单自由度系统受迫振动
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
振动理论(4-3)第四章单自由度的受迫振动陈永强北京大学力学系振动的隔离原理●机械或者其他原因产生的振动常常是不可避免的，但是通过适当的措施可以把影响降低到最小●隔振系统的作用是保护特定对象免受传过来的过大振动(被动隔振)，或者防止过大的振动力传递到周围环境（主动隔振）●这两个方面本质上是相同的，都是试图降低传递的振动力振动的隔离原理00000/()st x x kx x P k P TR ======弹簧力传递力传递比外力外力k通过弹簧传给下层结构的力012345-1－2-3-41A BCω/ωn振动的隔离原理：无阻尼012345-1－2-3-41A BCω/ωn传递比大于1如果无阻尼情况下2振动的隔离原理: 阻尼考虑阻尼的影响，传递的力包括两部分：弹簧力和阻尼力，分别与位移和速度同相而具有的相位差传递比振动的隔离原理: 阻尼ω/ωn10201230.250.50.5c /c c =0●区域中，阻尼使可传性减小(但仍然比1大)●,传递比小于1，阻尼的存在使可传性更差2●阻尼的存在可以有效防止共振●阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补在不改变传动比的情况下如何降低隔离质量的振幅可以把附放在一个大的质量上, 同时增加弹簧的刚度，保持不变。
由方程可以看到，由于的增大，将降低632014/10/22例题●一机器质量为，支承在总刚度为的弹簧上。
机器上的非平衡旋转部件在转速为3000 rpm时导致的扰动力. 假定阻尼比为, 试确定(a) 非平衡导致的运动振幅；(b) 传递比；(c) 传递的力●解：系统的静挠度为19811411−3m141mm其固有频率为=1332Hz系统的振幅为m=0.0379mm642014/10/22●传递比●传递的力=扰动力传递比N652014/10/22复频率响应●继续讨论系统激励(输入)与响应(输出)关系和描述●振动微分方程可以看成是矢量平衡投影⏹竖直轴投影⏹水平轴投影●把谐振激励表示为●位移记为cωx0mω2x0x0ϕωP0kx0●把复位移向量带入微分方程●可以求得●定义复频率响应(输出与输入的比值)容易看出，依赖于频率比和阻尼因子。
振动理论讲义第4章 单自由度系统受迫振动
图 4.1 电磁式振动台
当励磁线圈通以直流电流时，导磁体就形成恒定磁场。当在这种磁场中的振动线圈
有交流电通过时，便受到交变电磁力的作用，使支承在平板弹簧上的导杆以及与导杆联
在一起的台面等在磁场中振动。
由于振荡器供给的交流电是正弦波，产生的电磁力也是简谐力，可用
表示。其频率 和幅值 都可以调节，从而使台面能以不同的频率和振幅作上下振动。
将振动线圈、导杆、台面等简化为集中质量 ，平板弹簧为具有刚度 的弹性元件，
并考虑各部分的阻尼作用，用 表示相应的阻尼系数，振动台可以简化成图 4.1b 所示的
单自由度有阻尼的质量弹簧体系，受
的简谐激励。
4.2 无阻尼受迫振动
进一步分析(4.5)式表示的含义。显然， 是一个具有振幅为
的正弦
波，该振幅取决于频率比 。
图 4.2 常幅 变 频力作用于质量 上的系统绝对运动 共振图
当
时，纵坐标（即振幅）是负值，如何理解负振幅的意义？考虑到
上式表明，“负振幅”相当于与原波相位差为 180 度。在物理上，它表示，当
，
力和运动同相，质量在平衡位置下面而力又向下推质量；而当
以表示为
⁄
假定 和 比较接近，例如
/
,则
⁄
/
⁄
/
在 很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此
⁄
/
/
这是拍的方程。当激振频率和固有频率相等，即
/
，有
即为振幅随时间发散的振动方程。当然，在共振情况下的振幅发展到无穷大是需要一定 时间的。
4-4
4.3 外力的振幅取决于频率的情况
前面讨论的问题中，外力的振幅 是独立于其频率 的。工程中常见的还有振幅 取
振动力学4单自由度受迫
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
•
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
X=
X 0ω0
2
2
(ω0 − ω 2 ) 2 + (2ζω 0ω ) 2
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
2 0 0
(ω0 − ω ) + (2ζω 0ω )
2 2 2
2
=
0
(1 − s ) + (2ζs ) 2
