河北省衡水中学2019-2020学年度上学期高三年级五调考试数学_理科_试题
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(word版)
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题（word 版）、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2 2y =kx 与双曲线 —1相交，则k 的取值范围是94B. 2,0.3'则 log 2 b n =()5.已知直线ax y -^0与圆C: xy =1相交于A ，B ，且△ ABC 为等腰直角三角形,a 的值为（）A. 1或-1 7B. -1C. 1D.1 或-16.在ABC 中， a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，若 2 2 2a b =2014c ，则2tanA tanB的值为（）tanC tan A tan BA. 2013B.1C.0D.20147.已知点M a,b ab =0是圆C :x 2 y^r 2内一点，直线I 是以M 为中点的弦所在的直线，直线 m 的方程为bx -ay =r ，那么（）1.集合M 2x 2 -x —1c 0｝，N =｛x2x +a >q ｝，U =R ，M ■ C U•，则a 的取值范围是（）A. a 1B. a _1C. a :::1D. a 乞12.若直线3.在△ ABC 中, AB = 3 ， AC = 2 ， BD 1 —BC ，贝U AD BD 2 =(A. 52B.§ 2C. 54D.§ 44.已知数列'a n 』的前n 项和为S2=n，正项等比数列Ib n ［中,=a i ， b n .|b n4 =4$ n 一 2,n N .，A. n -1B. 2n —1C. n —2D. n则实数A. I _m 且m 与圆C 相切B. I // m 且m 与圆C 相切C. I _m 且m 与圆C 相离D. I // m 且m 与圆C 相离11. 已知点A 是抛物线x 2 =4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点， P 在抛物线上且满足PA 二mPB ，当m 取最大值时，点 P 恰好在以A , B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （） A.迈 1B.辽 1C. 2 1D. . 5 _12 212. 已知在R 上的函数f x 满足如下条件：①函数 f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意 x ・R , f 2 • x - f 2 -X [=0 ；③当 x ：= 0,2 1 时，f x ]=x ；④函数 f n x 二 f 2心・x , n N ,若过点-1,0 的 直线l 与函数f4 x 的图象在0,2 1上恰有8个交点，则直线I 斜率k 的取值范围是（） A. '0—1B. ‘0 iC. 0-^1D. ' 0 I 9 I ‘11,8,19「8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13在趣中，窗分别是角ABC 的对边，已知sin 织飞冷,心,△ABC 的面积为舟，则—山一的值为 _____________________ . sin B sin CT — —+14. 已知平面上有四点 O,A,B,C ，向量OA , OB , OC 满足: OA OB =OB OC =OC OA = -1，则△ ABC 的周长是15. 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且/ F1PF2G ，则椭圆和双曲线的8.若圆x 2 y 2 -ax 2y ^0和圆x 2 y 2 =1关于直线y = x -1对称，过点C ]—a, a 的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是（）2A. y 4x 、4y 亠8 =0 C. y 4x -4y 8 =0 2B. y 2x _2y 2 二0 2D. y _2x _y 1 =0 9.平行四边形ABCD 中, AD - -1，点M 在边CD 上，则MA MB 的最大值为（A. ,2 -1B. , 3 -1C.0D.22 210. 已知椭圆笃 Z =1 a 0,b 0上一点A 关于原点的对称点为 a b / ABF ，且-二匸，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是（一6 4B , F 为其右焦点，若 AF _ BF ，设）T —* —t 4OA OB OC =0,一3 3离心率的倒数之和的最大值为16. 已知数列⑴｝的前n项和S n=2a n—2讦，若不等式2n2—n — 3＜：(5 —&円对N*恒成立，则整数人的最大值为_________________ .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在厶ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，已知向量m= cos3A ,sin塑，n = cos- ,sinJA，且满I 2 2丿J 2 2丿足黑+片=J3.(1) 求角A的大小；⑵若b • c二3a，试判断△ ABC的形状.18. 已知圆C经过原点O 0,0且与直线y =2x_8相切于点P 4,0 .(1) 求圆C的方程；(2) 在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y =kx—1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.19. 各项均为正数的数列曲中，4=1，S.是数列鮎」的前n项和，对任意n^N*，有22S n ^2pa n pa n -p p R .(1)求常数p的值；⑵求数列的通项公式；⑶记b n =兰^ 2，求数列仏［的前n项和T n .n *3x2y2J3 47520. 已知椭圆C:x2 ^7 =1 a b 0的离心率，原点到过点A a,0 , B 0,-b的直线的距离是土二.a b 2 5(1)求椭圆C的方程；⑵如果直线y =kx，1 k = 0交椭圆C于不同的两点E,F，且E,F都在以B为圆心的圆上，求k的值.21. 已知定点F 0,1，定直线m: y - -1，动圆M过点F，且与直线m相切.(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；⑵过点F的直线与曲线C相交于A, B两点，分别过点A,B作曲线C的切线b，I2，两条切线相交于点P，2求△ PAB 外接圆面积的最小值• 22. 设函数 f x =ln x —fax 2—bx.(1)当a =b=f 时，求函数f x 的最大值；1 2 ai ⑵ 令F x 二f x ax bx , 0：：：x_3其图象上任意一点 P x o ,y o 处切线的斜率k "恒成立，求2 x 2实数a 的取值范围；⑶当a =0 , b = _1，方程2mf x =x 2有唯一实数解，求正数 m 的值.2018〜2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案、选择题、填空题1-5:BCCDD6-10:ACCDB 11、12: CA13.214.3.615.4.3316.4三、解答题17.2片 2 3A 3A解：⑴‘ m n 2m 心，代入z co 右S 巧nUcosAsi n^，有 I 2 2丿3A A . 3A .A13AA 11cos —— cos sin sin即 cos — - -cos A 二-1 2 2 222 22 22.22 2⑵法一：•A 1 cos A ,「.b 一c -a1①22bc 2联立①②解得 b =2c 或 c =2b ，又 I b —c 二 3a ,若 b =2c ，贝U a 二 3c , 二a 2 c^ 3^ 2 -c 2 =4c 2二b 2 , △ ABC 为直角三角形，同理，若c =2b ，则△ ABC 也为直角三角形 18.(1)由已知，得圆心在经过点 P 4,0且与y =2x -8垂直的直线1x 2上，它又在线段 OP 的中垂线x=2上，所以求得圆心 C 2,1，半径为.5.页22 2所以圆C 的方程为：X_2 y-1 =5.