机械振动5多自由度振动7矩阵迭代法.
机械振动发展史
公元前1000多年，中国商代铜铙已有十二音律中的九律，并有五度谐和音程的概念。
在战国时期，《庄子•徐无鬼》中就记载了同频率共振现象。
人们对与振动相关问题的研究起源于公元前6世纪毕达哥拉斯(Pythagoras)的工作，他通过试验观测得到弦线振动发出的声音与弦线的长度、直径和力的关系。
意大利天文学家、力学家、哲学家伽利略(Galileo Galilei) 经过实验观察和数学推算，于 1 5 8 2年得到了单摆等时性定律。
荷兰数学家、天文学家、物理学家惠更斯(c . Huygens)于1 6 7 3 年著《关于钟摆的运动》提出单摆大幅度摆动时并不具有等时性这一非线性现象，并研究了一种周期与振幅无关的等时摆。
法国自然哲学家和科学家梅森(M. Mersenne)于1623年建立了弦振动的频率公式，梅森还比伽利略早一年发现单摆频率与摆长平方成反比的关系。
英国物理学家胡克(R. Hooke)于1 6 7 8 年发表的弹性定律和英国伟大的物理学家、数学家、天文学家牛顿(I. Newton)于1 6 8 7年发表的运动定律为振动力学的发展奠定了基础。
在下面对振动发展史的简述中，主要是针对线性振动、非线性振动、随机振动以及振动信号采集和处理这三个方面进行的。
而关于线性振动和非线性振动发展史的简介中，又分为理论研究和近似分析方法两个方面。
线性振动理论在18世纪迅速发展并趋于成熟。
瑞士数学家、力学家欧拉（L. Euler）于1728年建立并求解了单摆在有阻尼介质中运动的微分方程； 1 7 3 9 年研究了无阻尼简谐受迫振动，并从理论上解释了共振现象； 1 7 4 7 年对九个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出微分方程组并求出精确解，从而发现线性系统的振动是各阶简谐振动的叠加。
法国数学家、力学家拉格朗日J丄.Lagrange）于1 76 2年建立了离散系统振动的一般理论。
最早被研究的连续系统是弦线，法国数学家、力学家、哲学家达朗伯J. le R. d, Alembert）于1 7 4 6 年发表的《弦振系统是弦线，法国数学家、力学家、哲学家达朗伯（J . 1e R. d, Alem bert）于1 7 4 6年发表的《弦振动研究》将他发展的偏微分方程用于弦振动研究，得到了弦的波动方程并求出行波解。
第4章多自由度系统振动
坐标X下系统：
MX KX P
坐标Y 下系统：
T T MTY T T KTY T T P
如果恰巧Y 是主坐标： T T MT T T KT 对角阵
2021年3月6日
第4章多自由度系统振动
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这样的T 是否存在？如何寻找？
4
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
当T 矩阵非奇异时，称矩阵A 与矩阵（TTAT） 合同。
2021年3月6日
8
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
三自由度系统
振动形式1
振动形式2
振动形式3
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相 同外，随时间变化的规律都相同的运动 。
2021年3月6日
思考：同步振动是不是解耦振动？
9
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
柔度矩阵： F中的元素fij是使系统仅在第 j 个坐标受到单位力 作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移.
