重温圆的历史名题,体验数学文化
圆的历史文化
《圆的周长》历史文化
几千年以来，无数著名的数学家为此倾注了毕生的心血：
1.约2000年前，中国古代数学著作《周髀（bì）算经》中就有了“周三径一”的说法，意思是指圆的周长约是它直径的3倍。
2.古希腊数学家阿基米德研究发现：当正多边形的边数增加时，它的形状就越来越接近圆。
他用这种方法计算出：圆的周长总是它直径的3倍多一些，在23/7和22/7之间。
3.汉朝数学家刘徽将圆周率进一步精确到3.1416。
4.南北朝数学家祖冲之算至π的值在3.1415926与3.1415927之间。
5.1596年，德国数学家卢道夫尽其一生心血将π值求至35位小数。
6.1630年，德国数学家伯根创造了利用割圆术求π值的最高记录——39位小数。
7.1706年，英国数学家梅钦求至100位小数。
8.1949年，美国麦雷米德是世界上第一个采用电子管计算机求圆周率的人，他将π的值求至2037位小数。
9.1961年，美国数学家伦奇利用电子计算机将其求至100265位小数。
10.1973年，法国数学家纪劳德计算到100万位小数。
11.现代社会人们用计算机算出圆的周长与它的直径的比值，已经达到小数点后面上亿位。
1990年已突破10亿位小数大关。
现在已进入电脑时代，每一次π值数位的增加，标志着电脑性能的一次大提高。
因此，数学家们仍然不懈地，甚至献出毕生的精力在计算着。
虽已计算至小数1011196691位，进入《吉尼斯世界记录大全》，但仍未停止。
数学的小常识：圆的历史
数学的小常识：圆的历史
数学的小常识：圆的历史
除了课堂上的外，平时的积累与练习也是学生提高的重要途径，本文为大家提供了圆的历史，希望对大家的学习有一定帮助。
古代人最早是从太阳，从阴历十五的得到圆的概念的，那么是人作出第一个圆的呢？
18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。
石器的.尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。
到了陶器时代，许多陶器都是圆的。
圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。
后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子――圆的木轮。
约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2000多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：“一中同长也。
”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。
这个定义比希腊数学家欧几里得给团下定义要早100年。
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圆的数学 古代-概述说明以及解释
圆的数学古代-概述说明以及解释1.引言概述圆是数学中的重要概念之一，古代人们对圆有着深刻的认识和理解。
本文将介绍古代人对圆的认识和解读，以及圆在古代文化中的象征意义。
同时，文章还会探讨圆的数学性质以及在当代的延续和重要性。
通过对古代圆的理解和当代对圆的应用，我们可以更好地理解圆这一概念在数学和文化中的深远影响。
写文章1.1 概述部分的内容1.2 文章结构文章结构部分的内容：文章结构分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将概述本文的主要内容，并介绍文章的结构和目的。
在正文部分，我们将深入探讨古代对圆的认识、圆的数学性质以及圆在古代文化中的象征意义。
最后，在结论部分，我们将总结古代对圆的理解，探讨圆在数学中的重要性，并讨论圆的意义在当代的延续。
通过这样的结构安排，我们将全面而深入地探讨圆的数学与古代的关系，展现出圆在古代的重要地位和当代的价值。
1.3 目的目的：本文旨在探讨古代对圆的数学认识和在文化中的象征意义，以及分析圆在数学中的重要性和在当代的延续意义。
通过对古代对圆的理解和当代圆的意义的对比分析，可以更深入地了解圆在数学和文化中的重要作用，以及其在当代的应用和价值。
通过本文的阐述，读者可以对圆的数学和文化意义有一个更全面和深入的认识。
