第四章 多自由度系统
机械振动基础 第四章 多自由度系统
{x} {u} coswt
其中，{u}和w是待求的振型和固有频率。
将
{x} {u} coswt
} [ K ]{x} 0 [M ]{ x
2
代入方程
2 ( w [M ]{u} [ K ]{u}) coswt 0 得到
(w [M ] [ K ]){u} 0
kij w 2 mij 0
1 T } [ M ]{x } ET {x 2 1 T } [C ]{x } D {x 2 1 T U {x} [ K ]{x} 2
2D 2 ET cij mij i x j x i x j x
2U kij xi x j
2) 求偏导
2 ET 2 ET mij m ji xi x j x j xi 2D 2D cij c ji xi x j x j xi 2U 2U kij k ji xi x j x j xi
设有可逆线性变换[u]，使得
{x} [u ]{y}
因而有
} [u]{y }, { } [u]{ } {x x y
称{x}为旧坐标系，{y}为新坐标系。
系统的动能、势能和能量耗散函数与坐标系选择无关， 也就是说，它们是坐标变换下的不变量, 因此有：
1 T 1 })T [ M ]([u ]{y }) ET {x} [ M ]{x} ([u ]{y 2 2 1 1 }T [u ]T [ M ][u ]{y } { y }T [ M 1 ]{y } {y 2 2
} [C ]{x } [ K ]{x} {F (t )} [M ]{ x
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
第四章多自由度系统
j 1
j 1
js
js
r 1, 2, , n
(4.2 15)
因而有
n (kij
j1
lr
mij
)
u jr usr
lr mis
kis
js
i 1, 2, , n; r 1, 2, , n
(4.2 16)
对于某个确定的r，方程(4.2-16)是一个以 ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)为变量的n个非 齐次方程，取其中的n-1个方程求解，就得 到ujr/usr(j=1,2,…,s-1,s+1,…,n)的值，是使第s 个比值为1得到的，这些值是确定的。从而 得到
对于线性系统，系统的动能可表示为
T
1 2
n i 1
n
mijqi q j
j 1
(4.1 6)
或
T 1 qT M q
2
(4.1 7)
式中mij是广义质量。质量矩阵[M]是实对 称矩阵，通常是正定矩阵，只有当系统中 存在着无惯性自由度时，才会出现半正定
的情况。q为广义速度向量。
n
－ f (t) f (t)
kij u j
j1
n
mij ui
j1
i 1, 2,..., n
(4.2-4) (4.2-5)
方程表明，时间函数和空间函数是可以分离 的，方程左边与下标i无关，方程右边与时间 无关。因此，其比值一定是一个常数。
f(t)是时间的实函数，比值一定是一个实数，
把势能函数在系统平衡位置近旁展为Taylor级 数，有
n U 1 n n 2U
U
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
机械动力学-多自由度系统
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
第4章-多自由度系统振动(d)
ΦN
(1) ,
m p1
(2) ,
mp2
(3)
mp3
1
1 6m
2 1
3 0 3
2
2
2
正则模态和主模态之间的关系：
φ( i ) N
1 φ(i)
mpi
15
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
小结：模态的正交性，主质量和主刚度
若 i j 时， φ(i)T Mφ( j) 0
φ(i)T Kφ( j) 0
