考研高数基础练习题及答案解析

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考研数学基础试题及答案

考研数学基础试题及答案一、选择题（每题3分，共36分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值所在的x值是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的解（）A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = e^(x^2)D. y = sin(x)4. 曲线y = x^3 - 6x^2 + 12x + 5在点（2，8）处的切线斜率是（）A. -1B. 0C. 1D. 25. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k)等于（）A. λ^k / k!B. e^(-λ)λ^k / k!C. (λ^k / k!) * e^(-λ)D. k * λ^(k-1) / e^λ6. 以下哪个级数是收敛的（）A. ∑((-1)^n) / nB. ∑n^2 / (n^4 + 1)C. ∑1/n^2D. ∑(1/n)^n7. 设函数f(x)在点x=a处连续，且lim (x->a) [f(x) - f(a)] / (x - a) = L，那么f'(a)等于（）A. LB. f(a)C. aD. 08. 以下哪个矩阵是可逆的（）A. | 1 2 || 2 3 |B. | 1 0 || 0 0 |C. | 2 0 || 0 2 |D. | 0 1 || 1 0 |9. 设函数f(x)在区间[a, b]上二阶可导，且f(a) = f(b) = 0，证明f(x)在区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得f''(ξ) = 0。

10. 以下哪个选项是多元函数f(x, y) = x^2y + y^3的梯度向量（）A. ∇f = (2xy + 3y^2, x^2 + y)B. ∇f = (2xy, y^3)C. ∇f = (x^2 + y^2, 3xy)D. ∇f = (x^2, 3y^2)11. 设序列{an}满足an+1 = an^2 + 1，a1 = 1，求a3的值是（）A. 2B. 3C. 4D. 512. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的结果（）A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、解答题（共64分）13. （12分）求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。

考研数学复习教程答案详解高数部分

第一篇高等数学第一章函数、极限与连续强化训练（一）一、选择题1.2.提示：参照“例1.1.5”求解。

3.4.解因选项(D)中的不能保证任意小，故选(D)5.6.7.8.9.10.二、填空题11.提示：由2cos 12sin 2xx =-可得。

12.13.提示：由1 未定式结果可得。

14.提示：分子有理化，再同除以n即可。

15.提示：分子、分母利用等价无穷小代换处理即可。

16.17.提示：先指数对数化，再利用洛必达法则。

18.19.解因()2000122(1cos )22cos 2lim lim lim lim lim 1x x x x x x x xx f x x xxx -----→→→→→⋅---=====- ()0lim lim xx x f x ae a --→→==，而()0f a =，故由()f x 在 0x =处连续可知，1a =-。

20.提示：先求极限（1∞型）得到()f x 的表达式，再求函数的连续区间。

三、解答题 21.(1)(2)提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式处理12sin ,sin x x。

(3)(4)(5)提示：先指数对数化，再用洛必达法则。

(6)提示：请参照“例1.2.14（3）”求解。

22.23.解由题设极限等式条件得21()ln(cos )201()lim ,limln(cos )1f x x xxx x f x e e x x x+→→=+=，即 2201()1()limln(cos )lim ln(1cos 1)1x x f x f x x x x x x x→→+=+-+=，利用等价无穷小代换，得201()lim(cos 1)1x f x x x x →-+=，即230cos 1()lim()1x x f x x x→-+=，故 30()3lim 2x f x x →=。

