20130522平面向量应用举例习题课
4．当两人提起重量为|G|的书包时，夹角为 θ，用力为 |F|，则三者的关系式为( ) |G| |G| A．|F|＝ B．|F|＝ 2cosθ 2sinθ |G| |G| C．F＝ D．|F|＝ θ θ 2cos 2cos 2 2
解析：由向量的平行四边形法则及力的分解可得．
答案：D
(
5 ．过点 A(2,3)，且垂直于向量 a＝(2,1)的直线方程为 ) A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
答案：B
二、填空题 7． 已知两个力 F1、 F2 的夹角为 90° ， 它们的合力为 12 N， 合力与 F2 的夹角为 60° ，那么力 F1 的大小为________．
3 解析：|F1|＝|F|· cos30° ＝12×动点 P 在 A、B、C 三点确定的 → → → → 平面内且满足(OP－OA)· (AB－AC)＝0，则点 P 一定在过△ ABC 的________的直线上．( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
∴F1＋F2 的大小为 7.
答案：7
三、解答题 10.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，求证：AF⊥DE.
→ → 证明：设AB＝a，AD＝b， 且|a|＝|b|， → 1 → → 1→ → 1 → → 则AE＝ a.AD＝b， 又DE＝ AB－AD＝ a－b， AF＝AB＋ 2 2 2 1→ 1 BC＝a＋ b， 2 2 1 1 2 1 1 2 → → 1 所以DE· AF＝( a－b)· (a＋ b)＝ a ＋ a· b－b· a－ b . 2 2 2 4 2 → → → → 又 |a|＝ |b|， a· b＝0，所以DE · AF＝0，即DE ⊥AF，也即 DE⊥AF.
11．飞机飞行速度为|v |＝10n km/h.令 v＝λ1e1＋λ2e2，基 底 e1、e2 是平面内的单位向量．若飞机的飞行方向为北偏东 30° ，e1 方向为正东，e2 方向为北偏东 60° ，试求 λ1、λ2 的值．
解：建立如图所示的直角坐标系，则 3 1 e1＝ (1,0)， e2＝ ( ， )， v＝ (5n,5 3n)．∵ e1， e2 不共线， 2 2 3 1 ∴ v＝ λ1e1＋ λ2e2＝ λ1(1,0)＋ λ2( ， )， 2 2 3 1 即 (5n,5 3n)＝ (λ1＋ λ2， λ2)． 2 2 3 λ1＋ 2 λ2＝ 5n， ∴ λ2＝5 3n. 2 ∴ λ1＝－ 10n， λ2＝ 10 3n.
答案：D
3．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－ 3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一 个力 f4，则 f4 等于( ) A．(－1，－2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2)
解析：由题可知 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－ 3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
20130522
一、选择题 → → 1．已知 O，A，M，B 为平面上四点，若OM＝λOB＋(1 → －λ)OA，λ∈(1,2)，则( ) A．点 M 在线段 AB 上 B．点 B 在线段 AM 上 C．点 A 在线段 BM 上 D．O，A，M，B 四点共线
解析： 易知 A，M，B 三点共线， 又 λ∈(1,2)，所以－1<1 －λ<0，从而点 B 在线段 AM 上．
答案：B
2．一个质量为 m 的物体，受到三个水平力作用后，静 3 止在光滑的水平面上，将其中一个水平向南的力|F|减少4， 其他力保持不变，那么该物体在时间 t 内的位移是( ) t2 t2 3t2 A．0 B. |F|，向南 C. |F|，向北 D. |F|，向北 8m 8m 8m
解析：设其余两个力分别为 F1，F2，则 F1＋F2＋F＝0， 3 3 由于力|F|减少其 4，F1，F2 不变，所以合力为 F 合＝－4F， 1 3 物体的加速度为 a＝ F 合＝－ F， 在时间 t 内的位移为 s＝ m 4m 1 2 3 2 at ＝－ Ft ，选 D. 2 8m
→ → 解析：由条件AP⊥CB，∴P 在 CB 的高线上，故选 D.
