2020届广东省深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试理科数学试题及答案精品
0.94 0.66 ， 0.95 0.59 ， 0.910 0.35 .
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 5 页 共 6页
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如 果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 (cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位于
5
5
A． 第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知点 (3,1) 和 (−4,6) 在直线 3x − 2y + a = 0 的两侧，则实数 a 的取值范围是
A． − 7 a 24 C． a 7 或 a 24
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 4 页 共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年
立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n （1 n 20 且 n 是 20 的约数）个人一组平均分组，并将同组的 n 个人每人抽取的一半血液混合在 一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的 n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记 n 个人中患者的人
A． 2 3
B． 3 2
C． 3 3
D． 3
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 1 页 共 6页
6．已知一个四棱锥的高为 3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正
方形, 则此四棱锥的体积为
A． 2
B． 6 2
C． 1 3
D． 2 2
7．在等差数列{an } 中， Sn 为其前 n 项的和，已知 3a8 = 5a13 ，且 a1 0 ，若 Sn 取得最大值，则 n
（2）已知直线 l2
：
=
π( 6
R)与圆
C2
：2
−
4
3 cos + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB
的面积为 S1 ，△ COC2
的面积为 S2 ，求
S1 S2
+
S2 S1
的值.
23．（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知 f (x) = x − 2a . （1）当 a =1 时，解不等式 f (x) 2x +1 ； （2）若存在实数 a (1, +) ，使得关于 x 的不等式 f (x)+ x+ 2 m 有实数解，求实数 m 的 a −1
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
已知椭圆 C : x2 + y2 = 1 ， A 、 B 分别是椭圆 C 长轴的左、右端点， M 为椭圆上的动点. 12 4
（1）求 AMB 的最大值，并证明你的结论； （2）设直线 AM 的斜率为 k ，且 k (− 1 , − 1) ，求直线 BM 的斜率的取值范围.
为
A． 20
B． 21
C． 22
D． 23
8．已知抛物线 y 2 = 8x ，过点 A(2, 0) 作倾斜角为 π 的直线 l ，若 l 与抛物线交于 B 、C 两点，弦 BC 3
的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为
A． 16 3
B． 8 3
16 3
C.
3
D. 8 3
9．已知函数 f (x) = sin(x + )( 0,| | π) 的最小正周期是 π ，把它图象向右平移 π 个单位后
数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值．
参考数据：若 Z ~ N (, 2 ) ，则 P( − Z + ) = 0.6826 ， P( − 2 Z + 2 ) = 0.9544 ， P( − 3 Y + 3 ) = 0.9973 ，
在 ABC 中，内角 A 、 B 、 C 对边分别是 a 、 b 、 c ，已知 sin2 B = sin Asin C ．
（1）求证： 0 B π ； 3
（2）求 2sin2 A + C + sin B −1的取值范围. 2
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绝密★启用前
试卷类型：A
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试
理科数学
本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
( ) 1.已知集合
A
=
x
2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−
π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
பைடு நூலகம்
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
10.甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6．设各局比赛相
互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负,若采用五局三胜制，则甲以 3 :1 获胜的概率是
A． 0.0402
B． 0.2592
C． 0.0864
D． 0.1728
11．设 f (x) 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x [2,3]时， f (x) = x ，则 x [−2,0]时，f (x)
取值范围.
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 6 页 共 6页
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l1
：
x y
= =
t cos， （t
t sin
为参数，0
π 2
），曲线 C1
： xy
= =
2cos ， 4+2sin
（ 为参数）， l1 与 C1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求 C1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；
|
1 2
<2x
2
，
B
=
x
|
ln( x
−
1) 2
0
，则
A
RB =
A．
B．
−1,
1 2
C．
1 2
,1
D． (−1,1
2. 棣 莫 弗 公 式 (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx (i 为 虚 数 单 位 ） 是 由 法 国 数 学 家 棣 莫 弗
．
14. 已知 Sn 为数列an 的前 n 项和，若 Sn = 2an − 2 ，则 S5 − S4 =________.
15．某市公租房的房源位于 A , B , C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请 其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任 4 位申请人中，申请的房源在 2 个片区的概率是
23
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = ln(x +1) , g(x) = ex （ e 为自然对数的底数）． （1）讨论函数(x) = f (x) − x + a 在定义域内极值点的个数；
x （2）设直线 l 为函数 f (x) 的图象上一点 A(x0 , y0 ) 处的切线，证明：在区间 (0, +) 上存在唯 一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y = g(x) 相切．
的中点．直线
DB1 与平面
EFC
的交点
O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新 冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（ 70 ）的患者比例；
（2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10% ，以 这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独
的解析式为
A． f (x) = 2+ | x +1|
B． f (x) = 3− | x +1|
C． f (x) = 2 − x
D． f (x) = x + 4
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 2 页 共 6页
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
2020届广东省深圳市高三下学期线上统一测试数学(理)试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．
【详解】
解： ＝36.
故选： ．
【点睛】
本题考查了等差数列的求和公式及其性质，还考查了推理能力与计算能力．
5．若双曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（）
18．如图，在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）1.
【解析】（1）连接 ， 交于 ，取 的中点 ，连接 ， ，先证明平行四边形 ，所以 ，最后得出结论；
（2）根据题意，以 为原点，以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用夹角公式求出即可．
16．已知点 和点 ，若线段 上的任意一点 都满足：经过点 的所有直线中恰好有两条直线与曲线 相切，则 的最大值为___．
【答案】 .
