单自由度系统振动总结与习题解析
50 n
ke m
，所以 m
ke 50 2
3 10 5 50 2
120
kg
解: 为小球偏角时,弹簧伸长以及锤的位移可表示成 a ,l ,
T= 1 m(l)2 ； 2
U= 1 k(a )2 2
令 Asin(nt ) max A Asin(n ) An
T max U max；
1 ml 2 A2 2
1 2
Ka2 .A22 n 2
n
a l
k； m
周期 T= 2l m ak
Mx Kx P0 sin t
.
x
x0
cos nt
xo n
sin
nt
xst
1
n
2
n
sin nt
xst
1
n
2
sin t
Mx Cx Kx 0
x ent (x0 cosnd
x&0 nx0 nd
sin
nd t )
典型响应曲线
主要特性
n 系统振动的固有频率。n 2f =
K
=
M
g ＝ Ke
l
解：假定一个梁在振动时的挠度曲线：
y(x) Asin x l
假设梁按简谐规律振动，则梁上各点的振动位移为
v( x, t )
Asin
l
x sin(nt
)
因此梁上各点的速度分布为
因而动能最大值为
v( x, t )
Asin l
x n
c os ( n t
)
Tmax
1 2
Mn 2 A2
1 2
q g
k m
2 106 134.8rad/s 110
因为 A xst ，所以
A xst
F0
A mn2
mn2 A 110134.82 0.0019 2.53
F0
1500
当运动频率为 150rad/s 时， 150 1.113 n 134 .8
又因为
1
(1 2 )2 (2 )2
所以 1 1 (1 2)2 1 1 (11.1132)2 0.142
Me
稳态强迫振动的振幅 A 和静态力作用下的位移的 关系： A xmax xst 动力放大系数
1 1( ຫໍສະໝຸດ )2n ，共振n
接近n ，拍振
2n
C M
， nd
n
1
n n
2
，阻尼比
n n
C Cc
， Cc 称为临界阻尼系数，对数衰
减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度
Ln
xm xm1
Aentm Aentm Td
t o
P(
)en(t
)
sin
nd
(t
)d
振
动
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并
且不随时间 t 而变。
2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相
同，与阻尼无关。
3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫
振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 xst 大 倍（ 称为动力放大系数）。
1
(1 2 )2 (2 )2
解： 张力为常数，小变形，故复原力为：T[x / a x /(L a)] 应用牛顿第二定律，得运动方程： m&x&T[x / a x /(L a)] 0 ，即 m&x&TL /[a(L a)]x 0
n
TL ma(L a)
3、如下图所示的，带有集中荷重W Mg 的简支梁中，梁的自重为 Q ql ( q 为 梁每单位长度的重量)，用能量法决定其固有频率。（假定梁在振动时的挠度曲线 为 y(x) Asin x ）
enTd
简
Mx Cx Kx P0 sin(t )
谐
激 力
x(t)
e nt
(x0
cosnd t
x0 nx0 nd
sin nd t)
下
ent A[sin( ) cosndt
的 粘
cos(
) nd
n
sin(
)
sin
nd
t
]
性
阻
Asin(t )
尼
第一项为自由振动项，完全由初始条件
利用等效能量法求图示系统的固有频率
解:真实系统:T= 1 2
m1( l2 l4
x)
2
+
1 2
m2.
x 2
U=
1 2
k1
(
l1 l4
.x) 2
1 2
k
2.
