第二章 单自由度系统
合集下载
机械振动(单自由度系统-理论)
第二章单自由度系统——理论2-1引言单自由度系统是更进一步研究振动的基础。
一些单自由度系统的例子表示在图2-1中。
虽然这些系统在外表上不同，但它们都可以用图1-1所示的一般模型表示。
这里我们使用四种方法：（1）能量法；（2）牛顿第二定律；（3）频率响应法；（4）叠加原理。
由于振动是一种能量交换现象，所以首先介绍简单的能量法。
应用牛顿第二定律，单自由度系统由一个二阶运动微分方程描述。
如果激振是一解析表达式，那么，方程能够用“经典”的方法求解。
如果激振是任意函数，可用叠加原理求得系统的运动。
频率响应法假定激振是正弦的，而且在感兴趣的频率范围内研究系统的性质。
注意，一个系统以它自己的方式振动，而与分析方法无关。
应用不同方法的目的是为了寻求最方便的方法来表示系统的特征和描述它的固有性质。
我们把牛二和叠加原理作为时间域分析来对待，轩为一质量的运动是时间的函数，例如以时间作为独立变量的微分方程的解。
频率响应法假定激振和系统响应都是正弦的而且具有同样的频率，因此，它是一种频率域分析。
时间响应是直观的，但是在频率域内描述一个系统更方便。
值得注意的是，时间域分析和频率域分析肯定是相关的，因为它们是考虑同一问题的不同方法。
事实上，被作为时间域技术来对待的叠加原理是研究线性系统的基础。
由叠加原理导出的褶积积分可以应用于时间域或频率域。
我们在这里仅仅介绍这个非常重要的原理的一个方面，而不讨论相关的方法。
时间分析和频率分析的数学相关性并不是新东西。
然而，直到最近几年来，电子计算机、测试设备和试验技术的进步，它才在实际中得到应用。
2-2自由度一个振动系统的自由度个数是确定这个系统状态所必需的独立的空间坐标个数。
我们定义状态为这个系统的所有质量的几何位置。
如这些质量的相互关系只需要一个空间坐标就完全确定，那么就说这个系统具有一个自由度。
对于空间一个刚体的完全确定需要六个坐标，即三个确定直线运动的坐标和三个确定旋转运动的坐标。
第二章 单自由度系统20120306
解
ln 4.2 1.435
4
2 2
0.22265
n
2 T 1
2
1.14 3.58
作业 2——3、10、11、12、16、30b
例2-31：质量m=2000kg,以匀速度v=3cm/s运动，与弹簧k，阻尼器c相撞 后一起做自由振动。请问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振 幅是多少？已知 k 48020 N / m, c 1960 N s / m。
X
F
m 2 e me 2 M X (k 2 M ) 2 2c 2 (1 2 )2 (2 ) 2
系统的振动放大因子为：
MX me
d XM 0 d me 1 * 1 2 1 2 XM 1 M * me max 2 1 2
x(t ) xh (t ) xs (t ) Ae
n t
sin(d t )
F ( k m) c
2 2 2 2
sin(t )
由初始条件 x 0 x0 , x 0 x0 可以确定待定参数A和
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
2
2 1 n
单自由度有阻尼自由振动
解的讨论：
1,2 2 1 n
当 1时，1 2 n
x B1 B2t e nt
不属于振动
当 1时，1、2都是负实数
x B1e B2e
1t 2t
1 t B e 1 t Be
系统的势能为 U W R r 1 cos 2W R r sin 2
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
第二章 单自由度系统
k 350kN / m
满载时其相对阻尼比 1 0.5
， v 100km/ h
道路简化为简谐波形，表示为
xs
sin
2
l
z
l 5m
求汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。
§2.6简谐激励强迫振动理论的应用
减振措施： 1．抑制振源强度 2．消振 3．隔振
一．积极隔振
积极隔振是把振源与地基隔离开来以减小它对 周围的影响而采取的措施。
§2.1概述
1．单自由度系统 理论模型
2．叠加原理 几个激励函数共同作用产生的总响应是各个
响应函数的总和。
§2.2无阻尼自由振动
一．物理模型
二、数学模型
mx kx 0
三．方程求解
令
2 n
k m
，代入运动方程，得
x
2 n
x
0
设 xt Bet
B2 e t
放大因子随频率比变化的曲线
r 0 M 1
阻尼对振幅的影响很小
r M 0
阻尼对振幅的影响很小
r 1 0 M
当系统中存在阻尼时，振幅是有 限的，其出现最大值时的频率为
rmax 1 2 2
M max
2
1
1 2
3．强迫振动和激励力之间的相位差
arctan k
2
放大因子
X Y
1 2r 2 (1 r 2 )2 2r 2
r0
r 2
X 1 Y
与 无关。
0
r 1
0
放大因子和相位差与频率比的关系曲线
0 r 1 0 r 0
满载时其相对阻尼比 1 0.5
， v 100km/ h
道路简化为简谐波形，表示为
xs
sin
2
l
z
l 5m
求汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。
§2.6简谐激励强迫振动理论的应用
减振措施： 1．抑制振源强度 2．消振 3．隔振
一．积极隔振
积极隔振是把振源与地基隔离开来以减小它对 周围的影响而采取的措施。
§2.1概述
1．单自由度系统 理论模型
2．叠加原理 几个激励函数共同作用产生的总响应是各个
响应函数的总和。
§2.2无阻尼自由振动
一．物理模型
二、数学模型
mx kx 0
三．方程求解
令
2 n
k m
，代入运动方程，得
x
2 n
x
0
设 xt Bet
B2 e t
放大因子随频率比变化的曲线
r 0 M 1
阻尼对振幅的影响很小
r M 0
阻尼对振幅的影响很小
r 1 0 M
当系统中存在阻尼时，振幅是有 限的，其出现最大值时的频率为
rmax 1 2 2
M max
2
1
1 2
3．强迫振动和激励力之间的相位差
arctan k
2
放大因子
X Y
1 2r 2 (1 r 2 )2 2r 2
r0
r 2
X 1 Y
与 无关。
0
r 1
0
放大因子和相位差与频率比的关系曲线
0 r 1 0 r 0
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
第2章单自由度的自由系统
这就是应用于振动系统的能量守恒原理。对时 间求导，得
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
第二章单自由度系统的自由振动
f=1/T。
n