【解析】由条件可得 ， 在直线 上，联立曲线的方程可得它们无交点，求得函数 的导数，可得在 和 的切线的斜率和方程，联立直线 ，求得交点 ， ，可得所求最大值．
【详解】
2．设 ，则 的虚部为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解： ，
的虚部为1．
故选： ．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念．
3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为（）
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学(理科)含答案
A． 2 3
B． 3 2
C． 3 3
D． 3
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 1 页 共 6页
6．已知一个四棱锥的高为 3 ，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正
方形, 则此四棱锥的体积为
A． 2
B． 6 2
C． 1 3
D． 2 2
7．在等差数列{an }中， S n 为其前 n 项的和，已知 3a8 = 5a13 ，且 a1 0 ，若 S n 取得最大值，则 n
数为 X n ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的 n 的值．
参考数据：若 Z ~ N (, 2 ) ，则 P( − Z + ) = 0.6826 ， P( − 2 Z + 2 ) = 0.9544 ， P( − 3 Y + 3 ) = 0.9973 ，
的中点．直线
DB1
与平面
EFC
的交点
O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题 第 4 页 共 6页
21．（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省
广东省深圳市2020届普通高中高三线上统一测试数学理试题(解析版)
绝密★启用前试卷类型：A 深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3210{，，，=A，}032|{2<--=xxxB，则A B=UA．)3,1(-B．]3,1(-C．)3,0(D．]3,0(答案：B解析：{|13}B x x=-<<，所以，集合A中，元素0，1，2集合B都有，3不在集合B中，所以，A B=U]3,1(-2．设23i32iz+=-，则z的虚部为答案：B解析：23i32iz+=-＝(23i)(3+2i)6496(32i)(3+2i)13i ii+++-==-，所以，虚部为1。
3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测. 若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34 57 07 86 36 04 68 96 08 23 23 45 78 89 07 84 42 12 53 31 25 30 07 32 8632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42答案：C解析：如下图，第1行第5列的数字开始，大于30的数字舍去，重复的舍去，取到数字依次为：07、04、08、23、12、所以，第5个编号为12，选C。
A．1-B．1C．2-D．2 A．25B．23C．12 D. 074．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若23a =，59a =，则6S 为答案：A 解析：16256256()6()3()22a a a a S a a ++===+＝36 5．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点(1,2)-，则该双曲线的离心率为答案：C解析：双曲线的渐近线为：by x a=±，经过点(1,2)-， 所以，2b a =，离心率为：c e a ====6．已知tan 3α=-，则πsin 2()4α+=答案：D解析：πsin 2()4α+=22sin(2)cos 2cos sin 2παααα+==-＝222222cos sin 1tan 194cos sin 1tan 195αααααα---===-+++，选D 。
2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试——数学(理科)试题
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(1)由sin2 B sin Asin C及正弦定理可得b2 ac,
所以cos B a2 c2 b2 ≥ 2ac ac 1 ,
2ac
2ac 2
而0 B , 所以0 B ≤ π
3
(2) 求2sin2 A C sin B 1的取值范围. 2
(2) 在平面ABCD内过点A作直线AD的垂线Ax,
SA 平面ABCD, SA AD, SA Ax,
所以直线AS、Ax、AD两两垂直,以点A为坐标原点, 分别
以直线Ax、AD、AS为
z
S
x、y、z轴建立如图所
示空间直角坐标系,
过点B作BE AD
交直线AD于E .
A
E
AD / / BC, AB BC CD 1,
A. 2 3
3 B.
2
3 C.
3
D. 3
AC AD AB BC AD AB AD BC AD
3 BD AD
3 BA AD AD
A
2
3 AD 3
B
D
C
6.已知一个四棱锥的高为3, 其底面用斜二测画法所画出
的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形 ?则此四棱
锥的体积为( D )
AF / / BC, 且AF BC 1,四边形ABCF是平行四边形,
CF / / AB,
S
又因为CF 平面SAB,
AB 平面SAB,CF / / 平面SAB
P
FP CF F ,
平面PCF / / 平面SAB,
A
F
又CP 平面SAB,
D
CP / / 平面SAB
B
2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==，则M N =I（ ）A ．(0,5]B ．(0,2]C ．[2,5]D ．[2,)+∞【答案】A【解析】解出不等式，求出值域，分别得到集合,M N ，即可求解. 【详解】 依题意，{}|(2)(5)0M x x x =+-≤{}|25,x x =-≤≤{}|2x N y y =={}|0y y =>，故(0,5]M N =I . 故选:A. 【点睛】此题考查解不等式和求函数的值域，并求不等式解集与函数值域的交集.2．已知向量(1,2),m =-u r (4,)n λ=r ，其中R λ∈.若m n ⊥u r r ，则||||n m =ru r （ ）A ．BC ．D ．2【答案】D【解析】根据向量垂直，求出2λ=，即可得到模长之比. 【详解】依题意，(1,2)(4,)0λ-⋅=，即420λ-=，解得2λ=，故(4,2)n =r，则||n ==r ||2||n m =ru r . 故选：D. 【点睛】此题考查根据向量垂直求参数值，并求模长比值关系.3．设142iz i i +=+-，则z =（ ） A ．21455i + B ．21455i -+C ．21455i - D ．21455i -- 【答案】D【解析】根据复数的运算法则得21455z i -=+，即可得到其共轭复数. 【详解】142iz i i+=+- (14)(2)(2)(2)i i i i i ++=+-+295ii -+=+ 21455i -=+， 故21455z i =--.故选：D. 【点睛】此题考查复数的基本运算和求共轭复数.4．曲线()33ln y x x x =-⋅在点(1,0)处的切线方程为（ ） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．10x y +-= D ．440x y +-=【答案】A【解析】求导得到()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，代入数据计算斜率得到答案. 【详解】()()23133ln 3y x x x x x'=-⋅+⋅-，故切线斜率12x k y ='==- 故所求切线方程为2(1)y x =--，即220x y +-= 故选：A . 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.5．2019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12；②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】依次判断每个选项：计算概率为25得到①错误；计算2 5.952K ≈得到②错，③对得到答案. 【详解】任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为20025005=，故①错误；22(2003050220)5005.95225025042080K ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯，故②错，③对故选：B . 【点睛】本题考查了概率的计算和独立性检验，意在考查学生的综合应用能力.6．记双曲线22:116x y C m-=(0)m >的左、右焦点分别为1,F 2F ，离心率为2，点M在C 上，点N 满足1112F N F M =u u u u r u u u u r，若110MF =，O 为坐标原点，则||ON =（ ）A ．8B ．9C ．8或2D ．9或1【答案】B【解析】根据离心率求出双曲线方程，根据双曲线的定义求出2MF 的值. 