04-1 两自由度系统的振动
两自由度系统的振动
第四章 两自由度系统的振动前两章介绍了单自由度系统的振动，它是振动理论的基础，并有重要的应用价值。
但工程中许多实际问题是不能简化为单自由度系统的振动问题，它们往往需要简化成为多自由度系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法，以及系统响应表现出来的振动特性等等。
两自由度系统和多自由度系统没有本质上的差别，而主要是量上的差别，因此研究两自由度系统是分析多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
4-1 无阻尼自由振动1.系统的振动微分方程作为两自由度振系的第一个例子，现在来分析图4-1（a ）所示的双弹簧系统，设弹簧的刚度分别为k 1、、 k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1、x 2表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正。
现建立系统在静平衡位置的力学条件及振动过程中的运动微分方程。
在静平衡位置，设两弹簧的伸长分别为δ1、、δ2，则由系统的受力图 4-1（b ），得系统的静平衡条件为⎭⎬⎫=-=-+0022211221δδδk g m k k g m （a ）在振动过程中，设任一瞬时t ，m 1和m 2 的位置分别为x 1和x 2，此时质量上的受力图如图4-1（c ）所示。
应用牛顿运动定律，得)()(11112222111x k x x k k g m x m +--++=δδ )(12222222x x k k g m xm ---=δ 整理后得222122222112212212111)(δδδk g m x k x k x m k k g m x k x k k xm -=-+-+=-++ } （b ）将方程（b ）的右端和方程(a)比较，就可以消去平衡项，于是得00)(1222222212111=-+=-++x k x k xm x k x k k xm } (4-1)令 ,/,/,/)(2222121m k c m k b m k k a ==+=则（4-1）式可改写成00122211=-+=-+cx cx xbx ax x } (4-2)这是联立的二阶常系数线性微分方程组。
两自由度系统的振动
x1 (t ) = x1(1) + x1( 2) = A1(1) sin(ω1t + α1 ) + A1( 2) sin(ω2t + α 2 ) (1) ( 2) (1) ( 2) x2 (t ) = x2 + x2 = A2 sin(ω1t + α1 ) + A2 sin(ω2t + α 2 )
m1 &&1 + 2kx1 − kx 2 = 0 x 2m&&2 − kx1 + 2kx 2 = 0 x
Theory of Vibration with Applications
k3 x2
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两自由度系统的振动
例题
x m 0 &&1 பைடு நூலகம் 2k 0 2m && + − k x2
&& m1 x 1 + ( k 1 + k 2 )x 1 − k 2 x 2 = 0 && m2 x 2 − k 2 x 1 + k 2 x 2 = 0
m1 &&1 = − k 1 x 1 + k 2 ( x 2 − x 1 ) x m2 &&2 = − k 2 ( x 2 − x 1 ) x
m 0 质量矩阵 M = 0 2m
− k x1 0 x = 0 2k 2
2k K = − k − k 2k
刚度矩阵
（2）解频率方程，求ωi 将M和K代入频率方程，得
第四章两自由度系统的振动介绍
第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。
在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。
此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。
两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。
这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。
在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。
例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。
两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。
得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。
在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。
另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。
数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。
分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。
通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。
对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。
共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。
当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。
共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。
因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。
此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。
例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。
总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。
通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。
04-1zf_两自由度系统的振动
整理得系统运动微分方程：
m1x1 (K1 K2 )x1 K2 x2 0 m2 x2 K2 x1 (K2 K3 )x2 0
引入符号：
m1x1 m2 x2
(K1 K2
x1
K2 (
安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动，
在上述假设条件下，系统可简化成图两
自由度横向振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
x20 )2
(1x10 x20 )2 2
n2
1
arctan
n1 (2 x10 2 x10
x20 x20
)
2
arctan
n
2 (1x10 1x10
x20 x20
)
例1 图示两自由度系统。已知，ml=m2=m=0.05kg， K1=K2=K3=K=20N／m。
(1)第1个方程既含有 x1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。
(2)第2个方程既含有 x2 项，也含有-cxl项。
显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。
