单自由度及多自由度系统模态分析
单自由度及多自由度系统模态分析讲诉
结构振动分析基本理论
• 振动分析的“理论路线”
空间模型 模态模型 响应模型
（质量、阻尼、 刚度）
（固有频率， 模态振型）
（频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成 • 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
• 将0i代入：
([ K ] [ 2 ][M ])[] {0}
• 解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归 一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）
[] [{1},{2 }, {n }]
• 模态振型具有正交性
i j 0, {i } [ M ]{ j } mi , i j i j 0, T {i } [ K ]{ j } ki , i j
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
工程振动——模态分析、多自由度系统振动响应
1.复习模态分析理论1.1单自由度系统频响函数（幅频、相频、实频与虚频、品质因子等）系统的脉冲响应函数h(t)与系统的频响函数H()是一对傅里叶变换对，与系统的传递函数H(s)是一对拉普拉斯变换对。
即有：复频率响应的实部复频率响应的虚部单自由度系统频响函数的各种表达式及其特征，对频响函数特征的描述采用的几种表达式1）幅频图：幅值与频率之间的关系曲线2）相频图：相位与频率之间的关系曲线3）实频图：实部与频率之间的关系曲线4）虚频图：虚部与频率之间的关系曲线5）矢端轨迹图（Nyquist图）1.2单自由度结构阻尼系统频响函数的各种表达形式频响函数的基本表达式：频响函数的极坐标表达式：，—幅频特性，—相频特性。
频响函数的直角坐标表达式：，—实频特性，—虚频特性频响函数的矢量表达式：1.3单自由度结构阻尼系统频响函数各种表达式图形及数字特征Nyquist图：无论阻尼多大，半功率点总位于水平直径两端，半功率点之间的曲线范围相当大，共振区在Nyquist图上最易反映出来，故用Nyquist图作参数识别较好。
对数幅频图：Bode图不仅能在很宽频段内反映系统的幅频特性而且能将低频段和高频段内幅频特性用最突出的特征反映出来。
2.预习多自由度系统振动响应2.1实模态分析对一个有n个自由度的振动系统，需用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。
在线性范围内，物理坐标系中的自由振动响应为n个主振动的线性叠加，每个主振动都是一种特定形态的自由振动（简谐振动或衰减振动），振动频率即系统的主频率（固有频率或阻尼固有频率），振动形态即系统的主振型（模态或固有振型），对应每个阻尼系统的主振型有相应的模态阻尼。
本节用模态坐标法研究模态参数模型和非参数模型。
坐标变换法的基础是求解系统特征值问题。
特征值与模态频率和模态阻尼有关（不一定就是模态频率）特征矢量与模态矢量相联系（不一定就是模态矢量）。
对无阻尼和比例阻尼系统，表示系统主振型的模态矢量实数矢量，故称实模态系统，相应的模态分析过程是实模态分析。
单自由度模态分析理论
要点二
非线性模态分析的研 究
目前，大多数模态分析研究都集中在 线性系统上。然而，在许多工程应用 中，非线性因素对结构振动的影响是 不可忽视的。因此，未来可以进一步 研究非线性模态分析方法，以更准确 地描述这些非线性效应。
要点三
智能材料和结构的应 用
随着智能材料和结构的发展，它们在 许多领域的应用越来越广泛。这些材 料和结构具有独特的动态特性，需要 新的模态分析方法来描述。因此，未 来的研究可以探索适用于智能材料和 结构的模态分析方法。
背景
随着工程结构的日益复杂化，模态分析在结构健康监测、振 动控制、地震工程等领域的应用越来越广泛。单自由度模态 分析作为模态分析的基础，为多自由度模态分析提供了理论 支持。
模态分析的定义
模态
模态是结构的固有振动特性，包 括频率、阻尼比和振型。
模态分析
模态分析是通过试验或数值方法 识别结构的模态参数的过程。
模态振型之间具有正交性， 即不同模态的振动不会相 互干扰。
选择性
在实际工程中，可以根据需要 选择特定的模态进行分析，以 简化计算和提高分析效率。
Part
03
单自由度系统的01
激振器激励
STEP 02
自由衰减振动
通过激振器对系统施加激励 ，使其产生振动响应，然后 采集响应信号进行分析。
04
单自由度系统的模态特性分析
模态正交性分析
模态正交性是指在模态空间中，不同的模态之间相互独立， 没有耦合关系。在单自由度系统中，模态正交性表现为各模 态振型函数的正交性，即它们的内积为零。
模态正交性的意义在于，它使得各模态之间互不干扰，各自 独立地响应外部激励，从而使得系统的响应可以通过叠加各 模态的响应得到。
振动学知识点总结
振动学知识点总结振动学知识点总结如下：一、振动的基本概念1. 振动的定义：指物体在某一平衡位置附近作来回运动的现象。
2. 振幅：振动物体在做往复运动时，离开平衡位置的最远距离。
3. 周期：振动物体完成一个完整的往复运动所需要的时间。
4. 频率：振动物体每秒钟完成的往复运动次数。
5. 相位：描述振动物体在振动周期中的位置关系。