分的内容2.正文2.1 古代对圆的认识古代对圆的认识可以追溯到古希腊时期，在这个时代，人们开始对圆进行深入研究，并且给予了它们特殊的意义和重要性。
古希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯被认为是最早系统地研究圆的人之一。
他提出了著名的毕达哥拉斯定理，其中圆的性质是基础之一。
古代人们对于圆的认识主要集中在几个方面。
首先，他们认为圆是完美的几何形状，因为它的每个点到圆心的距离都相等，没有任何角落或尖锐的边缘。
这种完美性被视为神圣和神秘的，因此在古代文化中经常出现对圆的神话和象征性的描述。
其次，古代人们对圆的数学性质进行了研究，包括圆的直径、半径、周长和面积等概念。
古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中系统地阐述了圆的基本性质和定理，为后人对圆的研究奠定了基础。
重温圆的历史名题,体验数学文化
重温圆的历史名题，体验数学文化罗志华1 张映姜2（1广东省湛江教育学院 2湛江师范学院数科院 广东湛江 524048）生活中无处不有圆，无时不见圆。
我们对圆很熟悉。
用圆、玩圆，我国如“没有规矩，不成方圆”，“人有悲欢离合，月有阴睛圆缺”等好多成语中都有一字“圆”。
民间活动、大型活动也有用圆表示的习俗。
如圆圆的五环，孕育奥运精神，牵动全球，连通世界。
国际上有圆桌会议，与会者围圆桌而坐，共同协商，平等交流。
哥伦布绕地球一圈，发现地球是圆的。
圆是最基本的图形，也是最简单的曲线。
我们知道，小学讲圆的周长、面积、对称性。
中学也讲圆，主要讲圆的几何性质，圆的方程，圆与直线、圆与圆的位置关系等。
可是在中小学数学教材中，我们几乎没看到人类有关圆的活动，察觉不到人在圆中的痕迹。
而事实上，自古至今，人类对圆给予了充分的关注，早已研究发现太阳、地球是圆的，留下了求地球半径、周长、圆周率、面积经典问题，也流传着化圆为方、欧拉圆、拿破仑四等分圆等许多历史名题，这一些都深深地打上人类活动的烙印，体现了人类对圆的执着、对圆的热情，反映着人类对圆的欣赏，平面中最美的图形是圆，立体图形中最美的是球。
我们会发现，在人类的研究过程中，圆成为数学模型，去刻划、描述天体物体的运动规律，其中也给予我们许多经典的历史名题，展示了人类在圆的研究过程中巧妙的思维方式和思维方法，重温这些圆的历史名题，既能学习前人绝妙的思维，又能继承人类的探索精神，既让我们惊叹人类对圆的执着热爱，又能给我们提供对圆美的欣赏，让我们滋润于数学文化丰富的营养之中。
1．人类天体研究繁衍出许多经典名题古时侯，很多人猜测地球是圆的。
泰勒斯认为，地球乃是浮在水面上的一块圆盘。
亚里士多德（公元前384-前322）从月蚀推测地球是圆的。
他在《论天》中明确写道： 在月蚀时，它的外线总是弯曲的；既然月蚀是由于地球插入（太阳与月亮）其间，那么，它外线的那种形状就应是地球的表面所造成的，所以，地球必定是圆球形（史宁中，2009）。
数学小故事之奇妙的圆形
数学小故事之奇妙的圆形数学是一门基础学科, 被誉为科学的皇后。
对于我们的广大小学生来说, 数学水平的高低, 直接影响到以后的学习，店铺特地为大家整理了数学小故事之奇妙的圆形，希望对大家有用!数学小故事之奇妙的圆形(上)圆形，是一个看来简单，实际上是很奇妙的圆形。
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的。
一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。
以后到了陶器时代，许多陶器都是圆的。
圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺缍或陶纺缍。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。
后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子--圆的木盘。
大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。
会作圆，但不一定就懂得圆的性质。
古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。
一直到两千多年前我国的墨子(约公元前468-前376年)才给圆下了一个定义："一中同长也"。