与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动
微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
4.1.2 固有频率与主振型
《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的自由振动
两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。
C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。
将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。
ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。
iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。
结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。
机械振动 第4章-二自由度系统的振动
(13)
4.2.2 有阻尼二自由度系统的自由振动
写成矩阵形式为：
K x 0 x Cx M
其中：
(14)
m11 m12 m1 0 M m m 0 m 21 22 2 c11 c12 c1 c2 c2 C c c c c 21 22 2 2 k11 k12 k1 k2 k2 K k k k k 21 22 2 2
2 2 如果行列式 K 不是负的，必然 0 b 4ac b ，将 n1
2 n 2
2 2 代入(6)，不能求得振幅A1和A2确定值，但可得对应于 n1 n 2 下的比值
称之为振幅比。振幅比决定了振动的振型 2 k22 n A1(1) k12 1m2 r1 (1) 2 A2 k11 n k21 1m1
运动微分方程
1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (t ) x1 (c1 c2 ) x m1 1 c2 x 2 k2 x1 k2 x2 F2 (t ) x2 c2 x m2
K x F (t ) x C x M
2 k11 m1n k21
k12 0 2 k22 m2n
(6)
4.2.1 无阻尼二自由度系统的自由振动
展开(6)得行列式：
2 2 2 (k11 m1n )(k22 m2n ) k12 0
m1m2 ( ) (m1k22 m2 k11 ) k11k22 k 0
A1(2) 2 1 5 r2 (2) 1.618 A2 2 1 5
例题4-1
r1
0.618
04-1 两自由度系统的振动
主振型向量或模态向量： (1) 1 A 1 A( 2 ) 1 2 振型图：以横坐标表示系统中各点的静平衡位置，以纵坐标表示各 点在振动过程中振幅比的大小，由此所画出的图形。
主振型向量 或模态向量
主振动
燕山大学
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主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
整理得系统运动微分方程：
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引入符号：
K1 K 2 a , m1 K2 b , m1 K2 c , m2
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
第二阶主振动：
x1( 2 ) A1( 2) sin( n 2 t 2 )
( 2) x2
( 2) ( 2) A2 sin( n 2 t 2 ) 2 A1 sin( n 2 t 2 )
结论：系统作主振动时，各点同时经过平衡位置、同时达到最 大极限位置，并以相同的频率和确定的振型作简谐振动。
2 K 5K m 2m 0.5 K m
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第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
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两个自由度体系的自由振动
• 引言 • 两个自由度体系的模型建立 • 两个自由度体系的自由振动分析
• 两个自由度体系的振动控制 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自由振动是物理学中一个重要的概念，它描述了系统在没有外部作用力的情况下 ，通过自身内部能量进行的振动。两个自由度体系是指具有两个独立方向的振动 体系，例如弹簧振荡器、单摆等。
02
通过理论分析和数值模拟，我 们发现某些参数条件下，两个 自由度体系可以发生共振或反 共振现象。
03
系统的能量在振动过程中会在 两个自由度之间转移，表现出 能量的分散和集中现象。
研究不足与展望
1
当前的研究主要集中在理论分析和数值模拟上， 缺乏实验验证，因此需要进一步开展实验研究。
2
对于两个自由度体系自由振动的动力学行为，仍 有许多未知领域需要探索，例如更高维度的自由 度体系、不同阻尼机制等。
3
需要进一步研究两个自由度体系在受到外部激励 或约束条件下的振动行为，以及与其他动力学现 象的相互作用。
THANKS
感谢观看
分析振动响应的特性，如频率、振幅、相位等，以 了解系统的自由振动行为。
03
两个自由度体系的自由振动分析
振动特性分析
固有频率
描述体系对振动的敏感程度，与体系的质量和刚度有关。
阻尼比
描述体系能量耗散的快慢，与阻尼系数和固有频率有关。
模态振型
描述体系在不同方向的振动形态，是振动特性的重要参数。
振动频率计算
自由振动在工程、自然界和日常生活中广泛存在，如乐器振动、地震波传播、桥 梁振动等。
研究意义
自由振动研究有助于深入理解物理现象的本质，探究系统内部能量转换和 传递机制。
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2 n1, n 2
ad ad 7 3 K bc 2 2 4 4 m
2
则：
K , m
2 n1
K n1 m
5K n 2 2m
5K , 2m
2 n2
3、主振型向量与振型图
振幅比：
2 a n 1 1 b
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主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
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(a ) b 0 2 c (d )
2
将上式展开得：
ω4- (a+d)ω2+(ad-bc)=0 特征根：
称为频率方程或特 征方程
2 1, 2
ad ad (ad bc) 2 2 ad ad bc 2 2
4.1.2 固有频率与主振型
设两质量块按同频率和同相位作简谐振动，即设：
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x1 A1 sin(t ) x2 A2 sin(t )
则：
1 A1 cos( t ) x 2 A2 cos( t ) x
2 K 5K m 2m 0.5 K m
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第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
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(1)两自由度线性系统的自由振动，有两个固有频率，也对应两种 简谐振动。 (2)根据线性微分方程理论，两自由度线性系统的自由振动是两种 简谐振动的叠加：