⑵ 假设存在两点 M,N 关于直线y =kx _1对称，则y =kx _1通过圆心C 2,1，求得k=1 , 所以设直线 MN 为y - _x >b ，代入圆的方程得 2x 2 - 2b 2 x b 2 - 2b = 0 ,设 M X|, -^ b , N X 2, -X 2 b ，贝VOM ON =2%x 2 -b x x 2F ：； b 2 = b 2 - 3b = 0 ,解得b =0或b =3，这时0，符合题意，所以存在直线 19.解：⑴ 由 a i =1 及 2S n =2pa ： • pa . -p n ・ N ，得:⑵由 2S n -2a ^ a n -1 ①，得 2S n ^2a n 12 - am -1 ② 由②一①，得 2a n 1 =2a n 1 _an !亠〔a n 1 -'an , 即：2 a n 1 - a n a n 1 —an ia n 1 - a n =0 ,二 a n i a n 2a n i -2a n -1 =0 , 由于数列 给f 各项均为正数，••• 2a n 1 -2a n =1，即a n -a ••擞列G 堤首项为1，公差为2的等差数列, •••数列 惊？的通项公式是 外=1 • n -11工口.2 2+1得 ： Qn(n +3 ). _ 4S n n _ n得：S n，…b n2 n 2 ，24 n 3二 T n =1 2 2 22 3 23…n 2n2T n =1 222 23 …n _1 2n n 2n 1 ,_-丄小2 丄小3 丄 丄_ n + 2112) _n + □ . , _-=2+2 +2 卜…+2-n 2=^^一〃2=十少2-2T 二 n -1 2n 1 2 .20.解：（1）因为-=3a 2 -b 2 =c 2，所以 a =2b , a2因为原点到直线AB : .x-1 的距离 d ab 4 5，解得 a - 4 , b - 2 , ab —J a 2 +b 25故所求椭圆C 的方程 为 2X21 4Zp y =kx 1⑵由题意 x 2 y 消去y ，整理得1 4k 2 x 2 8k^-1^0，可知.：0,116 4X 2 + X 3 4k1 设 E X 2,y2 , F X 3,y3 , EF 的中点是 M X M ,Y M ，贝V X M - - ―2， y M = kx M 1—2，% * * 丿 ' * 2 1+4k1+4ky 呻_ 2 1 4 k k所以 k BM = — - ,所以 X M ky M 2k =0，即卩 2 2 • 2k =0，又因为 k = 0 ,X M k 1 +4k 1 +4kMN 为y = -x 或y = —x • 3符合条件•2 =2p p _p ,所以k2 J，所以k 2.8 421.解：(1)设点M到直线l的距离为d，依题意M2| =d，设M (x,y )，则有J x2+(y—1 j = y+［，化简得x2 =4y.所以点M 的轨迹C的方程为x2 =4y.、r 2 2⑵设I AB： y =kx 1，代入x =4y 中，得x -4kx-4 =0,设 A X1, y1 ， B X2,y2 ，2则洛• x2=4k，x x2- -4，所以AB = 1 k2x^ x2= 4 k2 1 ，因为C : x2 = 4y，即y =中，所以Y，所以直线h的斜率为k^X1，直线l2的斜率为k2二丝，因为k*2 =空--1，所以PA_PB，即△ PAB为2 2 4直角三角形.所以△ PAB的外接圆的圆心为线段AB中点，线段AB是直径，因为AB =4 k21，所以当k =0时线段AB最短，最短长度为4,此时圆的面积最小，最小面积为4:.22.解：(1)依题意，知f x的定义域为0,；，当 a 二b 二1时，f x =1 nx-1x2—1x，2 4 2. 1 1 1 —(x +2 (x —1 )f ' X X —x 2 2 2x令 f ' x =0,解得x =1.( ••• x -0)因为g x]=0有唯一解，所以g X2 =0，当0：：：x：：：1时，f ' x・0,此时fx单调递增;当x 1时，f' x <0，此时f x单调递减,所以f x的极大值为f 1 - -3，此即为最大值.4(2) F x =l nx，a, x"0,3〕，则有k二F'怡二匹乞1，在X。
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，，若，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合M、N,再求，再根据得到a的不等式，即得解.【详解】由题得，因为，所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查集合的化简运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题时要注意取等的问题，最好把等号带进原题检验.2.若直线与双曲线相交，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】联立直线和双曲线的方程得到，即得的取值范围.【详解】联立直线和双曲线的方程得当，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点.当，，解之得.故答案为：C【点睛】本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.在中，，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如图所示，由==，可得，代入即可得出．【详解】如图所示，∵==，∴，∴•===﹣．故答案为：4.已知数列的前项和为，正项等比数列中，，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得a n．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），化为q2=4，解得q，可得b n．【详解】数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，∴a1=S1=0，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2，n=1时也成立．∴a n=2n﹣2．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，b2=a3=4．b n+3b n﹣1=4b n2（n≥2，n∈N+），∴=4，化为q2=4，解得q=2．∴b1×2=4，解得b1=2．∴b n=2n．则log2b n=n．故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.5.已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为( )A. 或B.C.D. 1或【答案】D【解析】【分析】由三角形ABC为等腰直角三角形，得到圆心C到直线的距离d=rsin45°，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到a的值．【详解】∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离d=rsin45°，即=，整理得：1+a2=2，即a2=1，解得：a=﹣1或1，故答案为：D【点睛】此题考查了直角与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6.在中，分别是角的对边，若，则的值为( )A. B. 1 C. 0 D. 2014【答案】A【解析】【分析】由a2+b2=2014c2，利用余弦定理可得a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．利用三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理可得===即可得出．【详解】∵a2+b2=2014c2，∴a2+b2﹣c2=2013c2=2abcosC．∴====2013．故答案为：A【点睛】本题考查了三角函数基本关系式和两角和的正弦公式、正弦定理、余弦定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．7.已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，那么( )A. 