模态关于质量的正交性 模态关于刚度的正交性
当 i＝j 时，
φ(i)T Mφ(i) mpi
φ(i)T Kφ(i) k pi
第 i 阶模态主质量 第 i 阶模态主刚度
第 i 阶固有频率：
i
k pi m pi
mpi φ(i)T Mφ(i)
第 i 阶模态主质量
k pi φ(i)T Kφ(i)
第 i 阶模态主刚度
正则模态：i 1~ n
φ(i) N
φ φ M (i)T
(i)
N
N
1
第 i 阶正则模态
主质量为1
2019年7月8日 《振动力学》
φ φ K (i)T
(i)
N
N
i2
固有频率的平方
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/正交性，主质量和主刚度
模态矩阵： 1 1 1
Φ (1) , (2) , (3) 2 0 1
1 1 1
第四章 多自由度系统
I1 [M ] =
I2
1 = 1960 1 kg ⋅ m 2 ) ( I3 1
第二节 无阻尼自由振动和特征值问题
− k1 0 k1 2 −2 0 由刚度影响系数法得： 由刚度影响系数法得：[ K ] = −k1 k1 + k2 −k2 = 0.98 ×107 −2 3 −1 ( N ⋅ m / rad ) 0 0 −1 1 −k2 k2 ɺɺ 1 θ1 2 −2 0 θ1 0 则作用力方程为： 则作用力方程为： 1960 1 θ 2 + 0.98 ×107 −2 3 −1 θ 2 = 0 ɺɺ θ ɺɺ 0 −1 1 θ3 0 1 3
ɺ x [ M ]{ɺɺ( t )} + [C ]{ x ( t )} + [ K ]{ x ( t )} = {F ( t )}
第一节 运动微分方程的建立
一、牛顿力学法
包括能量法、牛顿运动定律、动量定理、动量矩定理、 包括能量法、牛顿运动定律、动量定理、动量矩定理、定轴转动微分 方程、动能定理等诸多方法。 方程、动能定理等诸多方法。
方法（ 二、分析力学—— 分析力学——Lagrange方法（第三章已介绍过） —— 方法 第三章已介绍过）
三、影响系数法
1.刚度影响系数和作用力方程 刚度影响系数和作用力方程
坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第 坐标上产生单位位移（其他广义坐标位移为零），需要在第i个广义坐 ）， 标方向所加的力。实际上就是刚度矩阵的元素 刚度矩阵的元素。 标方向所加的力。实际上就是刚度矩阵的元素。
第一节 运动微分方程的建立
《汽车振动基础》课程教学大纲
《汽车振动基础》课程教学大纲一、课程基本信息课程类别：专业选修课适用专业：汽车车辆工程专业先修课程：汽车构造、汽车诊断与维修总学时：56学分：3二、课程教学目的与基本要求本课程主要任务是，学习汽车机械振动力学的基本理论和方法及分析振动问题的数学方法。
主要内容包括：单自由度系统的振动、两个自由度系统的振动、多自由度系统的振动，连续系统的振动，并介绍了求解特征值问题和系统响应的近似方法及数值计算方法，简要叙述了非线性振动和随机振动的基本概念和理论。
三、教学时数分配四、教学内容与要求第一章绪论（一）教学目的：理解机械振动的概念，了解振动系统研究方法，掌握振动的分类，会分析振动问题并提出解决方法。
（二）教学内容：1 基本要素 2 研究方法 3 分类和表示方法（三）重点：振动系统基本要素（四）难点：振动系统分类和表示方法第二章单自由度系统的振动（一）本章教学目的：理解单自由度系统的自由振动的概念，掌握单自由度系统的强迫振动，掌握汽车车身单自由度系统的振动。
（二）教学内容：1 自由振动 2 强迫振动 3 非简谐激励下的强迫振动4 汽车车身单自由度系统的振动（三）重点：单自由度系统的自由振动（四）难点：汽车车身单自由度系统的振动第三章二自由度系统的振动（一）教学目的：了解二自由度系统的运动微分方程，掌握无阻尼二自由度系统的振动，有阻尼二自由度振动系统和汽车的二自由度系统的振动。
