第三章(第1节) 单自由度系统的强迫振动
第三章强迫振动(2011版)
第三章 强迫振动3.1 引言本章讨论.1自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通常称为振系对周期激扰的响应。
周期激扰可以是作用于振系的周期扰力，也可以是振系支座的周期运动。
本章着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单。
而所得结论却有很重要的工程应用.任意的周期激扰，都可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别求份各个正弦型激扰单独引起的振动，然后累加，就可以得到振系对任意周期激扰响应。
叠加原理适用于线性系统，振系由周期激所引起的振动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加。
才得到振系总的运动。
本章还简略地说明强迫振动理论应用于隔振与侧振等问题;最后提出激扰力与阻尼力在强迫振动各个周期内所做的功，以及各种非线性阻尼的等值粘性阻尼系数的计算方法。
3.2 无阻尼振系在正弦型扰力作用下的振动在自由振动中，作用于振动物体的力只有恢复力与阻尼力，二者都随物体的运动而改变。
现在假定，除上述两种力之外，还有周期改变的外力经常作用于振动物体，力的大小与频率都是由外界条件所决定的，不受物休本身振动的影响。
这种力称为周期的激扰力．．．或扰力．．。
本节考虑无阻尼的振系，图3.2-1，假定物体可以沿铅垂方向上下运动，仍取铅垂坐标轴 x ，以物体在无扰力作用时静平衡位置为原点，向下为正，则恢复力为kx -设扰力为t F F ωsin 0= (a)其中0F 称为扰力的力幅．．，假定为常值，ω称为激扰频率．．．．，简称扰频．．。
由牛顿运动定律有 t F kx xm ωsin 0+-= 或者t F kx xm ωsin 0=+ (3.2-1) 这就是无阻尼振系在正弦型扰力作用下的运动微分方程。
仍令m k p=2图3.2-1方程(3.2-1)可写为t mF x p xωsin 02=+ (3.2-1)’这是非齐次．．．的二阶常系教线性常微分方程，它的解由两部分组成，即 21x x x += (b)其中1x 代表方方程（3.2-1）在右端为零时〔即齐次方程（2.2-1）的通解，简称为齐次解．．．，可以写为方程(2.2-2)或（2.2-5)的形式。
单自由度体系的强迫振动
2）求荷载的频率
2πn 62.83s1
60
3）求动荷因数
Kd
1
2
1
2
1
1 ( 62.83)2
56
3.86
4）求最大竖向位移
ymax
y
W st
Kd
ysFt
Wl 3 48EI
Kd
Fl3 48EI
l3 48EI
(W
Kd
F)
7.26mm
5）求最大应力
max
W st
Kd
F st
l 4WZ
(W
Kd1 ysFt
Wl 3 3EI
K d1
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd1F )
7.2 mm
y2max
y
W st
Kd2
ysFt
Wl 3 3EI
Kd2
Fl3 3EI
l3 3EI
(W
Kd2
F)
6.3 5 m m
4）求两种情况中的最大弯矩。最大弯矩发生在固定
端处。最大弯矩由两部分组成：第一部分是由重力引
纯强迫振动任一时刻质点的位移为
y(t)
F
m(2
2
)
sint
F
m2 (1
2 2
)
sint
令
ysFt
F11
F
m 2
y(t)
ysFt
1
1
2 2
sint
最大动位移为
ydmax
ysFt
1
1
2 2
ysFt Kd
式中：Kd——动荷因数，即 K d
ydmax
y
F st
结构力学单自由度体系强迫振动
只能用“万能”解法的情况 1）动载不作用在质点上时的动内力 2）动载不作用在质点上时非质点处的动位移
FP sin t
m
y
FP sin t
m (m 2 A) sin t
(FP m 2 A)sin t
m ( FP )sin t
FP
m
FP sin t
m
y
FP sin t
(m 2 A)sin t
和差化积
sin
sin
2sin
2
cos
2
cos
cos
2cos
2
cos
2
cos
cos
2sin
2
sin
2
三、一般动荷载作用
1. FP (t)是一般动力荷载，特解不易找出。
2.
••
微分方程为：y(t) 2 y
FP t
m
3. 特解可利用瞬时冲量作用下的振动导出。
动量 K mv
m
u
0 FPo sin (t )d
t
0 sin (t )d ]
u
FPo [cos(t u) cost] m 2
yst
2 sin
u
2
sin (t
u) 2
阶段Ⅱ：(13（1t9)≥ u ）
FP(t)
FP0
u
阶段Ⅱ： （ t ≥u ）
yt
2
yst
s
in
u
2
s
in
t
u 2
yt
m a x
2
FI
3 40
FP
sin
t
FP sinθt
A
EI
结构力学单自由度体系强迫振动
l3 4 EI
A16 FPl3 7 4EI.
