.3C.33D.2310.如图 ,在三棱柱 ABCA′ B′C中,点 E、 F 、 H、 K 分别为 AC′、 CB′、 A′B、 B′ C的′中点 ,G 为△ ABC 的重心 ,从 K、 H 、G、B′中取一点作为 P,使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行 ,则P为()A. KB.HC.GD.B′二、填空题 (本大题共 4 小题 ,每题 4 分,共 16分 )－1⊥ l 于 A11⊥ l 于 B11＝A1B 1＝ 1,B1B＝11.若二面角αlβ是直二面角 ,A∈ α,B∈β,AA,BB,且 AA2,M 是直线 l 上的一个动点 ,则 AM ＋ BM 的最小值等于 _________.12.已知△ ABC 中 ,∠BAC＝ 90°,P 为平面 ABC 外一点 ,且 PA＝ PB＝PC,则平面 PBC 与平面 ABC的地点关系是 __________.13.以以下图 ,在直四棱柱 A1B1C1 D1－DABC 中 ,当底面四边形ABCD 知足条件 ______________时,有 A1 B⊥ B1D 1注:填上你以为正确的一种条件即可,不用考虑全部可能的情况)14.以以下图 ,平面 ABC⊥平面 ABD ,∠ ACB＝ 90°,CA＝ CB,△ ABD 是正三角形 ,则二面角 G－BD －A 的平面角的正切值为 _________.三、解答题 (本大题共 4 小题 ,共 44 分 )15.(10 分 )如图 ,已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ ABC 为直角三角形 ,∠ C＝ 90°,侧棱与底面成 60°角 ,点 B1在底面的射影D为BC的中点.求证 :AC⊥平面 BCC1B1 .16.(10 分 )以下图 ,在四棱锥 P－ABCD 中 ,底面 ABCD 是正方形 ,侧棱 PD ⊥底面 ABCD ,PD ＝DC,E 是 PC 的中点 .求证 :PA∥平面 EDB .17.(12 分 )已知正方体ABCD －A1B1C1D1.(1)求证 :平面 A1BD∥平面 B1D 1C;(2)若 E、 F 分别是 AA1、 CC1的中点 ,求证 :平面 EB1D1∥平面 FBD .18.(12 分 )△ ABC 是正三角形 ,线段 EA 和 DC 都垂直于平面ABC.设 EA＝ AB＝ 2a,DC ＝ a,且 F 为 BE 的中点 ,如图 .(1)求证 :DF ∥平面 ABC;(2)求证 :AF⊥ BD;(3)求平面 BDF 与平面 ABC 所成二面角的大小 .参照答案1 分析：由空间中点、线、面的地点关系可知.答案： C2分析：垂直于同一平面的两直线平行 .答案： B3分析：若 l 与 a,b 都不订交 ,则 a∥ l,b∥l,知 a∥ b,与 a,b 是异面直线矛盾 .答案： C4分析：①明显不对 ;②是两平面平行的性质 ;③只有在这两条直线订交的前提下才正确;④是两平面平行的意义.答案： B5 分析：把纸盒睁开图复原成正方体即可.答案： D6 分析：①垂直于同向来线的两个平面平行,正确 ;②错误 ,用正方体考证;③ a 与 b 也可能异面 ,错误 ;④正确 .答案： D7 分析：①中,α∥β,l⊥α知l⊥ β,又∵ m,∴l ⊥m,故①正确 ;②中 ,∵ l⊥ α,α⊥ β,∴l ∥ β或l.∴l 与 m 订交 ,异面或平行 ,故②不确立 ;③中 ,∵ l∥ m,l ⊥α,∴m⊥ α.又m,∴ α⊥ β,故③正确 ;④中 ,举反例 : α⊥ β,α∩β＝ m,则知足前提 ,此时α与β不平行 ;故④错误 .答案： D8 分析：用正方体考证知,B 正确 .答案： B9 分析：作AD⊥BC于点D,连接PD ,易证PD⊥BC,故PD的长即为P 到 BC 的距离 .答案： A10 分析：若P为K点,则棱柱中A′B、AA′、BB′、CC′等均与平面PEF 平行 ,不合题意 .若 P 为 H 点 ,则棱柱中 B′C、′A′B、 A′C、 AB、 BC、 AC 均与平面 PEF 平行 ,也不合题意 .若 P 为 B′点,则棱柱中无棱与平面 PEF 平行 ,只有当 P 为 G 点时 ,棱柱中恰有 2 条棱 AB 、A′B′与平面 PEF 平行 .答案： C11 分析：绕二面角的棱l 旋转半平面α,使之与半平面β恰巧组成一个平面,此时 ,A、B 两点在直线 l 的异侧 ,连接 AB 与 l 的交点即为使AM ＋ MB 为最小值的动点 M 在直线 l 上的地点 ,求得线段 AB 的长为10 .答案：1012分析：∵ PA＝PB＝ PC,∴P 在△ ABC 所在平面上的射影必落在△ABC 的外心上 .又外心在 BC 上,设为 O,则 PO⊥平面 ABC.又 PO 平面PBC,∴平面 PBC⊥平面 ABC.答案：垂直13 分析：由条件知BC1⊥面 A1B1C1D1,∴BC 1⊥B1D 1.若 B1D 1⊥A1C1,则 B1D1⊥面 A1C1B.∴B1D1⊥ A1B.答案：对角线相互垂直14 分析：过C点作CO⊥AB,垂足为O,作OH⊥BD,垂足为H,连接CH .∵平面 ABC⊥平面 ABD,交线为 AB,∴CO⊥平面 ABD .∴CO⊥BD .又∵ OH⊥ BD ,OH∩OC＝O,∴BD ⊥平面 COH .∴BD⊥CH.∴∠ CHO 为二面角C－BD－A 的平面角 .设 AC＝ CB＝ a,则 AB＝BD ＝ AD＝ 2a,CO 2 a . 2∴ OH132a 6 a .224CO 2 a2 3 2 3∴ tan CHO2OH6.∴应填. 33a 4答案：23315 证明 :∵ B1D⊥面 ABC,∴B1D⊥AC .又∵∠ C＝ 90°,BC⊥ AC,而 B1D∩BC＝ D,B1D 、BC平面BCC1B1,∴AC ⊥平面 BCC1B 1.16 证明 :连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO.由于底面 ABCD 是正方形 ,因此点 O是 AC 在△ PAC 中 ,EO 因此 PA∥ EO.的中点 . 是中位线,而 EO平面EDB,且PA平面EDB ,因此PA∥平面EDB .17 证明 :(1) 由 B1B∥DD 1,且 B 1B＝ DD 1,得 B1D 1∥ BD .由于 BD平面B1D1C,而 B1 D1平面B1D1C,因此 BD∥平面 B1D 1C.同理 A1D∥平面 B1D1C.又 A1D∩BD ＝ D,因此平面 A1BD ∥平面 B1D1 C. (2) 由 BD ∥B1D 1,得 BD ∥平面 EB1D 1.取 BB1中点 G,连接 AG、GF,则 AE∥B1G 且 AE＝ B 1G,因此 B1E∥ AG.由 GF∥ BC 且 GF＝ BC,BC∥AD ,得 GF∥ AD 且 GF＝AD ,因此 AG∥ DF 且 AG＝ DF .因此 B1E∥ DF .因此 DF ∥平面 EB 1D1.因此平面 EB 1D1∥平面 FBD .18(1) 证明 :以下图 ,取 AB 中点 G,连接 CG、FG .∵E F ＝FB,AG＝GB,∴FG1 EA.又DC 21DC . 2∴四边形 CDFG 为平行四边形 ,故 DF∥CG.∵ DF平面ABC,CG平面ABC,∴D F ∥平面 ABC.(2) 证明 :∵ EA⊥平面 ABC,∴EA ⊥CG.又△ ABC 是正三角形，∴CG⊥ AB.∴CG⊥平面 AEB.∴CG⊥AF.又∵ DF∥CG,∴DF ⊥AF.又 AE＝AB ,F 为 BE 中点 ,∴A F ⊥BE.又 BE∩DF ＝ F,∴A F ⊥平面 BDE .∴A F ⊥BD.(3)解 :延伸 ED 交 AC 延伸线于 G′,连接 BG ′.由 CD1 AE ,CD∥AE知D为EG′中点,2∴F D ∥ BG′.由 CG⊥平面 ABE,FD ∥ CG,∴BG′⊥平面 ABE.∴∠ EBA 为所求二面角的平面角.在等腰直角三角形AEB 中 ,易求∠ ABE＝ 45°.。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
