第1章--单自由度系统的自由振动题解
第1章 单自由度系统自由振动-2-2
(nmax
)2
Vmax
1 2
mg
(R
r
)m2 ax
Tmax Vmax
n
2g 3(R r)
19
谢 谢！
1 2
k1
(lΦ)2
1 2
k2 (dΦ)2
1 2
(k1 l2
k2 d 2 )Φ2
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 2
J02Φ2
1 2
(k1 l2
k2 d 2 )Φ2
则得固有频率
0
k1l2 k2d 2 J
l
k1
dB
A
O
k2
10
单自由度系统自由振动－能量法
例：如图所示是一个倒置的摆
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和 势能 V 之和保持不变 ，即：
k
动能：
T 1 mx2 2
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
势能： （重力势能）
（弹性势能）
k
mgx
x k( x )dx
0
零势能点
x
V mgx x k xdx 0
A
D
mg
柯尼希定理（Konig's theorem）是质点系运动学 中的一个基本定理.其文字表述是：质点系的总动 能等于全部质量集中在质心时质心的动能,加上各 质点相对于质心系运动所具有的动能.
18
单自由度系统自由振动－能量法
例：用能量法计算固有频率(纯滚动)
动能：T
1 2
m
(
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
第1章--单自由度系统的自由振动题解
习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角2a ＝h题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ2F cos ＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l gah l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
结构动力学习题解答
然后积分求初始速度
̇̇ d t = θ̇0 = θ 0
0+ 0+ 0+
∫
0
∫ hδ ( t ) d t = h ∫ δ ( t ) d t = h
0 0 0+
；
再积分求初位移
̇̇ d t == h )d t = 0 ； θ0 = θ 0
0+
∫
0
∫
0
̇̇ 、 θ̇ 和 θ 的瞬态响应 这样方程（6）的解就是系统对于初始条件 θ 0 0 0
1.6 求图 1-35 所示系统的固有频率。图中磙子半径为 R，质量为 M，作纯滚动。弹簧刚度 为K 。 解：磙子作平面运动， 其动能 T=T 平动 +T 转动 。
K R M 图 1-35 x
T平动 = T转动
1 ̇2; Mx 2 2 2 ̇ ⎞ 1 ⎛ MR 2 ⎞ ⎛ x ̇⎞ 1 ⎛x = I⎜ ⎟ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ; 2 ⎝R⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ R ⎠
U= r 2 1 1 1 1⎛ K A ϕ A 2 + K B ϕ B 2 = K Aϕ A 2 + K B ϕ B 2 = ⎜ K A + K B A 2 2 2 2 2⎜ rB ⎝
(
)
⎞ 2 ⎟ϕ ; ⎟ A ⎠
系统的机械能为
T +U = r 2 1 1⎛ ̇ A2 + ⎜ K A + K B A (m A + m B )rA 2ϕ 4 2⎜ rB 2 ⎝
d (T + U ) = 0 ，进一步得到系 dt
统的运动微分方程； （3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。 1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。 方法一：衰减曲线法。 求解步骤： （1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷 的幅值 Ai 、 Ai +1 。 （2）由对数衰减率定义 δ = ln(
12.3 单自由度体系的自由振动
各杆EI＝ 。 【例12-5】试求图示结构的ω。各杆 ＝C。 】
3l 4 B C D m B y A l l l 4 A l C D l
1
M1 图
解：
δ 11
7l 3 = 12 EI
1 12 EI EI = = 1.309 ω= 3 mδ11 7ml ml 3
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【注二】惯性力 FI = −m&& = maω 2 sin(ωt + α ) = mω 2 y ， 注二】 y FI 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例， 永远与位移方向一致，在数值上与位移成比例，其比例系 数为 mω 2 。
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12.3.4 自振周期与自振频率
1.自振周期 自振周期 因
y = a sin (ωt + α ) = a sin (ωt + α + 2 π ) 2π = a sin ω t + + α = a sin[ω (t + T ) + α ] ω
所以自振周期
T =
2π
ω
表示体系振动一次所需要的时间，其单位为 （ 表示体系振动一次所需要的时间，其单位为s（秒） 。
式中， 为重力加速度 为重力加速度； 式中，g为重力加速度；W=mg为质点 为质点 的重力； 表示将重力W=mg 的重力；∆st=Wk11，表示将重力 施加于振动方向所产生的静位移。 施加于振动方向所产生的静位移。
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T = 2π ∆st g
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动力学(第1章)
f
(t)
=
2P0
ωt π
∫ ∫ bi
=
2 T
T 0
f (t) sin(iωt)dt = 4ω π
π 2ω 0
f
(t) sin(iωt)dt
=
8P0 i2π 2
i −1
(−1) 2 (i
= 1,3,5,⋅⋅⋅)
6of12
结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员）
∑ 取
i=1~3
β1 算得：
=
1
−
1 ω2
= 1−ω
2ζω 3 2 + (2ζω )2
1+ 4ζ 2ω 2 (1− ω 2 )2 + (2ζω )2
5of12
结构动力学的教程（同济大学结构所蒋通研究员）
隔振要求： 频率比： ω
=
ω
>
2⇒
ωn
阻尼比小：ζ ↓⇒ A ↓
B
A <1 B
但过小通过共振区不利
主动隔振：将振源隔开，使振动传播不出去（隔振器）
+ϕ)
振幅与相位角： A=
x02
+
⎜⎜⎝⎛
x&0 ωn
⎟⎟⎠⎞2
,ϕ
=
arctg
ωn x0 x&0
x
