第三章(第1节) 单自由度系统的强迫振动

3.1 对简谐激励的响应 微分方程及解的形式
如图3.1-1所示的二阶线性有 阻尼的弹簧-质量系统。这一系 统的运动微分方程为 m c x kx F ( t ) F 0 sin t (3.1-1) x 这个单自由度强迫振动微分方程 的全部解包括两部分。一是通解 x1，二是特解x2，即
3.1 对简谐激励的响应
例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1) 共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程中通 常取0.75<<1.25的区间为共振区，在共振区内振动都很 强烈，会导致机器或结构的过大变形而造成破坏，但同 样可以利用振动为人类服务。 例 3.1-1 在 一 弹 簧 - 质 量 系 统 上 作 用 一 简 谐 力 F F 0 sin t ， 如 图 3.1-5 所 示 。 初 始 瞬 时 x x(0)=x0， 0 x 0 ，试求系统的响应。 解：系统的振动微分方程为 m kx F 0 sin t x 其解为 F0 x A1 cos n t A 2 sin n t sin t 2 k m 式中A1和A2是由初始条件确定的常数。 图 3.1-5
x x1 x 2
图 3.1-1
在小阻尼情况下，通解x1 为衰减振动，称为瞬态 振动；特解x2 表示系统在简谐激励下产生的强迫 振动，它是一种持续等幅振动，称为稳态振动。
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的求解
x 2 X sin( t ) (3.1-2) 设特解为 式中X为强迫振动的振幅，为相位差，是两个 待定常数。 将式(3.1-2)代入式(3.1-1)，得
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论
频率比； 引入符号： X 0 F0 k 振动系统零频率挠度； X X 0 放大因子。 可以将式(3.1-7)写成无量纲的形式

X X0
tan
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n

1 [1 ( / n ) ] [ 2 ( / n )]
2 n x x 2 n y y x
2 n 2 n
3.1 对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 设支承的位移y与振动系统中的质量m的强迫振动响应x 表示为 y Y cos t y Y sin t 2 x x X sin t x X cos t X sin t 把上面的式子代入振动微分方程得
m kx F 0 sin t x
(3.1-17)
根据微分方程理论可知： 当=n时，微分方程(3.1-17)的 特解为
x t cos t t sin t 2m 2m 2 F0 F0

图 3.1-4
(3.1-18)
这就说明在共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限 地增大，如图3.1-4所示。
2
1 (1 ) ( 2 )
2 2 2


2 2
2 2
(1 ) ( 2 )
用幅频响应曲线表示如图3.1-7所示 在 低 频 <<1 时 ， MX/me≈0 ， 即 振 幅 接近于零。在高频 >>1 时 ， 则 MX/me 趋 近 于 1 ， 即 X≈me/M，而不趋向 于零。
图 3.1-6
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 例3.1-2 作为承受简谐激励的一个例子，考虑图3.16所示的不平衡转子激发的振动。两个偏心质量m/2以角 速度 按相反方向转动，这样可以使两个偏心质量激励 的水平分量相互抵消，铅垂分量则相加起来。设转子的 偏心矩为e，机器总质量为M，求系统的响应。 解：系统的振动微分方程为
me X M n
2
(1 ) ( 2 )
2 2

2
me M
2

2
2 2
(1 ) ( 2 )
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 因而，在这种情况下，无量纲比为
MX me n
2

1 2 1
2
(3.1-15)
X
0 2
X
2
1

F0 c d
(3.1-16)
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——相频频特性曲线
相位差与频率比的关系：
◆在<<1的低频范围内，相位 差 0，即响应与激励接近于 同相位。 ◆在 >>1时，相位差 ，即 在高频范围内，响应与激励接 近于反相位。
第三章 单自由度系统的强迫振动
●本章将主要讨论振动系统由外部持续激 励所产生的振动，称为强迫振动。 ●系统对外部激励的响应取决于激励的类 型，依照从简单到复杂的次序，外部激励分为: ◆ 简谐激励； ◆ 周期性激励； ◆ 非周期性激励。 ●叠加原理：对于线性系统，可以先分别求 出对所给定的许多各种激励的响应，然后组合得 出总响应。
3.1 对简谐激励的响应 例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1) 强迫振动的初始阶段的解由三部分组成： ★第一项是初始条件产生的自由振动； ★第二项是简谐激励产生的强迫振动； ★第三项是不论初始条件如何都伴随强迫振动而产 生的自由振动。同时，系统中不可避免地存在着阻尼， 自由振动将不断的衰减。 在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时间内 逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动，如图3.1-6所 示。
2 2 2
1 (1 ) ( 2 ) 2
2 2 2
(3.1-10) (3.1-11)
1
2
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——幅频特性曲线
放大因子与频率比的关系：
◆当频率比 <<1时，放大因子 接近于1，即振幅X几乎与激励 幅值引起的静变形X0差不多。
◆当频率比 >>1时， 趋于零， 振幅可能非常小。
2 2 2
s in t