答案：D
9．作用于同一点的两个力 F1 和 F2，|F1|＝5，|F2|＝3， 夹角为 60° ，则 F1＋F2 的大小为________．
解析：|F1＋F2|＝ F1＋F22＝
2 2 2 F2 ＋ F ＋ 2 F · F ＝ 5 ＋ 3 ＋2×5×3cos60° ＝7. 1 2 1 2
解析：设 P(x，y)是所求直线上任一点(A 除外)，则 → → AP⊥a.又∵AP＝(x－2，y－3)，∴2(x－2)＋(y－3)＝0， 即所求的直线方程为 2x＋y－7＝0.
答案：A
→ → 6．点 O 是△ABC 所在平面内的一点，满足OA· OB ＝ → → → → OB· OC＝OC· OA，则 O 是△ABC( ) A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 → → → → → → → 解析：∵OA· OB＝OB· OC，∴OB· (OA－OC)＝0. → → → → → → → → ∴OB· CA＝0， 即OB⊥CA.同理OA⊥BC， OC⊥AB.∴O 是 △ABC 的垂心．
平面向量应用举例课件2
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”. (1)若AB∥CD,则直线AB与CD平行.( ) (2)若△ABC是直角三角形,则有AB· BC=0.( ) (3)向量AB,CD的夹角与直线AB,CD的夹角未必相等.( ) 答案:(1)× (2)× (3)
探究一
探究二
探究三
解析:(1)由 ������������ = ������������ 知 ,四边形 ABCD 为平行四边形 , 又������������ ·������������ =0,则 AB⊥BC, 故平行四边形 ABCD 为矩形 . (2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是 |������������ + ������������ |和 |������������ − ������������ |.
.
������ 2
, ������������ = ������,
, ������������ ⊥ ������������ ,
������2 ∴������������ ·������������ =2x- 4 =0(x ≠0).
∴y2=8x(x ≠0).
答案:y2=8x(x≠0)
探究一
探究二
探究三
做一做 (1)在四边形 ABCD 中,������������ ·������������ =0,且������������ = ������������ ,则四
边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.菱形
C.矩形D.正方形
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线 段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别 是 、 .
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
【例题讲解】平面向量基本定理的应用完整版课件
a 表示 CD , EF b
CDEF 0 CD⊥EF
解 因为E，F分别是AC，BC的中点
所以 ，EF 1 AB1a , 22
因为 AD1 AB , 所以 AD1 AB ,
4
4
CDCA ADAC 1 AB1ab , 44
由∠A=60°知 AB 与 AC 的夹角为60°
又AB=2AC，即
b 1a 2
,
，
谢谢观看
Thanks
平面向量基本定理的应用
典例讲解
例 如图，已知 OA , OB 不共线，点P在 直线AB上，若
OP1OA2OB ,
证
OA
APt AB
OP
OB OA
证明 因为P，A，B三点共线， 所以 AP 与 AB 共线，设 APt AB ,
则
OPOA APOAt AB
所以 ab|a||b|cos60 |a|1|a|1 1|a|2 ,
2 24
则 CDEF (1ab)1a 1a2 1ab 1a2 11|a|2 0 .
4 2 8 2 8 24
所以 CD EF , 则 CD⊥EF.
平面向量基本定理的应用
知识小结
向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（直线）是否垂直的重要 方法之一. 用向量方法证明垂直的一般过程为： （1）选取合适的基底，运用平面向量基本定理表示目标向量； （2）求两向量的数量积，代入相应向量模和夹角所满足的关系； （3）证明数量积为零，得到垂直的结论.
则点P在直线，AB上的充要条件是λ1+λ2=1.
总结 若 OA , OB 不共线 OP1OA2OB ,
本题给出了点P在直，线AB上的必要条件， 即λ1+λ2=1.
2013版高考数学 4.4 平面向量应用举例课件 文 新人教A版
装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向
量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距
离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用：利用 a b a b 0, a ∥ b a b(b 0), 可解决 垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解 决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
2
(2)∵ BC =(2-k,3),∴ CB =(k-2,-3),
∴ AB AC CB =(k,1).
