第3章 多自由度系统1讲解
第三章 多自由度系统
例题
例题
再将初始条件（2）代入式，得
A1(1) 0,
1
2
,
A1(2) 1,
2
π 2
x1 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm), x2 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm)
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。
将第一固有频率p1代入 x1 A1 sin( pt )
x2 A2 sin( pt )
normal mode 第一主振动
x11 x21
A11 A21
sin( sin(
p1t p1t
1 1
) )
第二主振动
x12 x22
解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为
M
m
0
m0 ,
K
k1 k2
k2
k2 k2 k3
5k 4k
4k
5k
将M、K代入频率方程，得
p1
k, m
p2 3
k m
对应的两个主振型和振幅比为
1
A2(1) A1(1)
1,
2
A2(2) A1(2)
代入上式得到
1
2
2
(1)
(2)
1 2
0
因此得到双摆作自由振动的规律
位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
《多自由度体系》课件
热力学
1 统计力学基础
在热力学中，统计力学提供了对多自由度体系内能和熵的理解。
2 多自由度体系的自由能
自由能是描述多自由度体系热力学性质的重要概念。
3 熵和热力学基本方程
熵是多自由度体系热力学性质的度量，热力学基本方程描述了多自由度体系的热力学关 系。
应用
分子动力学模拟
多自由度体系在分子动力学模拟 中有广泛应用，用于研究分子结 构和材料性质。
拉格朗日方程和哈密顿方程是多自由度体系建模中常用的基本方程。
动力学
1
自由度分离
将多自由度体系中的自由度分离，简化系统的求解和分析。
2
能量守恒定律
能量在多自由度体系中守恒，能量守恒定律对系统动力学的理解至关重要。
3
特殊情况下的动力学：谐振子、单摆、刚体
针对特殊情况下的多自由度体系，如谐振子、单摆和刚体，可以得到特定的动力 学方程。
材料科学中的应用
多自由度体系理论在材料设计和 性能优化中具有重要作用。
生物学中的应用
多自由度体系理论被应用于研究 生物分子的结构和功能。
结论
1 多自由度体系的重要性
多自由度体系的研究对科学和工程领域具有重要意义。
2 研究多自由度体系的意义
研究多自由度体系有助于深入理解复杂系统的行为和优化设计。
3 今后的研究方向
多自由度体系
本PPT介绍了多自由度体系的概述、建模、动力学、热力学、应用以及结论。 多自由度体系在科学研究和应用中的重要性不可忽视。
概述
1 什么是多自由度体系
多自由度体系是由多个相 互作用、相互影响的质点 或刚体组成的系统。
2 为什么研究多自由度
体系
研究多自由度体系可以深 入理解复杂系统的行为， 解决实际问题。
第三章 两自由度系统
物理坐标：根据分析系统工作要求和结构特点而建立的坐标 物理坐标运动表达式
1 1 xt A1 sinn1t 1 A2 sinn 2 t 2 r1 r2
四．初始条件引起的自由振动
施加于系统的初始条件
x1 0 x10 , x2 0 x20
2
F x2 (t ) sin t k2
X 1 0
k2 x2 (t ) F sin t
1 X 2 2
X0 F k 2
2
在任何时刻，吸振器施加于主系统的力 精确地与作用于主系统的激励力平衡。
由主系统和吸振器组成的两自由度系统的特征方程
二．广义坐标和坐标耦合
汽车简化为二自由度系统，即一根刚性杆（车体的简化模型） 支承在两个弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上，刚性杆作跟 随其质心的上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。
m 0
0 x1 k1 k 2 Jc k a k 2 b1 1 1
k12 x1 F1 t k 22 x 2 F2 t
m11 m 21
m12 x1 c11 m22 x c 21 2
c12 x1 k11 c 22 x k 21 2
0 x 2 0 2 2 k1 a 2 k 2 b2 0
方程通过惯性项相互耦合，叫做运动耦合或惯性耦合
选坐标
x3
和
，
m a x 3 m k1 k 2 m a J k2 L A
第三章(多自由度系统的振动)
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
第3章分析力学基础-资料
1
l1
1
l1 1
xB l1cos11
yA
yB l1sin11
Q 1W 1 1 F 1yAF 2y 1 BF xB
2
F1
l2
l1 1
B
F
F 1 ( l1 si1n 1 ) F 2 ( l1 si1n 1 ) F (l1 co 1 1 s ) F2 1
×
xi xi (q1, q2,, qN ) yi yi (q1, q2,, qN ) zi zi (q1, q2,, qN )
rixiiyijzik
r ix iiy ijz ik
x i q x 1 i q 1 q x 2 i q 2 q x N i q N k N 1 q x k i q k
N k 1
yi qk
qk
k N 1(i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q zk i)q k 0
z i
N k 1
zi qk
qk
×
