内蒙古赤峰市2020届高三5.20模拟考试试题文科数学试题PDF高清版
2020赤峰420-文数

D.既不充分也不必要条件
4.随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加。抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年的收入与 2015
年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番。同时该家庭的消费结构随之也发生了变化,现统计了该家庭这两年不
同品类的消费额占全年总收入的比例,得到了如下折线图:
则下列结论中正确的是
极轴建立极坐标系,曲线
C
的极坐标方程为
2
12 3 sin2
.
(1)若 a=-2,求曲线 C 与 l 的交点坐标;
(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 45°的直线,交 l 于点 A,且|PA|的最大值 10, 求 a 的值.
23. (10 分)选修 4- -5:不等式选讲
已知函数 f (x) | x 1| | x 2 | .
粮仓的表面积(含上下两底)最小那么它的底面半径是____尺.
16.设数列{an} 的前
n
项和为 Sn , 且满足 2an
Sn
1,
则使 a12
a22
an2
5 2n1 成立的 3
n
的最大值为
_____.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考生都
7.李生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一,2013 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想
的一个弱化形式,问题可以描述为:存在无穷多个素数 p,使得 p+2 是素数,素数对(p, p+2)称为孪生素数对.问:如果
从 30 以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对,这对孪生素数的积不超过 20 的概率是
2
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(一)

又 2x12 ax1 2 0 , 2 x22 ax2 2 0
∴ ax1 2x12 2 , ax2 2 x22 2
∴ f ( x2 ) f (x1) ( x22 ax2 2ln x2) ( x12 ax1 2ln x1)
[ x22 (2 x22 2) 2ln x2 ] [ x12 (2 x12 2) 2ln x1]
( 1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;
( 2)若点 P 的极坐标为 2, , PM PN 5 2 ,求 a 的值 .
23. [ 选修 4— 5:不等式选讲 ] (10 分)
已知函数 f x 2x 1 2x 3.
( 1)解不等式 f x 6 ;
( 2)记 f x 的最小值是 m , 正实数 a,b 满足 2ab+a 2b m , 求 a 2b 的最小值 .
0.001
10.828
19.(本试题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为四边形, AC BD , BC CD , PB PD , 平面 PAC 平面
PBD , AC 2 3, PCA 30 , PC 4.
(1) 求证: PA 平面 ABCD ; (2) 若四边形 ABCD 中, BAD 120 , AB BC , M 为 PC 上
R ,使得
x
2 0
-
x0
1
0 ”的否定是 _________ .
4
14. 在区间( 0, 4)内任取一实数 t ,则 log 2(t 1) 1 的概率是 _____.
15. 已知 △ABC 中, AB
5 , AC
7,
ABC
2 ,则该三角形的面积是
________.
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)一、选择题1.设全集U={﹣2,﹣1,0,1,2},集合M={﹣1,0,1},N={x|x2﹣x﹣2=0},则(∁U M)∩N=()A.{2}B.{﹣1}C.{﹣2,﹣1,2}D.{﹣1,1}2.已知复数z=,则()A.z的实部为B.z的虚部为﹣iC.|z|=D.z的共轭复数为+i3.若方程x2+=1(a是常数),则下列结论正确的是()A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线4.已知=(1,2),=(﹣2,4),且k+与垂直,则k=()A.B.﹣C.﹣D.5.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+,其中=﹣3.2,=﹣,据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为()A.16个B.20个C.24个D.28个6.不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是()A.m>2 B.0<m<1 C.m>0 D.m>17.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()A.34 B.55 C.78 D.898.设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则a n=()A.﹣﹣n B.﹣n C. +n D.﹣+n9.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.100cm3B.98cm3C.88cm3D.78cm310.已知ω>0,|φ|<,若x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点,将y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=g(x)是奇函数B.y=g(x)的图象关于点(﹣,0)对称C.y=g(x)的图象关于直线x=对称D.y=g(x)的周期为π11.已知点,过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.2 B. C. D.412.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.二、填空题13.已知sin(α+)=,且,则cosα=.14.展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于.15.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上,AB=3,AD=2,A1A=2,过棱AD 作该球的截面,则当截面面积最小时,球心到截面的距离为.16.已知函数f(x)=2lnx﹣x2+a在[,e]上有两个零点,则实数a的取值范围为.三、解答题17.设数列{a n}的前n项之和为S n,且满足S n=1﹣a n,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(n+1)a n,求数列{b n}的前n项和T n.18.如图,在多面体ABC﹣A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,△A1BC是正三角形,B1C1∥BC,B1C1=BC.(Ⅰ)求证:面A1AC⊥面ABC;(Ⅱ)求该几何体的体积.19.从某校随机抽取200名学生,获得了他们的一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组级频数分布直方图:编号分组频数1 [0,2)122 [2,4)163 [4,6)344 [6,8)445 [8,10)506 [10,12)247 [12,14)128 [14,16) 49 [16,18) 4合计200(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.20.已知椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点A(4,2)在椭圆上,且AF2与x轴垂直.(1)求椭圆的方程;(2)过点F2作直线与椭圆交于B、C两点,求△COB面积的最大值.21.设函数f(x)=xlna﹣x2﹣a x(a>0,a≠1).(1)当a=e时,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))的切线方程;(2)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P,∠PAB=35°.(1)若BC是⊙O的直径,求∠D的大小;(2)若∠PAB=35°,求证:=.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:ρ2﹣3ρ﹣4=0(ρ≥0).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求∠AOB的值.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1.(1)求a+b+c的值;(2)求证:a2+b2+c2.2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.设全集U={﹣2,﹣1,0,1,2},集合M={﹣1,0,1},N={x|x2﹣x﹣2=0},则(∁U M)∩N=()A.{2}B.{﹣1}C.{﹣2,﹣1,2}D.{﹣1,1}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】直接由全集U,集合M求出∁U M,则N∩(∁U M)的答案可求.【解答】解:∵全集U={﹣2,﹣1,0,1,2},集合M={﹣1,0,1},N={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣1,2},∴∁U M={﹣2,2}.