高中数学必修2__第二章《直线与平面的位置关系》知识点总结与练习
第三节空间点、直线、平面间的位置关系[知识能否忆起]一、平面的基本性质 名称图示文字表示 符号表示 公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l二、空间直线的位置关系 1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行． 3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角．(2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.三、直线与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数直线l在平面α内l⊂α无数个直线l与平面α相交l∩α＝A 一个直线l与平面α平行l∥α0个四、平面与平面的位置关系位置关系图示符号表示公共点个数两个平面平行α∥β0个两个平面相交α∩β＝l 无数个(这些公共点均在交线l上)1.三个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两相交平面的交线；③证明多点共线．2．异面直线的有关问题(1)判定方法：①反证法；②利用结论即过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．(2)所成的角的求法：平移法．平面的基本性质及应用典题导入[例1](2012·湘潭模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F 为A1A的中点，求证：CE，D1F，DA三线共点．[自主解答]∵EF綊12CD1，∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，∵P∈D1F且D1F⊂平面AA1D1D，∴P∈平面AA1D1D.又P∈EC且CE⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD.∴P∈AD.∴CE、D1F、DA三线共点．本例条件不变试证明E，C，D1，F四点共面．证明：∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF綊12A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.∴四边形A1D1CB为平行四边形．∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.∴EF与CD1确定一个平面．∴E，C1，F，D四点共面．由题悟法1．证明线共点问题常用的方法是：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上．2．证明点或线共面问题一般有以下两种途径：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余线(或点)均在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证平面重合．以题试法1．(1)(2012·江西模拟)在空间中，下列命题正确的是()A．对边相等的四边形一定是平面图形B．四边相等的四边形一定是平面图形C．有一组对边平行的四边形一定是平面图形D．有一组对角相等的四边形一定是平面图形(2)对于四面体ABCD，下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．解析：(1)由“两平行直线确定一个平面”知C正确．(2)由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；由顶点A作四面体的高，只有当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；设AB，BC，CD，DA的中点依次为E，F，M，N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点的连线也过它们的交点，故④正确．答案：(1)C(2)①④异面直线的判定典题导入[例2](2012·金华模拟)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[自主解答]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．[答案]②④由题悟法1．异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．2．客观题中，也可用下述结论：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．以题试法2．已知m，n，l为不同的直线，α，β为不同的平面，有下面四个命题：①m，n为异面直线，过空间任一点P，一定能作一条直线l与m，n都相交．②m，n为异面直线，过空间任一点P，一定存在一个与直线m，n都平行的平面．③α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m，n与l都斜交，则m与n一定不垂直；④m，n是α内两相交直线，则α与β相交的充要条件是m，n至少有一条与β相交．则四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选B①错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内且不在直线m上时，就不满足结论；②错误，因为过直线m存在一个与直线n平行的平面，当点P在这个平面内时，就不满足结论；③正确，否则，若m⊥n，在直线m上取一点作直线a⊥l，由α⊥β，得a⊥n.从而有n⊥α，则n⊥l；④正确．异面直线所成角典题导入[例3] (2012·大纲全国卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为________．[自主解答] 连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ， 则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝⎛⎭⎫52a 2＋⎝⎛⎭⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35.[答案] 35由题悟法求异面直线所成的角一般用平移法，步骤如下： (1)一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．以题试法3．