24.提示：先指数对数化，再由导数定义可得。

25.26.28.提示：利用皮亚诺型余项泰勒公式求解。

高数考研习题及答案

第一章函数·极限·连续一. 填空题 1. 已知,__________)(,1)]([,sin )(2=-==x x x f x x f ϕϕ则定义域为___________.解.21)(sin )]([x x x f -==ϕϕ, )1arcsin()(2x x -=ϕ1112≤-≤-x , 2||,202≤≤≤x x2．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e=a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2.3.⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim Λ=________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221Λ <n n n nn n n n +++++++++2222211Λ<11211222+++++++++n n n n n n n Λ 所以 n n n n +++++221Λ<n n n n n n n n +++++++++2222211Λ<1212+++++n n n Λ 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n Λ, (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n Λ, (n →∞) 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim Λ=214. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5.)3(lim n n n n n --+∞→=_______.解.nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n6. 设当x bxaxe xf xx 为时++-=→11)(,0的3阶无穷小, 则.___________,==b a解.3030301lim )1(1lim 11limx ax bxe e bx x ax bxe e x bx axe k xx x x x x x x --+=+--+=++-=→→→203lim x abxe be e x x x x -++=→ ( 1 )2062lim x bxe be e x x x x ++=→ ( 2 )由( 1 ): 01)(lim 0=-+=-++→a b a bxe be e x x x x 由( 2 ):021)2(lim 0=+=++→b bxe be e x x x x21,21=-=a b7.⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______. 解.616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. 已知A n n n kkn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解.A kn n n n n k n k k n =+=---∞→∞→Λ119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991; 1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例 ⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1 (c) 反例 ⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) =)()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案. 2. 设函数x e x x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界(a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c ) (1, 2) (d) (2, 3) 解. 42sin )0(,42sin )0(,)(lim ,)(lim1-=-=+∞=∞=→→f f x f x f x x 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案.4. 当11211,1---→x e x x x 函数时的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c ) 为∞ (d) 不存在, 但不为∞解. ⎩⎨⎧-→+→∞+=+=---→-→0101)1(lim 11lim 1111121x x e x e x x x x x x . (d)为答案.5. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n Λ的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n Λ =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n Λ, 所以(b)为答案. 6. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 =502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→=5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 7. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案. 8. 设232)(-+=x x x f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解.x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim 0+=+→x x x , 所以(b)为答案.9. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.10. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c axdexc x b x ax x 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案.三. 计算题 1. 求下列极限(1)xxx e x 1)(lim ++∞→解.e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xx x =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2)x x xx )1cos 2(sinlim +∞→ 解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee y y yy yy y y y ==+-+→→(3)310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解.=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)sin 1(sin tan sin tan sin 10sin 1sin tan 1lim x x xx xx xx x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x xx x e -→=3)cos 1(sin limx x x x e-→=212sin 2sin lim32eex x x x =⋅→.2. 求下列极限 (1)323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时,331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x(2)⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++-=21122cos 2sin cos 4cos 2lim 220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx 3. 求下列极限 (1))1(ln lim-∞→nn n nn解.n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x(2)nxnx n e e --∞→+-11lim解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3)nn n n b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0解.nnnn b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lima b c n x /,/1== x c xxx x x ae ca 2ln )1ln(lim10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('xx dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x 320200)cos 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x xx x x x 所以0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.5. 求下列函数的间断点并判别类型(1)1212)(11+-=xxx f解.11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x x x x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;11sinlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点;)2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x cos 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.6. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin)(00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数,则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使nnc c c c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ΛΛ212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=ΛΛ212211)()()(ξ8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.11. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f x x x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解.0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f xx x x x . 所以0)(3sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为 0)(3sin lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033cos 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→=2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x 由293)(lim20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得293)(0)0(''!21)0(')0(lim2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题1 . 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________.解.)('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf =所以31=k 2. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解.0sin )'()'1(=+-++xy xy y y e y x , 所以xyx e e xy y y yx yx sin sin '--=++3. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______.解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =-所以k x f x f =-=)(')('004. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +5. xx x f +-=11)(, 则)()(x fn = _______. 解.1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f6. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解.x xx f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 7. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 8. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y e yx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0.二. 选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以 )()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a(c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab解. b =0)0()(lim )0('0--=→x f x f f x =)1('1)1(1)1(1lim 0f ax f a x f a x =-+→, 所以=)1('f ab. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导.3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解.⎩⎨⎧=3324)(xx x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, x dyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o x dy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax x x x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题 1.')]310ln[cos(2y x y ，求+=解.)310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导,')][ln(2y x a x f y ，求++=解.