A
x&0
x0
t ϕ /ωn
t t +T
例题 1-1 求图示体系的固有频率
悬臂梁刚度：k1
=
3EI l3
与 K2 并联后等效刚度：k = k1 + k2 固有频率:ωn = k / m （串联弹簧）
l m
• •
能量守衡：We +Wd + Wf = 0 → ω = ωn →
第一章(单自由度系统的振动)
单自由度系统的振动方程
c
k
m
s k
c
o
u
m
u
f (t)
mu(t) k[u(t) s ] cu(t) mg f (t)
k (u s ) cu
m
mg
f (t)
mg k s
mu(t) cu(t) k u(t) f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1 k3
k2
√
k4
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1
k3
k2
╳
k4 k1
k3
k2
m
k4
问题3
无质量弹性杆
刚性杆
k
m
等效
k
m
F
k F /
第一章：单自由度系统的振动
第二讲：
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
4
o 势能：V mg(R r)(1 cos ) 1 mg(R r) 2
2
R
m 简谐运动： max sin(nt )
B
rC
Tmax
3m 4
(
R
r
)2
(n
max
)
2
A
D
mg
Vmax
1 2
mg
(
R
r
)m2 ax
Tmax Vmax
单自由度系统(自由振动)
第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。
设质量为m ，单位是kg 。
弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。
弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。
当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形∆：，同时也产生弹簧恢复力K ∆，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ⋅∆若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。
首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。
现设质量m 向下运动到x ，此时弹簧恢复力为K(∆+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx xm (1-1-1 令mkp =2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02=+x p x(1-1-3)设方程的特解为 ste x =将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ips p s ±==+2,1220则(1-1-3)的通解为ptD pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)C 、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,x xx x == （1-1-5）()x m x k W F=+∆-=∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆==k mgW xx)则pt pxpt x x sin cos 00 += （1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(α+=pt A x（1-1-7）其中 001220,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角α与系统的参数和初始条件有关。
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习 题1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。
求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k 则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ=则 k =324EJh设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =- 所以固有频率3n 24mhEJp =1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α 2F cos α＝mg由动量矩定理：aha mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ&&题1-1图题1-2图θF sin α2θαhmgθ其中12cossin ≈≈θααhl ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。
k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。
k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。
即为21211k k k k k +='，212132k k kk k k ++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。
其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。
解：111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4）)(/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知）由（题1-3图题1-4图1-5如题1-5图所示，质量为m 2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I ，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标x ，设系统的振动方程为：sin()x A wt a =+则系统运动过程中速度表达式为：cos()x Aw wt a =+&系统最大位移和速度分别为：max max x Ax Ax==&系统在运动过程中，动能表达式为：2222212221*********x x T m x m x m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭&&&& 弹性势能为：2211221122x U k R k x R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭系统最大动能为：22222max 122211111()()22222Aw