【详解】 依题意1216me =+=， 解得48m =，因为12||||||28MF MF a -==， 解得218MF =或2， 而2844MF c a ≥-=-=， 故218MF =，由1112F N F M =u u u u r u u u u r可知，N 是1F M 的中点，而O 是12F F 的中点，故21||92ON MF ==.故选：B. 【点睛】此题考查根据离心率求双曲线的方程，根据双曲线定义求曲线上的点到焦点的距离，易错点在于考虑掉双曲线上点到焦点距离的取值范围导致产生增根.7．运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为258.则n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】运行该程序，第一次，1i =，10122S =+⨯=；第二次，2i =，222210S =+⨯=； 第三次，3i =，3103234S =+⨯=；第四次，4i =，4344298S =+⨯=； 第五次，5i =，59852258S =+⨯=，此时要输出S 的值 故选：B . 【点睛】本题考查了根据程序框图的输出结果计算输入值，意在考查学生的理解能力. 8．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1095,S =817a =，则（ ） A ．523n a n =- B ．22122n S n n =-C ．415n a n =-D ．23112n n nS -=【答案】D【解析】根据等差数列的1095,S =817a =，求出首项和公差，即可得到通项公式和前n 项和为n S . 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11104595717a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14,a =-3d =，故37,n a n =-23112n n nS -=. 故选：D. 【点睛】此题考查等差数列基本量的求法，列方程组求解即可.9．已知抛物线2:4C x y =的准线为l ，记l 与y 轴交于点M ，过点M 作直线l '与C 相切，切点为N ，则以MN 为直径的圆的方程为（ ） A ．22(1)4x y ++=或22(1)4x y -+= B ．22(1)16x y ++=或22(1)16x y -+=C ．22(1)2x y ++=或22(1)2x y -+=D ．22(1)8x y ++=或22(1)8x y -+= 【答案】C【解析】求出(0,1)M -，根据直线与抛物线相切求出直线方程和切点坐标，即可得到线段中点和线段长度，就是圆的圆心和直径，即可得出方程. 【详解】依题意，(0,1)M -，设切线:1l y kx '=-，联立241x y y kx ⎧=⎨=-⎩，整理得：2440,x kx -+=216160k ∆=-=， 解得1k =±，故2x =±，则(2,1)N 或(2,1)N -，(0,1)M -，所以MN =r =圆心坐标()1,0或()1,0-， 故以MN 为直径的圆的方程为22(1)2x y ++=或22(1)2x y -+=，故选：C. 【点睛】此题考查求抛物线的准线，直线与曲线位置关系，根据直径求圆的方程.10．函数2()4(2)3xf x x x ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】将函数零点问题转化成方程的根的问题，转化成两个新函数的公共点问题. 【详解】令()0f x =，得24(2)3xx x ⎛⎫-=+⋅ ⎪⎝⎭， 显然2x =-不是该方程的根，故4223xx x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭， 在同一直角坐标系中分别作出42,23xx y y x -⎛⎫== ⎪+⎝⎭的图象如下所示，观察可知，它们有2个交点，即函数2()4(2)3xf x x x ⎛⎫=--+⋅ ⎪⎝⎭有2个零点，故选：C. 【点睛】此题考查函数零点问题，关键在于对方程进行等价转化，转化成两个易于作图的函数，讨论函数的交点问题.11．已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0)>ω的图象关于y 轴对称，且(1)(1)0f x f x ++-=，则ω的值可能为（ ）A ．52πB ．2πC ．32D ．3【答案】A【解析】图像关于y 轴对称，()()f x f x =-，根据(1)(1)0f x f x ++-=得一个对称中心为(1,0)，即可得出(21)14n T -=. 【详解】因为(1)(1)0f x f x ++-=， 故函数()f x 的一个对称中心为(1,0)，根据正弦型函数图象性质：对称轴与对称中心之间的距离可能为4T kT +或34T kT +，k Z ∈则(21)14n T -=，其中n Z ∈， 故(21)214n πω-=⋅， 解得(21),2n πω-=n Z ∈， 选项中只有A 满足形式.此题考查函数周期性和对称性的辨析，根据周期性分析正弦型函数的ω取值. 12．体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ） A ．27172B ．21172C ．15172D ．13172【答案】B【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N 是11B C 的中点，3216AB =， 则6AB =，延长11A D 直线MN 于P ，延长11A B 交直线MN 于Q ， 连接AP 交1DD 于E ，连接AQ 交1BB 于F ， 作出截面AFNME 如下图所示，则,AFNME AEF MNFE S S S =+V AEF V 中，213,AE AF ==62EF =故AEF V 的面积12S EF h =⋅⋅=162342⨯17=四边形MNFE 的面积134(3262)22S =⨯172=， 2117.此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.二、填空题13．若tan(2)5αβ+=，tan()4αβ+=，则tan α=________. 【答案】121【解析】根据tan tan[(2)()]ααβαβ=+-+展开化简得到答案. 【详解】tan(2)tan()1tan tan[(2)()]1tan(2)tan()21αβαβααβαβαβαβ+-+=+-+==+++.故答案为：121【点睛】本题考查了正切的和差公式，意在考查学生的计算能力.14．已知实数x ，y 满足3402030x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-+的最大值为________.【答案】9【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】画出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 观察可知，当直线z x y =-+过点A 时，z 有最大值， 联立2030x y x y +=⎧⎨+-=⎩，解得36x y =-⎧⎨=⎩，即3,6x y =-=时z 有最大值为9.故答案为：9【点睛】本题考查了线性规划问题，画出可行域和目标函数是解题的关键.15．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”S ABCD -，其中4AB =，SA 与平面ABCD 32，则此“方锥”的外接球表面积为________. 【答案】2899π【解析】如图所示，连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，计算得到3SO =，在Rt O OA '∆中，利用勾股定理计算半径176R =，代入球的表面积公式得到答案. 【详解】如图所示：连接AC ，BD 相交于O ，连接SO ，故SO ⊥平面ABCD 则32tan 4SO SAO AO ∠==，解得3SO = 易知四棱锥S ABCD -的外接球球心O '在直线SO 上设外接球半径为R ，则在Rt O OA 'V 中，222(3)(22)R R -+=，解得176R =， 故所求外接球表面积228928944369S R πππ==⨯=. 故答案为：2899π【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.16．已知首项为3的正项数列{}n a 满足()()()()11311n n n n n n a a a a a a +++-=+-，记数列(){}22log 1n a -的前n 项和为n S ，则使得440n S >成立的n 的最小值为________.【答案】21【解析】由递推关系得22143n n a a +=-，求出21n n b a =-的通项公式，再求出前n 项和即可求解. 【详解】依题意，22143n n a a +=-，n *∈N ，故211n a +-2431n a =--244n a =-()241n a =-， 令21n n b a =-，所以14n n b b +=，所以数列{}n b 是等比数列，首项为21118b a =-=，公比为4，所以114n n b b -=⋅2282n -=⨯212n +=，故()222log 1log n n a b -=212log 2n +=21n =+，故(321)2n n n S ++=22n n =+，令224400n n +->， 即(22)(20)0n n +->，所以20n >或22n <-（舍去），n *∈N 故所求最小值为21. 故答案为：21【点睛】此题考查递推关系的应用，构造等比数列求通项公式，再求前n 项和解不等式.三、解答题17．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =，且sin cos cos sin sin sin A C A C C Ac b a a b++=+--.