2 2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s—线性阻尼系统简谐激振
• 结论 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同
于激振频率）线性系统对简谐激励的稳态响应是 频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐 振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物 理性质（m, , k, , c）和激振力的频率及力幅，而 与系统进入运动的方式（即初始条件）无关
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
例：
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动
第13例谐响应分析实例—单自由度系统的受迫振动单自由度系统是动力学中的一个基本模型，用于描述质点或弹性系统在其中一方向上的振动。
在实际应用中，往往会遇到系统受到外力作用的情况，这时系统的运动方程称为受迫振动方程。
本文将基于第一章学习的单自由度系统的动力学原理，通过一个实际的例子，展示如何利用谐响应分析方法来解决单自由度系统的受迫振动问题。
假设一个质量为m的小球通过一根无摩擦的弹簧与固定点相连，并受到一个周期性外力的作用。
我们的目标是求解小球的运动方程，并分析系统在谐响应下的特性。
首先我们需要建立系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律，可以得到受迫振动方程：m*a + c*v + k*x = F0*sin(ω*t)其中，m是小球的质量，a是小球的加速度，c是阻尼系数，v是小球的速度，k是弹簧的刚度，x是小球与平衡位置的位移，F0是外力的振幅，ω是外力的角频率，t是时间。
根据系统的初始条件，可以得到小球的初始位移和初始速度：x(0)=x0,为了求解受迫振动方程的特解，假设系统在稳态下的解为:x = A*sin(ωt + φ).将上式代入受迫振动方程，可以得到A和φ的关系式：A*[(-mω^2 + k)*sin(ωt + φ) + cω*cos(ωt + φ)] =F0*sin(ωt).由于上式中左右两侧的正弦项和余弦项的系数相等，根据同角正弦和余弦函数的和差公式，可以得到:A*[(-mω^2 + k)*sinφ + cω*cosφ] = F0,为了使得上述两个方程成立，可得到A和φ应满足的条件：解以上方程可以得到稳态下的解A和φ。
得到稳态解之后，我们可以分析系统的振动特性。
首先，可以计算出系统的谐响应函数：谐响应函数H(ω)描述了系统在不同外力频率下的响应强度。
图像的幅频响应特性被称为频率响应曲线。
为了绘制频率响应曲线，我们可以通过改变外力的频率ω来计算不同的稳态解A，进而得到H(ω)的数值。
其次，还可以分析系统的幅频特性。
单自由度受迫振动
单自由度受迫振动一、运动方程的建立在简谐荷载t P θsin )t (P =作用在质点m 上，其作用线与运动方向一致。
此时的运动方程为：t mP t y t y θωsin )()(2=+∙∙ 经积分可求得运动方程的解。
由初始条件t=0时，0,0v y 可得到方程为t m p t m P t v t y t y θθωωωθθωωωωsin )(sin )(sin cos )(222200-+∙--+= 1.1 当θ=0时或P=0时，体系为自由振动，图像如下图： 考虑阻尼的情况下不考虑阻尼的情况下当P不为0，且θ不为零的情况下，体系发生受迫振动。
二、无阻尼振动单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
如下图，结构在受迫振动的同时会有初位移，初速度引起的自由振动，以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量，即伴随自由振动。
三、有阻尼受迫振动由于有阻尼的作用，自由振动会很快的衰减掉。
在振动计算过程中，通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段，而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。
这时的振幅和频率是恒定的。
成为稳态强迫振动。
如图：3.1 振幅22-11A ωβm P ∙=，ωθβ= 由公式可见，强迫振动的振幅除与干扰力这幅P 有关外，还与ωθβ=有关。