='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a x x a x x a x f=22)][ln('xa x a x f +++3. 已知20sin cos 22y tdt dt e x yt +=⎰⎰, 求'y .解.22cos '2cos 2'2y yy x x y e y +=22cos 2cos 2'2yy ex x y y -=4. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctanln22=+确定的, 求'y . 解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+='四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 0>≤x x 二阶可导. 解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 00x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b =)0(')0('f f =-, 且⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x )0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f x x x f ，求-=.解.xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)(11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f =121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n x n n所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解.=-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2.c x x x xd x x dx x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x xx x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解.c x x x xd x x dx x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 =c x +⎪⎭⎫⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878 =c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 815．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1⎰⎰⎰+++++--=dx xx dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰tt t dtsec tan cos 22=⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 222.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dtxxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2321131 3.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++ttd dt t t t dt t t t x x dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx x x 421 解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx x x 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c xx c u +-=+33233)1(cos 31 7.⎰-+dx x xx 1122解. 令tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1.⎰+-+dx e e e e x x xx 1243解.⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e xx x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(112222432.⎰+)41(2x x dx解. 令x t2=, 2ln t dtdx =c tt dt t t t t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 1005)2(解.⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x xc x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(959697989923452.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c xx c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412 c x x x x +++=2cos 812sin 41412 2.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec 3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xdx +++=⎰|tan sec |ln 21tan sec 21sec 3 3.⎰dx x x 23)(ln解.⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(lnc xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 234.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln 5. ⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分:1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln( 解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x dx x dx x x x x=⎰+⋅---++dx xx x x x 222211112111)1ln(21t x tan =令 tdt tt x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t tx x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22=c xx x x x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan=c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223.⎰dx e e x x2arctan解.dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctandx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x x x )1(121arctan 2122c x e e e dx e e e e e x x x xx x x x +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xe x x x x xf )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令t x e t x ln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(=c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x x x x x x x 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解.)523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122c xx x x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t tdt t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3.⎰-+⋅dxx x x x 22211arcsin解.⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t tx dx x x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cotc t t t t +++-=221|sin |ln cotc x x x x x +++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cotc x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十一. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x 234 解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令c t t td dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x x a x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解.⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8 =⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222=c t t a t t a t a+--cos sin 2cos sin 333222=c axa a x a xa a x a a x a a x a+----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a+-+-)2(232arcsin32十二. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u u u du u u |22|ln 2211)211(22c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112.⎰+-dx x xcos 2sin 2解. ⎰⎰⎰++++=+-x x d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2tan 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x tdtx t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十三. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x +--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e xx 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e x x x xx )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c ee e c t t t x x x +-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx x x x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x ttan sec 2,sec ,1tan ,1arctan 22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1⎰⎰⎰⎰--=-=-=222tan 2tan 2tan 22cos 2t dt t t t t t d t dt t dt tt c t t t t +-+=2|cos |ln 2tan 2c x x x x +-----=2)1(arctan ||ln 1arctan 12第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ，b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ－δ, ξ + δ]上f(x) > 0. 令m =)(minx f x δξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ，b]上Φ(x): 在[ξ－δ, ξ + δ]上Φ(x) =22)(ξδ--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以02)()()()(2>≥Φ=Φ⎰⎰+-πδδξδξmdx x x f dx x x f ba.和0)()(=Φ⎰badx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明:⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x . 证明: 先证:4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+2)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f令 t =x -2π, 所以=+⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰-+02)()(sin )(cos )(cos πt d t f t f t f= =+⎰20)(sin )(cos )(cos πdt t f t f t f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f于是=+⎰2)(cos )(sin )(sin 2πdx x f x f x f ++⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f=2)(cos )(sin )(cos )(sin 2020πππ==++⎰⎰dx dx x f x f x f x f所以4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+2)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f .所以⎰+=20)(tan 11πλdx x I 4)(sin )(cos )(cos cos sin 1122ππλλλπλ=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰x x x dx x x 同理 4)(cot 112ππλ=+=⎰dx x I .。