意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。
这个定义比希腊数学家欧几里得(约公元前330-前275年)给圆下定义要早100年。
数学小故事之奇妙的圆形(下)圆周率，也就是圆周与直径的比值，是一个非常奇特的数。
《周髀算经》上说"径一周三"，把圆周率看成3，这只是一个近似值。
美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。
魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注。
他发现"径一周三"只是圆内接正六边形周长和直径的比值。
他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。
他算到圆内接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。
刘徽已经把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。
以史为鉴 积累数学活动经验——以“圆的面积”为例
T eaching Researc 教学探研/课程与教学在语文课堂上，只有把学习的主动权还给学生，才能真正确立学生的主体地位。
如在教学《延安，我 把你追寻》一课时，笔者采用灵活的教学方式，不搞 全班&一刀切”，而是让学生根据自己查找的资料，有 选择地学习自己喜欢的小节。
首先让学生自己反复诵读句子，尽量读出韵味；然后让同桌或前后桌的同学互读互听。
课堂自主学习的气氛相当热烈。
&.自疑自辩，自主解答。
在语文课堂上，让学生进行讨论与争辩，是以学生为主体的最好体现。
如在教学《一个豆荚里的五粒豆》一课时，有学生质疑#‘‘在五粒豌豆里，谁才是最勇敢的呢？”问题一出，笔者并没有急着解答，而是 把问题还回到学生之中。
&这个问题问得很好，谁来帮忙解答一下？”笔者反问道。
顿时，学生们争先发言：&我认为第五粒豌豆才是最勇敢的，青苔囚不住它。
”&我不这么认为。
我认为那粒掉到水沟里的豌豆才是最厉害的，因为……”“不对，我认为……”一场没有彩排的辩论赛展开了。
在辩论中，对于"谁最勇敢的问题”，学生都有了自己最满意的答案。
由此可 见，一场不经意的辩论是自主学习的体现。
3.因人而异，确定方法。
在教学中，教师可抓住不同课型、不同课例，适 时教给学生学会归纳适合自己的学习方法。
如《故宫博物院》一课中介绍的小景点较多，在 教学时，笔者没有按照文章顺序一个景点一个景点地介绍，而是以"当小导游”的游戏来进行课堂教学。
笔者要求学生先自读课文，然后重点深入阅读自己喜欢的景点，接着再用最精练的一段话向全班介绍这一景点，最后全班一起评选出5最佳小导游”。
通过前一节课的充分准备，学生争先恐后地将自己的导游词拿出来展示。
一篇篇优美的导游词，让人赞不绝□。
笔 者又相机问道#“你们怎么对故宫了解得这么透彻？”于是一场学习方法交流大会又开启了。
总之，在语文课堂上，只要教师在和谐、民主的 氛围中，对学生进行自主能力培养和自主学习训练，就能激活学生学习的主动性，调动学生的求知欲，帮 助学生悟得学习的好方法，使学生自主自觉地去学习，从而提升学生的阅读水平，促进学生语文核心素养的不断提升。
《圆周率的历史》教学设计
《圆周率的历史》教学设计在圆周率研究历史中最为重要的人物及方法，从古至今，涵盖中外，以圆周率的探索过程为主线，以体现圆周率的文化价值为主格调，来满足孩子们的好奇心，通过阅读来挖掘圆周率蕴含的教育价值，感受数学的魅力，激发研究数学的兴趣。
下面是小编为您整理了“《圆周率的历史》教学设计”，希望能帮助到您。
《圆周率的历史》教学设计篇1【教材分析】教材是在学生通过简单试验初步体验了圆周率和利用圆周率计算圆的周长之后安排了这个数学阅读内容，为学生展示了圆周率的研究简史，介绍了相关的圆周率的研究方法，为学生打开了一扇窥视数学文化发展史的窗户，为进一步理解圆周率的意义，及今后中学的相关数学学习，留下一片想象的空间。
教材罗列了在圆周率研究历史中最为重要的人物及方法，从古至今，涵盖中外，以圆周率的探索过程为主线，以体现圆周率的文化价值为主格调，来满足孩子们的好奇心，通过阅读来挖掘圆周率蕴含的教育价值，感受数学的魅力，激发研究数学的兴趣。
本阅读内容信息量大、数学术语多、理解困难。