(2012·唐山模拟)四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( )A.255B.55C.45D.35解析：选B 如图所示，因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角即为AB 与P A 所成的角∠P AB ，在△P AB 内，PB ＝P A ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知：cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22×P A ×AB ＝5＋4－52×2×5＝55.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b ( )A．异面B．相交C．不可能平行D．不可能相交解析：选C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b.与a，b是异面直线相矛盾．2．(2012·东北三校联考)下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①④错误，②③正确．3．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：选D若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD 相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．4．(教材习题改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案：60°5．(教材习题改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱的条数为________．解析：如图，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合条件的棱共有5条．答案：5第四节直线、平面平行的判定及性质[知识能否忆起]一、直线与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则直线与此平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αb∥a⇒a∥α2．性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa⊂βα∩β＝b⇒a∥b二、平面与平面平行1．判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊂αb⊂αa∩b＝Pa∥βb∥β⇒α∥β2．两平面平行的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b⇒a∥b1.平行问题的转化关系：线∥线判定判定性质线∥面――→判定性质面∥面性质2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在性质定理的应用中，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．3．辅助线(面)是求证平行问题的关键，注意平面几何中位线，平行四边形及相似中有关平行性质的应用．线面平行、面面平行的基本问题典题导入[例1](2011·福建高考)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[自主解答]因为直线EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因为点E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EF＝12AC.又因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2.所以EF＝ 2.[答案] 2本例条件变为“E是AD中点，F，G，H，N分别是AA1，A1D1，DD1与D1C1的中点，若M在四边形EFGH及其内部运动”，则M满足什么条件时，有MN∥平面A1C1CA.解：如图，∵GN∥平面AA1C1C，EG∥平面AA1C1C，又GN∩EG＝G，∴平面EGN∥平面AA1C1C.∴当M在线段EG上运动时，恒有MN∥平面AA1C1C.由题悟法解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．(3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．以题试法1．(1)(2012·浙江高三调研)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：选C由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因为l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内．(2)(2012·潍坊模拟)已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2解析：选D 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.直线与平面平行的判定与性质典题导入[例2] (2012·辽宁高考)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)求三棱锥A ′－MNC 的体积．(锥体体积公式V ＝13Sh ，其中S 为底面面积，h 为高)[自主解答] (1)证明：法一：连接AB ′、AC ′，因为点M ，N 分别是A ′B 和B ′C ′的中点，所以点M 为AB ′的中点． 又因为点N 为B ′C ′的中点， 所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. 法二：取A ′B ′的中点P .连接MP .而点M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′.所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩PN ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，因此MN∥平面A′ACC′.(2)法一：连接BN，由题意得A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝12B′C′＝1，故V A′－MNC＝V N－A′MC＝12V N－A′BC＝12V A′－NBC＝16.法二：V A′－MNC＝V A′－NBC－V M－NBC＝12V A′－NBC＝16. 由题悟法利用判定定理证明线面平行的关键是找平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．以题试法2．(2012·淄博模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BD，BB1的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1CD；(2)求证：EF⊥AD1.解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D，在平面BB1D内，E，F分别为BD，BB1的中点，∴EF∥B1D.又∵B1D⊂平面A1B1CD.EF⊄平面A1B1CD，∴EF∥平面A1B1CD.