（1）求ABC V 外接圆的半径； （2）若3c =，求ABC V 的面积.【答案】（1）3；（2）4【解析】（1）根据正余弦定理进行边角互化即可求解； （2）利用余弦定理建立等式，求解边长即可得出面积. 【详解】解：（1）依题意，sin(),sin sin A C c b a C A a b ++-=+-sin 1sin sin B cC A a b =-+-，由正弦定理得1b cc a a b=-+-， 整理得222b c a bc +-=-，所以222cos 2b c a A bc+-=12=-， 因为0A π<<，所以23A π=，故所求外接圆半径2sin a r A ===（2）因为a =3,c =23A π=， 所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2213923cos 3b b π=+-⨯⨯⨯， 即2340b b +-=， 解得1b =或4b =-（舍去），所以1sin 2S bc A =1132=⨯⨯=. 【点睛】此题考查正余弦定理和面积关系的综合应用，关键在于熟记公式，准确计算.18．四棱锥S -ABCD 的底面为正方形，2,SC CD ==23SA =，AC 与BD 交于E ，M ，N 分别为SD ，SA 的中点，SC MN ⊥.（1）求证：平面SAC ⊥平面SBD ； （2）求直线BD 与平面CMN 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30︒【解析】（1）通过证明SC BD ⊥，AC BD ⊥，证明BD ⊥平面SAC ，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量关系得线面角. 【详解】解：（1）因为2CD =，故22AC = 故222SC AC SA +=， 则SC AC ⊥，而,SC MN ⊥//MN AD ， 故SC AD ⊥， 而AC AD A =I ， 故SC ⊥平面ABCD ，而BD ⊂平面ABCD ，故SC BD ⊥， 又,AC BD ⊥SC AC C =I ， 故BD ⊥平面SAC ， 而BD ⊂平面SBD ， 故平面SAC ⊥平面SBD ；（2）以C 为原点，分别以CD ，CB ，CS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0),B (2,0,0),D (2,2,0)BD =-u u u r，(0,0,0),C (1,0,1),M (1,1,1)N ， 则(1,0,1),CM =u u u u r (0,1,0)MN =u u u u r， 设平面CMN 的法向量为(,,)n x y z =r，由00n CM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u r r u u u u r ，即00x z y +=⎧⎨=⎩，令1z =，故(1,0,1)n =-r为平面CMN 的一个法向量，记直线BD 与平面CMN 所成角为θ，故||1sin 2||||BD n BD n θ⋅==u u u r ru u ur r 则直线BD 与平面CMN 所成角为30︒. 【点睛】此题考查通过线面垂直证明面面垂直，建立空间直角坐标系利用向量求直线与平面所成角.19．随着金融市场的发展，越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段，下面将A 市把黄金作为理财产品的投资人的年龄情况统计如下图所示.（1）求图中a 的值；（2）求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数；（结果用小数表示，小数点后保留两位有效数字）（3）以频率估计概率，现从所有投资者中随机抽取4人，记年龄在[20,40)的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .【答案】（1）0.03a =；（2）平均数为48.30,中位数为48.33；（3）详见解析. 【解析】（1）根据所有小矩形面积之和为1，列方程求出图中a 的值；（2）根据频率分布直方图性质，每个小矩形面积乘以该组中间值再求和就是平均数，分析出中位数在第三组，根据中位数左右两侧频率均为0.5，求出中位数的值； （3）分析出年龄在[20,40)的人数频率为0.25，即从所有投资者中随机抽取1人，年龄在[20,40)的概率为14，可得1~4,4X B ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求得分布列以及数学期望()E X . 【详解】解：（1）依题意，0.070.18100.250.21a ++++=， 解得0.03a =；（2）平均数为250.07350.18450.3550.25650.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯48.30=. 年龄在[20,30)的频率为100.0070.07⨯=，年龄在[30,40)的频率为100.0180.18⨯=，前两组频率之和为0.25， 年龄在[40,50)的频率为100.030.3⨯=，这三组频率之和为0.55， 所以中位数在第三组， 中位数为0.50.25400.03-+48.33≈；（3）依题意，龄在[20,40)的人数频率为0.25，从所有投资者中随机抽取1人，年龄在[20,40)的概率为14， 所以1~4,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故43(0)4P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭81,256=31413(1)C 44P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2764=，222413(2)C 44P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭27,128=33413(3)C 44P X ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭364=， 41(4)4P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭1256=， 所以X 的分布列为：故1()44E X =⨯1=. 【点睛】此题考查频率分布直方图，根据直方图求参数，求中位数和平均数，计算概率解决分布列问题.20．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 与椭圆C 交于P ，Q两点，且点M 满足PM MQ =u u u u r u u u u r.（1）若点M ⎛ ⎝⎭，求直线l 的方程； （2）若直线l 过点2F 且不与x 轴重合，过点M 作垂直于l 的直线l '与y 轴交于点(0,)A t ，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）y =+；（2）⎡⎢⎣⎦【解析】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，相减得到1212y y x x -=-，计算得到直线方程.（2）当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，联立方程根据韦达定理得到221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，计算得到134t k k=+，根据k 的范围计算得到答案. 【详解】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得，()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，因为122x x +=，122y y +=，则1212y y x x -=-，故直线l的方程为1)4y x -=-，即4y =+. （2）当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，设()00,M x y ，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，所以202443k x k =+，()0023143k y k x k -=-=+ 因为l '的方程为()001y y x x k-=--，令0x =，得002113434k t x y k k k k=+==++，当0k >时，34k k +≥t ⎛∈ ⎝⎦； 当k 0<时，34k k +≤-,012t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭， 当l 的斜率不存在时，显然0t =，综上.t的取值范围是,1212⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了点差法求直线方程，参数的取值范围，意在考查学生的综合应用能力和转化能力.21．已知函数2()x f x x e =，其中 2.718e =⋅⋅⋅为自然对数的底数. （1）求函数()f x 在[5,1]--上的最值；（2）若函数()()ln 1f x g x a x x =-+，求证：当(0,2e)a ∈时，函数()g x 无零点. 【答案】（1）最大值为24e ，最小值为525e；（2）证明见解析.【解析】（1）求出导函数，讨论()f x 在[5,1]--上的单调性即可求出最值；（2）对函数等价变形，结合定义域利用经典不等式10x e x >+>进行放缩，转化成证明函数恒为正，即可证明函数无零点. 