则N∩(∁U M)={﹣1,2}∩{﹣2,2}={2}.故选:A.2.已知复数z=,则()A.z的实部为B.z的虚部为﹣iC.|z|=D.z的共轭复数为+i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】根据复数的运算性质求出z,分别判断各个选项即可.【解答】解:∵z===﹣﹣i,故|z|=,故选:C.3.若方程x2+=1(a是常数),则下列结论正确的是()A.任意实数a方程表示椭圆B.存在实数a方程表示椭圆C.任意实数a方程表示双曲线D.存在实数a方程表示抛物线【考点】曲线与方程.【分析】根据三种圆锥曲线的定义,结合举例可得选项.【解答】解:对于a=1,方程x2+=1表示圆,选项A错误;当a>0且a≠1时,方程x2+=1表示椭圆,B正确;当a<0时,方程x2+=1表示双曲线,C错误;对于任意实数a,方程x2+=1不是抛物线,D错误.故选:B.4.已知=(1,2),=(﹣2,4),且k+与垂直,则k=()A.B.﹣C.﹣D.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由向量数量积的坐标表示和向量模的公式,可得,的数量积和模,再由向量垂直的条件:数量积为0,计算即可得到k的值.【解答】解:=(1,2),=(﹣2,4),可得•=﹣2+8=6,||==2,由k+与垂直,可得(k+)•=0,k•+2=0,即有6k+20=0,解得k=﹣.故选B.5.某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:x 11 10.5 10 9.5 9y 5 6 8 10 10根据上表得回归直线方程=x+,其中=﹣3.2,=﹣,据此回归方程估计零售价为5元时销售量估计为()A.16个B.20个C.24个D.28个【考点】线性回归方程.【分析】求出样本中心代入回归方程得出,从而得出回归方程解析式,令x=5,计算即可.【解答】解:=,=.∴7.8=﹣3.2×10+,解得=39.8.∴线性回归方程为=﹣3.2x+39.8.当x=5时,=﹣3.2×5+39.8=23.8≈24.故选C.6.不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立的必要不充分条件是()A.m>2 B.0<m<1 C.m>0 D.m>1【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据不等式x2﹣x+m>0在R上恒成立,△<0,可解得m的范围,然后看m>1与选项中的m范围,即可得出答案.【解答】解:当不等式x2﹣2x+m>0在R上恒成立时,△=4﹣4m<0,解得m>1;所以m>1是不等式恒成立的充要条件;m>2是不等式成立的充分不必要条件;0<m<1是不等式成立的既不充分也不必要条件;m>0是不等式成立的必要不充分条件.故选:C.7.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()A.34 B.55 C.78 D.89【考点】程序框图;程序框图的三种基本逻辑结构的应用.【分析】写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出z的值.【解答】解:第一次循环得z=2,x=1,y=2;第二次循环得z=3,x=2,y=3;第三次循环得z=5,x=3,y=5;第四次循环得z=8,x=5,y=8;第五次循环得z=13,x=8,y=13;第六次循环得z=21,x=13,y=21;第七次循环得z=34,x=21,y=34;第八次循环得z=55,x=34,y=55;退出循环,输出55,故选B8.设S n是公差d=﹣1的等差数列{a n}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则a n=()A.﹣﹣n B.﹣n C. +n D.﹣+n【考点】等比数列的通项公式.【分析】由S1,S2,S4成等比数列,得到S22=S1•S4,即(2a1﹣1)2=a1•(4a1﹣6),求出a1,即可求出通项公式.【解答】解:由题意可得,a n=a1+(n﹣1)(﹣1)=a1+1﹣n,S n==,再根据若S1,S2,S4成等比数列,可得S22=S1•S4,即(2a1﹣1)2=a1•(4a1﹣6),解得a1=﹣,∴a n=﹣+1﹣n=﹣n,故选:B.9.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()A.100cm3B.98cm3C.88cm3D.78cm3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知:该几何体是由长方体截去一个三棱锥而得到的.【解答】解:由三视图可知:该几何体是由正方体截去一个三棱锥而得到的.∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100cm3.故选:A.10.已知ω>0,|φ|<,若x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点,将y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=g(x)是奇函数B.y=g(x)的图象关于点(﹣,0)对称C.y=g(x)的图象关于直线x=对称D.y=g(x)的周期为π【考点】命题的真假判断与应用;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点,得到函数的周期,求出ω=1,然后根据三角函数的图象关系求出g(x),结合函数奇偶性,对称性的性质分别进行判断即可.【解答】解:∵若x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点,∴若x=和x=是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的对称轴,则函数的周期T=2×(﹣)=2π,即=2π,则ω=1,即f(x)=cos(x+φ),①若x=时,函数取得极大值,则f()=cos(+φ)=1,则+φ=2kπ,即φ=2kπ﹣,当k=0时,φ=﹣,此时f(x)=cos(x﹣),将y=f(x)的图象向左平移个单位得到函数y=g(x)的图象,即g(x)=)=cos[(x+)﹣]=cosx,此时函数g(x)是偶函数不是奇函数,故A错误,g(﹣)=cos(﹣)=0,即函数y=g(x)的图象关于点(﹣,0)对称,故B正确,g()=cos()=0,即函数y=g(x)的图象关于关于直线x=不对称,故C错误,y=g(x)的周期为2π,故D错误,②若x=时,函数取得极小值,则f()=cos(+φ)=cos(+φ)=﹣1,则+φ=2kπ﹣π,即φ=2kπ﹣,当k=1时,φ=,∵|φ|<,∴此时φ不存在.综上故选:B.11.已知点,过点P的直线与圆x2+y2=14相交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.2 B. C. D.4【考点】简单线性规划.【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再求出可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得直线过在(1,3)处取得最小值.【解答】解:约束条件的可行域如下图示:画图得出P点的坐标(x,y)就是三条直线x+y=4,y﹣x=0和x=1构成的三角形区域,三个交点分别为(2,2),(1,3),(1,1),因为圆c:x2+y2=14的半径r=,得三个交点都在圆内,故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短,就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度.三角形区域内距离原点最远的点就是(1,3),可用圆d:x2+y2=10与直线x=y的交点为(,)验证,过点(1,3)作垂直于直线y=3x的弦,国灰r2=14,故|AB|=2=4,所以线段AB的最小值为4.故选:D12.已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B,左、右焦点分别是F1,F2,在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2,则椭圆的离心率为()A.B.C.D.【考点】椭圆的简单性质.【分析】由题意可求得AB的方程,设出P点坐标,代入AB的方程,由PF1⊥PF2,得•=0,运用导数求得极值点,结合椭圆的离心率公式,解方程即可求得答案.【解答】解:依题意,作图如下:由A(﹣a,0),B(0,b),F1(﹣c,0),F2(c,0),可得直线AB的方程为: +=1,整理得:bx﹣ay+ab=0,设直线AB上的点P(x,y),则bx=ay﹣ab,x=y﹣a,由PF1⊥PF2,∴•=(﹣c﹣x,﹣y)•(c﹣x,﹣y)=x2+y2﹣c2=(y﹣a)2+y2﹣c2,令f(y)=(y﹣a)2+y2﹣c2,则f′(y)=2(y﹣a)•+2y,由f′(y)=0得:y=,于是x=﹣,∴•=(﹣)2+()2﹣c2=0,整理得:=c2,又b2=a2﹣c2,e2=,∴e4﹣3e2+1=0,∴e2=,又椭圆的离心率e∈(0,1),∴e2==()2,可得e=,故选:D.二、填空题13.已知sin(α+)=,且,则cosα=﹣.【考点】三角函数的化简求值.【分析】由,可得:<π,=﹣.利用cosα=,展开即可得出.【解答】解:∵,∴<π,∴=﹣=﹣.∴cosα==+=+=.故答案为:﹣.14.展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于180.【考点】二项式定理.【分析】如果n是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果n是偶数,那么是最中间那项的二次项系数最大,由此可确定n的值,进而利用展开式,即可求得常数项.【解答】解:如果n是奇数,那么是中间两项的二次项系数最大,如果n是偶数,那么是最中间项的二次项系数最大.∵展开式中只有第六项的二项式系数最大,∴n=10∴展开式的通项为=令=0,可得r=2∴展开式中的常数项等于=180故答案为:18015.