(2)∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1.又A1D∩A1B1＝A1，∴AD1⊥平面A1B1D.∴AD1⊥B1D.又由(1)知，EF∥B1D，∴EF⊥AD1.平面与平面平行的判定与性质典题导入[例3] 如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE ＝FC 1＝B 1G ＝1，H 是B 1C 1的中点．(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面； (2)求证：平面A 1GH ∥平面BED 1F . [自主解答] (1)在正方形AA 1B 1B 中， ∵AE ＝B 1G ＝1， ∴BG ＝A 1E ＝2， ∴BG 綊A 1E .∴四边形A 1GBE 是平行四边形． ∴A 1G ∥BE . 又C 1F 綊B 1G ，∴四边形C 1FGB 1是平行四边形． ∴FG 綊C 1B 1綊D 1A 1.∴四边形A 1GFD 1是平行四边形． ∴A 1G 綊D 1F . ∴D 1F 綊EB .故E ，B ，F ，D 1四点共面． (2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝32.又B 1G ＝1，∴B 1G B 1H ＝23.又FC BC ＝23，且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°， ∴△B 1HG ∽△CBF .∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG .∴HG∥FB.∵GH⊄面FBED1，FB⊂面FBED1，∴GH∥面BED1F.由(1)知A1G∥BE，A1G⊄面FBED1，BE⊂面FBED1，∴A1G∥面BED1F.且HG∩A1G＝G，∴平面A1GH∥平面BED1F.由题悟法常用的判断面面平行的方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．以题试法3．(2012·北京东城二模)如图，矩形AMND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB.(1)求证：平面AMB∥平面DNC；(2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC.证明：(1)因为MB∥NC，MB⊄平面DNC，NC⊂平面DNC，所以MB∥平面DNC.又因为四边形AMND为矩形，所以MA∥DN.又MA⊄平面DNC，DN⊂平面DNC.所以MA∥平面DNC.又MA∩MB＝M，且MA，MB⊂平面AMB，所以平面AMB∥平面DNC.(2)因为四边形AMND是矩形，所以AM⊥MN.因为平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND∩平面MBCN＝MN，所以AM⊥平面MBCN.因为BC⊂平面MBCN，所以AM⊥BC.因为MC⊥BC，MC∩AM＝M，所以BC⊥平面AMC.因为AC⊂平面AMC，所以BC⊥AC.[小题能否全取]1．(教材习题改编)下列条件中，能作为两平面平行的充分条件的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：选D由面面平行的定义可知，一平面内所有的直线都平行于另一个平面时，两平面才能平行，故D正确．2．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选A对于命题①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于命题②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②也不正确；对于命题③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③也不正确．3．(教材习题改编)若一直线上有相异三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是()A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交且不垂直D．l∥α或l⊂α解析：选D由于l上有三个相异点到平面α的距离相等，则l与α可以平行，l⊂α时也成立．4．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a，b的位置关系是________．解析：由α∥β可知，a，b的位置关系是平行或异面．答案：平行或异面5．(2012·衡阳质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图．连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.答案：平行第五节直线、平面垂直的判定与性质[知识能否忆起]一、直线与平面垂直1．直线和平面垂直的定义直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．2．直线与平面垂直的判定定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α推论如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面⎭⎪⎬⎪⎫a∥ba⊥α⇒b⊥α3．直线与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β2．平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α1.在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：2．在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．3．几个常用的结论：(1)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．垂直关系的基本问题[例1](2012·襄州模拟)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；②若m、n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知α，β互相垂直，m，n互相垂直，若m⊥α，则n ⊥β；④m，n在平面α内的射影互相垂直，则m，n互相垂直．其中的假命题的序号是________．[自主解答]①显然错误，因为平面α∥平面β，平面α内的所有直线都平行β，所以β内的两条相交直线可同时平行于α；②正确；如图1所示，若α∩β＝l，且n∥l，当m⊥α时，m⊥n，但n∥β，所以③错误；如图2显然当m′⊥n′时，m不垂直于n，所以④错误．[答案]①③④由题悟法解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例．③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．以题试法1．(2012·长春模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a ∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：选D对于①，由b不在平面α内知，直线b或者平行于平面α，或者与平面α相交，若直线b与平面α相交，则直线b与直线a不可能垂直，这与已知“a⊥b”相矛盾，因此①正确．