第二章2-单自由度系统阻尼自由振动

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振动力学-单自由度振动系统

振动力学-单自由度振动系统

§2.2 无阻尼自由振动
2.2.1 运动微分方程
列微分方程的步骤: 1 确定坐标系,确定原点,确定坐标正向 2 惯性元件沿坐标正向有一个位移 考察惯性元件的受力情况 画隔离体图 3 根据牛顿第二定律列出运动微分方程 4 确定系统的初始运动状态,即确定运动微
分方程的初始条件。
图形
隔离体受 力分析
kx
衡时水平,求其系统 的微分方程和固有频
k

(提示:取静平衡
a
θ
m
位置为坐标原点,可
不考虑重力势能,当
偏角很小时,弹簧的
伸长,圆球的位移可
以表示为:a ,l)
2.2.3 有效质量
在前面的讨论中,都假定了弹性元件的质量远 远小于振动系统的集中质量,因而忽略弹性元 件的质量。这相当于忽略系统的一部分动能, 引起一定误差。
ce 2 mk 2mn
§2. 3 阻尼自由振动
阻尼比(第二个重要参数)
c c c ce 2 mk 2mn
特征方程解
=
s1,2


c 2m

c 2m
c2 4mk
2m
c2 (2m)2

k m
s1,2 n n 2 1
§2. 3 阻尼自由振动
k
m
x(t)
O
2.2.1 运动微分方程
1DOFS无阻尼自由振动运动微分方程
微分方程 首1形式
mx kx 0

x(0)

x0 ,
x0 (0)

0

x n2 x 0
x(0) x0, x0 (0) 0
第一个也是最重要的振动参数

2-单自由度自由振动

2-单自由度自由振动

第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
31
给出初始条件:t=0时 x x0 , x v0
则可确定系数B和D B v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
D v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
不大,特别是当阻尼很小(<<1)时,可
以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
40
2.6 对数衰减率
振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示,称为衰减率或减幅率或 减缩率;也可以用衰减率的自然对数来 表示,称为对数衰减率。
第2章 单自由度系统自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
22
P15例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
23
2.4 瑞利法
一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的 影响,若这些质量不可忽略的时候,“瑞利法” 的思想,是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去, 从而变成典型的单自由度振动系统。
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间,单位 为秒(s)。
周期的倒数称为频率,是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
固有频率n和频率 f 只相差常数2,因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
已知质量为m,弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程:

第二章 单自由度系统振动的理论及应用

第二章 单自由度系统振动的理论及应用

M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 , 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知:质量为m=0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时,撞于无质量的弹簧上, 并与弹簧不再分离,弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求:此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时,运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax

1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知:如图表示一质量为m,半径为r的圆柱体,在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求:圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。

第二章 单自由度系统的自由振动

第二章 单自由度系统的自由振动
位转角所需的力矩 (N m / rad)
k
I
在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作 为角位移的起点位置
由牛顿第二定律:
I&& k 0
&& 02 0
扭振固有频率
0
k I
第二章 单自由度系统的自由振动
由上例可看出,除了选择了坐标不同之外,角振动与直线振动的数学描述 完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度,则弹 簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时,弹簧质 量系统是广义的 。
对时间求导 取平衡位置为势能零点,根据自由振动的特点,系统在平衡位置时,系统的势能 为零,其动能的极大值就是全部机械能;而在振动系统的极端位置时,系统的动 能为零,其势能的极大值等于全部的机械能,即有:
例题讲解3 均匀悬臂梁长为 l, 弯曲刚度为EJ,重量不计, 自由端附有重为P=mg的物体,如图所示。试 写出物体的振动微分方程,并求出频率。 梁的自由端将有静挠度: 物体的振动微分方程为:
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下,与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L,抗弯刚度 EJ m
h
第二章 单自由度系统的自由振动
2.1 简谐振动
由牛顿定律,有 设系统固有频率为 二阶常系数线性齐次常微分方程
通解形式为
1
第二章 单自由度系统的自由振动
根据三角关系式
改 写
由此可以知道:该系统以 固有频率作简谐振动。
振动周期:
振动频率:
2
第二章 单自由度系统的自由振动
设在初始时刻t=0,物体有初位移
弹簧原长位置
m&x& kx 0

第二章单自由度无阻尼系统的振动

第二章单自由度无阻尼系统的振动

第二章 单自由度无阻尼系统的振动单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数,这种独立参量称为广义坐标,广义坐标可以是线位移、角位移等。