已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上,AB=3,AD=2,A1A=2,过棱AD 作该球的截面,则当截面面积最小时,球心到截面的距离为.【考点】球内接多面体.【分析】过棱AD作该球的截面,则当截面面积最小时,截面的直径为AD=2,求出球的半径,可得球心到截面的距离.【解答】解:过棱AD作该球的截面,则当截面面积最小时,截面的直径为AD=2,∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1各个顶点都在球面上,AB=3,AD=2,A1A=2,∴球的半径为=,∴球心到截面的距离为=,故答案为:.16.已知函数f(x)=2lnx﹣x2+a在[,e]上有两个零点,则实数a的取值范围为(1,2+).【考点】函数零点的判定定理.【分析】求出f(x)的导数f′(x),分析f′(x)的零点和区间[,e]的位置关系,判断f (x)的单调性为在[,1]上单调递增,在(1,e)上单调递减,若有两个不同的零点,则,即可解出a的取值范围.【解答】解:f(x)=2lnx﹣x2+a,f′(x)=,∵x∈[,e],故f′(x)=0,解得x=1,当<x<1,f′(x)>0;当1<x<e,f′(x)<0,故f(x)在x=1有唯一的极值点,f(1)=a﹣1,f()=a﹣2﹣,f(e)=a+2﹣e2,则f(e)<f(),f(x)在[,e]上有两个零点的条件,,解得1<a<2+,故实数a 的取值范围(1,2+].故答案为:(1,2+].三、解答题17.设数列{a n }的前n 项之和为S n ,且满足S n =1﹣a n ,n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =(n +1)a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)通过S n =1﹣a n 与S n ﹣1=1﹣a n ﹣1作差可知a n =a n ﹣1,进而计算可得结论; (2)通过(1)可知b n =(n +1),进而利用错位相减法计算即得结论.【解答】解:(1)∵S n =1﹣a n ,S n ﹣1=1﹣a n ﹣1,∴a n =a n ﹣1﹣a n ,即a n =a n ﹣1,又∵S 1=1﹣a 1,即a 1=,∴数列{a n }是首项、公比均为的等比数列,∴其通项公式a n =;(2)由(1)可知b n =(n +1)a n =(n +1), ∴T n =2•+3•+4•+…+(n +1), T n =2•+3•+…+n •+(n +1), 两式相减得: T n =2•+++…+﹣(n +1) =+﹣(n +1)=﹣, ∴T n =3﹣.18.如图,在多面体ABC ﹣A 1B 1C 1中,四边形ABB 1A 1是正方形,AC=AB=1,△A 1BC 是 正三角形,B 1C 1∥BC ,B 1C 1=BC .(Ⅰ)求证:面A 1AC ⊥面ABC ;(Ⅱ)求该几何体的体积.【考点】平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(Ⅰ)由已知得,从而A1A⊥AC,由此能证明面A1AC ⊥面ABC.(Ⅱ)依题意得:而,,由此能求出该几何体的体积.【解答】(Ⅰ)证明:∵在多面体ABC﹣A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,△A1BC是正三角形,B1C1∥BC,B1C1=BC,∴,∴,∴A1A⊥AC,又A1A⊥AB,∴A1A⊥平面ABC,∴面A1AC⊥面ABC.(Ⅱ)解:依题意得:而,,故:.19.从某校随机抽取200名学生,获得了他们的一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组级频数分布直方图:编号分组频数1 [0,2)122 [2,4)163 [4,6)344 [6,8)445 [8,10)506 [10,12)247 [12,14)128 [14,16) 49 [16,18) 4合计200(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;(2)求频率分布直方图中的a,b的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组.【考点】频率分布直方图.【分析】(1)根据频率分布表求出1周课外阅读时间少于12小时的频数,再根据频率=求频率;(2)根据小矩形的高=,求a、b的值;(3)利用平均数公式求得数据的平均数,可得答案.【解答】解:(1)由频率分布表知:1周课外阅读时间少于12小时的频数为2+4+4=10,∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为1﹣=0.9;(2)由频率分布表知:数据在[4,6)的频数为34,∴频率为0.17,∴a=0.085;数据在[8,10)的频数为25,∴频率为0.25,∴b=0.125;(3)数据的平均数为(12×1+3×16+5×34+7×44+9×50+11×24+13×12+15×4+17×4)=7.68(小时),∴样本中的200名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.20.已知椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点A(4,2)在椭圆上,且AF2与x轴垂直.(1)求椭圆的方程;(2)过点F2作直线与椭圆交于B、C两点,求△COB面积的最大值.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由题意可得c=4,令x=4,代入椭圆方程可得=2,由a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆方程;(2)点F2(4,0),可设直线BC:x=ty+4,代入椭圆方程x2+2y2=32,可得y的方程,运用韦达定理,以及三角形的面积公式可得S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|,化简整理,运用解不等式即可得到所求最大值.【解答】解:(1)由A(4,2)在椭圆上,且AF2与x轴垂直,可得c=4,令x=4,代入椭圆方程可得y=±b=±,即有=2,又a2﹣b2=16,解得a=4,b=4,则椭圆方程为+=1;(2)点F2(4,0),可设直线BC:x=ty+4,代入椭圆方程x2+2y2=32,可得(2+t2)y2+8ty﹣16=0,设B(x1,y1),C(x2,y2),可得△=64t2+64(2+t2)>0y1+y2=﹣,y1y2=﹣,|y1﹣y2|===,S△OBC=|OF2|•|y1﹣y2|=•4•=16•=16•≤16•=8,当且仅当=,即t=0时,△COB面积的最大值为8.21.设函数f(x)=xlna﹣x2﹣a x(a>0,a≠1).(1)当a=e时,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))的切线方程;(2)若存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1(e为自然对数的底数),求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求得a=e时,f(x)=xlne﹣x2﹣e x的导数,可得f(x)在(0,f(0))处的切线的斜率和切点,即可得到所求切线的方程;(2)由题意可得f(x)的最大值减去f(x)的最小值大于或等于e﹣1,由单调性知,f(x)的最小值是f(1)或f(﹣1),最大值f(0)=1,由f(1)﹣f(﹣1)的单调性,判断f(1)与f(﹣1)的大小关系,再由f(x)的最大值减去最小值f(0)大于或等于e﹣1求出a的取值范围.【解答】解:(1)当a=e时,f(x)=xlne﹣x2﹣e x的导数为f′(x)=1﹣2x﹣e x,可得函数f(x)的图象在点(0,f(0))的切线斜率为1﹣0﹣1=0,切点为(0,﹣1),即有切线的方程为y=﹣1;(2)由存在x1,x2∈[﹣1,1],使得|f(x1)﹣f(x2)|≥e﹣1成立,而当x∈[﹣1,1]时|f(x1)﹣f(x2)|≤f(x)max﹣f(x)min,则只要f(x)max﹣f(x)min≥e﹣1,f(x)=xlna﹣x2﹣a x的导数为f′(x)=lna﹣2x﹣a x lna,又x,f'(x),f(x)的变化情况如下表所示:x (﹣∞,0)0 (0,+∞)f′(x)+0 ﹣f(x)增函数极大值减函数所以f(x)在[﹣1,0]上是增函数,在[0,1]上是减函数,所以当x∈[﹣1,1]时,f(x)的最大值f(x)max=f(0)=﹣1,f(x)的最小值f(x)min为f(﹣1)和f(1)中的最小值.因为f(1)﹣f(﹣1)=(lna﹣1﹣a)﹣(﹣lna﹣1﹣)=2lna﹣a+,令g(a)=2lna﹣a+,由g′(a)=﹣1﹣=﹣<0,所以g(a)在a∈(0,+∞)上是减函数.而g(1)=0,故当a>1时,g(a)<0,即f(1)<f(﹣1);当0<a<1时,g(a)>0,即f(1)>f(﹣1),所以,当a>1时,f(0)﹣f(1)≥e﹣1,即a﹣lna≥e﹣1,而函数y=a﹣lna的导数y′=1﹣,可得函数y在a∈(1,+∞)上是增函数,解得a≥e;当0<a<1时,f(0)﹣f(﹣1)≥e﹣1,即+lna≥e﹣1,函数y=+lna的导数为y′=﹣=,可得函数y在a∈(0,1)上是减函数,解得0<a≤.综上可知,所求a的取值范围为(0,]∪[e,+∞).[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,四边形ABCD内接于⊙O,过点A作⊙O的切线EP交CB的延长线于P,∠PAB=35°.(1)若BC是⊙O的直径,求∠D的大小;(2)若∠PAB=35°,求证:=.【考点】与圆有关的比例线段;弦切角.【分析】(1)由弦切角定理得∠ACB=∠PAB=25°,从而∠ABC=65°,由此利用四边形ABCD 内接于⊙O,能求出∠D.(2)由∠DAE=25°,∠ACD=∠PAB,∠D=∠PBA,从而△ADC∽△PBA,由此能证明DA2=DC•BP,AP2=PC•BP,即可证明结论.