3
FFPPssiinnω3 4t t
l
3mm 2
l 2
l
求质点处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
l3 4 EI
A1619FPl3 7 48EI .
FI 1298FPsint
FPsint
m
l/ 2
l/ 2
4 EI
3ml 3
求质点m处的最大动位移及最大动弯矩图,EI=常数
0
t<0
FP0
t
FP(t)= FP0 0<t<u
u
0 t> u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ） y(t) = yst (1- cosωt)
FP(t)
yt2yst
sint
2
2
FP0
u
.
阶段Ⅰ： （ 0≤t ≤ u ）
yt2yst
sint
2
2
ytmax
2yst
2yst
sinu
2
2
.
U≥T/2 U≤T/2
FP(t)
• m ÿ+ k y = F P(t)
•y•(t)2yFPt
m
.
二、动荷载作用在结构的任意位置
FP(t)
••
m y
m
y
.
• 动位移方程：y(t)(m•y•)11FPt1P
若令等效荷载 FP'tFPt111P 只对质点位移等效
•y•(t)2yFP't 运动微分方程的标准
m 表达式（强迫振动）
2
3
A
l/2
l/2
2l3 3 EI
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动_1
第三章单自由度系统的简谐激励强迫振动第一节导引从本章起，讨论系统由外界持续激励引起的振动，称为强迫振动。
激励按来源分：1.力激励：①直接作用于机械运动部件上的力②有旋转机械或往复运动机械中不平衡质量引起的惯性力2. 支承运动而导致的位移激励、速度激励及加速度激励激励按随时间变化规律分：1. 简谐激励2．周期激励3．任意激励外界激励所引起的系统的振动状态称为响应。
对应于不同的外界激励，系统将具有不同的响应。
系统的响应一般以位移形式表示，称为位移响应。
有时也以速度形式或加速度形式表示，分别称为速度响应或加速度响应。
简谐激励是激励形式中最简单的一种，但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对于周期激励或更一般形式激励的响应的基础。
第二节 简谐激励下的响应一、运动方程及其解o sin tω在质量-弹簧-阻尼系统中，质量块上作用有简谐激励力0()sin F t F t ω=其中 0F --- 激励力幅ω --- 激励频率以静平衡位置为坐标原点，建立坐标系。
系统的运动微分方程为0sin mx cx kx F t ω++= （3-1）由高数知，上式是二阶常系数非齐次常微分方程。
该方程的通解()x t 由相应的齐次方程的通解()c x t 和非齐次方程的特解()p x t 两部分组成，即()()()c p x t x t x t =+（1）齐次方程的通解()c x t齐次方程的通解()c x t 对应于有阻尼自由振动的解，在弱阻尼（1ζ<）的情况下为()()()cos sin sin n n t c d d td x te A t B t Aet ζωζωωωωψ--=+=+式中A 和B 为待求常数，由初始条件确定。
（2）非齐次方程的特解()p x t根据高数，非齐次方程的特解()p x t 假设为()sin()p x t X t ωϕ=- （3-4）将()p x t 及其一阶导数、二阶导数代入式（3-1），得20()sin()cos()sin k m X t c X t F tωωϕωωϕω--+-=利用三角公式，将上式右端改写成如下形式0000sin sin[()]cos sin()sin cos()F t F t F t F t ωωϕϕϕωϕϕωϕ=-+=-+-代入上式，得200()sin()cos()cos sin()sin cos()k m X t c X t F t F t ωωϕωωϕϕωϕϕωϕ--+-=-+-比较方程左右两侧sin()t ωϕ-和cos()t ωϕ-的系数，得200()cos sin k m X F c X F ωϕωϕ⎧-=⎨=⎩ 联立求解，得F X =（3-2）2c tg k m ωϕω=- （3-5） （3）方程的通解()x t ()()()()cos sin sin()n c p td d x t x t x t eA tB t X t ζωωωωϕ-=+=++-（3-6）设000,(0),(0)t x x x x ===，将初始条件代入方程（3-6）和它的一次导数，解出A 和B ，再回代入方程（3-6），得000()cos sin n tn d d d x x x t e x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+⎪⎝⎭① sin cos sin cos sin nt n d d d Xe t t ζωζωϕωϕϕωωω-⎛⎫-++⎪⎝⎭② sin()X t ωϕ+- ③这就是初始条件为0x 、0x ，在简谐激励力0sin F ϕ作用下系统的响应（系统的强迫振动）。
03 第三章 单自由度系统的强迫振动
第三章 单自由度系统的强迫振动
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§3.1 简谐激励引起的强迫振动
简谐激振力 P(t) P0 sin t
P0 激振力幅值 激振频率
mx cx kx P0 sin t
令：
2 n
k m
,
2n
c m
x
2n x
n2 x
P0 m
无阻尼系统： 0 0
3、强迫振动稳态响应振幅 B与相位差 只取决于系
统本身的特性（质量m、刚度k、阻尼c）和 激 振 力 的 频
率 、力幅 P0， 与振动的初始条件无关。
初始条件只能影响系统的瞬态振动解。
第三章 单自由度系统的强迫振动
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影响稳态响应幅值B的因素：B
自由振动、伴随振动称为瞬态振动，也称为系统的瞬态响应；
第三部分是与简谐激励频率相同、与激励同时存在的简 谐振动，称为稳态振动，也称为系统的稳态响应。
瞬态响应很快衰减为零，只在振动的开始阶段出现， 该阶段称为过渡阶段。
第三章 单自由度系统的强迫振动
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本章主要讨论：
系统对简谐激励所引起的系统响应以 及周期激励和任意激励的响应；
第三章 单自由度系统的强迫振动
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简谐激励下的强迫振动稳态响应解为：
x2 (t)
B0 sin(t ) (1 2 )2 (2)2