单自由度系统振动理论是振动理论的基础,尽管实际的机械都是弹性体,属多自由度系统,然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律,就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外,许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。

单自由度系统的力学模型如图2-1所示,图中,m 为质量元件(或惯性元件),k 为线性弹簧,C 为线性阻尼器。

图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统,若该系统不计阻尼,则称之为单自由度无阻尼系统,若在质量元件上作用有持续外界激扰力,则系统作强迫振动,如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用,则系统作自由振动。

下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动,再进一步研究其强迫振动。

2—1 自由振动图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。

现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。

取质量m 的静平衡位置为坐标原点,取x 轴铅直向下为正,当系统处于平衡位置时有,δk mg =,故有静位移δ=mg/k (a )当系统处在位置x 处时,作用在质量上的力系不再平衡,有:mg x k xm ++-=)(δ (b) 式中:22/dt x d x = 是质量的加速度,将(a )式代入(b )式;则得 kx xm -= 即 0=+kx xm (2-1) 注意,上式中-kx 是重力与弹簧力的合力,它的大小与位移x 的大小成正比,但其方向却始终与位移的方向相反,即始终指向平衡位置,故称其为弹性恢复力。

由式(2-1)可以看到,只要取物体的静平衡位置为坐标原点,则在列运动微分方程时,可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。

将(2-1)式改写成 0=+x m k x,令2p mk= 则得 02=+x p x (2-2)这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。

0723第二章单自由度振动系统(讲)

0723第二章单自由度振动系统(讲)

第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。

(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统,然而要掌握多自由度振动的基本规律,就必须先掌握单自由度系统的振动理论。

此外,(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下,也可以简化为单自由度振动系统来研究。

[举例如下:]例如:(1)悬臂锤削镗杆;(2)外圆磨床的砂轮主轴;(3)安装在地上的床身等。

[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量,只考虑它们的弹性。

忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性,只考虑它们的惯性。

把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。

于是,实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。

在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼,故模型中用一个阻尼器来表示。

阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。

汽车轮悬置系统等等。

[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。

所有的单自由度振动系统经过简化,都可以抽象成单振子,即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上,这个质点的质量m 称为当量质量,所有的弹性都集中到弹簧中,这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。

以后讨论中,质量就是指当量质量,刚度就是指当量弹簧刚度。

在单自由度振动系统中,质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。

有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。

应用牛顿运动定律,作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。

(牛顿运动定律) (达伦培尔原理)现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正,则:kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) (达伦培尔原理:在一个振动体上的所有各力的合力必等于零)(动静法分析:作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系)上式经整理得,t P kx x C xm ωsin 0=++ (2.1) 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。

第二章单自由度系统的自由振动

第二章单自由度系统的自由振动

可见动张力几乎是静张力的一半,由于
v kA k v km wn
因而为了降低动张力,应该降低系统的刚度
15
例2.2 图示的直升机桨 叶经实验测出其质量 为m,质心C距铰中心 O距离为l。现给予桨 叶初始扰动,使其微 幅摆动,用秒表测得 多次摆动循环所用的 时间,除以循环次数 获得近似的固有周期, 试求桨叶绕垂直铰O的 转动惯量。
第二章 单自由度系统的自由振动
以弹簧质量系统为力学模型,讨论单自由度 无阻尼系统的固有振动和自由振动, • 固有振动的表现形式为简谐振动,其固有频率 的计算方法有静变形法、能量法、瑞利法以及 等效刚度、等效质量法 • 有阻尼的系统根据阻尼的大小分为过阻尼、临 界阻尼及欠阻尼三种状态
1
单自由度系统的自由振动
一、自由振动的概念:
以弹簧质量系统为力学模型
2
运动过程中,总指向物体平衡位置的力称为恢复力。 物体受到初干扰后,仅在系统的恢复力作用下在其平衡位 置附近的振动称为无阻尼自由振动。 质量—弹簧系统: 令x为位移,以质量块的静平衡位置 为坐标原点,当系统受干扰时,有:
m mg k (s x) x
O l C mg
16
解:取图示坐标系,将直升机桨叶视为一物 理摆,根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
O l C mg
sin
n
mgl , J0
J0 mgl 0
J0 Tn 2 mgl
mgl J0 2 Tn2 4
m Tn 2 n k 2
固有周期
k / m g / s
10
固有频率及固有周期
k g wn m s
对于不易得到刚度或质量的系统, 若能测出静变形,可用上式计算固有频率。