W F k N 1 (i n 1F ix q x k i i n 1F iy q y k i i n 1F iz q z k i)q k 0
F
F2
F 1 ( l1si1 n1 ) F 2( l1si1 n1 l2si2 n2)
F (l1co 1 s1 l2co 2 s2 ) 0
×
(F 1l1sin 1F2l1sinF1c l o 1)s1 (F2l2sin 2F2c l o 2s)2 0
第三章多自由度系统的振动
第三章 多自由度系统的振动§3-1 运动微分方程的建立图3-1所示的具有n 个质体的无重简支梁，它就是一n 个自由度系统。
设系统在质体m 1，m 2，m 3，…，m n 的静力作用下维持平衡状态，若受到某种外来因素F i (t)(i=1,2,3,…n)的干扰，破坏了原来的静力平衡状态，各质体在其静力平衡位置附近振动。
假定这个结构的振动由梁上一系列离散点的位移y 1(t)，y 2(t)，y 3(t)，…，y n (t)所确定，它们以图中所示的方向为正。
这n 个位移即系统的n 个几何坐标。
图3－1 有n 个质体的无重简支梁用刚度法(stiffness method)建立运动方程。
根据达朗贝尔原理，考虑质体所产生的惯性力，就将原来的动力问题在形式上转化为静力问题。
这样，就可对图示系统的每个自由度列出平衡方程，即系统的运动方程。
分别考虑各个质点的位移、速度和加速度引起的约束反力，叠加后的总反力为零，得以下n 个平衡方程：111112112221222212n n n n n n n n m y c c c ym y c c c y m y c c m y⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭1112111212222212n n n n nn n n k kk y F k k k y F k k k y F ⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎩⎭(3-1)式中，m i 为第i 个质体的集中质量；c ij 为j 坐标的单位速度所引起的i 坐标的阻尼力；k ij 为j 坐标的单位位移所引起的i 个坐标的弹性力；y i ，i y和i y 分别为i坐标的位移、速度和加速度。
式(3-1)可简写为MyCy Ky F ++= (3-2)式中，K ，M 和C 分别为系统的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵，它们通称为系统的特性矩阵；y ，y 和y为位移、速度和加速度向量；F 为荷载向量。
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0, u2 1
u1 0
u2 1
k12
m1
k2
k2
k22
m2
k3
k12 k2
k22 k2 k3 k1 k2 k2 刚度矩阵： K k 2 k2 k3
k11 K k21
k12 k22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
3.柔度影响系数
柔度矩阵
0
u K 1 f D f
Ku f
0 第j行 d1 j 0 d 2j 1 0 d Nj 0
Mu Cu Ku f
d11 d 21 d N1
对A取矩
m1 g
l2
d 22
x1 x2
m2 g l3
1 1 (l1 l2 ) (m2 m3 ) g ( x1 x2 ) m1gx1
d32
l1 l2 d22 d32 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
x2 L1 sin 1 L2 sin 2
① 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标;
② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；
③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
W Qi qi
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力； ⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
i 1
n
4. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
n
Lagrange方程的产生背景
隔离体的受力分析
将未知约束力引入到动力学方程中 导致动力学方程中未知变量急剧增加
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
完整约束 （《理论力学》 范钦珊 主编）
约束方程不包含质点的速度，或者包含质点的速度，但约 束方程是可以积分的约束称为完整约束。
约束方程包含质点的速度且不可积分的约束称为非完整约束。
2.系统运动微分方程的建立方法
牛顿第二定律: 适用于自由度不多的离散系统或简单的 连续系统
动量矩定理:
影响系数法： 建立方法
主要适用于自由度不多的离散系统
主要适用于自由度不多的离散系统
Lagrange方程法：主要适用于离散系统
Hamilton原理：
有限单元法：
主要适用于连续系统
离散系统，连续系统都适用，是一种最
x 或 y 或 z 表示就可以了。
（二）用影响系数法建立系统的运动微分方程
1.总体思路
刚度影响系数 柔度影响系数 影响系数法 阻尼影响系数
K
DCM来自质量影响系数(二)用影响系数法建立系统的运动微分方程
2.刚度影响系数
0
Ku f
Mu Cu Ku f