且与圆相切B. 且与圆相切C. 且与圆相离D. 且与圆相离【答案】C【解析】【分析】求圆心到直线的距离，然后与a2+b2＜r2比较，可以判断直线与圆的位置关系，易得两直线的关系．【详解】以点M为中点的弦所在的直线的斜率是﹣，直线m的斜率为，∴直线l⊥m，∵点M（a，b）是圆x2+y2=r2内一点，∴a2+b2＜r2，∴圆心到bx﹣ay=r2的距离是＞r，故相离．故答案为：C【点睛】本题主要考查直线的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8.若圆和圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出两个圆的圆心坐标，两个半径，利用两个圆关于直线的对称知识，求出a的值，然后求出过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，就是圆心到C的距离等于圆心到y轴的距离，即可求出圆心P的轨迹方程．【详解】圆x2+y2﹣ax+2y+1=0的圆心（），因为圆x2+y2﹣ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x﹣1对称，设圆心（）和（0,0）的中点为（），所以（）满足直线y=x﹣1方程，解得a=2，过点C（﹣2，2）的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为（x，y）所以解得：y2+4x﹣4y+8=0，所以圆心的轨迹方程是y2+4x﹣4y+8=0，故答案为：C【点睛】（1）本题主要考查圆关于直线的对称问题，考查动点的轨迹方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)求轨迹方程的四种主要方法：①待定系数法：通过对已知条件的分析，发现动点满足某个曲线（圆、圆锥曲线）的定义，然后设出曲线的方程，求出其中的待定系数，从而得到动点的轨迹方程.②代入法：如果点的运动是由于点的运动引起的，可以先用点的坐标表示点的坐标，然后代入点满足的方程，即得动点的轨迹方程.③直接法：直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程.④参数法：动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.9.平行四边形中，，，点在边上，则的最大值为( )A. B. C. 0 D. 2【答案】D【解析】【分析】根据向量的数量积的运算，求出A=120°，再建立坐标系，得到•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决．【详解】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，•=﹣1，点M在边CD上，∴||•||•cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴•=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则•的最大值是2，故答案为：D【点睛】本题考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示和函数的最值问题，关键是建立坐标系，属于中档题．10.已知椭圆上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 椭圆=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，四边形AFF 1B 为长方形．根据椭圆的定义：|AF |+|AF 1|=2a ，∠ABF=α，则∠AF 1F=α．椭圆的离心率e===，α∈[，]，≤sin （α+）≤1，≤≤﹣1，即可求得椭圆离心率e 的取值范围．【详解】椭圆=1（a ＞b ＞0）焦点在x 轴上，椭圆上点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，设左焦点为F 1，连接AF ，AF 1，BF ， BF 1，∴四边形AFF 1B 为长方形． 根据椭圆的定义：|AF |+|AF 1|=2a ， ∠ABF=α，则：∠AF 1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e===，α∈[，]，∴≤α+≤，则：≤sin （α+）≤1，∴≤≤﹣1，∴椭圆离心率e 的取值范围：，故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型．(2) 求离心率的取值范围常用的方法有以下三种：①利用圆锥曲线的变量的范围，建立不等关系；②直接根据已知中的不等关系，建立关于离心率的不等式；③利用函数的思想分析解答.11.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|,∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故答案为：C【点睛】本题考查抛物线的性质，考查双曲线、抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，是解题的关键．(2)圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法.12.已知在上的函数满足如下条件：①函数的图象关于轴对称；②对于任意，；③当时，；④函数，，若过点的直线与函数的图象在上恰有8个交点，则直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件分别判断函数的周期性，奇偶性以及函数在一个周期上的图象，利用函数与图象之间的关系，利用数形结合进行求解即可．【详解】∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）是偶函数，由f（2+x）﹣f（2﹣x）=0得f（2+x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即f（x+4）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，若x∈[﹣2，0]，则x∈[0，2]，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x，∴当﹣x∈[0，2]时，f（﹣x）=﹣x，∵函数f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣x=f（x），即f（x）=﹣x，x∈[﹣2，0]，则函数f（x）在一个周期[﹣2，2]上的表达式为f（x）=，∵f（n）（x）=f（2n﹣1•x），n∈N*，∴数f（4）（x）=f（23•x）=f（8x），n∈N*，故f（4）（x）的周期为，其图象可由f（x）的图象压缩为原来的得到，作出f（4）（x）的图象如图：易知过M（﹣1，0）的斜率存在，设过点（﹣1，0）的直线l的方程为y=k（x+1），设h（x）=k（x+1），则要使f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点，则0＜k＜k MA，∵A（，0），∴k MA==，故0＜k＜，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件判断函数的性质，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．(2)函数零点问题的处理常用的有方程法、图像法、方程+图像法. 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在中，分别是角的对边，已知，，的面积为，则的值为_______________.【答案】2【解析】【分析】根据解出A=，利用三角形的面积公式算出c=2．根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA的式子算出c=，最后利用正弦定理加以计算，即可得到答案．