对于②，由a∥α知，在平面α内必存在直线a1∥a，又a⊥β，所以有a1⊥β，所以α⊥β，②正确．对于③，若直线a与平面α相交于点A，过点A作平面α、β的交线的垂线m，则m⊥β，又α⊥β，则有a∥m，这与“直线a、m有公共点A”相矛盾，因此③正确．对于④，过空间一点O分别向平面α、β引垂线a1、b1，则有a∥a1，b∥b1，又a⊥b，所以a1⊥b1，所以α⊥β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数为4.直线与平面垂直的判定与性质[例2] (2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥平面P AD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且DF ＝12AB ，PH 为△P AD 中AD 边上的高．(1)证明：PH ⊥平面ABCD ；(2)若PH ＝1，AD ＝2，FC ＝1，求三棱锥E －BCF 的体积； (3)证明：EF ⊥平面P AB .[自主解答] (1)证明：因为AB ⊥平面P AD ，PH ⊂平面P AD ， 所以PH ⊥AB .因为PH 为△P AD 中AD 边上的高，所以PH ⊥AD .因为PH ⊄平面ABCD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PH ⊥平面ABCD .(2)如图，连接BH ，取BH 的中点G ，连接EG . 因为E 是PB 的中点， 所以EG ∥PH ， 且EG ＝12PH ＝12.因为PH ⊥平面ABCD ， 所以EG ⊥平面ABCD .因为AB ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥AD .所以底面ABCD 为直角梯形．所以V E －BCF ＝13S △BCF ·EG ＝13·12·FC ·AD ·EG ＝212.(3)证明：取P A 中点M ，连接MD ，ME . 因为E 是PB 的中点，所以ME 綊12AB .又因为DF 綊12AB ，所以ME 綊DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD .因为PD ＝AD ，所以MD ⊥P A .因为AB⊥平面P AD，所以MD⊥AB.因为P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB，所以EF⊥平面P AB.由题悟法证明直线和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理．(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面．以题试法2．(2012·启东模拟)如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)连接AC，AN，BN，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AC，在Rt△P AC中，N为PC中点，∴AN＝12PC.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB.∴BC⊥PB.从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝12PC.∴AN＝BN.∴△ABN为等腰三角形，又M为AB的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM，MC，∵∠PDA＝45°，P A⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴AP＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠P AM＝∠CBM＝90°，∴△P AM≌△CBM.∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.面面垂直的判定与性质典题导入[例3](2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[自主解答](1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A 1F ∥平面ADE .由题悟法1．判定面面垂直的方法： (1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理(a ⊥β，a ⊂α⇒α⊥β)．2．在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直． 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．以题试法3．(2012·泸州一模)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)若点M 在线段PC 上，且PM ＝tPC (t >0)，试确定实数t 的值，使得P A ∥平面MQB .解：(1)因为P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD . 连接BD ，因为四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°， 所以AB ＝BD . 所以BQ ⊥AD .因为BQ ⊂平面PQB ，PQ ⊂平面PQB ， BQ ∩PQ ＝Q ， 所以AD ⊥平面PQB .因为AD ⊂平面P AD ，所以平面PQB ⊥平面P AD . (2)当t ＝13时，P A ∥平面MQB .证明如下：连接AC ，设AC ∩BQ ＝O ，连接OM .在△AOQ 与△COB 中， 因为AD ∥BC ，所以∠OQA ＝∠OBC ，∠OAQ ＝∠OCB . 所以△AOQ ∽△COB .所以AO OC ＝AQ CB ＝12.所以AO AC ＝13，即OC AC ＝23.由PM ＝13PC ，知CM CP ＝23，所以CM CP ＝OCAC ，所以AP ∥OM .因为OM ⊂平面MQB ，P A ⊄平面MQB ，所以P A ∥平面MQB .[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β＝l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α、β都垂直解析：选D A中平面可与α平行或相交，不正确．B中直线可与α垂直或斜交，不正确．C中平面可与直线l平行或相交，不正确．2.(2012·厦门模拟)如图，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1D．A1C1解析：选D易知A1C1⊥平面BB1D1D.又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O.3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是() A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nD．