0 第j行 k1 j 0 k 2j 1 0 k Nj 0
1 (l3 l2 l1 ) m3 g ( x1 x2 x3 ) m2 g ( x1 x2 ) m1 gx1
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32 d13 d 23 d33
STOP
x1
l1 (m1 m2 m3 ) g
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
（二）用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1
k1
m1
d12 k1d12
F1 0 m1
u2
k2 m2
k3
k2 (d22 d12 )
k2 (d22 d12 ) k1d12 0
d 22
k2 (d22 d12 )
F2 1
k3d 22
k1 k2 d12 d21 , d22 k1k2 k1k3 k2 k3
奇异（秩亏损）
用影响系数法建立系统的运动微分方程
7.小结
① 刚度法实施过程中要求系统仅一个自由度有位移，人为地增加了系统约 束的数目，求解比较繁。 ② 柔度法维持原系统的约束，实施比较方便。特别是用实验来确定系统 的弹性性质时均采用柔度法，刚度法几乎不能实现。 ③ 如果系统具有刚体运动自由度，则柔度法失效，但刚度法却可奏效。所 以刚度法的应用范围比柔度法要大。
m3 g
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
l1
m1g
对C取矩
B
l2 m2 g
1 l3 m3 gx3
C
l3 x3
对B取矩 对A取矩
l3 x3 m3 g
l2 x2 (m2 m3 ) g
1 (l3 l2 ) m3 g ( x2 x3 ) m2 gx2
1
x1
x2 d33
m3 g
d11 d21 d31
d11 D d 21 d31 d12 d 22 d32
cos 1 1
m2 g m3 g
l1 (m1 m2 m3 ) g
d13 d 23 d33
用影响系数法建立系统的运动微分方程
A
对B取矩
l1
B
1 l2 (m2 m3 ) gx2
l3 l1 l2 d33 (m1 m2 m3 ) g (m2 m3 ) g m3 g
（三）Lagrange方程的产生背景
1.牛顿力学方程的缺陷
I
R1 k1
R2
m1
r
m2
k2
I
隔离体1的受力分析
k1 R1
R1
R2
T1
I T1 R2 k1 R1 R1
隔离体2的受力分析
通用的建模方法
返回
（一）用牛顿第二定律列写系统的运动微分方程
直角坐标形式的牛顿第二定律
d 2x m dt 2 Fx d2y m 2 Fy dt d 2z m 2 Fz dt
列写运动方程时要选定一个正方向，计算各力在正方向的投影。 加速度的正负号是由合外力的正负决定的，因此在列写方程时只要 用
qi
Qi
广义坐标
T
动能
V
势能
广义坐标 qi 对应的非保守主动力
系统存在粘性阻尼时
d T T D V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi qi
D
耗散函数
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
3.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤
广义坐标
（《理论力学》 范钦珊 主编）
唯一地确定质点系在空间的构型的独立坐标称为广义坐标。
利用Lagrange方程建立系统的运动微分方程
2.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式
系统不存在粘性阻尼时
d T T V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【课堂练习】求图示摆的柔度矩阵
A
1
d11
l1
1
对A取矩:
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gl1 sin 1
d 21 d31
m1 g
l1 cos1 (m1 m2 m3 ) gd11 l1 (m1 m2 m3 ) gd11
5.质量影响系数
0
Mu f
Mu Cu Ku f
质量影响系数 mij ：第 j 个自由度产生单位加速度，其他自由度处的加速度
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
k k m1 0 u1 (t ) k k u1 (t ) 0 m u (t ) k k u (t ) 0 K k k 2 2 2
隔离体3的受力分析
T2
f
r
m2
R2
k2 R2
m2 R2 T2 k2 R2 f
R2 1 2 m2 r f r 2 r
3 m2 R2 k2 R2 T2 2
Lagrange方程的产生背景
3 m2 R2 k2 R2 T2 2
R k1 1 k2 keq R2 n 3 I meq m1 m2 2 2 R2
2
m1 R2 T2 T1
I T1 R2 k1 R1 R1
3 2 2 2 m m R I ( k R k R 1 2 2 2 1 1 ) 0 2 2
2 (k2 R2 k1 R12 ) 3 2 m m 2 1 R2 I 2
mu(t ) cu(t ) ku(t ) f (t )
多自由度系统运动微分方程的一般形式
u(t )
u(t )
位移向量
m
阻尼矩阵
M
质量矩阵
c
f (t )
C
k
K
刚度矩阵
f (t )
激振力向量
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t )