【详解】∵，A∈（0，π）∴2A+=，可得A=∵b=1，△ABC的面积为，∴S=bcsinA=，即，解之得c=2由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3∴a=（舍负）根据正弦定理，得===2故答案为：2【点睛】本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．14.已知平面上有四点，向量，，满足：，，则的周长是_______________.【答案】【解析】【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．【详解】平面上有四点O，A，B，C，满足++=，∴O是△ABC的重心，∵•=•，∴•（﹣）=•=0，即：⊥，同理可得：⊥，⊥，即O是垂心，故△ABC是正三角形，∵•=•=•=﹣1，令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（）=﹣1即：R=即：==2R=2，故周长：3a=3，故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的有关知识以及正弦定理解三角形等有关知识，属于中档题．15.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.【答案】【解析】【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值.【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2,∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．属于难题．16.已知数列的前项和，若不等式对恒成立，则整数的最大值为________________.【答案】4【解析】【分析】由数列递推式求得首项，然后构造出等差数列{}，求出通项后代入不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，整理后得到5﹣λ．然后根据数列的单调性求得最值得答案．【详解】当n=1时，，得a1=4；当n≥2时，，两式相减得，得，∴．又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．∵a n＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）a n，等价于5﹣λ．记，n≥2时，．∴n≥3时，，．∴5﹣λ，即，∴整数λ的最大值为4．故答案为:4【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，考查了不等式的恒成立问题，是中档题．(2)解答本题的关键有两点,其一是根据求数列的通项,其二是求的最大值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角的对边分别是，已知向量，，且满足.(1)求角的大小；(2)若，试判断的形状.【答案】（1）（2）直角三角形【解析】【分析】(1)直接化简得，.（2）联立①，②，化简得或，当b=2c时，可以推理得到为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.【详解】(1)∵，代入，，有，∴，即，∴，.(2)∵，∴①又∵②联立①②有，，即，解得或，又∵，若，则，∴，为直角三角形，同理，若，则也为直角三角形.【点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换，考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是推理得到或.18.已知圆经过原点且与直线相切于点（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）在圆上是否存在两点关于直线对称，且以线段为直径的圆经过原点？若存在,写出直线的方程；若不存在，请说明理由【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知得圆心经过点P（4，0）、且与y=2x﹣8垂直的直线上，它又在线段OP的中垂线x=2上，求得圆心C（2，1），半径为，可得圆C的方程．（Ⅱ）假设存在两点M，N关于直线y=kx﹣1对称，则y=kx﹣1通过圆心C（2，1），求得k=1，设直线MN为y=﹣x+b，代入圆的方程，利用韦达定理及•=0，求得b的值，可得结论．【详解】（Ⅰ）法一：由已知，得圆心在经过点且与垂直的直线上，它又在线段的中垂线上，所以求得圆心，半径为.所以圆的方程为.(细则：法一中圆心3分，半径1分，方程2分)法二：设圆的方程为，可得解得,所以圆的方程为(细则：方程组中一个方程1分)（Ⅱ）假设存在两点关于直线对称，则通过圆心，求得，所以设直线为代入圆的方程得，设，，则解得或这时，符合题意，所以存在直线为或符合条件(细则：未判断的扣1分).【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，向量的坐标运算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中把直线的方程和椭圆方程联立，转化为方程的根与系数的关系、韦达定理的应用是解答问题的关键19.各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有.(1)求常数的值；(2)求数列的通项公式；(3)记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)令中n=1即得p的值.(2)利用项和公式求数列的通项公式.(3)先求出，再利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解：(1)由及，得：，∴.(2)由①，得②由②－①，得，即：，∴，由于数列各项均为正数，∴，即，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴数列的通项公式是.(3)由，得：，∴，∴，.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等差数列的通项和求和公式，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.20.已知椭圆的离心率，原点到过点，的直线的距离是.(1)求椭圆的方程；(2)如果直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由题得到a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程.(2)联立直线和椭圆的方程消去y得到，可知，设，，的中点是，求出M的坐标，再根据求出k的值.【详解】解：(1)因为，，所以，因为原点到直线的距离，解得，，故所求椭圆的方程为.(2)由题意消去，整理得，可知，设，，的中点是，则，，所以，所以，即，又因为，所以，所以.【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是利用韦达定理求出点M的坐标，根据已知得到.21.已知定点，定直线：，动圆过点，且与直线相切.（Ⅰ）求动圆的圆心轨迹的方程；（Ⅱ）过点的直线与曲线相交于，两点，分别过点，作曲线的切线，，两条切线相交于点，求外接圆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设，由化简即可得结论；（Ⅱ）由题意的外接圆直径是线段，设：，与联立得，从而得，时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.试题解析：（Ⅰ）设点到直线的距离为，依题意.设，则有.化简得.所以点的轨迹的方程为.（Ⅱ）设：，代入中，得.设，，则，.所以.因为：，即，所以.所以直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以，即为直角三角形.所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是直径.因为，所以当时线段最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为.【方法点晴】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题（Ⅰ）就是利用方法①求圆心轨迹方程的.22.