3.1.1 ωθ<< 此时0≈=ωθβ，得st y ≈≈A 1，μ，可知与自振频率相比，频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显，可当静荷载处理，可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化，不存在振动问题。
图像如下图所示3.1.2ωθ>> 此时ωθβ=是一个很大的数，st y <<<<A 1，μ。
表明当干扰力平率远大于自振频率时，动位移将远小于扰力幅值P 所产生的静位移，质体将接近静止状态，如下图：θ→3.1.3ωθ→时，放大系数和动位移的振幅A理论上将趋于无限，而实际上由于阻当ω尼的存在，振幅不会趋于无穷，但仍会远大于静位移y。
单自由度系统受迫振动
解得
B
h
(n2 2 )2 4 22
tan
2 h n2 2
幅频特性与相频---称为静力偏移 β 为振幅与静力偏移之比，称为振幅比（又称放大因子）。 s 是激励频率与固有频率之比，称为频率比。
由二部分组成： ＊第一部分振动的频率是自由振动频率 d；由于阻尼的作 用，这部分的振幅都时间而衰减。---瞬态振动
＊第二部分以激励频率作简谐振动，其振幅不随时间衰减 －稳态受迫振动。
特解为: 代入方程
B 2 sin(t ) 2B cos(t ) n2B sin(t ) h sin t
arctan
1
1 s
2s3 2 (2s)
2
特系 性统 曲的 线幅
频 特 性 和 相 频
单自由度系统受迫振动/ 受迫振动的过渡阶段
受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
回顾： mx cx kx F0 sin t 显含t，非齐次微分方程
m1
d2x dt 2
m2
d2 dt 2
(x
e sin t)
cx
kx
整理后得系统的微分方程为
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
(m1 m2 )x cx kx m2e 2 sin t
引入 微分方程化为标准形式 解得
令
解得
其幅频特性和相频特性曲线
【例】图示为一测振仪的简图，其中物块质量为 m，弹簧刚度系数为k，阻力系数c。测振仪放在 振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的 振动规律为 xe e sin t 。求测振仪中物块的运动 微分方程及其受迫振动规律。
2-单自由度受迫振动解读
F0 / k
17
≈1（激振频率接近固有频率）时，b 迅速增
大，振幅很大，这种现象称为共振;
• 阻尼比z 的影响: 阻尼越小，共振越厉害。因
此加大阻尼可以有效降低共振振幅。
对b 求导数取极值
b
2 (1 2 ) 2 (2z ) 2
(2z 1 )
2 2
令其等于0得
第2章 单自由度系统的受迫振动
4
因此方程的全解为：
x(t ) e
zwn t
( A cos wn 1 z t
2
2
B sin wn 1 z t ) X sin(w t )
系数A和B由初始条件确定。
设 t＝ 0 时 ,
x 0 x x0 , x
则：
A x0 X sin x0 zwn Xw ( x0 X sin ) cos B wd w d wd
2
2.1 简谐激励下的受迫振动
所谓简谐激励就是正弦或余弦激励。
2.1.1 振动微分方程及其解
设单自由度黏滞阻尼系统受到的激励为 F(t)=F0sinwt ，这里 w为激振频率，利用牛顿 定律并引入阻尼比z 可得到
F0 x 2wnz x w x sin wt m
2 n
第2章 单自由度系统的受迫振动
而强迫振动部分才是我们最关心的。
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
7
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 zwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd zwnt zwn cos w sin Xe sin wd t cos cos wd t wd
共振时候最大振幅 公式
共振时候最大振幅公式
1. 单自由度系统受迫振动共振时最大振幅公式推导。
- 对于单自由度系统的受迫振动，其运动方程为m ẍ+c ẋ+kx = F_0sin(ω t)，其中m为质量，c为阻尼系数，k为弹簧刚度，F_0为激振力幅值，ω为激振力频率，x 为位移。
- 设稳态解x = Xsin(ω t-φ)，将其代入运动方程可得：
- -mω^2Xsin(ω t - φ)+cω Xcos(ω t-φ)+kXsin(ω t-φ)=F_0sin(ω t)。