2020考研高数(一)真题及答案解析

2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。

（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。

（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。

（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。

（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（）（A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ）【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。

高等数学考研复习题及答案

高等数学考研复习题及答案一、填空题1．设2)(xx a a x f -+=，则函数的图形关于对称。

2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=20102sin 2x x x x y ，则=)2(πy .3．极限limsinsin x x x x→=021。

4.已知22lim 222=--++→x x bax x x ，则=a _____, =b _____。

5.已知0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则yz∂∂= 。

7.设2e yz u x=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则=∂∂)1,0(xu 。

8.设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂yx z2 。

9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为和。

10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=⎰xdx x 2sin 2.12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π .13．若21d e 0=⎰∞+-x kx ，则_________=k 。

14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤Ddxdy y x )14(2215.设D 由22,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则(),Df x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤，则()22Df x y dxdy +⎰⎰的极坐标形式的二次积分为____. 17.设级数∑∞=+121n pn收敛，则常数p 的最大取值范围是 .18.=+-+-⎰10 642)!3!2!11(dx x x x x . 19. 方程01122=-+-ydy xdx 的通解为20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 .21.当n=_________时，方程ny x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。

考研高数试题及答案

考研高数试题及答案考研高数对于许多考生来说都是非常具有挑战性的一门科目。

为了帮助考生更好地备考高数，本文将提供一些典型的高数试题及详细的解答。

接下来让我们一起来看看这些试题和答案吧！试题1：设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，求f(x)的驻点。

解答1：首先，我们要求出f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。

通过求导可得：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9，f''(x) = 6x - 6。

驻点即为f'(x) = 0的解，因此我们解方程3x^2 - 6x - 9 = 0，得到x = -1和x = 3。

接下来我们需要判断这些解是否为极值点。

将x = -1代入f''(x) = 6x - 6，得到f''(-1) = -12。

由于f''(-1) < 0，所以x = -1为极大值点。

将x = 3代入f''(x) = 6x - 6，得到f''(3) = 12。

由于f''(3) > 0，所以x = 3为极小值点。

因此，f(x)的驻点为x = -1和x = 3，其中x = -1为极大值点，x = 3为极小值点。

试题2：已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g(x)的周期。

解答2：函数g(x)的周期等于最小正周期，即2π。

因此g(x)的周期为2π。

试题3：设A是n阶方阵，如果A^2 = A，则A的特征值可能是什么？解答3：根据矩阵的特征值的定义，设A的特征值为λ，则存在非零向量v 使得Av = λv。

将A^2 = A代入方程，得到A(Av) = Av。

由于Av ≠ 0（根据非零向量的定义），所以A^2 = A仅当λ=1时成立。

因此，A的特征值可能是1。

通过以上试题及答案的解析，我们可以看到高数考研试题通常涉及到函数的性质、导数、极值点、周期等内容，以及矩阵的特征值等概念。

考研高数历年真题答案解析

考研高数历年真题答案解析高等数学是考研数学一科目中的核心内容，也是备考过程中最重要的一部分。

为了更好地帮助考生提升高数考试的能力，本文将针对考研高数历年真题中的几道典型题目进行答案解析和讲解。

1. 题目一：已知函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 1)$ 上连续，则函数 $F(x) = \int_{-3}^{x} \frac{f(t)}{t^2+5} dt$ 的连续点个数为几个？解析：根据题目中的条件，函数 $f(x)$ 在区间 $(-3, 1)$ 上连续，可以得出 $f(x)$ 在 $(-3, 1)$ 区间上的任意一点都存在极限。

那么 $F(x)$ 在 $(-3, 1)$ 区间上是连续的。

2. 题目二：设 $f(x)$ 为函数 $y = e^x$ 在点 $(1, e)$ 处的切线，则曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程为？解析：题目中要求给出函数 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程。

由题设可知，函数 $f(x)$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程为 $y = e^{x-1} + e$。

那么我们可以利用求导的方法得到函数$f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程。

首先求导：$f'(x) = e^x$，然后代入 $x = 2$，得到切线的斜率为 $f'(2) = e^2$。

由于切线经过点 $(2, ?)$，我们可以利用点斜式方程计算出切线方程为 $y - e= e^2(x - 2)$。

因此，曲线 $y = f(x)$ 在点 $(2, ?)$ 处的切线方程为 $y = e^2(x - 2) + e$。

通过以上两道题目的解析和讲解，我们可以看到高等数学在考研数学中的重要性和应用性。

不仅需要熟练记忆和理解相关公式和定理，还需要通过大量的实战训练和真题练习来提高解题能力。

在备考过程中，考生需要注重对真题的解析和讲解，深入理解题目的考点和解题的思路，培养灵活运用数学知识的能力。

考研高数真题详细解析答案

考研高数真题详细解析答案【】在考研学习过程中，高数是一个非常重要的科目，也是很多考生头疼的问题。

高数涉及的知识点繁多，题目难度较大，因此对于考生来说，熟练掌握高数知识点以及解题技巧显得尤为重要。

本文将针对一道高数真题进行详细解析，帮助考生更好地巩固和理解高数知识。

首先，我们来看一下这道高数真题。

1. 给定函数$f(x)={e^x}{\sin x}$，则$f'(x)=$？（A）${e^x}\sin x + e^x\cos x$ （B）${e^x}\sin x - e^x\cos x$ （C）${e^x}\cos x - e^x\sin x$ （D）${e^x}\cos x + e^x\sin x$对于这道题目，我们需要运用导数的定义和相关公式进行解答。