(
l3 l4
.x) 2
等效系统
T
e
=
1 2
me.
x 2
V
e
=
1 2
ke
x
2
T=T e
m e =m 2
+m
1
(
l l
2 4
)2
V=V e
k e (
l1 l4
当力的作用时间 t1
T 2
，最大动力响应发生在
t T 处，反之由在力的作用结束之后出现。 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
1 Mr2&& r(mg m&x&) kr2 mgr
2
用 r 代替 x ， r&&代替 &x&，运动方程变为：
(1 Mr2 mr2 )&& kr2 0
2
所以，固有频率 n
k M /2m
转动问题：
1）列力的动平衡方程 2）列矩的动平衡方程 3）得运动方程 4）定义求固有频率
5下图表示一质量m系在弦上并具有张力T。假定小变形，振动时张力不 变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。
2 2
2 1.113 2.532
作业
当 m 为多大时，如图所示系统才发生共振？
解：以静平衡位置为原点建立坐标，并设 m 向右移动 x ，则 mx k1x k2x 0 ，即 mx (k1 k2)x 0 所以系统的等效刚度为 ke k1 k2 3 105 N/m 当激振力频率和系统固有频率相等时，共振才会发生，即
因为 x不可能总等于零，因此运动方程为 3 mx kx 0 2
故有n 2k 3m
质量为 110kg 的机器固定在刚度为 2×106N/m 的弹性基础上，当机器的运作频 率为 150rad/s 时，机器产生 1500N 的简谐激振力，机器的稳态振幅测得为 1.9mm， 则基础的阻尼比为多少？
解：系统固有频率为n
J02
J 0 为圆柱体的惯性矩 J0
1 mr2 2
，同时有 r
x ， r
x
因此系统在任何时候，动能
T
1 mx2 2
1 2
J02
1 mx2 2
1 (1 mr2 )(xr)2 22
3 mx2 4
系统的位能为V 1 kx2 2
由于 d (T V ) 0 ，所以可得 ( 3 mx kx)x 0
dt
2
)2
+k 2
( l3 l4
)2
n2
k1l12 k2l3 3 m2l4 2 m1l2 2
一质量为 m 、半径为 r 的圆柱体用常数为 k 的弹簧连接，如图所示。若它沿粗糙 的水平表面无滑动地自由滚动，试用能量法求它的固有频率。
解：系统的总动能由转动动能和平移动能组成，即
T
1 mx2 2
1 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
并联弹簧： Ke K1K2
串联弹簧：
Ke
K1 K2 K1K2
V真 实 ＝ V等 效 ＝ 1 2Kex2Ke
2、求如图所示系统的自由振动的频率
解：k e =
1 =2k； 1 1 3
2k k
wn =
ke = me
2K 3M
系
决定；第二项称为伴随自由振动项，它
统
由干扰力引起，但其振动频率为有阻尼
强
自由振动频率，这两项均为自由振动部
迫
振
分；第三项是干扰力引起的纯强迫振
动，是频率与干扰力频率相同的简谐振
动
动。
任
意
激
力 下 系 统
x(t)
e nt
x0
cos
nd
t
t
x&0 nx0 nd
sin
nd
t
t
强 迫
1
M nd
)
ke3 w ；
ke
k1k2 (a b)2 a 2k1 b2k2
4、求下图所示弹簧-质量-滑轮系统的固有频率。
解：用牛顿定律，对质量 m： mg T m&x& ①
对滑轮 M： J0&& Tr kr 2 ( 0 ) ②
式中，
J0
1 2
Mr 2
是滑轮的惯性矩。
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
3、求等效刚度Ke
解:等效系统简图: Mk=w
由图可求:k 1
1
(a+b)=w.b
1
=
w k1
b ab
k
2
2
(a+b)=w.a 2
=
w K2
a ab
3
=
2
+
a
b
b
.(1
2
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
单自由度系统的振动
Gl l 3 d st = 48 EI
式中，I为粱的截面惯性矩，据图可算出I＝406cm4。由此式可静变 形为δst＝0.755cm 梁的刚度为： 固有频率为：
G1 k= d st
G1 / d st k g 980 wn = = = = = 36rad / s m G1 / g d st 0.755
（ 1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力
解：
振动频率 0
gk 19.6rad / s W
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有：x0 0 振动解：
v
k
0 v x
静平衡位置
v
0
sin(0t ) 1.28 sin(19.6t ) (cm)
0.15
机器转速 n＝2400r/min
求：（ 1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅
解：
频率比：
2n 1 3.2 0 60 2f n
B
弹性支承的刚度：
2 k m0 880 (2 12.5) 2 5.43 106 N
机器振动的振幅 ：
5 5
W
2.21 105 ( N )
由于
kA k v v km
动张力几乎是静张力的一半
0 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例：圆盘转动，圆盘转动惯量 I
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生
单位转角所需的力矩
( N m / rad )
k
I
由材料力学，等直圆轴的扭转刚度为
加特别声明时，弹簧质量系统是广义的
kx 0 m x
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
第2章 单自由度系统的受迫振动题解
习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
结构动力学第二章 单自由度系统的振动2