【详解】解：（1）依题意，2()2e e (2)e xxxf x x x x x '=+=+， 故当[5,2)x ∈--时，()0f x '>，f （x ）递增；当(2,1]x ∈--时()0f x '<，f(x)递减；故max 24[()](2)ef x f =-=， 而525(5),e f -=1(1)e f -=，因为5251e e <，故min 525[()]f x e=，故函数()f x 在[5,1]--上的最大值为24e ，最小值为525e； （2）令2e ()ln 01xx g x a x x =-=+，得2(1)ln 0xx e a x x -+=，令()(1)xm x e x =-+，对任意实数0,x >()e 10xm x '=->恒成立，所以()e (1)(0)xm x x m =-+>0=，即10x e x >+>，则22e (1)ln (1)(1)ln x x a x x x x a x x -+>+-+()2(1)ln x x a x =+-，令2()ln h x x a x =-，所以()2()ln h x x a x ''=-2a x x =-22x a x-=， 因为02e a <<，所以()h x '=所以x ⎛∈ ⎝时，()0,h x '<x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0h x '>， 所以2()ln h x x a x =-在(0,)+∞上有最小值，所以ln 2a h a =-1ln 22a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为0e 2a <<，所以ln 12a <，所以1ln 02a->， 所以1ln 022a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即02e a <<时，对任意0,x >2()ln 0h x x a x =->， 所以2(1)ln 0xx e a x x -+>， 故当(0,2e)a ∈时，函数()g x 无零点.【点睛】此题考查导函数讨论单调性求函数的最值，对参数分类讨论证明不等式恒成立，综合性比较强.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）若直线:3l y x '=与直线l 交于M ，与曲线C 交于O ，N ，若54,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求AMN V 的面积.【答案】（1）:4cos C ρϕ=，:20l x -=；（2【解析】（1）化简得到2240x y x +-=，1:cos sin 12l ρθθ⎛⋅+= ⎝⎭，利用极坐标公式得到答案，（2）设,6M M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,6N N πρ⎛⎫⎪⎝⎭代入计算得到3M ρ=，N ρ=||M N MN ρρ=-，再计算点到直线的距离得到答案.【详解】（1）曲线22:(2)4C x y -+=，即2240x y x +-=，故24cos 0ρρϕ-=，即4cos ρϕ=；直线1:cos sin 12l ρθθ⎛⋅+= ⎝⎭，则cos sin 2ρθθ+=故直线:20l x +-=. （2）直线l '的极坐标方程为6πθ=，设,6M M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，,6N N πρ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos 163M ππρ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得M ρ=又4cos6N πρ==||3M N MN ρρ=-=，则点A 到直线l 的距离54sin 41262d ππ⎛⎫=⨯-=⨯=⎪⎝⎭故AMN V 的面积为12⨯=. 【点睛】本题考查了普通方程，参数方程，极坐标方程的转化，利用极坐标方程计算面积，意在考查学生的计算能力.23．已知函数()|3||25|f x x x =++-. （1）求不等式()3f x x >的解集；（2）若关于x 的不等式()f x m ≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,2)-∞；（2）11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】（1）讨论3x <-，532x -≤≤，52x >三种情况，分别计算得到答案.（2）计算得到5511|3||25||3|222x x x x x ++-=++-+-≥得到m 的取值范围.. 【详解】（1）当3x <-时，原式化为3253x x x ---+>，解得13x <，故3x <-； 当532x -≤≤时，原式化为3523x x x ++->，解得2x <，故32x -≤<； 当52x >时，原式化为3253x x x ++->，解得20->，无解， 故不等式()3f x x >的解集为(,2)-∞. （2）555|3||25||3||3|222x x x x x x x ++-=++-+-≥++- 511322x x ⎛⎫≥+--= ⎪⎝⎭（当且仅当52x =时取等号）故实数m 的取值范围为11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式求最值，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.第 21 页共 21 页。
【4月深圳二模理数】2020年深圳普通高中高三年级第二次在线测试理科数学试卷及参考答案评分标准(二模)
的中点．直线
DB1 与平面
EFC
的交点 O
,则
DO OB1
的值为
D1
F A1
A． 4 5
B． 3 5
C． 1 3
D． 2 3
D
A
E
C1 B1
C B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知 x 轴为曲线 f (x) = 4x3 + 4(a −1)x +1的切线，则 a 的值为
2
3
得到的图象所对应的函数为奇函数．.现有下列结论：
①函数 f (x) 的图象关于直线 x = 5π 对称 12
②函数 f (x) 的图象关于点 ( π , 0) 对称 12
③函数
f
(x)
在区间
−
π 2
,
−
π 12
上单调递减
④函数
f
(x)
在
π 4
,
3π 2
上有
3
个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②
S
A B
D C
19．（本小题满分 12 分）
_________.
16．在平面直角坐标系中，过椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1(
a b 0)的左焦点 F 的直线交椭圆于 A ，B 两点，
C 为椭圆的右焦点，且 ABC 是等腰直角三角形，且 A = 90 ，则椭圆的离心率为
．
三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）
2020届深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学(理科)参考答案
函数 f (x) 在区间[−1,3] 上有两个零点，
f (−1) = 2t 0
则
f
(3)
=
8
−
−1 t 3
6t
0
，解得
0
t
4 3
，
V= 4t 2 + 4 0
0 m n 4 ， | m − n | 的最大值为 4 ，故应填 4 ．
3
3
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
sin A
2
2
（法二） acos B + bsin A = c ，
又 acos B + bcos A = c ，
acos B + bsin A = acos B + bcos A ， …………………………………………………8 分
即 sin A = cos A，又 A(0, π) ， A = π . ……………………………………………9 分 4
a2 + b2 − c2 = absin C ， …………………………………………………………………2 分
在△ ABC 中，由余弦定理得 cosC = a2 + b2 − c2 = absin C = sin C ，
2ab
2ab
2
sin C=2cosC ， …………………………………………………………………………4 分
在 Rt NAD 中， sin = AN = 1 = 2 ， …………11 分 ND 2 2
= π ， = π ，
4
2
二面角 N − BD − M 的正弦值为1 .
…………………12ຫໍສະໝຸດ 分（法二）由余弦定理得 BD2 = AD2 + AB2 − 2AD ABcosDAB = 3，
2020届深圳市高三二模理科数学答案
2
2
显然与 | | π 矛盾，从而可知结论②错误；
对于结论③， [1 ,1) ，且 f (x) 在区间[− π , π ] 上单调递增，
2
+1 +1
（ −π+1π++16π）+
π 2 π 6
−
π 2
，
=
1 2
，故结论③正确；
对于结论④，下证不等式 n cos π 1(n 3) ， n
（法一）当 n 3 时， cos π cos π = 1 ， n cos π 3 1(n 3) ，即 n cos π 1(n 3) ，
令 g() = 2 cos sin2 ， ( π , π ) ， 42
则[g( )]2 = 2cos2 sin4 = (2 − 2sin2 )sin2 sin2
[(2 − 2sin2 ) + sin2 + sin2 ]3 = 8 ，
3
27
（当且仅当 2 − 2sin2 = sin2 ，即 sin =
CE ⊥ FB1 ， AB =
2 AA1
=
23 3
EB1 .
（1）证明： EF ⊥平面 CEB1 ；
A1
C1
B1 F
（2）求直线 EF 与平面 CFB1 所成角的大小.