柔度矩阵与刚度矩阵的关系： F K 1 FK I
2021年3月6日 位移方程不适用于具有刚体自由度的系统。 3
第4章多自由度系统振动
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
小结：耦合与坐标变换
小结：作用力方程、位移方程和矩阵
作用力方程 位移方程
MX KXP(t)
XF(PM X )
质量矩阵 ：M 中的元素 mij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单 位加速度而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
刚度矩阵： K 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产生单位 位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力。
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
结构动力学振动分析的矩阵迭代法
（2） 1
18.10 12.10 5.80
（2） 1
1.000 0.669 0.320
（3） 1
17.296 11.296 5.287
（3） 1
1.000 0.653 0.306
（4） 1
17.121 11.121 5.182
（4） 1
1.000 0.650 0.303
其中
D2 DS1
（13-31） （13-32） （13-33）
此时，可用下式近似计算频率
式中
22 （（（2211）））mTm2(1)(20)
（1） 2
D
（0）
22
（13-34）
用这个方法确定第二振型以前，必须要先求得第一振型。
一般来说，第二振型的精度比第一振型大致上降低一位有效 数字，若想要第二振型分析时得到满意的结果，在计算滤型 矩阵S1时，用到的第一振型必须具有非常高的精度。
ˆn n2k 1mˆn
（13-2） （13-3）
D k 1m （动力矩阵） （13-4）
ˆn n2Dˆn
（13-5）
先假定试探位移向量（10），使它尽可能接近第一振型的
形状，而振幅是任意的。即：
（1） 1
n2 D（1 0）
（13-5a）
下标“1”表示第一振型，上标“（1）”表示第一次迭 代的结果。
或
（1） 1
N
n 1
Dφ
nn2Yn(0)(n1
)2
φ n n2Dφ n
（13-17） （13-18）
将其代入式（13-17）得
（1） 1
机械振动学
这是一个n个方程的相互耦联的方程组，为了便于求解，需要解除耦 T 联，将方程变换为主坐标，用振型矩阵的转置矩阵 Ap 左乘方程两边， A X 代入，得： 并将 X Ap X p 及 X p p
AT KA X AT F sin(t ) AT MA X p p p p p p p
m1 1 1
cA
1
（A） m 1 1 （A） m
矩阵迭代法
• 结论：迭代计算总是收敛于最大特征值 1 以及 1 所对应的特征向量 A，当动力矩阵D是按柔度矩 2 1 阵形成时，因 1 n1 ，由最大特征值 1 求得的 是 n1 最小值，即基频，就是说迭代计算收敛于一 阶固有频率和一阶主阵型，当动力矩阵D是按刚 2 度矩阵形成时，特征值等于频率的平方，即1 n1 这时最大特征值 1 就对应于最高阶固有频率 nn， 因而迭代计算就逼近于最高阶频率和相应的最高 阶主阵型。
周期函数可展成傅里叶级数：
m
f (t ) a0 a j cos( jt ) b j sin( jt )
j 1
(j=1,2,...,n)
a0 , a j , b j为傅氏系数。
有阻尼系统的响应
在周期激振力作用下的振动方程，变换为正则坐标后，可得出：
2 xNi 2ni xNi ni xNi f Ni f (t )
2 Ni ni x xNi f Ni t
方程式表示n个独立方程，具有与单自由度系统相同的形式，因而可 以用杜哈梅积分进行求解，对第i个正则坐标的响应则为：
xNi t
1
ni
t
0
f Ni t sinni t d
有阻尼系统的响应
机械振动基础(4)
l2 l l3 d 21 16EI 2 32EI
m1
l 2 l 2 l 2
m2
M
5m 0 0 m
l3 D 8 EI
1 1 6 4 1 4 1
l3 d12 32EI
l l l l 3 2 2 l d 22 3 EI 2 3 EI 8 EI
k k 0.445 5.039m m
1
2 n1
A
1
u11 1 u21 1.8 u 2.24 31
11
例3. 外伸梁上有集中质量m1 = 5m, m2 = m, 梁的刚度为EI, 自重不计. 试用迭 代法求其最低固有频率和主振型.