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
8
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
重物匀速下降时处于静 平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0 x0 v
其振动规律为： x x0 cos nt
n
x0
sin nt
13
解：
x0 0 x0 v
根据：
x x0 cos nt
n
x0
sin nt
1 ( 3 M m) x 2 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
U k [( st 2 x) 2 st 2 ] ( M m) gx 2 2kx2 2k st x ( M m) gx
因平衡时
2k st x (M m) gx
O l C mg
16
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物 理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
O l C mg
sin
n
mgl , J0
J0 mgl 0
J0 Tn 2 mgl
mgl J0 2 Tn2 4
m Tn 2 n k 2
固有周期
k / m g / s
10
固有频率及固有周期
k g wn m s
第二章 单自由度系统的自由振动
阻尼比ξ：（或称为相对阻尼系数）
35
第二章 单自由度系统的自由振动
方程的特征根为： 讨论在阻尼比ξ取值不同时，微分方程解 （1）小阻尼情况，即ξ<1：
此时特征方程的根：
的性质。
微分方程的解为：
设：
，考虑初始条件t=0时，有
，
，将其
代入微分方程的解中，有
t=0时
求解 得到
36
第二章 单自由度系统的自由振动
为：
T
1
•
m(l )2
2
U 1 k(a)2
2
平衡位置时： kas mgl
d
1 2
ml 2
•
2
1 2
k
(a
)
2
0
dt
••
k
(a)2
0
ml
n
a l
k m
T
2 n
2l
a
m k
22
第二章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位 置为坐标原点建立坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl3
48EJ
1 2
m2
(
l2 l1
x)2
1 2
35
第二章 单自由度系统的自由振动
方程的特征根为： 讨论在阻尼比ξ取值不同时，微分方程解 （1）小阻尼情况，即ξ<1：
此时特征方程的根：
的性质。
微分方程的解为：
设：
，考虑初始条件t=0时，有
，
，将其
代入微分方程的解中，有
t=0时
求解 得到
36
第二章 单自由度系统的自由振动
为：
T
1
•
m(l )2
2
U 1 k(a)2
2
平衡位置时： kas mgl
d
1 2
ml 2
•
2
1 2
k
(a
)
2
0
dt
••
k
(a)2
0
ml
n
a l
k m
T
2 n
2l
a
m k
22
第二章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位 置为坐标原点建立坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl3
48EJ
1 2
m2
(
l2 l1
x)2
1 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 单自由度系统
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车工程学院
第二章主要内容
自由振动； 简谐强迫振动； 周期振动；
非周期振动。
§2.1引言
单自由度系统： 只有一个自由度； 可以用一个线性常微分方程描述； 可以把握振动系统的许多基本性质； 是多自由度和连续体系统振动理论的基础。
由能量守恒得运动方程
瑞利商
能量守恒是普遍规律，能量方法是普遍方法
例2.3 如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过 一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设 绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自 由度系统，求系统的固有频率。
坐标有两种取法： 1、滑轮转角θ 2、质量位移x
冰火两重天！
图 2—17
说明：无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固 有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成 系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使 系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使 是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。 这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免 通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅 速通过共振区的办法来解决。
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结
构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造 成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激 励下系统响应的基础。 利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分 析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测 试系统振动特性最常用的方法之一。
O
x0
F mg k ( x0 x )
mg kx0 kx kx
因此 , 此振动为简谐振动。 伸 长 某时刻m位置
x x
f m
动载荷与静载荷
动载荷与静载荷（是否与时间有关）。 动力响应与静力响应（振动学与静力学）。 总响应为动力响应与静力响应两者之和。
振动学只对动力响应感兴趣。
静力学关注的是总量，振动学关注的是增量；静力
学研究的是稳定状态，振动学研究的是变化。
2.2.2求固有频率的方法
1. 2. 3.