首先我们来看一下函数$f(x)={e^x}{\sin x}$，这是一个由两个函数的乘积所组成的复合函数。

在计算导数时，我们可以利用乘积的求导规则，即$(uv)'=u'v+uv'$。

根据乘积的求导规则，我们可以将函数$f(x)={e^x}{\sin x}$拆分为两个函数的乘积，即：$u(x)={e^x}$$v(x)={\sin x}$然后分别求出$u(x)$和$v(x)$的导数。

根据指数函数的导数公式，我们知道${(e^x)}'=e^x$。

因此，$u'(x)=e^x$。

而对于三角函数$\sin x$，我们知道它的导数是$\cos x$。

因此，$v'(x)=\cos x$。

接下来，我们将$u'(x)$和$v'(x)$与乘积的求导规则结合起来，得到函数$f(x)$的导数$f'(x)$。

即：$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$将$u'(x)$，$v(x)$和$v'(x)$代入上式，我们可以得到：$f'(x)={e^x}{\sin x}+{e^x}{\cos x}$通过简化，我们可以得到最终的答案：$f'(x)={e^x}\sin x+{e^x}\cos x$因此，答案选项为（A）${e^x}\sin x+{e^x}\cos x$。

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考研高数基础练习题及答案解析一、选择题：1、首先讨论间断点：1°当分母2?e?0时，x?2x2，且limf??，此为无穷间断点；2ln2x?ln2x?0?2°当x?0时，limf?0?1?1，limf?2?1?1，此为可去间断点。

x?0?再讨论渐近线：1°如上面所讨论的，limf??，则x?x?2ln22为垂直渐近线； ln22°limf?limf?5，则y?5为水平渐近线。

xx当正负无穷大两端的水平渐近线重合时，计一条渐近线，切勿上当。

2、f?|x4?x|sgn?|x|sgn?|x|。

可见x??1为可导点，x?0和x?3为不可导点。

2011智轩高等数学基础导学讲义——第2章第4页原文：f|??|，当xi?yj时为可导点，否则为不可导点。

注意不可导点只与绝对值内的点有关。

?x,x?0?设f??ln2|x|，使得f不存在的最小正整数n是? ,x?0?0x?0123limf?f?0，故f在x?0处连续。

f’?limx?0f?f?0，故f在x?0处一阶可导。

x?0当x?0时，f’????x12x’‘223?ln?lnlnxsgnx?12，则limf’?f’?0，故f’在x?0处连续。

?23x?0ln|x|ln|x|f’’?limx?0f’?f’??，故f在x?0处不二阶可导。

x?0abx?0对?a,b?0，limxln|x|?0。

这是我们反复强调的重要结论。

3、对，该函数连续，故既存在原函数，又在[?1,1]内可积；1???sin,x?0对，首先假设该函数存在原函数F??，但对任意常数C，都无x?,x?0? C法满足F’?limx?011F?F1?0，故该函数不存在原函数。

另一方面，?2cosdx?1xx?0x111?2?2cosdx??2sin，该结果无意义，故该函数在[?1,1]内不可积。

0xxx011对，x?0为第一类间断点，故该函数不存在原函数。

另一方面，?1arctan1dx和x??1arctan1dx都有意义，故该函数在[?1,1]内可积。

x 对，显然该函数存在原函数。

但通过反常积分的审敛法可知尝试证明），故该函数在[?1,1]内不可积。

设f??1?1tan?x2dx发散，arctan?C??222??21?cosxsecx?12?tanx2?2??1t anxarctan?,0?x2222不妨令F?? ，那么f在[0,?]内的所有原函数0 ,x?2??1??tanxarctan,?x??2?2?2?2?为F?C，其中C为常数。