振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动

振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动

刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F,按静力平衡的
关系,作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形,
而此变形使C点发生的变形为
c

a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c

k2
C1 x0
C2

v0 pn
x

x0
cos
pnt

v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )

振幅
相 两种形式描述的物
A
x02

(
v0 pn
)2
位 块振动,称为无阻 角 尼自由振动,简称
自由振动。


arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2

k1k 2 b 2
k1

k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下,与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞,不计梁 的质量,求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
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微分方程和解的表达方式

k n m
,和
c c cc 2mn 2n m cc m m
原来的微分方程可以改写成:
x 2n x x 0
2 n
2 s 1 n 特征根: 1,2


大阻尼情况的讨论
当 1,方程的特征根
作业3
有粘性阻尼的弹簧质量系统,无阻尼振动的 固有频率为 n ,从平衡位置拉开 x0 后释放, 初速度为零。 (1)求 1.25 和 1 时的系统运动情况。 (2)自己设定 n 和 x0 的值,用MATLAB 画出系统的运动曲线,打印。
小阻尼系统的运动特点
当 1 ,特征方程的根
振幅
小阻尼振动曲线 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 5 10 时间 15 20
n
阻尼振动的特点
由于有衰减项的存在,因此阻尼振动既不 是简谐的,也不是周期的。 而是随着时间t趋于无穷时,振幅逐渐衰减 为零,系统趋于静止。 这是阻尼自由振动和无阻尼自由振动的主 要区别之一。
cc 2 km 2mn
阻尼比
c c c 令 ,称为阻尼比或者相 cc 2 km 2mn
是一个重要 对阻尼系数。是一个无量纲的数, 振动参数。 表征一个振动系统阻尼的大小: 1 表示大阻尼, 1 表示临界阻尼, 1 表示小阻尼。
以物体的平衡位 置为原点,水平 方向为x轴正向, 建立如图所示的 坐标系。
O k m c x kx m · cx x
微分方程的建立
根据受力分析,和初始条件,可以得到下 面的微分方程。
mx cx kx 0 x(0) x0 , x(0) x0
方程求解
由于方程为齐次的,因此,方程的解具有 如下形式:
阻尼振动的数字特征
习惯上,将函数 cos(d t ) 的周期称为衰 减振动的周期,故衰减振动的周期和频率 分别为: 2 T 2 Td d 1 2 1 2 n
1 n d 2 fd 1 f 2 2
2
阻尼对频率和周期的影响
2
微分方程的通解
微分方程的通解为: x
Ae A2e 1
s1t
s2t
A1 , A2 为任意常数,由运动的初始条件决定。 而解的形式,决定于 s1 , s2 。随着阻尼系数 的不同,特征方程可以有两个不等的负实 根,相等的负实根和一对共轭复根。
临界阻尼系数
使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数 值,称为临界阻尼系数(critical damping coefficient)记为 cc
s1,2 n j 1 2 n
s1,2 j
x t et C1 cos t C2 sin t
令:
d 1 n
2
解的三角形式
方程可以写成:
x ent C1 cos d t C2 sin d t Aent cos(d t )
对e
2
2
进行Taylor展开 2 3 4 8 2 e 1 2
2! 3!
当阻尼很小的时候,
1 , 2
2
1
U 4 2 8 3 2 U1 2! 3!
作业5
通常应用跌落式悬架装置检测台来测试车辆悬架参数。 测试中,先通过举升装置将车升起一定高度,然后突然松开支撑 机构,车辆落下产生自由振动。 用位移传感器测得车体振动位移曲线如图1所示,请分析车身的固 有频率和悬架阻尼比。
车辆中广泛存在的阻尼
在车辆当中,广泛存在的阻尼有,悬挂/悬 架系统的减振器,轮胎的橡胶和其他各种 橡胶支撑,液体(浸没在液体中振动物 体),摩擦表面(离合器),金属橡胶等。
液压减振器工作原理
活塞缸 活塞运动方向
液流方向 活塞 阻尼孔
轮胎的阻尼
轮 胎 恢 复 力
压缩 复原
O
轮胎变形量
单自由度粘性阻尼的自由振动
大阻尼系统的运动特点
xe 可以证明,
nt
Ae
1
的次数至多有一次。
x · x0 x · x0 x0 t x x0 t x0
· x0 t
临界阻尼情况的讨论
当 1 ,特征方程的根 s1,2 n n
阻尼定义
阻尼是用来衡量系统自身消耗振动能量能 力的物理量 。
线性阻尼
又称粘性阻尼,由粘性阻尼引起的粘性阻 尼力的大小与相对速度成正比,方向与速 度方向相反。阻尼系数为常数。 为了研究方便,通常将阻尼进行线性化, 线性化的方法是等效原则。即在运动过程 中,线性阻尼和原非线性阻尼吸收的能量 一样多。
x1 Ae nTd 可得: n t1 Td e x2 Ae
在一个周期后,幅值缩减到原来的
nt1
1 e
nTd
衰减数据
在 0.05 的情况下,在一个周期振幅减小了27%, 经过10个周期,振幅减小到原来的4.3%。 可见:只要有微弱的阻尼,就可以使振动迅速衰减。 从上式可以看出,如果两个振动系统的固有频率相 同,则阻尼比较大的系统自由振动衰减的较快,这 也说明阻尼比表示了系统消耗振动能量的能力。
由微分方程的理论,方程的解为:
x Ae 1
nt
A2te
nt
代入初始条件可得:
A1 x0 ,
A2 x0 n x0
临界阻尼系统的运动特点
可见:临界阻尼下的系统的运动也不是振动; 但在相同的条件下,临界阻尼的系统的自由 运动最先停止; 因此,仪表都将系统的阻尼设置为临界阻尼。
1 n n
对数缩减率的作用