设
1 A0 2 3
A1 H A
163 187 211 1 1170 1 q 187 422 518 2 q 2585 1170 2.2 q 0 211 518 873 3 3866 3.3
A'3
A'4
此时, 振型值已收敛, 迭代终止. 由
1
2 n1
A Ak A'k
得
1 1 A 1282q2.225 2 n1 3.333
7
由
1
2 n1
A Ak A'k
1
2 n1
得
1282 ml 147GA
1 1 A 1282q2.225 2 n1 3.333
A1 H A0
1 1 1 1 3 1 m 3m m 1 2 2 1 5 1.66 k 1 k 6 k 2 1 2 3
机械振动中的特征值问题！
机械振动中的特征值问题！机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置）附近所作的往复运动。
显然这是一种特殊形式的机械运动。
人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。
例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果；人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。
早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。
至20世纪上半叶，线性振动理论基本建立起来。
欧拉（Euler）于1728年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。
1739年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。
1747年他对n个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。
1760年拉格朗日（Lagrange）建立了离散系统振动的一般理论。
最早研究的连续系统是弦线。
1746年达朗伯（d’Alembert）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。
1753年伯努利（Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。
1759年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811年傅里叶（Fourier）提出函数的级数展开理论才完成。
一个振动系统本质上是一个动力系统，这是由于其变量如所受到的激励（输入）和相应（输出）都是随时间变化的。
一个振动系统的响应一般来说是依赖于初始条件和外部激励的。
大多数实际振动系统都十分复杂，因而在进行数学分析时把所有的细节都考虑进来是不可能的。
为了预测在指定输入下振动系统的行为，通常只是考虑那些最重要的特性。
也会经常遇到这样的情况，即对一个复杂的物理系统，即使采用一个比较简单的模型也能够大体了解其行为。
对一个振动系统进行分析通常包括以下步骤。
1. 建立数学模型建立数学模型的目的是揭示系统的全部重要特性，从而得到描述系统动力学行为的控制方程。
振动分析的矩阵迭代法PPT课件
利用正交特性
1Tmv3(0) 0 1Tmv3(0) M1Y1(0) 2Tmv3(0) 0 2Tmv3(0) M 2Y2(0)
第21页/共97页
(13-35)
§13.4 高阶振型分析
则
Y1(0)
1 M1
1Tmv3(0)
Y2(0)
1 M2
2Tmv3(0)
代入(13-35)得
或
v3(0)
v3(0)
真正的第一振型频率介于上式求得的最大值和最小值 之间:
vk01 vk11
min
12
vk01 vk11
max
取平均值求频率的近似值
(13-10)
12
v11 T mv10 v11 T mv11
(13-11)
第6页/共97页
§13.2 基本振型分析—Stodola法
重复上述过程s次，能求得较近似的解,即s次循环之后
§13.2 基本振型分析—Stodola法
= fI n n2mvˆ n
vˆ n=k f -1 I n
或者用式（13-1）则为
vˆ = n2k-1mvˆ n
可记作
D=k -1m
第3页/共97页
（13-1） （13-2）
(13-3) (13-4)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
先假定试探形状,它尽可能接近第一振型的形状,而振 幅是任意的,即：
第十三章 振动分析的矩阵迭代法
§13.1 引言 §13.2 基本振型分析 §13.3 收敛性的证明 §13.4 高阶振型分析 §13.5 用矩阵迭代法分析屈曲 §13.6 逆迭代法——首选的方法 §13.7 移位逆迭代法 §13.8 特殊特征值问题概述 §13.9* 自由度的缩减 §13.10* 矩阵迭代的一些基本概念