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β解析：选C对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，则m∥n，或m，n是异面直线，所以A 错误；对于选项B，n可能在平面α内，所以B错误；对于选项D，m与β的位置关系还可以是m⊂β，m∥β，或m与β斜交，所以D错误；由面面垂直的性质可知C正确．4.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案：45．(教材习题改编)如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB.则下列命题正确的有________．①P A⊥AD；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④直线PD与平面ABC所成角为30°.解析：由P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AD ，故①正确；②中两平面不垂直，③中AD 与平面P AE 相交，BC ∥AD ，故不正确；④中PD 与平面ABC 所成角为45°.答案：① 高考真题（19）（2012安徽）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD 的中点，E 是棱1AA 上任意一点。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间位置关系》(内含解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含解析）一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交 B．异面C．平行 D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】D4．如图2342，P A⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()图2342A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．P A⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面P AD，又BA⊥平面P AD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为P A⊥矩形ABCD，所以P A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面P AD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为P A⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得P A⊥BD.故选A.【答案】A5．如图2343所示，三棱锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2343A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】D二、填空题6．如图239，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．图239【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2310所示，P A ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．图2310【解析】 BC ⊂平面ABC PA ⊥平面ABC ⇒PA ∩AC ＝A AC ⊥BC ⇒BC ⊥平面P AC ⇒BC ⊥PC ，∴直角三角形有△P AB 、△P AC 、△ABC 、△PBC .【答案】 4三、解答题8．如图2311，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .图2311【证明】 ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .又∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ， ∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .9．如图2312所示，三棱锥ASBC 中，∠BSC ＝90°，∠ASB ＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2312【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝22a.在Rt△ADC中，AD＝＝22a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝22a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.10．(2015·淮安高二检测)如图2313，四棱锥SABCD的底面ABCD 为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2313①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2314，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.图2314【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，∴P A⊥BM.又∵P A∩AM＝A，∴BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(附答案解析)
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（附答案解析）一、选择题1．(2020·郑州高一检测)给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定3个平面．其中正确的序号是()A．①B．①④C．②③D．③④【解析】因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．【答案】A2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合【解析】选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．【答案】C3．(2020·蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面()A．只有一个B．可作两个C．可作无数多个D．只有一个或有无数多个【解析】若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.【答案】D4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线【解析】如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．