(1) A1(1)、A2 ——
( 2) A1( 2)、A2
按第1阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅； — — 按第2阶固有频率振动时，质块m1、m2的振幅。
A 上下标约定：下标 j 为质块序号； 上标 i 为固有频率阶数。
由于a、b、c、d和ωn1与ωn2都是由系统固有特性参数所决定的 ，所以某一阶固有频率振动时的振幅比也是由系统固有特性参数 所决定的，是常数，与初始条件无关。
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例 图示系统中，m1=m，m2=2m， k1=k2=k，k3=2k，试求系统的固
有频率和固有振型。
解：振动的微分方程为
x1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m1 x2 k2 x1 （k2 k3 ) x2 0 m2
(i ) j
主振型
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振幅比为常数，说明系统在振动过程中各点的相对位置是确 定的，因此振幅比所确定的振动形态是系统的固有特性。 主振型（固有振型）：当系统按某阶固有频率振动时，由振幅比
所决定的振动形态。
第一阶主振型：与ωn1所对应的主振型； 第二阶主振型：与ωn2所对应的主振型。
4.1 两自由度系统无阻尼自由振动
4.1.1 两自由度系统振动微分方程
如图所示的弹簧质量系统。质块 m1 和 m2在光滑水平面上移动，m1、 m2之间 及其与支撑面之间用弹簧分别联接。 显然，该系统为2自由度系统。 取质块位移xl和x2为广义坐标。 取质块m1和m2 为分离体，受力如图所示。 根据牛顿定律：
2 x A sin(t ) 1 1 2 x A sin(t ) 2 2
将上述关系代入运动 微分方程：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
(a 2 ) A1 bA2 sin(t ) 0 2 cA ( d ) A2 sin(t ) 0 1
上式是关于A1和A2的二元齐次线性代数方程组，具有无穷多组 解。显然，A1=A2=0是方程的一组零解，即系统处于平衡状态。 由于我们的目的是研究的系统振动规律，因此感兴趣的是A1和 A2的非零解。 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为0，即：
(a 2 ) b 0 2 c (d )
K 2 K3 d m2
运动微分方程简化为标准 形式：
1 ax1 bx2 0 x 2 cx1 dx2 0 x
方程的特点： 二阶常系数齐次线 1 项，也含有-bx2项； 性常微分方程组。 x (1)第1个方程既含有 2 项，也含有-cxl项。 x (2)第2个方程既含有 显然，这两个方程是相互耦联的，将-bx2、-cxl称为耦合项。 与单自由度振动系统运动微分方程比较：两自由度振动系统运动 微分方程是含有耦合项的二级常微分方程组。
ωn1——第1阶固有频率，数值较小的固有频率； ωn2——第2阶固有频率，数值较大的固有频率。
主振型
2 ( a ) A1 bA2 0 将固有频率ωn1和ωn2代入代数方程： 2 cA1 (d ) A2 0
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2
2
固有频率
2 1,2
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ad ad ad ad ( ad bc ) bc 2 2 2 2
2
2
2
2 (1)a、b、c、d是由弹簧刚度和质量所决定的正数，所以 1 与 2
均为实根。 (2)因为 ad bc ， 正实根。
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2K K m m 1 K m
2 a n 2 2 b
主振型向量：
(1) 1 1 A 1 1 A(2) 1 1 0.5 2
整理得系统运动微分方程：
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引入符号：
K1 K 2 a , m1 K2 b , m1 K2 c , m2
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
则可以得到关于A1和A2的齐次线性方程组。由于方程组具有无穷 多组解，所以不能求得A1和A2的具体值，但可以求得二者的比值， 2 (1) 即振幅比： a n A2 c 1
1 (1) 2 b A1 d n 1 2 ( 2) c A2 a n 2 2 2 A ( 2) b d 1 n2
ad ad (ad bc) 2 2
2
2 ，所以12 与 2 均为
2 2 显然， 与 2 是由系统本身参数所决定的，故称ω1、ω2 1 为系统的固有频率。 2
将两个固有频率ωn1、ωn2按 从小到大的顺序排列：
ad ad 2 n bc 1 2 2 2 2 ad ad bc n2 2 2
式中：A1(1) 、 A1( 2) 、φ1和φ2——常数，由系统的初始条件决定。 初始条件：
t0 x1 x10 x 10 1 x
x 2 x 20 2 x 20 x
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t0 x1 x10 x 10 1 x
两自由度扭转振动力学模型
若研究系统的扭振问题，两圆盘具有 转动惯量，轴具有扭转弹性，系统可 简化为两自由度扭转振动力学模型。
两自由度横向振动力学模型
再如：双摆振动系统
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若不考虑杆的弹性变形，上述系统均为两自由度振动系统。 工程实际中有许多系统都可简化为两自由度振动系统，所以本 章研究两自由度系统的振动特性。 实际上，两自由度系统的分析方法与多自由度系统的分析方法 相同，两自由度系统是最简单的多自由度系统。 本章的重点：通过两自由度振动系统的分析，掌握多自由度系 统振动分析中的基本概念、基本方法。
1 2kx1 kx2 0 mx 2 kx1 3kx2 0 2mx
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
2K a , m K b m
K c , 2m
3K d 2m
2、固有频率
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连续系统。
例如 图示安装两个齿轮的传动轴系统。
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安装两个齿轮的传动轴示意图
假设： (1)相对于齿轮来说，轴的质量较小 可以忽略； (2)轴的变形较大，考虑其弹性； (3)齿轮可视为集中质量元件的刚性 圆盘。
若研究系统在纸面平面内的横向振动， 在上述假设条件下，系统可简化成图两 自由度横向振动力学模型。
第4章 两自由度系统的振动 前两章，介绍了单自由度系统的振动理论。
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在工程实际当中，有许多振动问题是相当复杂的，用
单自由度的模型研究分析，往往不能得到满意的结果。
为了提高振动系统的分析精度，常将振动系统简化为 更为复杂的模型： 两自由度系统； 多自由度系统；
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1 K 2 ( x2 x1 ) K1 x1 m1 x 2 K 2 ( x2 x1 ) K 3 x2 m2 x
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x