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对wk再作一次迭代， wk 1 Dk 1w Dwk
在wk和wk+1中任选第j个元素wj,k和wj,k+1 ，其比值关系如下：
2018年11月16日 《振动力学》
wj ,k 1 1wj ,k
6
k次矩阵迭代：
a23 2 / k , a33 5 / 2k ,
仅对m3施加F3=1,各坐标的位移：
13 2018 年11月16日
1 1 1 1 A＝ 1 2 2 k 1 2 2.5
a 1/ k ,
《振动力学》
8
1 0 0 1 1 1 ， A＝1 1 2 2 M＝m 0 1 0 k 1 2 2.5 0 0 2
k
m
k
m
2k
2m
试用矩阵迭代法计算基频和第一阶模态： 解：先求系统的柔度矩阵， 由定义求或求刚度矩阵的逆阵。 仅对m1施加F1=1,各坐标的位移：
a11 1 / k , a12 1 / k ,
a21 a31 1 / k ,
仅对m2施加F2=1,各坐标的位移：
a22 a32 2 / k ,
§5.7
矩阵迭代法
求多自由度系统的固有频率和模态是振动分析的主要内容。 随着自由度的增加，计算系统的固有频率和模态难度增大。 采用近似解，是个好办法，特别是借助计算机，很有效。 下面介绍矩阵迭代法求系统的最低几阶固有频率和模态。 对于系统的任意阶固有频率和模态都有：
Mu(i ) i Ku(i ) 0
w C1u C2u ＋Cn u
(1) ( 2)
( n)
C j u( j ) uC
j 1
n
T 其中u [u(1) u(2) u(n) ]为模态矩阵， C [C1 C2 Cn ]
上式左乘D矩阵：
n j ( j) ( 1 ) ( j) ( j) Dw C j Du C j j u 1 C1u C j u 1 j 2 j 1 j 1
5
k次迭代：
k n j ( j) k k (1) D w 1 C1u C j u j 2 1 w1 Dw w2 Dw1 wk Dwk-1
当迭代次数k足够大，除一阶模态以外的其余高阶模态成分 小于容许误差时，即可将其略去，得到：
2018年11月16日 《振动力学》 7
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例5.7-1：三自由度系统
1 x 1 0 0 2 1 0 x1 0 2 k 1 3 2 x2 0 m 0 1 0 x 3 x 0 0 2 0 2 2 x3 0
每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。
迭代次数愈多，上式括号内第二项所包含的高于一阶的模态 成分所占比例愈小。
将Dkw作为一阶模态的k次近似，记作wk，则矩阵迭代法的 计算公式为： w1 Dw
w2 D 2 w Dw1
2018年11月16日 《振动力学》
wk Dk w Dwk-1
n n
上式再左乘一次D矩阵： n j ( 1 ) ( j) 2 Du D( Dw) D w 1 C1 Du C j 1 j 2
2018年11月16日 《振动力学》 3
w C1u(1) C2u(2) ＋Cn u(n)
n j ( 1 ) ( j) 2 Du D( Dw) D w 1 C1 Du C j 1 j 2 2 2 n n j ( j) j ( j) 2 (1) (1) u 1 C11u C j u 1 C1u C j 1 1 j 2 j 2 k次左乘D矩阵（相当于k次迭代）后：
用K 1 A 左乘上式，得：
i 1 i2
Du(i ) i u(i )
( AM i AK )u(i ) 0
一般来说 D不是对称矩阵。
2018年11月16日 《振动力学》
其中， D AM， 称为动力矩阵，
2
任选系统的一个假设模态w ，它一般不是真实模态，但总能 表示为真实模态的线性组合：
k n j ( j) k (1) k k (1) 第一阶模态 C u D w 1 C1u C j u 1 1 1 j 2 w1 Dw w2 Dw1 wk Dwk-1
k wk 1 C1u(1)
wk 1 1 wk
1
wj ,k 1 1wj ,k
第一阶固有频率
1
1
w j ,k w j ,k 1
在具体计算过程中，前k次迭代均应进行归一化。
如使每个模态的最后元素成为1，使得各次迭代的模态之间具
有可比性，也避免计算过程中模态迭代的数值过大或过小。
在第k+1次迭代后，不需归一化，以算出基频。
k n j k ( j) C1u(1) C j D k w 1 u j 2 1 由于 j /1 1
每作一次迭代上式括号内第一项的优势就加强一次。
2018年11月16日 《振动力学》 4
k次迭代后：
k n j ( j) k k (1) D w 1 C1u C j u j 2 1 j /1 1 由于：