涉及到圆的内接、外切正多边形、割圆术、勾股定理、投针试验等数学术语，在给学生带来大量信息的同时，也为他们带来了大量的疑问，但这些疑问并非本节课的重点，重点在于“阅读——熏陶”。
【学生分析】学生在接触这部分内容之前，在“圆的周长”部分进行了简单的圆周率的测量试验研究时，部分同学已经了解了祖冲之的相关成就，然而对阿基米德和刘徽的成就知之甚少，对“投针试验”基本上没有听说过；另外，学生的了解一般停留在简单的知识常识上，对于圆周率的计算研究方法及其蕴含的数学思想很少涉及。
（经过简单调查，知道“祖冲之及其对圆周率的贡献的大约占90%，然而直到刘徽的割圆术的只有大约8%，听说过”投针试验“的人数为零。
）作为六年级的学生，作为处在高度现代化的城市——深圳的学生，他们运用图书、网络搜集信息的能力非常强，对于这部分阅读资料的兴趣浓厚，许多学生都已经迫不及待的阅读、查阅（已经提前阅读的人数大约占85%）。
数学文化小常识：圆的历史-精选教育文档
数学文化小常识：圆的历史
除了课堂上的学习外，平时的积累与练习也是学生提高成绩的重要途径，本文为大家提供了圆的历史，希望对大家的学习有一定帮助。
古代人最早是从太阳，从阴历十五的月亮得到圆的概念的，那么是什么人作出第一个圆的呢？
18000年前的山顶洞人用一种尖状的石器来钻孔，一面钻不透，再从另一面钻。
石器的尖是圆心，它的宽度的一半就是半径，这样以同一个半径和圆心一圈圈地转就可以钻出一个圆的孔。
到了陶器时代，许多陶器都是圆的。
圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。
6000年前，半坡人就已经会造圆形的房顶了。
古代人还发现圆的木头滚着走比较省劲。
后来他们在搬运重物时，就把几段圆木垫在重物的下面滚着走，这样就比扛着走省劲得多。
大约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子――圆的木轮。
约在4000年前，人们将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初的车子。
会作圆并且真正了解圆的性质，却是在2019多年前，是由我国的墨子给出圆的概念的：一中同长也。
意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。
这个定义比希腊数学家
欧几里得给团下定义要早100年。
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重温圆的历史名题,体验数学文化TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】重温圆的历史名题，体验数学文化罗志华1张映姜2（1广东省湛江教育学院 2湛江师范学院数科院广东湛江 524048）生活中无处不有圆，无时不见圆。
我们对圆很熟悉。
用圆、玩圆，我国如“没有规矩，不成方圆”，“人有悲欢离合，月有阴睛圆缺”等好多成语中都有一字“圆”。
民间活动、大型活动也有用圆表示的习俗。
如圆圆的五环，孕育奥运精神，牵动全球，连通世界。
国际上有圆桌会议，与会者围圆桌而坐，共同协商，平等交流。
哥伦布绕地球一圈，发现地球是圆的。
圆是最基本的图形，也是最简单的曲线。
我们知道，小学讲圆的周长、面积、对称性。
中学也讲圆，主要讲圆的几何性质，圆的方程，圆与直线、圆与圆的位置关系等。
可是在中小学数学教材中，我们几乎没看到人类有关圆的活动，察觉不到人在圆中的痕迹。
而事实上，自古至今，人类对圆给予了充分的关注，早已研究发现太阳、地球是圆的，留下了求地球半径、周长、圆周率、面积经典问题，也流传着化圆为方、欧拉圆、拿破仑四等分圆等许多历史名题，这一些都深深地打上人类活动的烙印，体现了人类对圆的执着、对圆的热情，反映着人类对圆的欣赏，平面中最美的图形是圆，立体图形中最美的是球。
我们会发现，在人类的研究过程中，圆成为数学模型，去刻划、描述天体物体的运动规律，其中也给予我们许多经典的历史名题，展示了人类在圆的研究过程中巧妙的思维方式和思维方法，重温这些圆的历史名题，既能学习前人绝妙的思维，又能继承人类的探索精神，既让我们惊叹人类对圆的执着热爱，又能给我们提供对圆美的欣赏，让我们滋润于数学文化丰富的营养之中。
1．人类天体研究繁衍出许多经典名题古时侯，很多人猜测地球是圆的。
泰勒斯认为，地球乃是浮在水面上的一块圆盘。
亚里士多德（公元前384-前322）从月蚀推测地球是圆的。