设函数.(1)当时，求函数的最大值；(2)令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间即得函数的最大值.(2)由题得，.再求右边二次函数的最大值即得.(3)转化为有唯一实数解，设，再研究函数在定义域内有唯一的零点得解.【详解】(1)依题意，知的定义域为，当时，，，令，解得.(∵)因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，所以的极大值为，此即为最大值.(2)，，则有，在上恒成立，所以，.当时，取得最大值，所以.(3)因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设，则，令，，因为，，所以(舍去)，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，，取最小值.则，即，所以，因为，所以(*)设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解，因为，所以方程(*)的解为，即，解得.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数研究函数的零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)研究函数的零点问题常用的有方程法、图像法、方程+图像法.。
2019-2020学年人教A版河北省衡水中学高三(上)期中理科数学试卷(解析版)
2019-2020学年高三上学期期中（理科）数学试卷一、选择题1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．42．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为．16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有-项符合题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线与直线ax+4y+1＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值．解：f（x）＝x cos x+3x的导数为f′（x）＝cos x﹣x sin x+3，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为cos0﹣0+3＝4，由切线与直线ax+4y+1＝0垂直，可得﹣＝﹣，即a＝1．故选：C．2．已知各项不为0的等差数列{a n}满足a5﹣2a72+2a8＝0，数列{b n}是等比数列且b7＝a7，则b2b12等于（）A．B．C．D．【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7＝2，求得a7的值，再根据b2b12＝计算．解：由a5﹣2a72+2a8＝0，得a5+2a8＝2a72，即3（a1+6d）＝2a72，即3a7＝2a72，∵a7≠0，∴a7＝＝b7，则b2b12＝＝．故选：C．3．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（）A．①②B．①②③C．②③D．①②④【分析】解题思路：对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”．逐项寻找就可以了！解：对于函数①，当x∈[0，1]，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；对于函数②f（x）＝x2﹣1，当x∈[﹣1，0]时，则有f（x）∈[﹣1，0]，符合题意；对于函数③，当x∈[0，1]时，则有f（x）∈[0，1]，符合题意；由选项可知，应选B，故选：B．4．设θ为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，|的最小值为1，则（）A．若|确定，则θ唯一确定B．若|确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则|唯一确定D．若θ确定，则|唯一确定【分析】由题意可得，（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＜0，运用二次函数的性质，求出最小值，结合向量的数量积的性质，即可得到答案．解：（）2＝，则令g（t）＝，可得判别式△＝4（）2﹣4＝4﹣4＝﹣4sin2θ＜0，由二次函数的性质，可得g（t）＞0恒成立．且当t＝﹣＝﹣cosθ时，g（t）最小，且为1．即g（﹣cosθ）＝﹣||2cos2θ+||2＝||2sin2θ＝1，故当θ唯一确定时，||唯一确定．故选：D．5．已知点P（x，y）是直线y＝2x﹣4上一动点，PM与PN是圆C：x2+（y﹣1）2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为（）A．B．C．D．【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM 最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．解：圆C：x2+（y﹣1）2＝1圆心坐标为（0，1），半径为1；由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM＝1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小．∵P是直线y＝2x﹣4上的动点，∴PC最小值＝＝，∴PM最小值＝＝，∴四边形PMCN面积的最小值为：2×＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则＝（）A．B．C．﹣1 D．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值．解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象，可得A＝2，由2sinφ＝，求得φ＝．再根据五点法作图，可得ω•+＝，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x+），∴f（）＝2sin（+）＝﹣2cos＝﹣1，故选：C．7．已知函数，若f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，则实数a的最小正值为（）A．2πB．πC．D．【分析】将函数式f（x）进行化简求出最小正周期，并将恒成立问题转化为周期问题即可．解：∵f（x）＝﹣4sin x cos x＝﹣2sin2x∴f（x）的最小正周期为T＝π；又∵f（x﹣a）＝﹣f（x+a）恒成立，∴f（x）＝﹣f（x+2a）⇒﹣f（x）＝f（x+2a），而﹣f（x）＝f（x﹣2a），∴f（x+2a）＝f（x﹣2a）⇒f（x）＝f（x+4a），∴f（x）是以4a为周期的函数，∴4a＝π，⇒a＝；故选：D．8．设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，则数列{}的前20项和为（）A．B．C．D．【分析】根据数列的递推公式可得数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，即可得到＝（）n﹣1，再根据等比数列的求和公式即可求出．解：设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，a n+1＝2S n，∴a n＝2S n﹣1，∴a n+1﹣a n＝2a n，∴a n+1＝3a n，∴数列{a n}是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴a n＝3n﹣1，当n＝1时也满足，∴＝（）n﹣1，∴数列{}的前20项和为＝﹣故选：A．9．椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可．解：椭圆的左右焦点分别是F1、F2，以F2为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线PF1恰好与圆F2相切于点P，可得（2a﹣c）2+c2＝4c2，可得2a2﹣2ac＝c2，所以e2+2e﹣2＝0，e∈（0，1），解得e＝＝．