- 根据三角函数关系展开并整理可得X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，相位角φ=arctan(cω)/(k - mω^2)。
- 当发生共振时，ω=ω_n=√(frac{k){m}}（ω_n为系统的固有频率）。
- 在无阻尼c = 0的情况下，共振时ω=ω_n，此时最大振幅X_max=(F_0)/(k)。
- 在有阻尼c≠0的情况下，将ω=ω_n=√(frac{k){m}}代入X=(F_0)/(√((k -
mω^2))^{2)+(cω)^{2}}，可得X_max=(F_0)/(cω_n)。
2. 相关知识点补充。
- 固有频率的物理意义。
- 固有频率是系统本身的一种特性，它只与系统的质量m和刚度k有关（在单自由度系统中）。
例如，对于一个弹簧 - 质量系统，质量越大，固有频率越低；弹簧越“硬”（刚度越大），固有频率越高。
- 阻尼对共振的影响。
- 阻尼会抑制共振时振幅的无限增大。
当阻尼较小时，共振频率接近系统的固有频率，且共振时振幅仍然较大；随着阻尼的增大，共振时的振幅逐渐减小，并且共振频率会略微偏离固有频率。
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单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
A1
s2
D
(1 s 2 )2 (2s)2
A1 还可写为：
1
D 2
m
A1 (1 s2 )2 (2s)2 ( 02 )
k
c
xf
s 0 0
lim
s0
A1
1
02
(D 2 )
D2 ：被测物体的加速度幅值
当仪器的固有频率远大于外壳振动频率时，仪器读数的幅值
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
• 惯性式测振仪
s2
A1
D
(1 s2 )2 (2s)2
使用频率范围
当 s＞1以后， A1曲线逐渐进入平坦区，并随着 s的增加而趋 向于1。这一平坦区就是位移计型传感器的使用频率范围。
对于位移计型惯性接收的传感器来说，测量频率要大于传感 器的自然频率。为了压低使用频率下限，一般引进 ζ=0.6-0.7 的 阻尼比，这样，A1 曲线在过了s=1之后，很快进入平坦区。
隔振材料：k，c
F0
(1
1 (2s)2 s2 )2 (2s)2
ei[t
(1
2
)]
隔振后
m
F0eit
k
c
2 tg 12s
c
k
c 02m
cs
m 0
2 0
s
0
2s
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
＝ 主动隔振系数
隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振前机器传到地基的力：
质心C的坐标： (x ecost, y esint)
l/2
o
x
l/2
y
C
o1 x
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
轴沿 x 和 y 方向的横向 刚度： 48EI
k l3
粘性阻尼力正比于圆盘 形心 O1 的速度
质心C的坐标：
(x ecost, y esint)
305 mm
材料比重 7.8×10-3 kg/cm3 求：临界转速
120 mm 305 mm
解：
转轴质量
m2
122
4
61 7.810 3
53.8
kg
与叶片相比 不能忽略
由瑞利法，转子质量为叶片质量与转轴等效质量的和，即：
17
17
m
m1
35 m2
158
53.8 184.1 35
kg
轴的横向刚度： k
时： f
e
2
y
C
o1 x
可见，当阻尼比 较小时，即使转子平衡得很好(e 很小)，动挠
度 f 也会相当大，容易使轴破坏，这样的转速称为临界转速，为：
用每分钟转速表示：n f
60 f 2
(r / min)
f 0
k m
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
mx cx kx me 2 cost
0
k M
s 0
Mx cx kx me2 sin t
解1：x(t) Bsin(t )
1
(1 s2 )2 (2s)2
tg
1
2s
1 s2
B me 2
k
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 惯性测振仪
• 惯性式测振仪
基础位移 x f Deit
x 为 m 相对于外壳的相对位移
m
mx cx kx me 2 cost
my
cy
k
y
me
2
sin
t
圆盘俯视图
y
0 k / m c /(2m0 )
C
s 1
/ 0 (1