强迫振动稳态响应的基本特点：
1、系统在简谐激励的作用下，其强迫振动稳态响应 是简谐振动，振动的频率与激励频率相同。
2、强迫振动稳态响应的相位比激励的相位滞后 。
B
单自由度系统强迫振动
频率比
相对阻 尼系数
2 2
影响振幅的主要因素：
B0的影响：
它反映了激振力的影响，它相当于将激振力的最大幅值H静止地作 用在弹簧上所引起的弹簧静变形。这说明强迫振动的振幅B与激振力幅值 H成正比。因此，改变振幅的方法之一就是按比例改变激振力的幅值。
的影响：
频率比对振幅的影响可用幅频特性曲线说明
粘滞阻尼力每周所做的功与振 幅的平方成正比，与振动频率 也成正比
将非粘滞阻尼每周做的功表示成：
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1）干摩擦阻尼 干摩擦力一般是常力F,但方向始终与运动方向相反， 当质量从静平衡位置移动到最大偏移位置时，即在1/4周 期内，干摩擦力做功为FB,在以后每1/4周期内都如此。 干摩擦力在一个周期内所做的功：
h
2
p n p 1 2
激振力的幅 值引起的静 变形
2
1
B0 2 2
2 2
静力偏移 相对阻尼系数 频率比
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
B
1
B0 2 2
结论：当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平稳，振幅较小；反 之，当阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅就大。所以， 品质因子反映了系统阻尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统 中，为了过共振时比较平稳，希望品质因子小些，带宽宽些。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
相频特性曲线
例1 实验测出了具有粘滞阻尼的单自由系统的固有频率 励作用下发生位移共振的频率 。试求系统的固有频率 c和对数衰减率 。
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
1.3 简谐激振力引起的强迫振动
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sin n t
n
k m
2
[sin t
n
sin n t ]
A sin n t sin n t sin t 2 k m n F0
当t=0时，x0= x 0 =0，上式简化为
x sin n t sin t 2 k m n F0
2 2 2
1 (1 ) ( 2 ) 2
2 2 2
(3.1-10) (3.1-11)
1
2
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——幅频特性曲线
放大因子与频率比的关系：
◆当频率比 <<1时，放大因子 接近于1，即振幅X几乎与激励 幅值引起的静变形X0差不多。
◆当频率比 >>1时， 趋于零， 振幅可能非常小。
图 3.1-6
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 例3.1-2 作为承受简谐激励的一个例子，考虑图3.16所示的不平衡转子激发的振动。两个偏心质量m/2以角 速度 按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励 的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的 偏心矩为e，机器总质量为M，求系统的响应。 解：系统的振动微分方程为
x X sin( t )
根据方程（3.1-7）的稳态响应的幅值为
X me k
2
1
1
2 n
2 2
2
2
式中 n ，而 响应的相位角
k M
1
。根据方程（3.1-8）的稳态
2
2
tg
1
1
同样响应的幅值也可以变换为
(3.1-4)
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的求解
将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得
[( k m ) X F 0 cos ] sin( t )
2
( c X F 0 sin ) cos( t ) 0
该方程对于任意时间t都应恒等于零，有
me X M n
2
(1 ) ( 2 )
2 2
2
me M
2
2
2 2
(1 ) ( 2 )
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 因而，在这种情况下，无量纲比为
MX me n
2 n x x 2 n y y x
2 n 2 n
3.1 对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 设支承的位移y与振动系统中的质量m的强迫振动响应x 表示为 y Y cos t y Y sin t 2 x x X sin t x X cos t X sin t 把上面的式子代入振动微分方程得
(M m ) d x dt
2 2
m
d
2 2
( x e sin t ) dx dt
2
dt
c
kx 0
上式可以写成
M c x kx me sin t x
图 3 .1 -6
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 设响应为
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论
频率比； 引入符号： X 0 F0 k 振动系统零频率挠度； X X 0 放大因子。 可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式
X X0
tan
n
1 [1 ( / n ) ] [ 2 ( / n )]
2
1 2 1
2
(3.1-15)
X
0 2
X
2
1
F0 c d
(3.1-16)
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——相频频特性曲线
相位差与频率比的关系：
◆在<<1的低频范围内，相位 差 0，即响应与激励接近于 同相位。 ◆在 >>1时，相位差 ，即 在高频范围内，响应与激励接 近于反相位。
x x1 x 2
图 3.1-1
在小阻尼情况下，通解x1 为衰减振动，称为瞬态 振动；特解x2 表示系统在简谐激励下产生的强迫 振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的求解