Aw T m Aw m Aw m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭最大弹性势能为：22max11221122A U k R k A R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由于系统机械能守恒，因此：max max T U =22222122211111()()22222Aw Aw m Aw m Aw m r I r R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2211221122A k R k A R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 由上式可解得系统的固有频率为：题1-5图1122122232R k k R w I m m R +=⎛⎫++ ⎪⎝⎭1-6如题1-6图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为0I ，求系统的固有频率。
解：设曲臂顺时针方向转动的ϕ角为广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为)sin(αϕ+Φ=t p n 。
ϕ很小，系统的动能为22212)(21)(2121ϕϕϕ&&&l m a m I T O ++=)cos(αϕ+Φ=t p p n n & 所以， 222222122max 212121l p a p m p I T n n n O Φ+Φ+Φ=取系统平衡位置为势能零点。
设各弹簧在静平衡位置伸长为321,,δδδ，由∑=0)(F mO， 02233111=-++l k b k ga m a k δδδ （A ）由题意可知，系统势能为a g m l kb k a k V ϕδδϕδδϕδδϕ1222222323321211])[(21])[(21])[(21+--+-++-+=（B ） 将（A ）式代入（B ）式，可得系统最大势能为，222223221max 212121l k b k a k V Φ+Φ+Φ=由， max max V T = 得=Φ+Φ+Φ222222122212121l p a p m p I n n n O 222223221212121l k b k a k Φ+Φ+Φ 所以，有22212223212lm a m I l k b k a k p O n++++=1-7一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg ，弹簧静伸长是1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm 减至0.16cm ，求阻尼系数c 。
解：振动衰减曲线得包络方程为：ntX Ae-=振动20个循环后，振幅比为：200.640.16nTd e = 题1-6图∴ln 420Td n=代入215TTd =-,得：2222ln 44()20nn P N π=- 又 10n stgP g d == ∴2ln 4()20n＝224100g N π- ∴c = 6.9 N s /m32c mk lac =，222n 3ml ka p =1-8一长度为l 、质量为m 的均质刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。
写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。
解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。
由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：0220=++a k l c I ϕϕϕ&&&m cn ml ka p ml ka m c ml I n32,303312222220==∴=+3+∴=ϕϕϕ&&&Θ 当n ＝p n 时，c ＝c C323232mkl am p nm c n C ===∴题1-8图OmgϕX OY OF KF C1-9如题1-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有频率。
解：222222222222222224222242224202224142n n n c d nI kb b ca a ml kb ca kb ca ml ml kb p ml b k p l ca n ml n p ca b kml l blc mka kbc a p p n ml m l kmb l c a mlϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=--=--∴++=∴=====∴==-=-=-&&&&&&&&&Q m 当时m1-10如题1-10图所示，质量为2000 kg 的重物以3 cm/s 的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。
已知k =48020 N/m ，c =1960 Ns/m ，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为022=++x p x n x n &&&所以有 x&&+c m x &+kmx =0 其特征方程为：2r +19602000r+480202000=0 r =-0.49±4.875i所以：x =1c 0.49te-cos4.875t+2c 0.49te-sin4.875t由于n < p n ，由已知条件，题1-9图题1-10图49.020********=⨯==m c n ，01.242000480202===m k p n ，00=x ，03.00=x & m/s 。
故通解为)sin cos (21t p C t p C e x d d nt +=-其中，875.422=-=n p p n d 。
代入初始条件，得006.0,0000201==+===dd p x p x nx C x C &&，得 t pe C x d nt sin 2-= =0.0060.49t e -sin4.875tx&=0.0060.49te -(-0.49) sin4.875t+0.006⨯4.875cos4.875 物体达到最大振幅时，有0cos sin 22=+-=--t p p e C t p e nC xd d nt d nt & 既得t = 0.30 s 时，物体最大振幅为528.0)3.0875.4sin(006.03.049.0=⨯=⨯-e x cm1-11由实验测得一个系统的阻尼固有频率为d p ，在简谐激振力作用下出现最大位移值的激振频率为m ω，求系统的无阻尼固有频率n p 、相对阻尼系数ζ及对数衰减率δ。
解：221ζω-=n m p ， 22n p p n d -=， np n=ζ； 三个方程联立，解得：22222md md p p ωωζ--=2m 2n 2ω-=d p p2221222⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-===d m md dd nd p p p p p nT ωπωππζδ。