【解答】(1)解:∵EP与⊙O相切于点A,∴∠ACB=∠PAB=35°,又BC是⊙O的直径,∴∠ABC=55°.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ABC+∠D=180°,∴∠D=112°.(2)证明:∵∠DAE=35°,∴∠ACD=∠PAB,∠D=∠PBA,∴△ADC∽△ABP,∴=,∠DBA=∠BDA,∴DA=BA,∴DA2=DC•BP,AP2=PC•BP,∴=.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:ρ2﹣3ρ﹣4=0(ρ≥0).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求∠AOB的值.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)直线l的参数方程为(t为参数),化为,消去t可得直线l的普通方程.曲线C的极坐标方程为:ρ2﹣3ρ﹣4=0(ρ≥0),解得ρ=4.把ρ2=x2+y2代入可得曲线C的极坐标方程.(2)⊙Cd的圆心(0,0)到直线l的距离d=2.可得cos=,进而得出答案.【解答】解:(1)直线l的参数方程为(t为参数),化为,消去t可得直线l的普通方程:x+y﹣4=0.曲线C的极坐标方程为:ρ2﹣3ρ﹣4=0(ρ≥0),解得ρ=4.可得曲线C的直角坐标方程:x2+y2=16.(2)⊙Cd的圆心(0,0)到直线l的距离d==2.∴cos==,∵,∴∠AOB=,可得∠AOB=.[选修4-5:不等式选讲]24.已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1.(1)求a+b+c的值;(2)求证:a2+b2+c2.【考点】基本不等式.【分析】(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值;(2)通过作差法证明即可.【解答】解:(1)∵a>0,b>0,c>0,∴f(x)=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c,当且仅当(x﹣a)(x﹣b)≤0时:“=”成立,故a+b+c=1;(2)3(a2+b2+c2)﹣12=3(a2+b2+c2)﹣(a+b+c)2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=(a﹣b)2+(b﹣c)2+(c﹣a)2≥0,∴a2+b2+c2.2020年8月27日。
内蒙古赤峰市普通高中2020届高三5.20模拟考试文科数学答案

无极大值 ………………………………………………………………6 分
(2)当 a
1时, hx
gx
f
x=
x2 ex
x
ln x
x
0 ,则
hx
2x ex
x2
1
1 x
…………………………………………7
分
2x x2 1
2x x2 ex
1 ex
,又 x
0
,
1 ex
1hx 1
x
0
hx在 0, 上为减函数 …………………………………………9 分
x1 3
x1 3
于是 BM 3 3y1 x1 3
……………………………………8 分
直线 PB 的方程为 y y1 3 x 3 ,令 y 0 得: N ( 3x1 ,0)
x1
y1 3
于是 AN 3 3x1 y1 3
……………………………………9 分
AN BM = 3 3x1 y1 3
AB
/
/EF
平面ABEF
平面POC
EF
………………………3 分
AB / /EF
EF
平面ABCD
EF
/
/平面ABCD
AB 平面ABCD
……………………………5 分
文科数学答案 第 2 页 共 6 页
(2)VE ACD
1 3
S
ACD
1 2
PO
1 6
SACD
PO
…………………………………6 分
(2 22 23+ 2n) (1 2+3 n) n …………………9 分
文科数学答案 第 1 页 共 6 页
2020届内蒙古赤峰市高三上学期期末试卷文科数学(解析版)

2020年赤峰市高三期末考试试卷文科数学注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名,准考证号码填写清楚,将条形码粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的1.设集合{}2|230A x Z x x =∈--<,{}1,0,1,2B =-,则A B =IA. {}0,1B. {}0,1,2C. {}1,0,1-D. {}1,0-【答案】B 【解析】【详解】由题得{}2|230A x Z x x =∈--<={}|1x 3A x Z <<=∈-={0,1,2},所以A∩B={0,1,2}.故选B.2.设复数z 满足()1i 2i z +=,i 为虚数单位,则下列说法正确的是( ). A. 2z =B. z 的虚部是iC. z 在复平面内所对应的点为()1,1D. 1i z =-+【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】复数z 满足()1i 2i z +=,则()2i 1i 2i =11i 2z i ⋅-==++,z =A 错误;z 的虚部是1,故选项B 错误;z 在复平面内所对应的点为()1,1,故选项C 正确;1i z =-,故选项D 错误;故选:C .【点睛】本题考查复数的相关概念、几何性质、乘除运算,属于基础题. 3.设函数()sin cos f x x x =-,则下列结论正确的是( ). A. ()f x 的最小正周期为π B. ()f x 的图像关于直线9π4x =对称 C. ()πf x +一个零点为π4D. ()f x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递减【答案】C 【解析】 【分析】利用公式将函数()sin cos f x x x =-化简,根据正弦函数图象和性质逐一判断即可. 【详解】函数()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,最小正周期为2T π=,故A 不正确;990444f πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()f x 的图像不关于直线9π4x =对称,故B 不正确; ()3+4πx x f π⎛⎫= ⎝+⎪⎭3+=044ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以()πf x +的一个零点为π4,故C 正确; 当π3π,44x ∈⎛⎫⎪⎝⎭时,0,42x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,而sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,所以D 不正确.故选:C .【点睛】本题考查正弦函数的图象和相关性质,考查计算求解与数形结合能力,属于基础题.的4.函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A. B.C. D.【答案】A 【解析】 分析】确定函数在定义域内的单调性,计算1x =时的函数值可排除三个选项.【详解】0x >时,函数为减函数,排除B ,10x -<<时,函数也是减函数,排除D ,又1x =时,1ln 20y =->,排除C ,只有A 可满足. 故选:A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,可通过解析式研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等等排除,可通过特殊的函数值,函数值的正负,函数值的变化趋势排除,最后剩下的一个即为正确选项. 5.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,…,599,600从中抽取60个样本,如下提供随机数表的第4行到第6行: 32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 54 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取数据,则得到的第6个样本编号( ).A. 478B. 324C. 535D. 522【答案】A 【解析】【根据随机数表法抽样的定义进行抽取即可.【详解】第6行第6列的数开始的数为808,不合适,436, 789不合适,535,577,348,994不合适,837不合适, 522,535重复不合适,478合适,则满足条件的6个编号为436,535,577,348,522,478, 则第6个编号为478, 故选:A .【点睛】本题考查简单随机抽样,随机数表法抽样的具体操作步骤,属于基础题. 6.对于直线,m n 和平面,αβ,能得出αβ⊥的一组条件是( ) A. m n ⊥,m αP ,n βP B. m n ⊥,m αβ=I ,n β⊂ C. m n P ,n β⊥,m α⊂ D. m n P ,m α⊥,n β⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面,平面与平面的关系对四个选项分别进行判断,得到答案.【详解】A 选项中,根据m n ⊥,m αP ,n βP ,得到αβ⊥或αβ∥,所以A 错误; B 选项中,m n ⊥,m αβ=I ,n β⊂,不一定得到αβ⊥,所以B 错误; C 选项中,因为m n P ,n β⊥,所以m β⊥. 又m α⊂,从而得到αβ⊥,所以C 正确;D 选项中,根据m n P ,m α⊥,所以n α⊥,而n β⊥,所以得到αβ∥,所以D 错误. 故选:C.【点睛】本题考查空间中线面关系有关命题的判断,面面关系有关命题的判断,属于简单题. 7.已知π为圆周率,e 为自然对数的底数,则 A. e π<3e B. π23e -<32e π-C. log e π>3log eD. π3log e >3log e π【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出. 