A
C
E
B （第 18 题图）
理科数学试题答案及评分参考第5页（共19页）
解：（1）证明：（法一）设 AA1 = 2a ，
∵ AB =
5 )n
− (1− 2
5 )n ]，则数列{an} 即为斐波那契数列，
an (
2 )11 5
，即 an2
211 5
2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省深圳市高三下学期第二次线上统一测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合11|22,|ln 022xA xB x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=<≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭,则()R A B =I ð( )A ．∅B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-【答案】B【解析】求解指数不等式与对数不等式化简集合A 、B ，再由交、并、补集的混合运算得答案． 【详解】1{|22}{|11}2x A x x x =<=-<Q 剟，113{|()0}{|}222B x ln x x x =-=<剟， 3{|2R B x x ∴=>ð或1}2x „，则12(1,)A B ⎛⎤- ⎥⎝⎦=R I ð．故选：B ． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的解法，考查集合的交、并、补混合运算，属于基础题.2．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 55i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】由题意666cos sin cos sin5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据复数的几何意义结合6cos05π<、6sin 05π<即可得解. 【详解】由题意666cos sin cos sin 5555i i ππππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， ∴该复数在复平面内所对应的点为66cos ,sin 55ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 6cos05π<，6sin 05π<，∴该复数在在复平面内所对应的点位于第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查了新概念在复数中的应用，考查了复数的几何意义和三角函数的符号确定，属于基础题.3．已知点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是（ ） A ．724a -<< B ．7a =或24a = C ．7a <或24a > D ．247a -<<【答案】A【解析】由点与直线的位置关系，转化为不等式求解即可得解. 【详解】Q 点()3,1和()4,6-在直线320x y a -+=的两侧，∴()()332134260a a ⨯-⨯+⋅⨯--⨯+<⎡⎤⎣⎦即()()7240a a +-<，解得724a -<<. 故选：A. 【点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域，关键是把点与直线的位置关系转化为不等式，属于基础题.4．已知()1()3,1,2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由分段函数的单调性可转化条件得1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解不等式组即可得解.【详解】Q()1()3,1,2,1,xa x a xf xa x⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，∴1201132aaa a a⎧-<⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得1162a≤<.故选：C.【点睛】本题考查了分段函数单调性的问题，属于基础题.5．如图，在ABCV中，AD AB⊥，3BC BD=u u u v u u u v，1AD=u u u v，则AC AD⋅=u u u v u u u v（）A．3B3C3D3【答案】D【解析】∵3AC AB BC AB=+=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u v，∴(3)3AC AD AB AD AB AD AD⋅=+⋅=⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v，又∵AB AD⊥，∴0AB AD⋅=uu u r uuu r，∴33cos3cos33 AC AD AD AD ADB BD ADB ADu u u v u u u v u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D．6．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A． B ．C ．13D ．【答案】D【解析】由原图与直观图的面积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解. 【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积S =则该四棱锥的体积为11333V Sh ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题.7．在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知81335a a =，且10a >，若n S 取得最大值，则n 为（ ） A ．20 B ．21C ．22D ．23【答案】A【解析】转化条件得1392a d =-，进而可得200a >，210a <，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由81335a a =可得()()1137512a d a d +=+即1392a d =-， Q 10a >，∴0d <，数列{}n a 为递减数列，∴12011902a a d d =+=->，12112002a a d d =+=<，∴当20n =时，n S 取得最大值.故选：A. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最大值的问题，属于基础题.8．已知抛物线28y x =，过点()2,0A 作倾斜角为的直线3π，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为（ ） A ．163B ．83C．3D．【答案】A【解析】由题意可得直线:2BC x y =+，联立方程组即可求得BC中点103M ⎛ ⎝⎭，进而可得直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭，求出点22,03P ⎛⎫⎪⎝⎭后即可得解. 【详解】由题意可得直线:2BC x y +，设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 中点()00,M x y ，联立方程组2823y x x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去x得2160y y -=，易得>0∆，∴1102y y y +=∴001023x y +=，∴点103M ⎛ ⎝⎭，又 MP BC ⊥，∴1MP BC k k =-=， ∴直线10:3MP y x ⎫=-⎪⎝⎭， 令0y =可得223x =即点22,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴线段2216233AP =-=. 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于中档题. 9．已知函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：①函数()f x 的图象关于直线512x π=对称②函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减④函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．③④C ．②③D ．①③【答案】D【解析】利用函数最小正周期和平移后的对称性可得()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭；代入512x π=即可判断①；代入12x π=即可判断②；由,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，42,332x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦即可判断③；由3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦即可判断④；即可得解. 【详解】Q 函数()f x 的最小正周期是T π=，∴222T ππωπ===， Q 函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数， ∴函数()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭即2sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴()23k k Z πϕ=π-+∈即()23k k Z πϕπ=+∈，由2πϕ<可得3πϕ=-，∴()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当512x π=时，()5sin 2sin 11232f x πππ⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，故①正确； 当12x π=时，()1sin 2sin 12362f x πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②错误； 当,212x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时， 432,,33222x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；当3,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故函数()f x 在3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点，故【点睛】本题考查了三角函数图象的综合应用，考查了整体法的应用，属于中档题.10．甲、乙两队进行排球比赛，根据以往的经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.设各局比赛相互间没有影响，且每场比赛均要分出胜负，若采用五局三胜制，则甲以3:1获胜的概率是（ ） A ．0.0402 B ．0.2592 C ．0.0864 D ．0.1728【答案】B【解析】由题意可得甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，由独立性重复实验的概率公式计算即可得解. 【详解】由题意若要甲以3:1获胜则需要甲在前3局中获胜两局且第4局获胜，则所求概率()()2230.610.60.60.2592p C =⋅⋅-⋅=.故选：B. 【点睛】本题考查了独立性重复实验概率的求解，考查了转化化归思想，属于中档题. 11．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[]2,3x ∈时，()f x x =，则[]2,0x ∈-时，()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =++B ．()31f x x =-+C ．()2f x x =-D ．()4f x x =+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性和周期性可得[]2,1x ∈--、[]1,0x ∈-时()f x 的解析式，即可得解. 【详解】Q ()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，∴当[]2,1x ∈--时，[]42,3x +∈，()()44f x f x x =+=+；当[]1,0x ∈-时，[]22,3x -+∈，()()()22f x f x f x x =-=-+=-+，∴当[]2,0x ∈-时，()31f x x =-+.本题考查了利用函数的奇偶性和周期性确定函数的解析式，属于中档题.12．