由系统运动微分方程求得； 静态位移法； 能量法。
1．静态位移法
用静力学的方法确定动 力学系统的固有频率
妙！
横梁与弹簧串联： 总变形量为分变形量之和
2.能量法
系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也 能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有 频率有两种方法：
2
注意：上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐 标系有助于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元 件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示， 忽略阻尼。 弹簧原长位置
静平衡位置
图 2—3
原点选取不恰当的弊端
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望方 程的解中只包括动力响应。 将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做
k r2 2 n I mr 2
( I / r 2 m) x" kx 0
与书上的结果比较：注意势能的 计算，可以不计重力势能 ，只 相差一个常数，不影响计算结果
讨论：
两种坐标取法计算的该系统的固有频率的结果是 一样的。 可见：系统的固有频率与所选取的坐标系无关。 上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳与 滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能量法 对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。
把两个弹簧刚度集总成一 个弹簧 方法：势能等效
§2.3 阻尼自由振动
振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。
阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产
生阻尼的原因是多种多样的，有些阻尼的机理至今尚不清楚。 由于线性系统本身就是对实际问题的近似，因而对阻尼往往 也作线性化处理。 在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼。 在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大 小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数c为 常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件 之一。
图2—16
0
弹性控制区
H ( )
图2—16
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
惯性控制区
H ( )
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
图2—16
阻尼控制区
共振现象
共振演示实验
共振频率
A
3 6 5 4
2.2.3有效质量
离散系统建模约定：质量集中在惯性元件上，弹性元件无质
量； 实际上，没有无质量的弹性元件，当弹性元件质量所占比例 较大时，不能忽略。 能量等效方法求有效质量：把动能集总到惯性元件上。 弹性元件的质量是分布的，需要适当地假定速度分布规律： 速度分布与位移分布有相同的形式。 动能意义上的质量为等效质量；势能意义上的刚度为等效刚 度。
到这一点。
由运动方程求能量方程
原点选取恰当的好处
标准自由振动方程
动态响应
坐标原点==静平衡位置 （必须的）
结论: 对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无 关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系统的静力响 应和动力响应，系统的总响应为静力响应和动力响应之和。
坐标原点选取
Fs s x k
1 1 2 1 2 2 U k ( x ) mgx kx k 2 2 2
系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能
o x
1 x 2 1 '2 1 I '2 Et I ( ) mx ( 2 m) x 2 r 2 2 r
由
'
坐标取法： 2、质量位移x
d ( Et U ) 0
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动微分方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
d x k x0 2 dt m
典型的单自由度系统: 弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质 量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹 簧-质量系统
单自由度系统示例
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动： 在初始激励或外加激励消失后的振动形态； 振动时无外界激励； 振动规律完全取决于系统本身的性质（固有特性）。
频率为：
简谐振动
由运动方程推导能量方程
得到运动微分方程的又一种方法
机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x A cost v t v A sint
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2—13。
简谐强迫激励项
图 2—13
静力转化为静位移
简谐强迫振动运动微分方程
通解——瞬态响应 特解——稳态响应
图 2—14
全解——两者叠加： 前段：瞬态占优； 后段：稳态占优； 最后：瞬态消失，稳态主导。
求特解的过程
求振幅、相角和表达式
1
小阻尼 阻尼 0
2
单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动， 其它单摆基本不动.