【详解】对于A :函数y=x e 是(0,+∞)上的增函数,A 错;对于B :π3e ﹣2<3πe ﹣2⇔3e ﹣3<πe ﹣3,而函数y=x e ﹣3是(0,+∞)上的减函数,B 错; 对于C :31133e e e e log e log e log log log log πππ⇔⇔>><,而函数y=log e x 是(0,+∞)上的 增函数,C 错,对于D :33333333e e e e log e log e log log log log ππππππππ⇔⇔⇔>>>>,D 正确; 故答案为:D .【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.8.已知三点()2,0A ,(B ,(C ,则ABC V 的外接圆的圆心到原点的距离为( ).A.53C.3D.43【答案】B 【解析】 【分析】利用外接圆的性质,求出圆心坐标,再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论. 【详解】因为,ABC 外接圆的圆心在直线BC 垂直平分线上,即直线x =2上, 可设圆心P (2,p ),由P A =PB 得|p得p圆心坐标为P ,所以圆心到原点的距离|OP故选:B.【点睛】本题考查三角形外接圆性质,已知坐标求圆心坐标可设未知数,建立方程解出未知数即可,考查计算能力,属于简单题.9.已知双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线,且经过点(P -,则双曲线C 的离心率为( ).A.B.3C. 4D. 2【答案】D 【解析】 【分析】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线,设双曲线C 的方程2226x y λ-=,其中λ≠0,又因为点(P -在双曲线上,再代入点P 的坐标即可得到双曲线C 的方程,然后求解焦距即可. 【详解】双曲线C 与双曲线22126x y -=有公共的渐近线,设双曲线C 的方程2226x y λ-=,其中λ≠0,∵点(P -在双曲线上, ∴122λ-=,解之得32λ=, 因此双曲线方程为22139x y -=,a c ==故离心率为2ce a==. 故选:D .【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率,根据题意列出未知数,解出a ,b ,c 即可求得离心率,属于中等题.10.在ABC V 中,2π3B =,3AB =,E 为AB 的中点,AEC S =△,则AC 等于( ).A. B.C.D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,可求ABC V 面积,根据面积公式可得1BC =,再利用余弦定理可求AC . 【详解】在ABC V 中,2π3B =,3AB =,E 为AB 的中点,AEC S =△,∴24ABC AEC S S ==△△,又11sin 322ABC S AB BC B BC =⋅⋅=⋅⋅△, 可得1BC =, 由余弦定理可得:A C ==.故选:A .【点睛】本题考查解三角形问题,根据题目的边角关系代入正弦或者余弦定理即可,考查计算能力,属于基础题.11.已知向量a r ,b r满足1a =r ,2b =r ,则a b a b +--r r r r 的取值范围是( ). A. ()2,2- B. []2,4-C. ()4,2-D. []22-,【答案】D 【解析】 【分析】根据向量三角不等式()|||2|=2a b a b a b a b a +--+±-≤≤r r r r r r r r r ,可得22a b a b -≤+--≤r rr r ,从而得取值范围.【详解】根据向量三角不等式()|||2|=2a b a b a b a b a +--+±-≤≤r r r r r r r r r,,22a b a b -≤+--≤r rr r ,故选:D .【点睛】本题考查向量的性质与向量三角不等式,属于基础题.12.如图,棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,M 是线段1A B 上的动点,则下列结论正确的是( ).①异面直线AD 与1CB 所成的角为45︒ ②11DC D M ⊥③三棱锥1M DCC -的体积为定值 ④1AM MD +的最小值为2. A. ①②③ B. ①②④C. ③④D. ②③④【答案】A 【解析】 【分析】①根据异面直线所成的角的定义即可判断; ②由线面垂直的性质即可判断;③先求得M 到平面DCC 1D 1的距离再利用锥体体积公式求解;④将问题转化为平面图形中线段AD 1的长度,利用余弦定理解三角形解得1AD 即可判断. 【详解】①∵AD ,BC ,,异面直线AD 与1CB 所成的角即为BC 与1CB 所成的角,可得夹角为45︒,故,正确; ,连接1CD ,∵1DC ⊥平面A 1BCD 1,1D M ⊂平面A 1BCD 1,∴11DC D M ⊥, 故,正确;,∵1A B ∥平面DCC 1D 1,∴线段A 1B 上的点M 到平面DCC 1D 1的距离都为1, 又,DCC 1的面积为定值12, 因此三棱锥M −DCC 1的体积1111326V =⨯⨯=为定值, 故,正确;④将面AA 1B 与面A 1BCD 1沿A 1B 展成平面图形,线段AD 1即为AP +PD 1的最小值, 在,D 1A 1A 中,∠D 1A 1A =135°,利用余弦定理解三角形得12AD ==<,故④不正确.因此只有①②③正确. 故选:A .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,涉及空间位置关系及数量关系,综合性强,考查空间推理能力,属于中等题.二、填空题13.如图所示,在边长为2的正方形中随机撒1500粒豆子,有300粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为______.【答案】45【解析】 【分析】根据几何概型的概率意义,即可得到结论.【详解】正方形的面积S =4,设阴影部分的面积为1S , ∵随机撒1500粒豆子,有300粒落到阴影部分, ∴几何概型的概率公式进行估计得1130041500S S P S ===, 即143004=15005S ⨯=, 故答案为:45.【点睛】本题考查几何概型的应用,求几何概型关键是找出几何度量之间的关系,常见几何度量有:长度、面积、体积等,属于基础题.14.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能放多少斛米”(古制1丈=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率3π=),则该圆柱形容器能放米______斛. 【答案】2700 【解析】2πr=54,r 9≈,圆柱形容器体积为22π3918r h ≈⨯⨯ ,所以此容器能装2391827001.62⨯⨯=斛米.15.现代足球运动是世上开展得最广泛、影响最大的运动项目,有人称它为“世界第一运动”.早在2000多年前的春秋战国时代,就有了一种球类游戏“蹴鞠”,后来经过阿拉伯人传到欧洲,发展成现代足球.1863年10月26日,英国人在伦敦成立了世界上第一个足球运动组织——英国足球协会,并统一了足球规则.人们称这一天是现代足球的诞生日.如图所示,足球表面是由若干黑色正五边形和白色正六边形皮围成的,我们把这些正五边形和正六边形都称为足球的面,任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱.已知足球表面中的正六边形的面为20个,则该足球表面中的正五边形的面为______个,该足球表面的棱为______条.【答案】 (1). 12 (2). 90 【解析】 【分析】由题目分析,可设这个足球有正五边形皮子x 块,则根据题意可得等量关系式:正六边形的块数×3=正五边形的块数×5,由此可以解出正五边形个数,根据两条边组成一条棱,因此可求棱的条数. 【详解】足球每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起; 每块白色皮子的6条边中,有3条边与黑色皮子的边缝在一起, 另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起.所以设这个足球有x 块正五边形,一共有5x 条边,其中白皮三条边和黑皮相连, 又足球表面中的正六边形的面为20个, 根据题意可得方程:5203x =⨯, 解得12x =,该足球表面中的正五边形的面为12个; 因为任何相邻两个面的公共边叫做足球的棱, 所以每条棱由两条边组成,该足球表面的棱为:()125+206290⨯⨯÷=条. 故答案为:12;90.【点睛】本题考查列方程解含有未知数的应用题,考查想象能力与转化能力,属于中等题.16.已知函数()()()200x x e e m x f x x e x -⎧+->⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上存在两点关于y 轴对称,则实数m 的取值范围是______. 【答案】()2,e -+∞ 【解析】 【分析】设对称两点坐标为()00,x y ,()()000,0x y x ->,代入则有0020=xx e em x e -+--+,两边各构造函数,将此方程有解,转化为令0(,)x x e x g e x -=+>,2()=+h x x e m -+,两函数有交点,求导,利用数形结合即可解答.【详解】由已知函数()()()200x x e e m x f x x e x -⎧+->⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上存在两点关于y 轴对称, 设对称两点坐标为()00,x y ,()()000,0x y x ->, 则有0020=xx e e m x e -+--+,此方程有解,即0020=+xx e ex e m -+-+,令()0(,)xxe x g e x -=+>,2()=+h x x e m -+,即需满足,(0)g x x >时与()h x 有交点,21'()x x xxe g e ee x ---==, 则'()0g x >恒成立,()g x 0x >处单调递增,()(0)2g g x >=,只需(0)=+2h e m >即可, 即2m e >-, 故答案为:()2,e -+∞.