故选：A．10．已知函数的图象的一条对称轴为直线，且f（x1）•f（x2）＝﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．0 C．D．【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．解：函数＝sin（x+θ）的图象的一条对称轴为直线，∴f（）＝+＝±，解得a＝±1．当a＝1时，f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），∵f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1）和f（x2）一个为﹣2，另一个为2，∴x1＝2kπ﹣，x2＝2kπ+，则|x1+x2|＝|4kπ+|，k∈Z．故当k＝0时，|x1+x2|取得最小值为．当a＝﹣1时，同理求得，|x1+x2|取得最小值为，故选：D．11．若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，则k的取值范围为（）A．（﹣∞，e）B．[0，e] C．（﹣∞，2）D．（0，2]【分析】利用函数求导函数f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），只有一个极值点时f′（x）＝0只有一个实数解有e x﹣kx≥0，设新函数设u（x）＝e x，v （x）＝kx，等价转化数形结合法即可得出结论，解：函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝e x（x﹣2）﹣kx2+2kx＝（x﹣2）（e x﹣kx），若函数f（x）＝e x（x﹣3）﹣kx3+kx2只有一个极值点，f′（x）＝0只有一个实数解，则：e x﹣kx≥0，从而得到：e x≥kx，当k＝0 时，成立．当k≠0时，设u（x）＝e x，v（x）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．12．双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交曲线左支于A，B两点，△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若该双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．B．C．D．【分析】设|BF2|＝2m，根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，以及双曲线的性质可得|AF2|＝2a（3﹣），|AF1|＝2a（2﹣），再根据勾股定理即可求出解：设|BF2|＝2m，∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形，且∠AF2B＝30°，∴|AB|＝|BF2|＝m，|AF2|＝|BF2|＝m，由|AF2|﹣|AF1|＝2a，∴|AF1|＝m﹣2a，由|BF2|﹣|BF1|＝2a，∴|BF1|＝2m﹣2a，∴|AF1|+|BF1|＝AB，∴m﹣2a+2m﹣2a＝m，∴m＝2a（﹣1），∴|AF2|＝•2a（﹣1）＝2a（3﹣）|AF1|＝2a（3﹣）﹣2a＝2a（2﹣）又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2＝4c2，即4a2（3﹣）2+4a2（2﹣）2＝4c2，即（19﹣10）a2＝c2，∴e2＝19﹣10，故选：D．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13．已知向量，，||＝1，||＝2，且|2+|＝，则•＝．【分析】根据，对两边平方即可得出，从而可求出．解：∵||＝1，||＝2，且|2+|＝，∴＝，∴．故答案为：．14．已知抛物线E：y2＝12x的焦点为F，准线为l，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作AM⊥l，垂足为M，AM的中点为N，若AM⊥FN，则|AB|＝16 ．【分析】由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案．解：由题意画出图形如图，∵AF＝AM，N为AM的中点，且FN⊥AM，∴∠AFN＝30°，则直线AB的倾斜角为60°，斜率为．由抛物线y2＝12x，得F（3，0），则直线AB的方程为y＝（x﹣3）．联立，得x2﹣10x+9＝0．则x A+x B＝10，∴|AB|＝x A+x B+p＝16．故答案为：16．15．已知函数f（x）＝（x2﹣2x）e x﹣1，若当x＞1时，f（x）﹣mx+l+m≤0有解，则m的取值范围为（﹣1，+∞）．【分析】先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围．解：∵f（x）﹣mx+1+m≤0，∴f（x）≤m（x﹣1）﹣1，∵y＝m（x﹣1）﹣1且过定点（1，﹣1），∵当x＞1时，f（x）﹣mx+1+m≤0有解，∴当x＞1时，存在y＝f（x）在y＝m（x﹣1）﹣1的下方，∵f'（x）＝（x2﹣2）e x﹣1，令f'（x）＝0，解得x＝，当1＜x＜时，f'（x）＜0，当x＞时，f'（x）＞0，∴f（x）在（1，）上递减，在（）上递增，∵当x＞2时，f（x）＞0，又f（1）＝﹣1，f（）＜﹣1，f（2）＝0，∴m＞﹣1，故答案为：（﹣1，+∞）16．数列{a n}为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出a1＝1，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，…，如此继续，则a2019＝ 1 ．【分析】由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），进而得出结论．解：由数列{a n}的构造方法可知a1＝1，a3＝2，a7＝3，a15＝4，可得＝n，即＝a k（1≤k＜2n﹣1），故a2019＝a996＝a485＝a230＝a103＝a40＝a9＝a2＝1．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝α．（1）当α＝60o时，求绿化面积；（2）试求地块的绿化面积S（α）的取值范围．【分析】（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形，结合已知即可求解；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，由正弦定理可表示BE，同理可得CF，然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简，而s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF ＝，代入结合正弦函数的性质可求．解：（1）当α＝60o时，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF为平行四边形，△BDE和△CDF 都为边长为1km的等边三角形，面积，绿化面积＝km2；（2）由题意可得，30°＜α＜90°，在△BDE中，∠BED＝120°﹣α，由正弦定理可得，，∴BE＝，△CDF中，∠CDF＝120°﹣α，∠CFD＝α，由正弦定理可得，，∴CF＝，∴BE+CF＝+＝，＝═＝1＝1，∴s（α）＝s△ABC﹣s△BDE﹣s CDF＝＝（30°＜α＜90°），，，∴，∴，答：地块的绿化面积S（α）的取值范围（]18．已知等差数列{a n}前n项和S n，等比数列{b n}前n项和为T n，a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4．（1）若a3+b3＝7，求数列{b n}的通项公式；（2）若T3＝13，求S5．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知列关于d 和q的方程组，求得q，可得数列{b n}的通项公式；（2）由b1＝1，T3＝13列式求得q，然后分类求解S5．