o
大阻尼
0
P
共振现象的危害
1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
•应用
•钢琴、小提琴等乐器——提高音响效果 •收音机——选台 •核磁共振——物质结构的研究和医疗诊断等
固有频率
固有频率
固有：生来就有； 内因：与外界无关，只与自身的质量和刚度有关。 至关重要——敬而远之。
运动微分方程的解
运动微分方程为二阶常系数线性常微分方程，它的通解为：
A1 , A2, A, 取决于初始条件
x0 , x0 :
a,
可见：单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。 周期为：
•防止 •改变系统的固有频率或外力的频率 •破坏外力的周期性 •增大系统的阻尼 •对精密仪器使用减振台
无量纲量
品质因子、阻尼比两者之间的关系
半功率点定义
带宽、阻尼比、品质因子三者之间的关系
半功率点与带宽
例2.6
注意：品质因子是无量纲量
2.4.3 能量关系与等效阻尼
道不同，不相为谋； 士为知己者死；
分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响 应的影响。 简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示， 设有下面两个方程：
用复数表示的目的是为了求解方便，所求的响应解职 是取其对应的其中一部，本教材通常取实部。
复数
实数
稳态响应——复数 响应振幅——实数
响应：激励（对应物 理量之比）
要命的是频率（比）！
图 2—15
图 2—15
熟记三个特殊点 就等于掌握三个 区域的规律
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频 率的简谐量，分别为：
频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车工程学院
第二章主要内容
自由振动； 简谐强迫振动； 周期振动；
非周期振动。
§2.1引言
单自由度系统： 只有一个自由度； 可以用一个线性常微分方程描述； 可以把握振动系统的许多基本性质； 是多自由度和连续体系统振动理论的基础。
由能量守恒得运动方程
瑞利商
能量守恒是普遍规律，能量方法是普遍方法
例2.3 如图2-5所示系统，绳索一端接一质量，另一端绕过 一转动惯量为I的滑轮与弹簧相接，弹簧的另一端固定。设 绳索无伸长，绳索与滑轮之间无滑动。此时系统可视为单自 由度系统，求系统的固有频率。
坐标有两种取法： 1、滑轮转角θ 2、质量位移x
冰火两重天！
图 2—17
说明：无阻尼系统受简谐激励时，如果激励频率等于系统固 有频率，由于系统无阻尼，因此外力对系统做的功全部转成 系统的机械能即振动的能量。外力持续给系统输入能量，使 系统的振动能量直线上升，振幅逐渐增大。由此可知，即使 是无阻尼系统共振时，也需要一定的时间来积累振动能量。 这在实际中很重要，有些机械结构在起动或停机时无法避免 通过共振区，为避免在共振区给结构造成损坏，可以采用迅 速通过共振区的办法来解决。
简谐强迫振动指激励是时间简谐函数，它在工程结
构的振动中经常发生，它通常是由旋转机械失衡造 成的。 简谐强迫振动的理论是分析周期激励以及非周期激 励下系统响应的基础。 利用可以产生简谐激励的激振器激励被测结构以分 析其振动特性的方法，即所谓正弦激励方法，是测 试系统振动特性最常用的方法之一。
O
x0
F mg k ( x0 x )
mg kx0 kx kx
因此 , 此振动为简谐振动。 伸 长 某时刻m位置
x x
f m
动载荷与静载荷
动载荷与静载荷（是否与时间有关）。 动力响应与静力响应（振动学与静力学）。 总响应为动力响应与静力响应两者之和。
振动学只对动力响应感兴趣。
静力学关注的是总量，振动学关注的是增量；静力
学研究的是稳定状态，振动学研究的是变化。
2.2.2求固有频率的方法
1. 2. 3.