【点睛】本题考查分段函数的综合应用,根据条件求参数的取值范围,一般根据条件运用转化思想,转化为方程有解或者函数图像有交点问题,再利用数形结合求交点即可,属于较难题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22~23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ⊥平面ABCD ,ABCD 是平行四边形,2AC AB AD ===,AC 、BD 交于点O ,E 是PB 上一点.(1)求证:AC DE ⊥;(2)已知3PD =,若E 为PB 的中点,求三棱锥E PCD -的体积.【答案】(1)见解析(2)2【解析】 【分析】(1)要证AC DE ⊥,根据条件只需先证明AC ⊥平面PBD ,又DE ⊂平面PBD ,得证; (2)由(1)知CO ⊥平面PBD ,所以转化为1124E PCD C PDE C PDB P ABCD V V V V ----===求解即可. 【详解】(1),PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD , ,PD AC ⊥.又,ABCD 为菱形,,BD AC ⊥. 又BD PD D =I ,,AC ⊥平面PBD ,DE ⊂平面PBD , ,AC DE ⊥.(2)由(1)知CO ⊥平面PBD ,所以211113222443E PCD C PDE C PDB P ABCD V V V V ----====⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查线线垂直的证明、棱锥体积的计算,需熟悉垂直判定定理及棱锥体积公式,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,属于简单题. 18.已知数列{}n a 满足112a =-,()1212n n a a n -=-≥. (1)求证:{}1n a +为等比数列,并求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n n a b +是首项为1,公差为3的等差数列,求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(1)见解析,112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)231122nn n +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由已知构造等比数列,可得111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭,化简即为{}n a 的通项.(2)由已知得32n n a b n +=-,代入112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可得()1=312nn b n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,所以数列{}n b 的前n 项和分别利用等差数列和等比数列求和公式即可求得.【详解】(1)由()1212n n a a n -=-≥,得()1211n n a a -+=+,即()11112n n a a -+=+, 又11102a +=≠,∴{}1n a +是以1112a +=为首项,公比为12的等比数列.∴111122n n a -⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭,∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)由已知得()11332n n a b n n +=+-⨯=-,,112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,,()()()11323213122n nn n b n a n n ⎛⎫⎛⎫=--=--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以数列{}n b 的前n 项和为:()2121112531222nn b b b n ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-- ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦L L()21112531222nn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++--+++⎡⎤⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L L()211122231311122212nn n n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪+-⎡⎤⎝⎭+⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎣⎦=-=-+ ⎪⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义、等差、等比数列的求和公式以及已知数列的递推公式求通项,属于综合题.由数列的递推公式求通项常用的方法有:(1)等差数列、等比数列(先根据条件判定出数列是等差、等比数列);(2)累加法,相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式;(3)累乘法,相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项;(4)构造法,形如()10,1n n a qa p p q -=-≠≠的递推数列求通项往往用构造法,利用待定系数法构造成()1n n a m q a m -+=+的形式,再根据等比数例求出{}+n a m 的通项,进而得出{}n a 的通项公式.属于中等题.19.2017年3月18日,国务院办公厅发布了《生活垃圾分类制度实施方案》,我市环保部门组织了一次垃圾分类知识的网络问卷调查,每位市民都可以通过电脑网络或手机微信平台参与,但仅有一次参加机会工作人员通过随机抽样,得到参与网络问卷调查的100人的得分(满分按100分计)数据,统计结果如下表.(1)环保部门规定:问卷得分不低于70分的市民被称为“环保关注者”.请列出22⨯列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下,认为是否为“环保关注者”与性别有关?(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答,再从这5名市民中抽取2人参与座谈会,求抽取的2名市民中,既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率.附表及公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.【答案】(1)见解析,在犯错误的概率不超过0.10的前提下,可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的.(2)35【解析】 【分析】(1)根据题目所给的数据可求2×2列联表即可;计算K 的观测值K 2,对照题目中的表格,得出统计结论; (2)利用列举法求得所有情况,根据古典概型可计算. 【详解】(1)22⨯列联表如下:将22⨯列联表中的数据代入公式计算,得2K 的观测值()2210045153010300 3.030 2.7062575554599K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯,所以在犯错误的概率不超过0.10的前提下,可以认为是否为是“环保关注者”与性别是有关的. (2)由题意可知,利用分层抽样的方法可得女“环保达人”3人,男“环保达人”2人. 设女“环保达人”3人分别为A ,B ,C ;男“环保达人”2人为D ,E .从中抽取两人的所有情况为:(),A B ,(),A C ,(),A D ,(),A E ,(),B C ,(),B D ,(),B E ,(),C D ,(),C E ,(),D E ,共l 0种情况.既有女“环保达人”又有男“环保达人”的情况有(),A D ,(),A E ,(),B D ,(),B E ,(),C D ,(),C E ,共6种情况. 故所求概率为63105P ==. 【点睛】本题考查独立性检验,相互独立事件的概率计算,考查计算能力,属于简单题. 20.已知函数()()xf x x a e =-.(1)求函数()f x 的极值;(2)若()()1f x f ≥,证明:()32111326f x x x e -+≥-. 【答案】(1)()1=a f x e --极小值 ,无极大值.(2)见解析【解析】 【分析】(1)对函数()f x 的求导,得()()1xf x x a e '=-+,令导函数得0,可求极值点及极值;(2)由()()1f x f ≥知()()min 1f x f =,则1为()f x 极小值点,则2a =, ()()2xf x x e =-,代入求出()()321132g x f x x x =-+的最小值即可. 【详解】(1)函数()f x 的定义域为(),-∞+∞, 由()()xf x x a e =-,得()()1xf x x a e '=-+,由()0f x '>得()f x 在()1,a -+∞上为增函数, 由()0f x '<得()f x 在(),1a -∞-上为减函数, 所以,()()11a f x f a e-=-=-极小值,无极大值.