(1) (2)【答案】B5．如图217，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()图217A．点A B．点BC．点C，但不过点D D．点C和点D【解析】根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.【答案】D二、填空题6．如图2121所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：图2121①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．【解析】由异面直线的定义知③④正确．【答案】③④7．如图2122，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．图2122【解析】依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.【答案】60°三、解答题8．如图2127所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？图2127(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系．【解】(1)AM所在的直线与平面ABCD相交；(2)CN所在的直线与平面ABCD相交；(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行；(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交．9．三个平面α，β，γ.如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c ⊂β，c∥b，(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．【解】(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又c⊂β，所以c与α无公共点，则c∥α.(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，a，b没有公共点．因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.10．两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：(1)a与β内的所有直线平行；(2)a与β内无数条直线平行；(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；(4)a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由α∥β，a⊂α，可知a∥β，因此(2)(4)正确．在正方体ABCDA1B1C1D1中，取A1B1为a，平面ABCD为β，平面A1B1C1D1为α，则a⊂α，α∥β，显然β内的直线BC⊥A1B1，所以(1)(3)不正确．故选B.【答案】B11．如图2128所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图中，E，F 分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD 的交线，并给出证明．图2128【解】如图①所示，过点E作EN平行于BB1交CD于N，连接NB并延长交EF的延长线于M，连接AM，则直线AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．如图②所示，延长DC，过点C1作C1M∥A1B交DC的延长线于点M，连接BM，则直线BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明：在图①中，因为直线EN∥BF，所以B，N，E，F四点共面，因此EF与NB相交，交点为M.因为M∈EF，且M∈NB，而EF ⊂平面AEF，NB⊂平面ABCD，所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面ABCD与平面AEF的公共点，故直线AM 为两平面的交线．在图②中，C1M在平面CDD1C1内，因此与DC的延长线相交，交点为M，则点M为平面A1C1B与平面ABCD的公共点，又点B也是这两个平面的公共点，因此直线BM是两平面的交线．。
人教版高中数学必修二练习：第二章点、直线、平面之间的位置关系
第二章点、直线、平面之间的位置关系1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ 的取值范围是（）A、[0o ，90o]B、（0o，90o） C 、[0o ，180o]D、[0o，180o) 2．若直线上有两个点在平面外，正确结论是（）A、直线在平面内B、直线在平面外C、直线上所有点都在平面外D、直线与平面相交3．如图，正方体 ABCD— A1B1C1D1的棱长为 1，P、 Q、 R分别是 AB、 AD、 B1C1的中点，则正方体的过 P、 Q、 R 的截面图形的面积是（）A. 6B. 38 63 3 3 3C.4 D.8D1C1RA1B1DCQA P B4．直线l与平面内的两条直线都垂直，则直线l 与平面的位置关系是（）A 、平行B、垂直C、在平面内D、无法确定5．不同直线m, n和不同平面, ，给出下列命题//m // m// nn //① 若② 若m m//m , 异面③ 若m n ④ 若mn m //其中假命题有（）A、0个 B 、1 个C、2 个D、3 个6．正方体 ABCD— A B C D 的棱长为1, 则点 A 到△A BD所在平面的距离 =（）1 1 1 1 1A、 1B、1C 、 3D 、 32 2 37．如果△ABC的三个顶点到平面的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与平行 B 、三边中至少有一边与平行C、三边中至多有一边与平行 D 、三边中至多有两边与平行8．正三棱锥中相对的两条棱所成的角= 。
9．已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列二个条件：①直线 b 与 a 是异面直线；②b 与 a 所成的角为定值θ。
那么这样的直线 b 有（）A 、1条B、2 条C、3条 D 、无数条10．已知a和b是两条异面直线，下列结论正确的是( )1A、过不在 a 、 b 上的任意一点，可作一个平面与B、过不在 a 、 b 上的任意一点，可作一条直线与C、过不在 a 、 b 上的任意一点，可作一条直线与a、 b 都平行a、 b 都相交a、 b 都平行D 、过 a 有且只有一个平面与 b 平行11．已知一条与平面相交的线段，长度为 10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这条线段与平面所成角是.12．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 .①若 AC=BD，则四边形EFGH的形状是；②若 AC BD，则四边形EFGH的形状是．13．过直线l外一点 A 作直线l的垂线有条；过 A 点作直线l 的垂面有个；过 A 点作直线l 的平行线有条；过 A 点作直线l的平行平面有个。