s
2
s2 )2
(2s)
2
1
tg 1
2s
1 s2
e t y f o1
ox
l/2
o
x
形f 心 eO11的 动(1挠度s2：e)s2 2 (2s)2
l/2
当
s=1
my
cy
ky
me
2
sin
t
圆盘俯视图
y
x
y
1
e1 e1
(1
cos(t sin(t
s2 s2)2
1) 1)
(2s)2
C
e t
y f o1
l/2
1
tg
1
2s
1 s2
ox
x
当 s 1时 即 0 有：1 1 1
l/2
质心C的坐标：
可得：
x y
e cost e sin t
(x ecost, y esint)
48 EI l3
48 2.06 107
613 64
12 4
4.43 106
N / cm
临界转速：n 60
k 30 4.43106 100
14800 r / min
2 m
184.1
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
• 工程中的受迫振动问题
振动的隔离 • 转子的临界转速 • 惯性式测振仪
动力方程 ：
k
c
m(x xf ) cx kx 0
xf
mx cx kx mD2eit
振幅 ： A1
s2 D
(1 s2 )2 (2s)2
低固有频率测量仪用于测量振 动的位移幅值，称为位移计
s 0
lim
s
A1
D
当仪器的固有频率远小于外壳振动 频率时，仪器读数的幅值 A1 接近 外壳振动的振幅 D
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
mx cx kx me 2 cost
my
cy
ky
me
2
sin
t
圆盘俯视图
y
设： 0 k / m
C
c /(2m0 )
s / 0
1
s2
(1 s2 )2 (2s)2
1
tg
1
2s
1 s2
e t y f o1
ox
l/2
o
x
l/2
y
C
o o1 x
可见，这时质心的坐标为（0，0） 质心C与旋转中心O重合
圆盘和弯曲的轴都绕着质心C旋转 自动定心现象
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
例：叶片模拟试验台
叶片质量 158 kg
转轴：长 610mm，直径 120mm 弹性模量 E＝2.07 x 107 N/cm2
• 振动的隔离
将作为振源的机器设备与地基隔离，以减少对环境的影响称为
主动隔振
＝ 主动隔振系数
隔振后传到地基的力幅值
隔振前传到地基的力幅值
隔振前机器传到地基的力：F0eit 隔振后系统响应：
隔振前
m
F0eit
隔振后
m
F0eit
x F0 ei(t1)
k
A F0
k
隔振材料：k，c k
c
1
(1 s2 )2 (2s)2
o
o1C
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
轴以角速度 恒速旋转
轴沿 x 和 y 方向的横向 刚度： 48EI
k l3
由于离心惯性力，轴产 生动挠度 OO1= f
圆盘俯视图
y
C
e t y f o1
ox
粘性阻尼力正比于圆盘 形心 O1 的速度
形心 O1 的坐标（x, y）
x x1 xf 2Dei(t )
2
1 (2s)2 (1 s2 )2 (2s)2
1 2
2 tg 1(2s)
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
偏心质量情况
m
e t
me2 sin t
m
M
x
x
e
M t
x
k
c
k
c
k
ck
2
2
解2：x(t) 1B1 sin(t )
1
s2
(1 s2 )2 (2s)2
x(t)
a0 2k
n1
an
cos n1t bn sin
k(1 n2s2 )
n1t
a0 2k
n1
cn sin(n1t n )
n1
记：
cn an2 bn2
n
tg 1
an bn
单自由度系统受迫振动 / 任意周期激励的响应
F(t)
a0 2
(an
n1
cos n1t
bn
运动微分方程 ： mx cx kx
叠加原理，系统稳态响应 ：
sin n1t)
a0 2
a0 2
(an
n1
cn s
假定粘性阻尼系统受到的周期激振力： F(t) F(t T )
记基频：
1
2
T
傅立叶级数展开： F (t)
a0
2 T
T
F (t)dt
an
2 T
T
F (t) cosn1tdt
bn
2 T
T
F (t) sin n1tdt
为任一时刻
a0
2
a0 2
T 为周期
(an cos n1t bn sin n1t)
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应