(2)由()()1f x f ≥知()()min 1f x f =,则1为()f x 极小值点, 由(1)知11a -=,则2a =,,()()2xf x x e =-,令()()()3232111123232x g x f x x x x e x x =-+=--+, 则()()()1xg x x e x '=--,,x y e =的图象在y x =图象的上方, ,0x e x ->,,()0g x '>,可得1x >,()0g x '<,1x <,,()g x 在(),1-∞为减函数,在()1,+∞为增函数, ,()()116g x g e ≥=-,即()32111326f x x x e -+≥-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用、利用导数证明不等式,通常需要对函数求导,研究其单调性和极值等,属于常考题型;利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()=h x f xg x -,根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,求解函数最值.属于中等题.21.已知P 为椭圆22:154x y S +=上的动点,PQ x ⊥轴于Q ,M 为PQ 的中点,设点M 的轨迹为T .(1)求曲线T 的方程; (2)若点)A,直线()0y kx k =≠与曲线T 交于C ,D 两点,与椭圆S 交于E ,F 两点,问是否存在与k 无关实数λ,使得AC AFAE ADk k k k λ=成立,若存在求出λ的值;若不存在请说明理由(AC k ,AE k ,AF k ,AD k 分别表示直线AC ,AE ,AF ,AD 的斜率). 【答案】(1)2215x y +=(2)存在,14λ= 【解析】 【分析】(1)设()00,P x y ,(),M x y ,由题意得002x xy y =⎧⎨=⎩,又P 在椭圆S 上,代入得椭圆S 方程即可得到曲线T的方程.(2)根据题意,要使AC AFAE ADk k k k λ=成立,只要AC AD AE AF k k k k λ⋅=⋅成立即可,将AC AD k k ⋅及 AE AF k k ⋅表的示出来,利用点在椭圆上,化简可得15AC AD k k ⋅=-,45AE AF k k ⋅=-,可得14λ=.【详解】(1)设()00,P x y ,(),M x y ,由题意得002x xy y =⎧⎨=⎩,又P 在椭圆S 上,代入得22154x y +=,故曲线T 的方程为2215x y +=.(2)要使AC AF AE ADk kk k λ=成立,只要AC AD AE AF k k k k λ⋅=⋅成立即可, 设(),C C C x y ,(),C C D x y --,(),E E E x y ,(),E E F x y --,又已知点)A,得225CAC ADC y k k x ⋅==-,225EAE AFE y k k x ⋅==-, ,(),C C C x y 在椭圆2215x y +=上,,2215C C x y =-, ,(),E E E x y 在椭圆22154x y +=上,,22215E E x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,15AC AD k k ⋅=-,45AE AF k k ⋅=-,,AC AD AE AF k k k k λ⋅=⋅, ,14λ=. 故存在与k 无关的实数14λ=,使得AC AF AE AD k k k k λ=成立. 【点睛】本题考查轨迹方程问题、直线与圆锥曲线综合问题,求轨迹方程,一般是问谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可,解决直线与椭圆的存在性综合问题时,一般设存在,代入等量关系求解,如果能出现定值则存在,考查综合分析及计算能力,属于难题.(二)选考题22.在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为243cos 2ρθ=-,以极点为原点,以极轴所在直线为x 轴建立直角坐标系,曲线C 分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于点A ,B ,P 为直线AB 上任意一点,点Q 在射线OP上运动,且OP OQ ⋅=. (1)求曲线C 的直角坐标方程; (2)求点Q 轨迹围成的面积.【答案】(1)2212x y +=(2)3π4.【解析】 【分析】(1)根据极坐标与平面直角坐标之间的关系即可求解.(2)由(1)知)A,()0,1B ,则可求直线AB 的极坐标方程为cos sin 0ρθθ-=,在极坐标系中,设(),Q ρθ,(),P ρθ',则ρρ'=P 在直线AB 上cos sin 0ρθθ''=,代入与Q 点关系即可得到Q 的轨迹方程2cos sin 0θθρρ+=,化简并转化为直角坐标方程可得轨迹为圆,求圆面积即可. 【详解】(1),243cos 2ρθ=-,,()22223cos sin 4ρρθθ--=.由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得2222x y +=, ,曲线C 的直角坐标方程2212x y +=.(2)由(1)知)A,()0,1B ,则直线AB 的直角坐标方程为0x =,极坐标方程为cos sin 0ρθθ+=.在极坐标系中,设(),Q ρθ,(),P ρθ',则ρρ'=,点P 在直线AB 上,,cos sin 0ρθθ''+=,,2cos sin 0θθρρ+=,即cos ρθθ=+,即2cos sin ρρθθ=+.,点Q 轨迹的直角坐标方程为220x y x +-=,即2213224x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭,,点Q 3π4. 【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程,求轨迹方程问题,考察转化与化归思想,属于中等题. 23.设函数()3f x x m x m =-+-,m *∈N ,存在实数x ,使得()4f x <成立.(1)求不等式()2f x x <的解集;(2)若3a ≥,3b ≥,且满足()()12f a f b +=,求证:41910a b +≥. 【答案】(1)[)1,+∞(2)见解析【解析】【分析】(1)先根据题意解出1m =,再把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求.(2)由条件和(1)求出10a b +=,再把不等式的左边利用极值定理解出极小值,不等式得证.【详解】(1)由已知得()()3324x m x m x m x m m -+-≥---=<,又,m *∈N ,,1m =,,()132f x x x x =-+-≤等价于 1242x x x ≤⎧⎨-+≤⎩或1322x x <<⎧⎨≤⎩或3242x x x≥⎧⎨-≤⎩, 解得1x =或13x <<或3x ≥,所以不等式()2f x x ≤的解集为[)1,+∞.(2)由(1)知()()1313f a f b a a b b +=-+-+-+-,,3a ≥,3b ≥,,()()22812f a f b a b +=+-=,即10a b +=,,()4114114195510101010b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝.所以当且仅当4b aa b=时等号成立,即203a=,103b=时等号成立.【点睛】本题考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法:(1)数形结合:利用绝对值不等式的几何意义[即(x,0)到(a,0)与(b,0)的距离之和]求解.(2)分类讨论:利用“零点分段法”求解.(3)构造函数:利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.本题属于中等题.。
2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试文科数学试题

1.C
【分析】
化简集合 , ,根据交集定义,即可求得 ;
【详解】
故
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算,解题关键是掌握交集定义和一元二次不等式的解法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2.D
【分析】
由复数 在复平面上的对应点为 ,可得 ,根据 为 的共轭复数,可得 ,逐项验证,即可求得答案.
轻—中度感染
重度(包括危重)
总计
男性患者
女性患者
总计
(1)求 列联表中的数据 的值;
(2)能否有 把握认为,新冠肺炎的感染程度和性别有关?
(3)该学生实验小组打算从“轻—中度感染”的患者中按男女比例再抽取5人,追踪某种中药制剂的效果.然后从这5人中随机抽取3人进行每日的健康记录,求至少抽到2名女性患者的概率.
四、解答题
17.如图,四棱锥 中,底面 为直角梯形, , , 为等边三角形,平面 底面 为 的中点.
(1)求证:平面 平面 ;
(2)点 在线段 上,且 ,求三棱锥 的体积.
18.在 中,内角 所对的边分别是 ,且 .
(1)求角 ;
(2)若 ,求 的面积的最大值.
19.3月3日,武汉大学人民医院的团队在预印本平台 上发布了一项研究:在新冠肺炎病例的统计数据中,男性患者往往比女性患者多.研究者分析了1月1日~29日的6013份病例数据,发现 的患者为男性;进入重症监护病房的患者中,则有 为男性.随后,他们分析了武汉大学人民医院的数据.他们按照症状程度的不同进行分析,结果发现,男性患者有 为危重,而女性患者危重情况的为 .也就是说男性的发病情况似乎普遍更严重.研究者总结道:“男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色.”那么,病毒真的偏爱男性吗?有一个中学生学习小组,在自己封闭的社区进行无接触抽样问卷调查,收集到男、女患者各50个数据,统计如下:
2020年内蒙古赤峰市高三5月模拟考试试题文科数学试题-含答案

1
的图像向右平移
个单位长度得到函数 g(x) 的
2
8
图像,下列结论正确的是
A. g(x) 是最小正周期为 2 的偶函数
B. g(x) 是最小正周期为 4 的奇函数
C. g(x) 在 , 2 上单调递减
D.
g
(
x)
在
0,
2
上的最大值为
2 2
10.已知椭圆 C :
x2 a2 9
y2 a2
1,F1、F2 是其左右焦点,若对椭圆 C 上的任意一点 P ,
.