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由a1＝1，b1＝1，a2+b2＝4，a3+b3＝7，得，解得q＝2．∴；（2）由b1＝1，T3＝13，得1+q+q2＝13，即q＝﹣4或q＝3．当q＝﹣4时，b2＝﹣4，此时a2＝4﹣b2＝8，d＝a2﹣a1＝7，；当q＝3时，b2＝3，此时a2＝4﹣b2＝1，d＝a2﹣a1＝0，S5＝5a1＝5．综上，S5＝75或5．19．已知圆D：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，点A在抛物线C：y2＝4x上，O为坐标原点，直线OA与圆D有公共点．（1）求点A横坐标的取值范围；（2）如图，当直线OA过圆心D时，过点A作抛物线的切线交y轴于点B，过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点，过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N，求证：M为PN中点．【分析】（1）根据题意设出直线OA的方程，联立抛物线方程可表示出交点A的坐标，再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围，继而算出A点横坐标的范围；（2）对抛物线求导，可求出AB的斜率，继而写出AB的方程，可以求得B点坐标，设出直线l及交点坐标，联立直线与抛物线方程可以推得y P+y N＝2y M，得出结论．解：（1）由题意直线OA斜率存在且不为零，设l OA：y＝kx，则由'解得，又D（2，1）到l OA：kx﹣y＝0的距离为，即，所以．（2）证明：当直线OA过圆心D（2，1）时，，＝16，A（16，8），由y2＝4x（y＞0）可得，所以，所以，所以，即，所以B（0，4），设l：y＝mx+4，P（），Q（），由，l OQ：，得，y N＝，由，解得my2﹣4y+16＝0，所以，，所以＝，即M为PN中点．20．已知等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}．（1）若a1＝0，d＝，求集合S；（2）若a1＝，求d使得集合S恰有两个元素；（3）若集合S恰有三个元素，b n+T＝b n，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列{a n}的通项公式及集合S．【分析】（1）根据等差数列的通项公式写出a n，进而求出b n，再根据周期性求解；（2）由集合S的元素个数，分析数列b n的周期，进而可求得答案；（3）分别令T＝1，2，3，4，5进行验证，判断T的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列a n的通项公式及集合S．解：（1）∵等差数列{a n}的公差d∈（0，π]，数列{b n}满足b n＝sin（a n），集合S＝{x|x＝b n，n∈N*}，∴a1＝0，d＝，，∴b n＝sin（a n）＝0，，故S＝{0，}；（2）a1＝，，d∈（0，π]，根据题意，集合S恰有两个元素；当d＝π时，sin（）＝，故成立，因为a1＝，要使a n（n≥2）的值唯一，在一个周期内，角的终边关于y轴对称，且值相等如图3d＝2π，d＝，故d＝π或；（3）①当T＝3时，b n+3＝b n，集合S＝{b1，b2，b3}，符合题意．与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时．②当T＝4时，b n+4＝b n，sin（a n+4d）＝sin a n，或a n+4d＝2kπ﹣a n，等差数列a n的公差d∈（0，π]，故，，又k＝1或2，∴当k＝1时满足条件，此时S＝{0，1，﹣1}与之相应的一个等差数列a n的通项公式为，此时S＝{0，1，﹣1}21．已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx，．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）令h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间；（Ⅱ）求出h（x）＝mf（x）+g（x）（m＞0）的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点x1，x2（x1＜x2），所在位置，即可证明：．解：（Ⅰ）由题可知，f'（x）单调递增，且f'（1）＝0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x≥1时，f'（x）≥0；因此f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：由有两个零点可知由且m＞0可知，当0＜x＜1时，h'（x）＜0，当x≥1时，h'（x）≥0；即h（x）的最小值为，因此当时，，可知h（x）在上存在一个零点；当x＝e时，，可知h（x）在（1，e）上也存在一个零点；因此，即．22．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过定点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y＝kx﹣（k∈R）与椭圆C交于A、B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点？若存在，求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值，若不存在，说明理由．【分析】（1）运用离心率公式和点M满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，设P（0，p），求得向量PA，PB和数量积，再由直径所对的圆周角为直角，结合向量垂直的条件，即可得到结论．解：（1）由已知可得，∴椭圆C的方程为；（2）由得：9（2k2+4）x2﹣12kx﹣43＝0①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程①的两根，∴，设P（0，p），则，＝假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，则，即．即（18p2﹣45）k2+36p2+24p﹣39＝0对任意k∈R恒成立，∴，此方程组无解，∴不存在定点满足条件．。
2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(理)试题Word版含解析
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．集合 范围是 A． 2．若直线
B． 与双曲线
，
，
，若
C．
D．
相交，则 的取值范围是
，则 的取值
A．
B．
C．
D．
3．在
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
的前 项和为
，则
A．
B．
C．
5．已知直线
与圆
角形，则实数 的值为
，正项等比数列
中，
，
D．
相交于 ， ，且
为等腰直角三
A． 或
B．
C．
D． 1 或
6．在 A．
中，
分别是角
的对边，若
B． 1 C． 0 D． 2014
，则
的值为
7．已知点 线 的方程为
，已知向量
，
，且
满足
.
(1) 求角 的大小；
(2) 若
，试判断
的形状 .
18．已知圆 经过原点
且与直线
相切于点
（Ⅰ）求圆 的方程；
（Ⅱ）在圆 上是否存在两点
关于直线
对称，且以线段 为直径的圆经过原点？
若存在 ,写出直线 的方程；若不存在，请说明理由
19 ．各项均为正数的数列
中，
， 是数列 的前 项和，对任意
22 ．设函数
.
(1) 当
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题含答案
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4 ．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．集合 范围是 A． 2．若直线
B． 与双曲线
，
，
，若
C．
D．
相交，则 的取值范围是
【详解】 联立直线和双曲线的方程得
（-
当
时，
，直线和双曲线的渐近线重合，所以直线与双曲线没有公共点
.