（二）教学内容：1 二自由度系统的运动微分方程2 无阻尼二自由度系统的振动3 有阻尼二自由度振动系统4 汽车的二自由度系统的振动（三）重点：无阻尼二自由度系统的振动（四）难点：汽车的二自由度系统的振动第四章多自由度系统的振动（一）本章教学目的：理解多自由度振动系统的运动微分方程，掌握固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标和汽车多自由度振动模型。
（二）教学内容：1 多自由度振动系统的运动微分方程2 固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标3 多自由度系统的响应4 拉格朗日方程在振动分析中的应用5 汽车多自由度振动模型（三）重点：固有振型的正交性、模态坐标和正则坐标（四）难点：汽车多自由度振动模型第五章随机振动理论（一）教学目的：了解随机振动概述及随机振动的统计特性，线性振动系统的随机响应计算。
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结论：存在所寻找的变换矩阵
§4.2固有频率与振型
解决变换矩阵 具体内容问题
途径：解固有振动
特征值问题
频率方程
解得n个固有频率
式不
回代特征方程解得 n个对应向量
固有频率 固有振型
所谓固有，就是与外界激励无关 完全决定于质量和刚度矩阵。 与单自由度固有频率类比。
振型的正规化
正规化就是归一化 在新坐标下归一
1
k m
φ(1)
1 2 1
x
第二阶固有振型: x1 1
x2 0
2
x3 1
3k m
第三阶固有振型:
1 φ(2) 0 1 1 φ(3) 1 1
x
x1 1
节点
x3 1
与脉冲响应函数互为变换对
传递函数频响函数与模态参数的关系
隔振与减振措施
4、动力吸振器
•受简谐激励的振动系统当激励 频率接近系统的固有频率时会产 生共振。 •为减少振动，要改变系统的固 有频率，或者增加系统的阻尼。 •如果受实际条件的限制，系统 的固有频率不能改变，而增加阻 尼后仍嫌响应过大，则可考虑采 用动力吸振器。
超低频,频率密集,振型耦合强
分析了前12阶模态，包括对称和反对称的竖弯、侧弯、扭转等
实例6
中旅大厦
西宁北川河桥
井架
运行中的机车
§4.3 动力响应分析
多自由度系统的强迫振动
阻尼耦合与解耦
已经解决：质量矩阵和刚度矩阵对角化问题：找振型矩阵 还需解决：阻尼矩阵的对角化问题：人为近似处理。
振型叠加法求解步骤
列
例4.1 定义刚度矩阵
从定义出发列出三矩阵； 意义明确但比较麻烦
每一步得到刚度矩阵一个列
用能量法求三个矩阵
用能量法求三矩阵简单易行 能量法是最普遍的方法
三矩阵的对称性
矩阵的正定性
用能量法求例4.1的矩阵
用线性变换法求解方程
求解的关键是解耦 解耦的关键是矩阵对角化 对角化的关键是找变换矩阵
激励力不可测
桥梁、楼房、井架等 运行中的机车
实例1(火箭发动机,卫星,雷达)
实例2(汽车,工程机械)
实例3(龙洗、编钟、模型、集中质量梁)
实例4(大型结构,锤击)
航天员超重训练机
铁路桥
飞船发射平台(750T)
实例5(桥梁)
上海卢浦大桥
目前世界上最大跨径钢拱、梁组合体系 中承式系杆拱桥
解决变换矩阵的存在问题
线性变换把耦合的旧坐标 变换到解耦的新坐标
新旧坐标系的能量 量不变、形式改变
由能量形式改变导出 新旧坐标系三矩阵与 变换矩阵的关系
新坐标代入老坐标方程 利用新旧坐标三矩阵 新坐标运动微分方程 注意：新坐标下激励
由老坐标初始条件导出 新坐标初始条件
实现了新老坐标定解问题的变换
第四章 多自由度系统
主讲：王林鸿教授、博士 机械与汽车学院
引言
从数学上完整叙述多自由度系统振动理论；
固有频率与振型理论； 求解系统响应的振型叠加方法和变换方法阵
解耦是关键
刚度矩阵各元素的意义
i是维持力的自由度的序号 J是假设位移自由度的序号
展开定理的矩阵形式
至此为了方程解耦而苦苦寻找的： 线性变换 变换矩阵=振型矩阵 新坐标=振型坐标 全部水落石出。