0.39 0.66 0.73 1.00 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76 2.00
23
24
解: 水塔的自振频率和周期分别为
k 29.4106 N / m 31.305rad / s
m
30103 kg
T 2 0.2007s
取微小时段 0.01s ，约相当于水塔自振
同理，积分项 B(t) 可用相同的方法进行计算。
16
因此，无阻尼体系动力响应的数值解： y(t) A(t) sin t B(t) cost
同理，也可求得有阻尼体系动力响应。 注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微 小时段 有关，一般可取小于系统自振周期 的十分之一，便可得到较好的结果。
17
A yst
1
2
t1
2
( 1 cost1
) 2
t1
1/ 2
sint1
t1 T
0.371
动力系数只与 t1 有关，即只与 t1 T 有关
下表列出不同 t1 T 值时的动力系数。
表 不同 t1 T 值时的动力系数表
t1/T 0.125 0.20 0.25 0.371 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00
用下式进行计算。
无阻尼：
( 0)
y(t) 1 t p( ) sin (t )d
m 0
有阻尼： y(t) 1
( 0)
md
t 0
p(
)e (t )
sin d
(t
)d
2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是 用一系列离散数据表示（如试验数据），此时 的响应计算就必须借助于数值分析方法。
11
结构动力学哈工大版课后习题解答
第一章 单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有: 牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1. 牛顿第二定律法适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
2. 动量距定理法适用范围: 绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1） 对系统进行受力分析和动量距分析；（2） 利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
3. 拉格朗日方程法:适用范围: 所有的单自由度系统的振动。
解题步骤: （1）设系统的广义坐标为 , 写出系统对于坐标 的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式: L=T-U ；（2）由格朗日方程 =0, 得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
4. 能量守恒定理法适用范围: 所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤: （1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 , 进一步得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根, 得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个: 衰减曲线法和共振法。
方法一: 衰减曲线法。
求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线, 并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值 、 。
（2）由对数衰减率定义 , 进一步推导有,因为 较小, 所以有πδζ2=。
燕山大学振动理论习题答案
k123
k1k23 k1 k23
2k 3
k1234
k123k4 k123 k4
1k 2
（1） mg
k1234 x0 ， x0
2mg k
（2）
xt
x0
cosnt
，
xm a x
2x0
4mg k
2-7 图 2-7 所示系统，质量为 m2 的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮 绕轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统 的固有频率。
2π l a
h 3g
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为 R, 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图 2-3 所示。 试求
其摆动的固有频率。
图 2-3
图 2-4
2-4 如图 2-4 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下 列情况
系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
n
ke m
2-5 试求图 2-5 所示系统中均质刚性杆 AB 在 A 点的等效质量。已知杆的质量为 m，A
端弹簧的刚度为 k。并问铰链支座 C 放在何处时使系统的固有频率最高？
图 2-5
图 2-6
2-6 在图 2-6 所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知 m=50kg，k1 9800 N m ， k2 k3 4900 N m ， k4 19600 N m 。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？
E P02
2
k (1 2 )2 (2)2
证明
E T c2B2 cos(t )dt cB2 0
第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动
tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示