∵△ABC为直角三角形， 则当∠BAC是直角时， AB AC ,即 AB AC 0，
∴2k+4=0，解得k=-2;
当∠ABC是直角时，AB BC ，即 AB BC 0， ∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1; 当∠ACB是直角时， AC BC ，即 AC BC 0， ∴16-2k=0，解得k=8. 综上得k∈{-2,-1,3,8}.
题，考虑问题要全面.
(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运 算等.
1.(2012·合肥模拟)设△ABC的三个内角A，B，C，向量
m ( 3sinA,sinB), n (cosB, 3cosA), 若 m n =1+cos(A+B),
则C=(
(A)
6 (C) 2 3
)
(B)
3 6
(D) 5
【解析】选C.∵ m n 3(sinAcosB+cosAsinB) = 3 sin(A+B)= 3 sinC, ∴ 3 sinC=1+cos(A+B)=1 -cosC, ∴ 3 sinC+cosC=1, ∴ 2sin(C ) 1,sin(C ) 1 ,
高考数学大一轮复习 第四章 第4节 平面向量应用举例课件
精品
1
[考情展望] 1.用向量的方法解决某些简单的平面几何 证明问题.2.与三角函数、解析几何等知识交汇命题，体现向 量运算的工具性．
精品
2
一、向量在平面几何中的应用 1．平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运 算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相 似、长度、夹角等问题．
精品
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(2)因P→E·P→F＝(N→E－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→F－N→P)·(N→F－N→P) ＝(－N→P)2－N→F2＝N→P2－1， P 是椭圆1x62 ＋1y22 ＝1 上的任一点，设 P(x0，y0)， 则有1x620 ＋1y220 ＝1，即 x20＝16－43y02，又 N(0,1)，
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂
心)
(2)(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E
为 CD 的中点，则A→E·B→D＝
.
精品
17
【答案】 (1)C (2)2
精品
18
考向二 [081] 平面向量在解析几何中的应用 (2015·苏州模拟)已知平面上一定点 C(2,0)和直线
精品
6
1．已知三个力 f1，f2，f3 作用于物体同一点，使物体处
于平衡状态，若 f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，则|f3|为( )
A．2.5
B．4 2
C．2 2
D．5
【答案】 D
精品
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2．已知 O 是△ABC 所在平面上一点，若O→A·O→B＝O→B·O→C
平面向量（附例题_习题及答案）
平⾯向量（附例题_习题及答案）向量的线性运算⼀．教学⽬标1.理解向量的概念；2.掌握向量的线性运算；3.理解向量线性运算的⼏何意义、向量共线的含义、平⾏向量基本定理；4.理解平⾯向量基本定理，掌握平⾯向量的正交分解及其坐标表⽰、平⾯向量的坐标运算；5.理解⽤坐标表⽰平⾯向量的共线条件。
⼆．知识清单1.向量基本概念（1）向量的定义：既有⼜有称为向量；（2）向量的⼤⼩（或称模）：有向线段的表⽰向量的⼤⼩；（3）零向量与单位向量：叫做零向量，叫做单位向量；（4）共线向量与相等向量：叫做共线向量（或平⾏向量），叫做相等向量。
2.向量的线性运算（1）向量的加法a.向量加法的三⾓形法则、平⾏四边形法则和多边形法则。
b.向量加法满⾜的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).（2）向量的减法a.定义：a-b=a+(-b)，即减去⼀个向量相当于加上这个向量的相反向量。
⼀个向量等于终点位置向量减始点位置向量，即AB=OB-OA。
b.三⾓形法则：“共始点，连终点，指向被减”。
（3）数乘向量a.定义：⼀般地，实数λ和向量a的乘积是⼀个向量，记作λa.b.数乘向量满⾜的运算律：（λ+µ）a=λ（µa）=λ（a+b）=3.向量共线的条件与轴上向量坐标运算（1）向量共线的条件平⾏向量基本定理：如果，则；反之，如果，且，则⼀定存在，使。
（2）轴上向量的坐标运算4. 向量的分解与向量的坐标运算（1）平⾯向量基本定理如果是⼀平⾯内的的向量，那么该平⾯内的任⼀向量a，存在，使。
（2）平⾯向量的正交分解定义：把⼀个向量分解为，叫做把向量正交分解。
（3）向量的坐标表⽰在平⾯直⾓坐标系中，分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个_______作为基底。
对于平⾯内的任⼀个向量，由平⾯向量基本定理可知，有且只有⼀对实数x，y使得____________，这样，平⾯内的任⼀向量a都可由__________唯⼀确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作___________此式叫做向量的坐标表⽰，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。
(完整版)平面向量的线性运算习题课(优质)
（3）将条件改为 AC = AB + AD ，其形状如何？加以证明.