振型坐标下的运动微分方程
用寻找到的结论重新书写解耦运动方程： 线性变换 变换矩阵=振型矩阵 新坐标=振型坐标
模态质量归一法
最大振型归一法
n个单自由度定解问题的组合
通过线性变换解耦
质量矩阵对角化
刚度矩阵对角化
实现质量、刚度矩阵的对角化
最大振型正交归一法度矩阵对角化！ 踏遍千山万水，历尽千辛万苦，
总算找到它了！
全体振型向量组的线性无关性
全体振型向量组线性无关
基、线性表出、振型坐标
展开定理
能够解耦的新坐标就是振型坐标
老坐标定解问题
通过齐次方程求固有振动得 振型矩阵，用振型矩阵作线 性变换
矩阵坐标定解问题的形式
阻尼耦合与模态阻尼矩阵对角化问题
模态阻尼矩阵
Rayleigh阻尼的对角化
老坐标下阻尼矩阵
通过振型矩阵对角化
振型矩阵无法对角化的人为强行规定
人为规定新坐标下的 阻尼矩阵为对角矩阵
人为强行规定对角化的三种方法
习题
4.1
4.2 4.3
4.7
谢谢
人为规定一个 比较大小的基准 模态质量归一法
最大振型归一法
振型的正交性
振型正交性的物理意义
振型正交性的物理意义
正交的振型与正交的坐标基相似 正交的振型可以用作正交的坐标基
振型的正规正交化条件
为表达方便 引入记号
单位矩阵
两种正规正交化方法
模态质量正交归一法
最大振型正交归一法
模态质量正交归一法
u(t ) Φq(t )
物理空间 模态空间 解耦 Mi qi (t ) Ki qi (t ) 0
Mu(t ) Ku(t ) 0
耦合
u(t ) Φq(t )
现实社会问题 模态叠加法 “中国梦”
多自由度无阻尼自由振动解的特征
x
第一阶固有振型: x1 1
x2 2
x3 1
二自由度动力吸振器
精心选择字子系统参数
李代桃僵
动力吸振曲线
动力吸振器与阻尼
夹在两座大山之间， 要格外小心
第四章知识点
核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。 耦合方程向解耦方程的形式转变；刚度矩阵元素的物理意义；广义特征 值问题；频率方程；振型正规化（归一化）；两种归一化方法；模态质 量、模态刚度；正规正交化条件；n个振型向量构成n维向量空间一个基； n个阵型线性表出；振型坐标（主坐标）；展开定理；振型坐标系下的 运动微分方程形式；阻尼矩阵人为对角化的方法；多自由度系统的单位 脉冲响应；动力吸振器。 基本算法： 1. 解频率方程得n个固有频率； 2. 分别回代n个固有频率至广义特征值问题； 3. 分别解相应的广义特征值问题得n个振型； 4. 由n个振型构成阵型矩阵即是能使方程解耦的变换矩阵； 5. 用振型矩阵进行线性变换， 阻尼矩阵人为对角化，使方程解耦，变 成一组单自由度方程组； 6. 用单自由度系统的方法分别求解解耦方程组得到一组振型坐标系下 的解； 7. 利用展开定理得到原耦合方程的解。
人为规定新坐标下的 阻尼矩阵为对角矩阵
解耦后的定解问题及解法
变成n个单自由度方程
逐个求解后，振型坐标下叠加
激励振型阶数的取舍
响应振型阶数的取舍
前十阶振型足矣！
动力响应举例
第j行不为0的列向量
第j阶振型
新坐标下每个解耦运动方程的解
变成n个单自由度方程
每个方程第j行元素非0
每个方程的单位脉冲响应
3 2
k m
x2 1
振型图反映了各自由度之间的振动规则（章法）
固有振型
固有振型
固有振型
返回
固有振型
1st水平弯曲
1st扭转
1st垂直弯曲
2nd水平弯曲
2nd扭转
2nd垂直弯曲
固有振型
膜的各阶固有振型
典型模态分析实例
激励力可测
汽车、工程机械、发动机、卫星等 变时基法测量大型结构 铁路桥、飞船发射平台、超重训练机等
旧坐标下系统总响应与单个自由度的响应
n个振型的线性组合，是个列向量
取上边列向量的第i行,是个函数
多自由度单位脉冲响应矩阵
传感器位置
锤击位置 系统固有特性：由固有 频率和固有振型构成 振动模态试验
§4.4 动力响应分析中的变换方法
拉普拉斯变换法
变换关系
傅里叶变换法
传递函数矩阵元素的意义
频响函数矩阵元素的意义