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点.直线1DB 与平面EFC 的交点O ，则1DOOB 的值为（ ）A ．45B ．35C ．13D ．23【答案】A【解析】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ，设BD CE M =I ，连接MN ，由平面相交的性质可得1MN DB O ⋂=，利用三角形相似求得11156B N B D =、23DM DB =，再利用三角形相似即可得解.【详解】在线段11C D 上取点G 使11114D G C D =，连接11B D 、FG 且11B D FG ⋂=N ， 设BD CE M =I ，连接MN ，由E 、F 分别为棱AB 、11A D 的中点易得//FG CE ，即G ⊂面EFC ， 由11//B D BD 可知1D ⊂面1B BD ，所以面EFC ⋂面1B BD NM =， 又 1DB ⊂面1B BD ，所以直线1DB 与平面EFC 的交点O 即为MN 与1DB 的交点， 取11B D 的中点Q ，由1D GN QFN V V ∽可得112D N QN =，所以11156B N B D =， 由BEM DCM V V ∽可得12BM DM =，所以23DM DB =，由11B D BD =可得145DM B N =， 由1DMO B NO V V ∽可得1145DM D O B B N O ==. 故选：A.【点睛】本题考查了平面的性质和平面相交的性质，考查了空间思维能力和转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知x 轴为曲线()()34411f x x a x =+-+的切线，则a 的值为________.【答案】14【解析】设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，由题意结合导数的几何意义可得()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解方程即可得解. 【详解】由题意()()21241f x x a '=+-，设x 轴与曲线()f x 的切点为()0,0x ，则()()()3002004411012410x a x f x x a ⎧+-+=⎪⎨=+-='⎪⎩，解得01214x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了导数几何意义的应用，考查了运算能力，属于基础题.14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.【答案】32 【解析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2nn a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=， 所以54553–22S S a ===.故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题.15．某市公租房的房源位于,,A B C 三个片区，设每位申请人只能申请其中一个片区的房子，申请其中任一个片区的房屋是等可能的，则该市的任4位申请人中，申请的房源在2个片区的概率是_________. 【答案】1427【解析】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种，分别求出有三人在同一区域另一人在另一区域的情况数和有两人在同一区域另两人在另一区域的情况数，利用古典概型概率的公式即可得解. 【详解】由题意可得4位申请人申请的房源所在片区的情况共有4381=种；若4位申请人中，有三人在同一区域另一人在另一区域的情况共有324324C A ⋅=种；有两人在同一区域另两人在另一区域的情况共有2224232218C C A A ⋅⋅=种； 故所求概率2418148127p +==. 故答案为：1427. 【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，考查了古典概型概率的求解，属于中档题.16．在平面直角坐标系中，过椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左焦点F 的直线交椭圆于,A B 两点，C 为椭圆的右焦点，且ABC ∆是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，则椭圆的离心率为_________. 【答案】63-【解析】设AC m =，由题意结合椭圆性质可得2AF a m =-，242BC a BF a m =-=-，由等腰直角三角形性质可得1224a m m =+，再由直角三角形性质可得222FC AF AC =+，最后利用ce a=即可得解. 【详解】如图所示，设AC m =，由椭圆定义可得2AF a m =-，Q ABC V 是等腰直角三角形，且90A ∠=︒，∴AC AB m ==，22BF AB AF m a =-=-，242BC a BF a m =-=-，∴422BC a mAC m-==，∴1224a m m =+，∴22mAF =， 在Rt AFC V 中，222232FC AF AC m =+=，∴624FC mc ==， ∴66463122224mc e a m m ====-++.故答案为：63-.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，已知2sin sin sin B A C =. （1）求证：03B π<≤；（2）求222sinsin 1A CB +-+的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）(【解析】（1）由正弦定理结合条件得2b ac =，再由余弦定理结合基本不等式可得1cos 2B ≥，由三角函数的性质即可得证；（2）由三角函数的性质化简得22sinsin 124A C B B π+⎛⎫++= ⎝-⎪⎭，结合（1）中03B π<≤即可得74412B πππ<+≤，即可得解. 【详解】（1）证明：由正弦定理可得2b ac =,∴22221cos 222a c b ac ac B ac ac +--=≥=，Q 0B π<<,03B π∴<≤.（2）由题意222sin sin 1A C B +-+()cos sin A C B =-++cos sin 4B B B π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由（1）知03B π<≤，∴74412B πππ<+≤，∴14B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即222sinsin 1A CB +-+的取值范围是(. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角函数的综合问题，考查了基本不等式的应用，属于中档题.18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，1SA AB BC CD ====，2AD =.（1）在棱SD 上是否存在一点P ，使得//CP 平面SAB ？请证明你的结论； （2）求平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）存在；证明见解析（2）14【解析】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB ；取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，由已知结合中位线的性质可得//FP BC 且FP BC =，进而可得//CP BF ，由线面平行的判定即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出平面SAB 的一个法向量为1n u r 与平面SCD 的一个法向量为2n u u r，利用121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅u r u u ru r u u r u r u u r 即可得解. 【详解】（1）当点P 为棱SD 的中点时，//CP 平面SAB . 证明如下：取SA 的中点F ，连结FP 、FB 、PC ，则//FP AD 且12FP AD =， Q //AD BC ，112BC AD ==， ∴//FP BC 且FP BC =， ∴四边形FBCP 为平行四边形， ∴//CP BF ，Q CP Ë平面SAB ，BF ⊂平面SAB ，∴//CP 平面SAB .（2）在平面ABCD 内过点A 作直线AD 的垂线Ax ，Q SA ⊥平面ABCD ，∴SA AD ⊥，SA Ax ⊥，∴直线AS 、Ax 和AD 两两垂直，以点A 为原点，分别以直线Ax 、AD 和AS 为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，过点B 作BE AD ⊥交直线AD 于E ，Q //AD BC ，1AB BC CD ===，2AD =，∴12AE =，3BE =， 从而可得()0,0,0A ，31,022B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D ，()0,0,1S ， 则()0,0,1AS =u u u r ，31,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()0,2,1SD =-u u u r，31,,022DC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面SAB 的一个法向量为()1111,,n x y z =u r，则1100n AS n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v 即11103102z x y =⎧+=，取13x ()13,3,0n =-u r ，设平面SCD 的一个法向量为()2222,,n x y z =u u r，则2200n SD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v 即22222031022y z x y -=⎧-=⎩，取23x ，可得)23,3,6n =u u r ∴121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ()()()222221433336=-+-⋅++， ∴平面SAB 和平面SCD 所成锐二面角的余弦值为14. 【点睛】本题考查了线面平行的判定和利用空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.19．已知椭圆22:1124x y C +=，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点.（1）求AMB ∠的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，求直线BM 的斜率的取值范围.【答案】（1）AMB ∠的最大值为23π；证明见解析（2）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤），过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H，由三角函数的概念可得00tan A H y x M +∠=，00tan BMH y x ∠=，由两角和的正切公式可得tan AMB∠0220012x y =+-，求出tan AMB ∠≤后由椭圆对称性即可得解；（2）由题意可知202012y k k x '⋅=-，利用22001124x y +=即可得13k k '⋅=-，由k 的取值范围即可求得k '的取值范围，即可得解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性，不妨设()00,M x y ，（0x -<<002y <≤）. 过点M 作MH x ⊥轴，垂足为H ，则()0,0Hx (0x -<<，于是，有00tan AH AMH M x H y +∠==，00tan BH BMH MH y x ∠==， ∴()tan tan AMB AMH BMH ∠=∠+∠=tan tan 1tan tan AMH BMHAMH BMH∠+∠-∠∠00000y y =， Q 点()00,M x y 在椭圆C 上，∴22001124x y +=，∴2200123x y =-，∴0tan AMB y ∠=-，而002y <≤，∴0tan AMB y ∠=-≤ Q 0AMB π<∠<，∴AMB ∠的最大值为23π，此时02y =，即点M 为椭圆C 的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M 为椭圆C 的短轴的顶点时，AMB ∠取最大值，其最大值为23π. （2）设直线BM 的斜率为k '，()00,M x y ，则k =，k '=，∴22012y k k x '⋅=-，又22001124x y +=，∴2200123x y =-， ∴13k k '⋅=-，Q 11,23k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∴213k '<<，故直线BM 的斜率的取值范围为2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆和三角函数、椭圆和直线的综合问题，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.20．