2 1
2
,可以求出

4
2 2
当在

1 的时候, 2 , 2
1 1 xt n ln n n xt n
通常由 为了便于测量,
获得
例子
试证明:在衰减振动中,在相邻两个位移 最大值消耗的机械能U ,与开始时的机械 能 U1 之比为常量。在阻尼很小的时候,
xe
st
将解的形式带入微分方程:
k st 2 c s s e 0 m m
特征方程及其解
由于 e 0 ,因此,要想方程成立;
st
c k 必须: s s 0 称为微分方程 的特 m m 征方程 可以解出它的两个根:
2
c k c s1,2 2m 2m m
忽略阻尼影响的条件
根据上述展开,大家可以口算当 0.05和 0.3 时,系统的周期和频率变化幅度。 所以,当时 0.3 ,通常忽略阻尼对固 有频率和周期的影响。
阻尼对振幅的影响
阻尼对振幅的影响却非常大。设 x1 和 x2 分别 t1 是相邻两次的振幅,对应的时间分别为: 和 t2 ,则: t2 t1T d
对数缩减率
前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数,称为对数缩减率,记为:
x1 ln nTd x2
由于: Td 当在
T 1
2
可得:
2 1
2
1 的时候,有 2
作业4
证明:第t次与第t+n次振动的振幅对数缩减 率为 n ,第t次与第t+1次振动的振幅对数 缩减率为 ,则:
可见,阻尼的存在,使系统的振动频率降 低,振动周期延长。 但在 很小的情况,阻尼的存在对于周期 和频率的影响,可以略去不计。
1 2 2 1 x o( x ) 2 2 1 x 1 2 2 2 1 x 1 x o( x ) 2
f ( x) ~
n 0
1
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
U 2 有: U1
证明
设第一个位移最大值 x1 ,相邻的位移最大 值 x2 ,则相应的机械能为:
1 2 U1 kx1 2
1 2 U 2 kx2 2
2
x2 U U 1 U 2 1 U1 U1 x1
证明
x2 x1 2 e 由 ln ,从而 x2 x1
2-2单自由度系统阻尼自由振动
引言
惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后,只受到和位移成比例的恢复力作用, 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散,系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。
引言
对于实际的振动系统,由于不可避免的存 在各种阻尼,振动系统的机械能不断转化 为其他形式的能,造成振幅衰减,以致最 后振动完全停止。
, ,
由初始条件,
C1 x0
x0 n x0 A x d
2 0 2
C2
x0 n x0
d
x0 n x0 tan d x0
1
小阻尼的运动曲线
如图所示的为衰减振 动。在 cos(d t ) 1 的时候,物体的运动 曲线和曲线: n t x Ae 相切, 在切点的x值的绝对 值 Ae t 称为振幅。
xe
nt
s1,2 2 1 n ,
均为实数,方程的通解为:


Ae
1
2 1nt
A2e
2 1nt

A1, A2 与初始条件 x0 , x0 有关,
1 x0 n x0 A1,2 x0 2 2 1 n
单自由度系统自由振动部分作业
P51 P52 2.1 2.6 2.7 2.12 作业1~作业5 共9题
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