由系统运动微分方程求得； 静态位移法； 能量法。
1．静态位移法
用静力学的方法确定动 力学系统的固有频率
妙！
横梁与弹簧串联： 总变形量为分变形量之和
2.能量法
系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也 能求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有 频率有两种方法：
2
注意：上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐 标系有助于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元 件为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示， 忽略阻尼。 弹簧原长位置
静平衡位置
图 2—3
原点选取不恰当的弊端
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望方 程的解中只包括动力响应。 将描述系统振动的坐标系的原点取在系统的静平衡位置可以做
k r2 2 n I mr 2
( I / r 2 m) x" kx 0
与书上的结果比较：注意势能的 计算，可以不计重力势能 ，只 相差一个常数，不影响计算结果
讨论：
两种坐标取法计算的该系统的固有频率的结果是 一样的。 可见：系统的固有频率与所选取的坐标系无关。 上题如果用静态位移法求解，将涉及未知的绳与 滑轮的靡擦力，因而无法计算静态位移。因此能量法 对有约束力但约束力不做功的情况更为适用。
把两个弹簧刚度集总成一 个弹簧 方法：势能等效
§2.3 阻尼自由振动
振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。
阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的能力的物理量。产
生阻尼的原因是多种多样的，有些阻尼的机理至今尚不清楚。 由于线性系统本身就是对实际问题的近似，因而对阻尼往往 也作线性化处理。 在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼。 在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大 小与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数c为 常数。用产生粘性阻尼力的阻尼器作为离散系统的主要元件 之一。
图2—16
0
弹性控制区
H ( )
图2—16
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
惯性控制区
H ( )
1 [1 ( / n ) 2 ]2 (2 / n ) 2
图2—16
阻尼控制区
共振现象
共振演示实验
共振频率
A
3 6 5 4
2.2.3有效质量
离散系统建模约定：质量集中在惯性元件上，弹性元件无质
量； 实际上，没有无质量的弹性元件，当弹性元件质量所占比例 较大时，不能忽略。 能量等效方法求有效质量：把动能集总到惯性元件上。 弹性元件的质量是分布的，需要适当地假定速度分布规律： 速度分布与位移分布有相同的形式。 动能意义上的质量为等效质量；势能意义上的刚度为等效刚 度。
到这一点。
由运动方程求能量方程
原点选取恰当的好处
标准自由振动方程
动态响应
坐标原点==静平衡位置 （必须的）
结论: 对于线性振动系统，可将其受到的激励分为与时间无 关的静载荷和与时间有关的动载荷，分别计算系统的静力响 应和动力响应，系统的总响应为静力响应和动力响应之和。
坐标原点选取
Fs s x k
1 1 2 1 2 2 U k ( x ) mgx kx k 2 2 2
系统的动能包括滑轮的转动动能和质量的平动动能
o x
1 x 2 1 '2 1 I '2 Et I ( ) mx ( 2 m) x 2 r 2 2 r
由
'
坐标取法： 2、质量位移x
d ( Et U ) 0
1 E kA2 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
B
Ek
Ep
O
x
A
x
能量守恒
推导
简谐运动微分方程
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
d x k x0 2 dt m
典型的单自由度系统: 弹簧-质量系统
梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质 量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹 簧-质量系统
单自由度系统示例
§2.2 无阻尼自由振动
自由振动： 在初始激励或外加激励消失后的振动形态； 振动时无外界激励； 振动规律完全取决于系统本身的性质（固有特性）。
频率为：
简谐振动
由运动方程推导能量方程
得到运动微分方程的又一种方法
机械能守恒
x, v
简谐运动能量图
o
能量
x t
T
0 t x A cost v t v A sint
1 E kA2 2 1 2 Ep k A cos2 t 2
o
T
T
3T
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
2.4.1 系统在简谐激励下的响应
典型的受简谐激励的单自由度系统示于图2—13。
简谐强迫激励项
图 2—13
静力转化为静位移
简谐强迫振动运动微分方程
通解——瞬态响应 特解——稳态响应
图 2—14
全解——两者叠加： 前段：瞬态占优； 后段：稳态占优； 最后：瞬态消失，稳态主导。
求特解的过程
求振幅、相角和表达式
1
小阻尼 阻尼 0
2
单摆1作垂直于纸面 的简谐运动时，单摆5将 作相同周期的简谐运动， 其它单摆基本不动.
o
大阻尼
0
P
共振现象的危害
1940 年7月1日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌
•应用
•钢琴、小提琴等乐器——提高音响效果 •收音机——选台 •核磁共振——物质结构的研究和医疗诊断等
固有频率
固有频率
固有：生来就有； 内因：与外界无关，只与自身的质量和刚度有关。 至关重要——敬而远之。
运动微分方程的解
运动微分方程为二阶常系数线性常微分方程，它的通解为：
A1 , A2, A, 取决于初始条件
x0 , x0 :
a,
可见：单自由度无阻尼自由振动是简谐振动。 周期为：
•防止 •改变系统的固有频率或外力的频率 •破坏外力的周期性 •增大系统的阻尼 •对精密仪器使用减振台
无量纲量
品质因子、阻尼比两者之间的关系
半功率点定义
带宽、阻尼比、品质因子三者之间的关系
半功率点与带宽
例2.6
注意：品质因子是无量纲量
2.4.3 能量关系与等效阻尼
道不同，不相为谋； 士为知己者死；
分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响 应的影响。 简谐运动可用复数表示，因而稳态振动也可用复数表示， 设有下面两个方程：
用复数表示的目的是为了求解方便，所求的响应解职 是取其对应的其中一部，本教材通常取实部。
复数
实数
稳态响应——复数 响应振幅——实数
响应：激励（对应物 理量之比）
要命的是频率（比）！
图 2—15
图 2—15
熟记三个特殊点 就等于掌握三个 区域的规律
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频 率的简谐量，分别为：
频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同