已知函数()()ln 1f x x =+，()xg x e =（e 为自然对数的底数）.（1）讨论函数()()x ax f x xϕ+=-在定义域内极值点的个数； （2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()00,A x y 处的切线，证明：在区间(0,)+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切.【答案】（1）当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点（2）证明见解析【解析】（1）对函数()x ϕ求导得()()221x ax a x x xϕ++'=+，令()2h x x ax a =++，分类讨论()h x 有无零点以及零点与1-、0的相对位置即可得解； （2）由题意可得切线l 的方程可表示为()00011y x y x x -=-+，设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,x B x e ，由题意可得()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，进而可得()0001ln 10x x x ++-=，由（1）中结论即可证明()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根，即可得证. 【详解】（1）由题意()()x a x f x x ϕ+=-()ln 1x ax x+=+-)0x ≠且()1121m x x +>+， 则()()222111a x ax ax x x x xϕ++'=+=++， 令()2h x x ax a =++，24a a ∆=-，①当240a a ∆=-≤即04a ≤≤时，()0x ϕ'≥，此时，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，()x ϕ无极值点； ②当240a a ∆=->时，即当0a <或4a >时， 函数()2h x x ax a =++有两个零点，12a x --=，22a x -+=，（i ）当0a <时，因为11x --==0<，所以2101x x >>>-，所以函数()x ϕ在()11,x -单调递增，在()1,0x 和()20,x 上单调递减，在()2x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ有两个极值点；（ii ）当4a >时，因为2212a x -+---==02>，所以121x x <<-，此时()0x ϕ'>，()x ϕ在()1,0-和()0,∞+单调递增，无极值点. 综上所述，当0a ≥时，函数()x ϕ无极值点，当0a <时，函数()x ϕ有两个极值点. （2）证明：因为()11f x x '=+，所以切线l 的方程可表示为()0011y x y x x -=-+， 设直线l 与曲线()y g x =相切于点()11,xB x e ，因为()xg x e '=，所以()()11000010011ln 111x x e x y x e y x x x ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪⎪-=-+⎪⎩，消去1x 并整理得()0001ln 10x x x ++-=， 由（1）可知，当1a =时，函数()()1ln 1x x x xϕ+=+-()1x >-在()0,∞+单调递增，又()1101e e ϕ-=-<-，()2222101e e e ϕ--=>-. 所以函数()x ϕ在()21,1e e --上有唯一的零点，又因为()x ϕ在()0,∞+单调递增， 所以方程()0001ln 10x x x ++-=在()0,∞+上存在唯一的根， 故在区间()0,∞+上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点和零点个数问题，考查了导数几何意义的应用，考查了转化化归思想和推理能力，属于中档题.21．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表：由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z 服从正态分布,15().22N μ，其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70≥）的患者比例； （2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n （120n <<且n 是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n 个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n 个人抽取的另一半血液逐一化验，记n 个人中患者的人数为n X ，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n 的值. 参考数据：若()2,Z Nμσ:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Y μσμσ-<<+=，40.90.66≈，50.90.59≈，100.90.35≈.【答案】（1）15.87%（2）4n =【解析】（1）由题意计算出54.8μ=，由正态分布的性质可得()39.6700.6826P Z <<=，即可得解；（2）由题意n 的可能取值为2，4，5，10，1,10n X B n ⎛⎫⎪⎝⎭:，由二项分布的概率公式结合题意可得某组的化验次数Y 满足()9110nP Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，表示出()E Y ，进而可得化验总次数()f n ，代入比较即可得解. 【详解】 （1）由题意21562512351845225522651275485295100μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=54.8=，所以()54.815.254.815.2P Z -<<+()39.6700.6826P Z =<<=，()()139.670702P Y P Z -<<≥==10.68260.158715.87%2-==， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%. （2）根据题意，每名密切接触者确诊为新冠肺炎的概率均为110， n 的可能取值为2，4，5，10，当{}2,4,5,10n ∈时，1,10n X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，对于某组n 个人，化验次数Y 的可能取值为1，1n +，()9110n P Y ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()91110nP Y n ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()()91110nE Y n ⎛⎫=⋅++⋅⎪⎝⎭99111010n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，则20人的化验总次数为()209110nf n n n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1920110n n ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 经计算()213.8f =，()411.8f ≈，()512.2f ≈，()1015f ≈. 所以，当4n =时符合题意，即按4人一组检测，可使化验总次数最少. 【点睛】本题考查了正态分布的应用，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<），曲线1C ：2cos 4+2sin x y ββ=⎧⎨=⎩,（β为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2l ：()6R πθρ=∈与圆2C：2cos 20ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值.【答案】（1）28sin 120ρρθ-+=；点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）16 【解析】（1）消去参数得1C 的直角坐标方程，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式即可得1C 的极坐标方程；由题意得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈，代入1C 的极坐标方程后利用0∆=即可得解；（2）由题意可得()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2C 后即可得126ρρ+=，122ρρ=，再利用三角形面积公式可得112S ρ=，222S ρ=，化简即可得解. 【详解】（1）消去参数可得1C 的直角坐标方程为()2244x y +-=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得1C 的极坐标方程为28sin 120ρρθ-+=， 又1l 的参数方程为cos ,sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，02πα<<），可得1l 的极坐标方程为()R θαρ=∈， 将θα=代入1C 得28sin 120ρρα-+=，则()28sin 4120α∆=-⨯=，sin α=，又02πα<<，所以sin α=，3πα=，此时ρ=A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭.（2）由2C 的极坐标方程为2cos 20ρθ-+=，可得2C 的直角坐标方程为(2210x y -+=，所以圆心()2C ，设1,6B πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,6C πρ⎛⎫⎪⎝⎭，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得2620ρρ-+=，280∆=>，所以126ρρ+=，122ρρ=，所以10ρ>，20ρ>，又因为1111sin 2362A S ππρρρ⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭，22221sin 262S OC πρρ=⋅⋅=， 所以12122121S S S S ρρρρ+=+=()221212122622162ρρρρρρ+--⨯==. 【点睛】本题考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转化，考查了利用极坐标求三角形面积的应用，属于中档题. 23．已知()2f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)∈+∞a ，使得关于x 的不等式()21f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（2）()6,m ∈+∞【解析】（1）由题意得221x x ->+，分2x ≥、2x <两种情况讨论即可得解； （2）由绝对值三角不等式结合题意得()22222111f x x a a a a a ++≥+=+---，利用基本不等式求出221a a +-的最小值即可得解. 【详解】（1）当1a =时，即解不等式221x x ->+，①当2x ≥时，原不等式等价于221x x ->+，所以3x <-， 所以不等式()21f x x >+的解集为空集，②当2x <时，原不等式等价于221x x ->+，解得13x <， 综上所述，不等式()21f x x >+的解集为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()221f x x x a a ++=--22211x a a a ++≥+--，显然等号可取. 又()1,a ∈+∞，故原问题等价于关于a 的不等式221a m a +<-在()1,+∞上有解，又因为()22221211a a a a +=-++--26≥=， 当且仅当2a =时取等号，所以6m >，即()6,m ∈+∞. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解，考查了绝对值三角不等式的应用和有解问题的求解，属于中档题.。