如果不采用上述“拼凑”，则不能保证 1?tanx?arctan??在[0,?]内连续，更谈不2?2?上可导。

4、对，原式??1lnxx3dx???1ylnylnyy331dy，其中?1lnxxdx和???1ylny31dy都发散，故该二重积分也发散；对，原式?发散；1?11xlnx3dx???1dy，其中?11xlnx3dx发散，故该二重积分也对，原式?lnxxe?03dx???e?1y31ydy，其中?1lnxx3dx发散，故该二重积分也发散；对，原式??11x3dx???lnyy31dy，其中?1e?1x3xdx和???lnyy31dy都收敛，故该二重积分也收敛。

1°2011智轩高等数学基础导学讲义原文：变量x和y 之间失去了“纠缠性”，可看作两个独立的一元积分相乘。

2°同济六版高等数学教材上册原文：设函数f在区间[a,??)上连续，且f?0。

如果存在常数p?1，使得limxf存在，则反常积分xp???afdx收敛；如果limxf?d?0，x或limxf，则反常积分x??afdx发散。

设函数f在区间?0，x?aq为函数f的暇点。

如果存在常数0?q?1，使得limf存在，则反常积分?fdx收敛；如果limf?d?0，或ax?a?qbx?a?limf，则反常x?b?x?b?积分?bafdx发散。

※下列反常积分收敛的是 1?0lnxdx1???11dx lnx?lnxxdx???lnxx1dx※下列反常积分发散的是 1x31x3??1lnxx32dx?lnxx 321dx??1e?x dx???e?1xdx※下列反常积分发散的是??lndxx??11sindxxx1???arctanxxdx???1?xedx x25、正确答案为。

下面进行讨论：fx’?lim则f可微。

?x?0f?ff?0，同理fy’?0，且lim?0，22?x?0?x?x??y?y?0另一方面，当x2?y2?0时，fx’?2xsin12x1，显然?cos222222x?yx?yx?ylimfx’?fx’。

同理li mfy’?fy’。

x?0y?0x?0y?0对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续；对，f在点处不可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’不连续；对，f在点处可微，且在该点处的两个偏导数fx’和fy’连续。

以上三个选项留给大家练习。

下面逐一讨论选项：对，根据2°和3°，当f是极大值时，H只能是负定矩阵或不定矩阵，正确；对，根据1°，正确；对，根据3°的第2条，正确；对，根据3°的第1条，若fxy’’?0，则|H|??[fxy’’]?0，非极值，与已知矛盾，故入选。