课堂小结：
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
2aboboabbb????????????????????a?b?2b?ao232ababbacocoaababb???????????????????????????2acab??????????abc故三点共线且有公共点a证明三点共线的方法
平面向量的线性运算习题课（重要）
本节训练要点： 1.向量加、减、数乘运算灵活运用，解决任一 向量用已知向量表示的问题。 2.共线向量定理的理解及应用，用向量共线定 理证明向量共线，三点共线，两直线平等等几 何问题，初见向量在几何证明中的功用。
间的位置关系吗？为什么？
C
a b 3b
解: AB OB OA
B
a 2b - (a b) b 2b
A
AC OC OA
a 3b - (a b) 2b
AC 2AB ,且有公共点Ａ
故A, B,C三点共线
b a
O
！！！！解后反思与小结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
且有公共点Ｂ
直线AB∥直线CD
B
3 AB BC
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
解前思：选定两个不共线的向量，把所有向量都有这两个选定向 量表示，以达到化繁为简的目标。
例3.
设e1, e2是两个不共线向量而
【高中数学】平面向量的应用 典型例题课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
+
.
×
+ ×
=
题型8 三角形的面积公式
.
典例8、[分析计算能力]在△ 中, = ∘ , = ,其面积为 ,则
++
等于(
+ +
A.
思路
B.
)
C.
D.
根据三角形面积公式分析计算,再利用正弦定理和余弦定理解三角形进行
由余弦定理得
即 =
=
+
− = + − × = ,
++
,由于
+ +
=
=
=
.
的值;
(2)若 = , =
思路
,求△
的面积.
本题通过直观图形,利用正、余弦定理进行分析计算.(1)在△ 和△ 中,利用
正弦定理表示出和,从而运算求解比值.(2)直接利用正弦定理解三角形.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
.
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在△ 中,平分∠,且
− ,从而得
出角的值;(2)先利用余弦定理找出, 的关系,再利用基本不等式放缩,求出 +
的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
典例4、[分析计算能力]在△ 中,角, , 的对边分别为, , ,且 +
( + ) − = .
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）
第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。
(广东专用)2013高考数学总复习 第四章第四节 平面向量应用举例课件 理
【答案】 5
规范解答之八 数量积在解析几何中的应用
(14 分)(2012·茂名质检)已知平面上一定点 C(－1,0)和一定 直线 l：x＝－4，P 为该平面上一动点，作 PQ⊥l，垂足为 Q，且 (P→Q＋2P→C)·(P→Q－2P→C)＝0.
4．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满 足O→P·O→A＝4，则点 P 的轨迹方程是________．
【解析】 ∵O→P·O→A＝4，∴(x，y)·(1,2)＝4. ∴x＋2y－4＝0.
【答案】 x＋2y－4＝0
向量在平面几何中的应用
如图4－4－1所示，在等腰直角三角 形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D 为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝ 2EB.求证：AD⊥CE.
3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合， 常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关 问题．
过点(1,2)且与向量a＝(4,2)所在的直线平行的直线，其斜率与a 的坐标有何关系？你能写出该直线的方程吗？
【提示】 直线的斜率 k＝24＝12，为 a 的纵坐标与横坐标的比值， ∴直线方程为 y－2＝12(x－1)，即 x－2y＋3＝0.
【答案】 C
从近两年的高考试题来看，用向量方法解决简单的平面 几何及力学问题，要求较低，只是在2011·天津，2010·辽宁 高考中各考一个小题，重点考查向量方法的简单应用，另外向 量作为载体，常与相关知识交汇，平面向量在其中起一个穿针 引线的作用，如2011·江西高考，此类题目常以向量的运算为 切入口，体现了向量的工具性作用．