x 2 X sin( t ) (3.1-2) 设特解为 式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个 待定常数。 将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得
◆ 在 =1 ， 即 共 振 时 ， 相 位 差 /2，这时 与阻尼大小无关， 这是共振时的一个重要特征。
图 3.1-3
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振时的响应
再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即共振) 时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，=n，有
1
2
2
2
0,
1 2
2
有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率， 也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。 据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）
1
1 1 2
2
2
4
2
1 2
2
1 2
2
1 2
3.1 对简谐激励的响应 微分方程及解的形式
如图3.1-1所示的二阶线性有 阻尼的弹簧-质量系统。这一系 统的运动微分方程为 m c x kx F ( t ) F 0 sin t (3.1-1) x 这个单自由度强迫振动微分方程 的全部解包括两部分。一是通解 x1，二是特解x2，即
( k m ) X sin( t ) c X cos( t ) F 0 sin t
2
(3.1-3) 为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下
F 0 sin t F 0 sin[( t ) ] F0 cos sin t F0 sin cos( t )
3.1 对简谐激励的响应
例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1) 共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程中通 常取0.75<<1.25的区间为共振区，在共振区内振动都很 强烈，会导致机器或结构的过大变形而造成破坏，但同 样可以利用振动为人类服务。 例 3.1-1 在 一 弹 簧 - 质 量 系 统 上 作 用 一 简 谐 力 F F 0 sin t ， 如 图 3.1-5 所 示 。 初 始 瞬 时 x x(0)=x0， 0 x 0 ，试求系统的响应。 解：系统的振动微分方程为 m kx F 0 sin t x 其解为 F0 x A1 cos n t A 2 sin n t sin t 2 k m 式中A1和A2是由初始条件确定的常数。 图 3.1-5
3.1 对简谐激励的响应 例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1) 强迫振动的初始阶段的解由三部分组成： ★第一项是初始条件产生的自由振动； ★第二项是简谐激励产生的强迫振动； ★第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动而产 生的自由振动。同时，系统中不可避免地存在着阻尼， 自由振动将不断的衰减。 在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时间内 逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动，如图3.1-6所 示。
图 3.1-2
◆当激励频率与振动系统频率 很接近时，即≈1时，定义为共 振，强迫振动的振幅可能很大， 比X0 大很多倍，唯一的限制因 素是阻尼。
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振 由式(3.1-10)可见，在=1时，有
X
1 2 X0
2 F0 c n
(3.1-12)
(3.1-13) (3.1-14)
X F0 k
1
tg
n
2 2
2 n
2
2
(3.1-7)
2 n 1 n
(3.1-8)
式中
2 n
k m
,
c cc
, cc 2 m n 。
得特解为
x2
F0 k 1 2 n n
( k m ) X F 0 cos
2
c X F 0 sin
由此可得
X
F0
k m
tg c
2 2
c
2
2
(3.1-5) (3.1-6)
k m
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的求解 为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与 式(3.1-6)的分子分母同除以k，得如下变化形式
m kx F 0 sin t x
(3.1-17)
根据微分方程理论可知： 当=n时，微分方程(3.1-17)的 特解为
x t cos t t sin t 2m 2m 2 F0 F0
图 3.1-4
பைடு நூலகம்
(3.1-18)
这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限 地增大，如图3.1-4所示。
2 2 2
s in t
(3.1-9)
这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。
3.1 对简谐激励的响应
可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：
(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动， 振动的频率与激励频率 相同，但稳态响应的相 位滞后于激励相位。 (2) 强迫振动的振幅X和相位差都只决定于系统 本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条 件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。 (3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有 重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会 产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影 响机器及仪表的精度。