由极值出发讨论Hessian矩阵时，要留意Hessian矩阵不定的情形。

※设f在P的某邻域内有二阶连续的偏导数，且记2A?fxx’’，B?fxy’’，C?fyy’’1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题 limcotx?sinxx曲面z?ez?2xy?3在点处的切平面方程为1x?2u设u?esin,则在点处的值为_____________.?y?x?y?xx2y2设区域D为x?y?R,则??dxdy?_____________.abD222nTT已知??,??,设A,其中?是?的转置,则A?1123二、选择题??sinx4342设Mcosxdx,Ndx,P??2?dx,1?x2222?则N?P?M M?P?N N?M?P P?M?N二元函数f在点处两个偏导数fx?、fy?存在是f在该点连续的充分条件但非必要条件必要条件而非充分条件充分必要条件既非充分条件又非必要条件设常数??0,且级数?a收敛,则级数?n2nn?1??n?1发散条件收敛绝对收敛收敛性与?有关 limx?0atanx?bcln?d2?2,其中a2?c2?0,则必有b?4d b??4d a?4c a??4c已知向量组?1、?2、?3、?4线性无关,则向量组 ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关 ?1??2、?2??3、?3??4、?4??1线性无关三、?x?cos,2dydy?设? 求、在. t?t222dxdxudu,?y?tcos??1?将函数f? 求11?x1ln?arctanx?x展开成x的幂级数.1?x2dx?sin2x?2sinx.四、xdydz?z2dxdy计算曲面积分??,其中S是由曲面x2?y2?R2及两平面z?R,22x?y?zSz??R所围成立体表面的外侧.五、设f具有二阶连续导数,f?0,f??1,且[xy?fy]dx?[f??x2y]dy?0为一全微分方程,求f及此全微分方程的通解.六、设f在点x?0的某一领域内具有二阶连续导数,且lim x?0f?0,证明级数 x?n?1?1f绝对收敛. n七、已知点A与B的直角坐标分别为与.线段AB绕z轴旋转一周所围成的旋转曲面为S.求由S及两平面z?0,z?1所围成的立体体积.八、设四元线性齐次方程组为??x1?x2?0,又已知某线性齐次方程组的通解为?x2?x4?0,k1?k2.求线性方程组的基础解系；问线性方程组和是否有非零公共解？若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、设A为n阶非零方阵,A是A的伴随矩阵,A是A的转置矩阵,当A?A时,证明*T*T|A|?0.十、填空题已知A、B两个事件满足条件P?P,且P?p,则P?__________. 设相互独立的两个随机变量X、Y具有同一分布律,且X的分布律为则随机变量Z?max?X,Y?的分布律为_______.十一、已知随机变量服从二维正态分布,且X和Y分别服从正态分布N和21XYN,X与Y的相关系数?XY??,设Z??,232求Z的数学期望E和方差D；求X与Z的相关系数?XZ；问X与Z是否相互独立？为什么？1994年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题1原式变形后为“续应用两次洛必达法则,有原式?lim”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连0cosxx?sinx?limcosx?lim3x?0x?0x?0xsinxx1?cosxsinx1sinx?lim?lim?lim?1) . 2x?y?4?0 所求平面的法向量n为平行于所给曲面在点处法线方向的方向向量l,取n?l,又平面过已知点M.已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面： A?B?C?0.因点在曲面F?0上.曲面方程F?z?ez?2xy?3. 曲面在该点的法向量??F?F?F??n??,,??2y,2x,1?ez4,2,0??2?2,1,0?, ???x?y?z?故切平面方程为??0, 即x?y?4?0.?22e由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,为了简化运算,所以本题可以先求?uu?,再求. y?x??y??uxx??2e?xcos, ?yyy?2u?2uu?x?y?y?x?x??y??2?xxecos?x? ??1yxx?2?x?2?cos?x)2?xx?2?0??2e2.多元复合函数求导法则：如果函数u??,v??都在点具有对x及对y的偏导数,函数z?f在对应点具有连续偏导数,则复合函数z?f,?)在点的两个偏导数存在,且有?z?z?u?z?v?u?vf1??f2?； ?x?u?x?v?x?x?x?z?z?u?z?v?u?vf1??f2?. ?y?u?y?v?y?y?y?4R4ab很显然,根据此题的特征用极坐标变换来计算：原式??d??02?R?cos2?sin2?r??22b?a222??cos??sin2??2?rdr??0?2b??aR?3d??rdr. ??0?注意：?2?cos?dsin2?d,22?则原式???11?14?4?11??2R?R?2?2?.ab?44?ab??121321?3??21??1?n?13?23???1??11T由矩阵乘法有结合律,注意 1,,?2?3是一个数, ?23??3??1?1?2?1??11?T而 A2?1,,???21???23??3???33?2?1?3??2?, ?3?11232013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设cosx?1?xsin?,??2，当x?0时，??x?比x高阶的无穷小比x低阶的无穷小与x同阶但不等价无穷小与x等价无穷小2．已知y?f?x?是由方程cos?xy??lny?x?1确定，则limnf??2???1n??1-1 -３．设f???sinx,x?[0,?)?2,x?[?,2?]，F??x0fdt则x??为F的跳跃间断点． x??为F的可去间断点．4）F在x??连续但不可导． F在x??可导．1?,1?x?e1４．设函数f??，且反常积分?f?x?dx收敛，则?1,x?e??xln??1xa??2?a?00５．设函数z?yx?z?zf?xy?，其中f可微，则?? xy?x?y22f?f xx6．设Dk是圆域D?|x2?y2?1的第k象限的部分，记Ikdxdy，则2yf’ ?2yf’??DkI1?0I2?0I3?0I4?0．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为n阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．矩阵C 的列向量组与矩阵A的列向量组等价．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．?1a1??2008．矩阵?aba?与矩阵?0b0?相似的充分必要条件是?1a1??000a?0,b? a?0，b为任意常数 a?2,b?0 a?2，b为任意常数二、填空题9． lim?2??x?0?ln??? x?1x10．设函数f??x?1?etdt，则y?f的反函数x?f?1在y?0处的导数5。