他在《论天》中明确写道：在月蚀时，它的外线总是弯曲的；既O然月蚀是由于地球插入（太阳与月亮）其间，那么，它外线的那种形状就应是地球的表面所造成的，所以，地球必定是圆球形（史宁中，2009）。
公元前320，欧几里得的《几何原本》里用圆去描述球，半圆绕着直径旋转一周而回到初始位置时，这样描绘的形状就是球。
古希腊学者埃拉托色尼认为，太阳离地球很远，太阳光应平行地照在地球上，而地球上有的地方有影子，有的地方没有影子，这就说明地球是圆的。
那么地球的周长、半径是多少。
这是早期数学家努力去解决的问题。
（1） 埃拉托色尼是第一个验证地球是圆的，并准确计算地球周长（鲁品越 , 1992）。
如图一，希伦（S ）在亚里山大（A ）的正南方，点O 是地球的球心。
如图一，仲夏的某天，太阳在希伦S 的正天顶上，太阳能映在水井里；同一时刻，在亚里山大城A 测得的太阳光对铅垂线ON 的角，即∠PAN 是05.7，一般认为太阳光线AP 、SQ 是平行的。
因此，∠QON=∠PAN=05.7，05.7是0360的481，地球周长是弧AS 长的48倍。
他们测得了A 、S 两地的距离，于是地球周长大约是万公里。
这与现代较准确的结果4万公里相差无几。
（2） 10世纪,中亚细亚阿尔·婆罗尼曾创造一个简洁而非常有新意的方法,去测量地球半径.如图二。
用现代的记号表示是:()αcos h R R +=, 即有=R ααcos 1hcos - 其中h 是测量出人所在位置的高度,R 是地球的半径.（3） 10世纪，阿拉伯的比鲁尼三角学方面造诣很深,也曾创造性地给出了测量地球半径的方法。
首先用带有刻度的正方形ABCD 测出山高,=GT CD CE CT ⋅,其中=CT FACD AD ⋅. 再在山顶T 处悬挂一直径为SP 可以转动的圆环MPNS,如图.从山顶T 观测地平线上一点I,测得俯角α=∠OTI .（二）由于=T H =()α-090sin G T , =HG ()α-090tan G T , HI HG =.得到HG HT IT +=,从而算出地球半径()α-=090tan IT IQ 2．数学家与化圆为方化圆为方是历史上在近两千年内尺规作图三大重要问题之一。
曾研究指出，化圆为方的问题，可以通过转化为正多边形而获得解决。
如果把圆能化为正多边形，而正多边形容易化为正方形了。
这似乎为尺规作图中化圆为方问题提供解决思路。
化圆为方的另一思路是，把半月形或皮刀匠形能化归为直线形，问题也能获得解决。
在这样的研究思路中，出现了希波克拉底的半月形和阿基米德皮刀匠形这两个最有名的问题。
（1） 希波克拉底与半月形用圆规、直尺：化圆为方即作一正方形，使其面积等于给定圆形的面积。
三等分角即三等分弧。
公元前430，享有盛名的希波克拉底，利用圆的特征把曲线面积化为直线形面积的方法，把两个半月形的面积化为三角形的面积。
如图四，等腰直角三角形ABC ，以AB,BC,AC 为直径分别作三个半圆，整个图形除去以AB 为直径的半圆，得到两个半月形。
利用毕达哥拉斯定理得到，AB 为直径的半圆的面积等于BC 为直径的半圆面积与AC 为直径的半圆的面积之和，各自除去AB 为直径的半圆上弦BC 、AC 所对的弓形面积，则直角三角形ABC 的面积等于两个半月形的面积。
（2） 阿基米德与皮匠刀形皮匠刀形即三个半圆间的曲线图形。
如图五，阿基米德首先研究并提出命题：（四） （五）大半径圆内含两个相切的小半圆。
三个半圆间的曲线图形，即皮匠刀形的面积等于两个小半圆公切线长为直径的圆的面积。
因为 AB 2=AN 2+BN 2+2ANBN= AN 2+BN 2+2PN 2所以 AB 2－AN 2－BN 2＝2PN 2再由圆与圆的面积比等于其半径平方之比易得证命题成立。
（3） 阿基米德等与圆的正多边形最伟大的数学家之一阿基米德，对圆的研究给予了极大的关注，阿基米德是用圆内接正n 方形和圆的外切正n 边形来估算的。
如图六。
其《圆的度量》中研究认为，圆的面积等于一直角三角形的面积，此直角三角形的两条直角边分别等于圆的半径和圆周；圆的面积与其直径上的正方形面积之比，近似地等于11：14.圆周比直径的三倍大，所大部分小于直径的71，大于直径7110的。
除此以外，我国古代数学家祖冲之也是利用圆的正多边形去估算圆周率的，并给出了精确度非常高的圆周率的近似值。
圆的正多边形的尺规作图也是最有诱惑力的问题之一。
正多边形尺规作图与费尔马数还有紧密关系。
大数学家高斯也研究正十七边形的尺规作图问题并成功获得解决。