(3.1-9)
这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。
3.1 对简谐激励的响应
可以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：
(1) 在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动， 振动的频率与激励频率 相同，但稳态响应的相 位滞后于激励相位。 (2) 强迫振动的振幅X和相位差都只决定于系统 本身的物理性质和激励的大小与频率，与初始条 件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。 (3) 强迫振动振幅的大小在工程实际问题中具有 重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中会 产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者影 响机器及仪表的精度。
图 3 .1 -7
3.1 对简谐激励的响应 例题：支承激励引起的强迫振动（例3.1-3） 例3.1-3 作为承受简谐激励的另一个例子，是当支承产 生简谐运动的情况。在许多情况下，系统产生强迫振动 是由于支承的运动。如图3.1-8所示的系统，假定物体m 只能沿铅垂方向运动，支承可以上下运动，其规律为， y Y sin t 求系统的响应。 解：取铅垂坐标轴x与y，分别以物体 与支承静止时的平衡位置为原点，向 上为正。其运动微分方程为 m c ( x y ) k ( x y ) 0 x 或者改写成为
x X sin( t )
根据方程（3.1-7）的稳态响应的幅值为
X me k
2
1
1
2 n
2 2
2
2
式中 n ，而 响应的相位角
k M
1
。根据方程（3.1-8）的稳态
2
2
tg
1
1
同样响应的幅值也可以变换为
X F0 k
1
tg
n
2 2

2 n
2
2
(3.1-7)
2 n 1 n
(3.1-8)
式中
2 n
k m
,
c cc
, cc 2 m n 。
得特解为
x2
F0 k 1 2 n n
( k m ) X F 0 cos
2
c X F 0 sin
由此可得
X
F0
k m
tg c
2 2
c
2

2
(3.1-5) (3.1-6)
k m
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的求解 为了便于进一步讨论，把式(3.1-5)与 式(3.1-6)的分子分母同除以k，得如下变化形式
( k m ) X sin( t ) c X cos( t ) F 0 sin t
2
(3.1-3) 为了便于比较，把上式右端的F0sint改写如下
F 0 sin t F 0 sin[( t ) ] F0 cos sin t F0 sin cos( t )
1

2
2
2
0,
1 2
2
有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振频率， 也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现象称为共振。 据此，放大因子与振幅为（振幅最大时）

1
1 1 2
2
2
4
2
1 2
2

1 2

2
1 2
图 3.1-2
◆当激励频率与振动系统频率 很接近时，即≈1时，定义为共 振，强迫振动的振幅可能很大， 比X0 大很多倍，唯一的限制因 素是阻尼。
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振 由式(3.1-10)可见，在=1时，有

X
1 2 X0
2 F0 c n
(3.1-12)

(3.1-13) (3.1-14)
(3.1-4)
3.1 对简谐激励的响应
微分方程的求解
将式(3.1-4)代回式(3.1-3)，整理后得
[( k m ) X F 0 cos ] sin( t )
2
( c X F 0 sin ) cos( t ) 0
该方程对于任意时间t都应恒等于零，有
(M m ) d x dt
2 2
m
d
2 2
( x e sin t ) dx dt
2
dt
c
kx 0
上式可以写成
M c x kx me sin t x
图 3 .1 -6
3.1 对简谐激励的响应 例题：不平衡质量激发的强迫振动（例3.1-2） 设响应为

sin n t
n
k m
2
[sin t
n
sin n t ]
A sin n t sin n t sin t 2 k m n F0
当t=0时，x0= x 0 =0，上式简化为
x sin n t sin t 2 k m n F0
◆ 在 =1 ， 即 共 振 时 ， 相 位 差 /2，这时 与阻尼大小无关， 这是共振时的一个重要特征。
图 3.1-3
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振时的响应
再研究当激励频率与系统固有频率n相等(即共振) 时的响应情况。在方程(3.1-1)中，令c=0，=n，有
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在=n 处，而发生在 2

1 2 n
将式(3.1-10)对ω(或λ)进行微分，令结果等于零,即
d d 4 (1 ) 8
2 2
(1 ) ( 2 )
2 2
2
0,
3.1 对简谐激励的响应
关于解的讨论——共振
3.1 对简谐激励的响应
例题：无阻尼强迫振动微分方程（例3.1-1)
代入初始条件x(0)=x0，x ( 0 ) x 0 ，得 F0 n x0
A1 x 0 , A2
n

k m
F0
2
把A1和A2值代入解中，得
x x 0 cos n t x0