当
时，
，
，解之得
.
故答案为： C
பைடு நூலகம்
【点睛】
本题主要考查直线和双曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力
.
2
3． C
【分析】
如图所示，由 【详解】 如图所示，
==
∵= =
，
∴
，
∴ ?= 故答案为：
的图象关于 轴对称；②对于任意
，
；③当
时，
；④函数
，
，若过
点
的直线 与函数
的图象在
上恰有 8 个交点，则直线 斜率 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13 ．在
中， 分别是角
的对边，已知
，，
的值为 _______________.
14 ．已知平面上有四点
，向量 ， ， 满足：
，
，则
的周长是 _______________.
-
，再根据
得到 a 的不等式，即得解 .
，
，
河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理
河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理第一卷〔选择题共60分〕【一】选择题〔每题5分，共60分〕1.假设复数ii a 21-+是纯虚数,那么实数a 的值为〔〕A.2B.21- C.51D.52- 2.以下四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是()A .2log y x =B .1y x =C .1()2x y =-D .13y x =4.为了解儿子身高与其父亲身高的关 系，随机抽取5对父子的身高数据如下：那么y 对x 的线性回归方程为 ()A 1-=x y 、B.1+=x y C 、8821+=x y D.176=y 5.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系〔〕 A.99.9%B.99%C.97.5%D.95%A.第10项B .第9项C .第8项D :第7项 7.33)6cos(-=-πx ，那么=-+)3cos(cos πx x ()A.332- B.332±C.1-D.1±8.过(2,2)点且与曲线222220x y x y ++--=相交所得弦长为()A 、3420x y -+=B 、3420x y -+=或2x =C 、3420x y -+=或2y =D 、2x =或2y = 9.两点(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，假设255OA tOB -≤，那么实数t 的值为()A.56B.65C.1D.3410.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是〔〕A.168B.96C.72D.14411.某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，那么该几何体的表面积为〔〕A 、π42616++2cmB 、π32616++2cmC 、π42610++2cmD 、π32610++2cm 12、方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，那么以下有关两根关系的结论正确的选项是〔〕A 、sin cos ϕϕθ=B 、sin cos ϕϕθ=-C 、cos sin ϕθθ=D 、sin sin θθϕ=-第二卷非选择题〔共90分〕【二】填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13.一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积和半球的体积相等，那么那个圆锥的母线与轴所成角正弦值为14.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，222a c b -=，且s i n c o s 3c o ss i n A C A C =求b=15.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，那么ab 312+的最小值为 16.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为na ，那么 数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是__________、【三】解答题〔共6个小题，共70分〕17.〔此题总分值12分〕为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学进行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，总分值为100分)进行统计、请你依照尚未完成并有局部污损的频率(1)假设用系统学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直截了当填在表格内)，并作出频率分布直方图； (3)假设成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 18、〔此题总分值12分〕如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.〔1〕求证：AB 1//面BDC 1；〔2〕求二面角C 1—BD —C 的余弦值； 〔3〕在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.19.〔此题总分值12分〕如下图，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建筑一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R =，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ. 〔1〕将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.〔2〕假设m R 3=，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S 有最大值？ 其最大值是多少？20、〔此题总分值12分〕如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，假设172AF =，252AF =. 〔1〕求曲线1C 和2C 的方程；〔2〕过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交A C D MO Q FBP于B 、C 、D 、E 四点，假设G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？假设是求出定值；假设不是说明理由.21、〔此题总分值12分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =、(1)将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2)关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3)关于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”、设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？假设存在，求出“分界线”的方程；假设不存在，请说明理由、 请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分.此题总分值10分。
2019年河北衡水中学高三上学期第五次调研考试数学(理)试卷(含答案)
高考数学精品复习资料2019.520xx —20xx 学年度第一学期高三年级五调考试数学（理）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( )A. －i 2 B ．－12 C.12 D ．i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）, 则该几何体的体积为（ ）3m ． A ．37B.29C ．27D.494．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测， 这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率 为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握 程度越大．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．10236．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K <9? D ．K ≤11? 7.已知43sin()sin 0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于（ ） A.45-B.35-C.45D.358.已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（ ） A.4π B. 41π- C. 8π D. 81π-9.函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是 （ ）A.(1,2)B.)2,23()23,1(Y C.3[,2)2 D. 3(1,)210.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（ ）A ．732B ．312C ．32D ．7211.已知双曲线12222=-b y a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定 12．数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ）A.84B.168C.76D.152第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++L =14.已知f (x )是R 上的减函数，A (3，-1)，B (0，1)是其图象上两个点，则不等式|(1ln )|1f x +< 的解集是__________15.已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=16.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于 ．三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程） 17. （本小题满分12分）已知圆O 的半径为R (R 为常数),它的内接三角形ABC 满足B b aC A R sin )2()sin (sin 222-=-成立,其中c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边,求三角形ABC 面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。
河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学(理)试题 Word版含答案
2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( ) A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( )A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( ) A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( ) A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( )A.24480y x y -++=B.22220y x y +-+=C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △的面，则sin sin b cB C++的值为_______________. 14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=.(1)求角A 的大小；(2)若b c +，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值；(2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -的直线.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切.(1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值.22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA 二、填空题13.2 14. 16.4 三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=， 解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n n n S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-②由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+.20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =，因为原点到直线:1x yAB a b -=的距离d ==，解得4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x kx k +-==+，21114M M y kx k =+=+，所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠，所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y ，则有1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k -=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x x k k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时， ()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。