3．开普勒巧妙求圆的面积圆的面积是历来是人类非常关心的问题，寻求求圆面积的方法。
开普勒对圆进行深入的研究。
开普勒把半径为r 的圆分割为无数个相同的微小扇形，每个微小的扇形近似看作小等腰三角形，无数个小等腰三角形的底边Δx i 构成圆周。
如图（三），于是，圆的面积就是22212121r r r x r r x S S i i i ππ=⋅=∆=∆==∑∑∑∆ （七）C n C 54321CB n B 5……B 3B 4B 2B 1B (六)也有记载认为， 开普勒采用了一种有趣的方法：将圆等分为2n 个小扇形，如图七，然后把2n 个小扇形剪开放在一起，拼成如图八所示的近似平行四边形，平行四边形的高近似等于圆的半径r ，平行四边形的底约等于半圆的弧长πr ，于是圆的面积等于近似平行四边形的面积πr 2，从而解决了圆的面积问题。
通过对圆的分割、拼凑求其面积，我们可以发现人类是如何猜测圆的面积。
4．拿破仑四等分圆尺规作图深受数学家及广大数学爱好者的喜欢。
更为甚者，有人对作图工具提出更加严格的限制，竟然提出单尺、单规进行几何作图。
其中，军事、政治才能都显赫于世的法国皇帝、统帅拿破仑，对单规作图十分感兴趣，利用单规对圆四等分。
传说他竟然在马背上颠簸出用单规四等分圆的妙法。
具体作法：令⊙O 的半径为R. 如图九。
(1) 在⊙O 上任取一点 A,以R 为半径,自点A 起,顺次截取三段相等的弧AB 、BC 、CD.(2) 分别以A 、D 为圆心.以AC 为半径作弧，两弧交于点E.(3) 以A 为圆心,OE 为半径作弧交⊙O 于G 、H 两点，则A 、G 、D 、H 四点即为⊙O 的四等分点。
并证明如下:连AC 、DC 和AE 、OE 易见AD 是⊙O 的直径，且 30DAC =∠.在RT △ACD 中,可知,R 3AC = 则.R 3AC AE ==在RT △AOE 中,算出.R 2R R 3OE 22=-=而.R 2OE AH AG ===∴A 、G 、D 、H 为⊙O 的四等分点。
（八（九）H G E DC B O AN M LK H G F ED BC A （十二） 5．数学家与共点圆从古到今，五点圆、九点圆等共点圆问题一直受到大家关注的，经久不衰。
由此而引出了欧拉圆、泰勒圆、Miquel 圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆等。
还提出了泰勒斯定理、五圆定理、Miquel 定理。
当然，最有名的还是数九点圆，它是一个着名的几何学问题。
（1）欧拉圆欧拉圆又叫做九点圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆，如图（十），拖动三角形ABC 任一顶点，三边的中点,三高的垂足、顶点与垂心连线希的中点总是九点在同一个圆上。
公元1882年，.费尔巴哈证明了三角形的九点圆与其内切圆及旁切圆之间存在充满魅力的关系，证明了三角形的九点圆同时切于三角形的内切圆和它的三个旁切圆（单墫，2002）。
（2）Miquel 圆在任意五角星ABCDE 中，如图十一，△AJF,△BGF,△CGH,△DHI,△EIJ 的外接圆依次相交于点N 、M 、O 、L 、K 。
那么，点N 、M 、O 、L 、K 五点圆。
即就是五圆定理，此圆称为Miquel 圆。
有很多人对它感兴趣，如张景中教授在《计算机怎样解几何题》给出了证法，江泽民先生等为对五点共圆进行证明，还特意向张景中院士请教。
在出席澳门回归一周年庆典时，江先生对澳门的中学生给了这道五点共圆题。
这又引起包括中学生在内的很多人的兴趣。
对五个点共圆的证明，着名数学家丘成桐说，他也要想半小时才行。
毕竟是历史名题，曾有很多人关注过，自然在一些书中，如单墫的《数学名题词典》第429页中就能找到五点共圆的证明。
（十）（十K N M G O I L H J F A C D（3）数学家Louis Brand与八点圆1944年，数学家Louis Brand提出了八点圆呢。
在四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，由E、F、G、H身对边作垂线，垂足分别是K、L、M、N,于是E、F、G、H、K、L、M、N八点共圆。
如图十二。
（4）阿波罗尼奥斯问题生于公元前255年的阿波罗尼奥斯，在专着《论相切》中提出了一个着名的问题：给定三个元素，点、直线或圆，求作一圆通过三点（若为三点），或与给定的各直线或圆相切。