15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有仓,广
三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛,问高几何?”其意思为:“今有一个长方体的粮仓,
宽 3 丈,长 4 丈 5 尺,可装粟一万斛.已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺,1 丈为 10
尺,则该粮仓的高是________尺.若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内,若使这个圆柱
则下列结论中正确的是 A.该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半
B.该家庭 2019 年教育医疗的消费额是 2015 年教育医疗的消费额的 1.5 倍
C.该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的六倍
D.该家庭 2019 年生活用品的消费额与 2015 年生活用品的消费额相当
13. 设 f (x) 在 R 上是奇函数,且 f (1 x) f (1 x) ,当 x (0,1) 时, f (x) = x3 ,则
f (7)=
.
2
文科数学试卷 第 3 页 共 8 页
14. 已知非零向量 a,b 满足 b =2 a ,且 b a a ,则 a 与 b 的夹角为
2020年高考文科数学模拟试题及答案(一).pdf

C. log 0.7 6 6 0. 7 0.7 6
D.
log 0. 7 6 0.7 6 6 0.7
7. 某学校美术室收藏有 6 幅国画,分别为人物、山水、花鸟各 2 幅,现从中随机抽取 2 幅进行展览,
则恰好抽到 2 幅不同种类的概率为
5
A.
6
4
B.
5
3
C.
4
2
D.
3
8. 下图虚线网格的最小正方形边长为 1,实线是某几何体的三视图,这个几何体的体积为(
0.001
10.828
19.(本试题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为四边形, AC BD , BC CD , PB PD , 平面 PAC 平面
PBD , AC 2 3, PCA 30 , PC 4.
(1) 求证: PA 平面 ABCD ; (2) 若四边形 ABCD 中, BAD 120 , AB BC , M 为 PC 上
R ,使得
x
2 0
-
x0
1
0 ”的否定是 _________ .
4
14. 在区间( 0, 4)内任取一实数 t ,则 log 2(t 1) 1 的概率是 _____.
15. 已知 △ABC 中, AB
5 , AC
7,
ABC
2 ,则该三角形的面积是
________.
3
2
16.
已知双曲线
x2 C : a2
PM
一点,且满足
2 ,求三棱锥 M PBD 的体积
MC
20. (本试题满分 12 分)
已知椭圆 C : x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 ,点 P 是椭圆 C 上的一点,若
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……………………………………………………12 分
19. (12 分)
解:(1)连结 OC , BC AO, BC / / AD
则四边形 ABCO 为平行四边形 …………………………………………1 分
AB / /OC
AB
平面POC
AB
/
/平面POC
OC 平面POC
AB / /平面POC
AB 平面ABEF
a
a
……………………………………………3 分
又由 2a 6 ,得: a2 9, b2 3 ,故所求方程: x2 y2 1 ……5 分 93
(2)由(1)知 A(3,0), B(0, 3) P(x1, y1)(x1 y1 0) 知…………………6 分
直线 PA 的方程为 y y1 (x 3) ,令 x 0 得: M (0, 3y1 )
x1 3
x1 3
于是 BM 3 3y1 x1 3
……………………………………8 分
直线 PB 的方程为 y y1 3 x 3 ,令 y 0 得: N ( 3x1 ,0)
x1
y1 3
于是 AN 3 3x1 y1 3
……………………………………9 分
AN BM = 3 3x1 y1 3
(2 22 23+ 2n) (1 2+3 n) n …………………9 分
文科数学答案 第 1 页 共 6 页
2(1 2n ) n(n 1) n 2n1 n 2 n 2
1 2
2
2
18. (12 分)
…………………12 分
解:(1)
有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史 8
16
24
解:(1)由
x
y
cos sin
,消去参数
,得
x2
y2
1,
所以曲线 C 的普通方程为 x2 y2 1. …………………………………2 分
由x y4
2 0 ,得
2 cos 2
2 2
sin
4
,
即 cos
4
4
,
所以直线 l 的极坐标方程为 cos
又 h1 1 1 0 , h 1 1 1 ln 2 0
e
2 4 e 2
存在 x0 0,1,且 h(x0 ) 0
函数 h(x) 有且只有一个零点 x x0 ,且 x0 (0,1) ………………12 分
文科数学答案 第 4 页 共 6 页
22.(10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
赤峰市高三 5·20 模拟考试试题
文科数学参考答案
2020.5
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 三、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
xx
当 a 0 时, f x 0 , f x 在 0, 为增函数,无极值
当 a 0 时,由 f x 0 得, f x 在 x 0, a 为减函数
由 f x 0 得, f x 在 x a, 为增函数
此时, f x极小值 f a a a ln a ,无极大值…………5 分 综上,当 a 0 时,无极值;当 a 0 时, f x极小值 f a a a ln a ,
AB
/
/EF
平面ABEF
平面POC
EF
………………………3 分
AB / /EF
EF
平面ABCD
EF
/
/平面ABCD
AB 平面ABCD
……………………………5 分
文科数学答案 第 2 页 共 6 页
(2)VE ACD
1 3
S
ACD
1 2
PO
1 6
SACD
POLeabharlann …………………………………6 分
解:(1)
因为 Sn
n
2
2
n
,
n
N
,所以当
n
1
时,
a1
S1
1………2 分
当
n
2
时,
an
Sn
Sn1
n2 2
n
(n
1)2 2
n
1
n
因为当 n 1 时,也适合上式 ……………………………………………3 分
所以数列an 的通项公式为 an n ……………………………………6 分
(2)由(1)得 bn 2n n 1 ,故 Tn b1 b2 b3 bn
无极大值 ………………………………………………………………6 分
(2)当 a
1时, hx
gx
f
x=
x2 ex
x
ln x
x
0 ,则
hx
2x ex
x2
1
1 x
…………………………………………7
分
2x x2 1
2x x2 ex
1 ex
,又 x
0
,
1 ex
1hx 1
x
0
hx在 0, 上为减函数 …………………………………………9 分
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A C B A D C B D A D
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
8 65
13.
;
65
3
14. ;
8
1
15. ;
7
16. 2 .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (12 分)
3
3 y1 x1 3
,又由
x12
3y12
9 ,整理得,
AN BM 6 3x1 y1 18x1 18 3y1 54 6 3 x1 y1 3x1 3y1 3 3
文科数学答案 第 3 页 共 6 页
于是 AN BM 为定值 6 3
…………………………………12 分
21.(12 分)
解:(1)函数 f x 数的定义域为 0, f x x a ln x f x 1 a x a x 0 ……………………2 分
而
SACD
=
1 2
2
3 2
3 , PO 2
PA2 AO2
3 ………………10 分
于是VE ACD
1 6
SACD
PO
1 6
3 2
3 1 …………………………12 分 4
20.(12 分)
解:(1)由于 a2
b2
c2 ,将 x c 代入
x2 a2
y2 b2
1中
得: y b2 即: 2b2 2
无武汉旅行史 16
8
24
总计
24
24
48
由调查数据得有武汉旅行史且有病例接触史的概率 p 8 1 。 24 3
(2) K 2 48 (88 16 16)2 5.333 5.024 24 24 24 24
故能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,认为有武汉旅行史与有确诊病例
接触史有关系