二、单自由度振动系统1. 单自由度振动系统的概念：由一个自由度由一个自由度运动的质点和它的运动机构构成。
2. 自由振动：指单自由度振动系统在没有外力作用下的振动。
3. 阻尼振动：指单自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。
4. 强迫振动：指单自由度振动系统受到外力作用的振动。
三、非线性振动1. 非线性振动的概念：指振动系统的振动特性不满足线性振动方程的振动现象。
2. 非线性系统的分类：按系统的非线性特征分为几何非线性、材料非线性和边界非线性等。
3. 非线性振动的分析方法：包括解析法和数值法等。
四、多自由度振动系统1. 多自由度振动系统的概念：由多个自由度组成的振动系统。
2. 自由振动：指多自由度振动系统在没有外力作用下的振动。
3. 阻尼振动：指多自由度振动系统的振动受到阻尼力的影响。
4. 特征值问题：多自由度振动系统的固有振动特征。
5. 模态分析：多自由度振动系统振动特征的分析方法。
五、控制振动1. 振动控制的目的：减小系统振动、防止系统振动引起的损伤。
2. 主动振动控制：通过主动装置对系统进行振动控制。
3. 被动振动控制：通过被动装置对系统进行振动控制。
4. 半主动振动控制：融合了主动和被动振动控制的特点。
六、振动信号与分析1. 振动信号的特点：包括时间域特征、频域特征和相位特征等。
2. 振动信号采集与处理：使用传感器采集振动信号，并通过信号处理方法对其进行分析。
3. 振动分析方法：包括频谱分析、波形分析、振动模态分析和振动信号诊断分析等。
七、振动与工程应用1. 振动在机械领域的应用：包括减振、振动吸收、振动监测及振动诊断等。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。
振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。
了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。
一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。
在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。
振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。
二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。
在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。
多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。
三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。
工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。
结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。
通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。
我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。
模态分析与振动测试技术
模态分析与振动测试技术固体力学S0902015李鹏飞模态分析与振动测试技术模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概念上发展起来的。
近二十多年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。
一、单自由度模态分析单自由度系统是最基本的振动系统。
虽然实际结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能揭示振动系统很多基本的特性。
由于他简单，因此常常作为振动分析的基础。
从单自由度系统的分析出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深刻理解他的基本特性。
对于线性的多自由度系统常常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。
二、多自由度系统模态分析对于多自由度系统频响函数数学表达式有很多种，一般可以根据一个实际系统来讨论，给出一种形式；也可根据问题的要求来讨论，给出其他不同的形式。
为了课程的紧凑，直接联系本课程的模态分析问题，我们就直接讨论多自由度系统通过频响函数表达形式的模态参数和模态分析。
即多自由度系统模态参数与模态分析。
多自由度系统模态分析将主要用矩阵分析方法来进行。
我们以N个自由度的比例阻尼系统作为讨论的对象。
然后将所分析的结果推广到其他阻尼形式的系统。
设所研究的系统为N个自由度的定常系统。
其运动微分方程为：MX CX KX 二F （2—1）式中M , C，K分别为系统的质量、阻尼及刚度矩阵。
均为（N N ）阶矩阵。
并且M及K矩阵为实系数对称矩阵，而其中质量矩阵M是正定矩阵，刚度矩阵K对于无刚体运动的约束系统是正定的；对于有刚体运动的自由系统则是半正定的。
当阻尼为比例阻尼时，阻尼矩阵C为对称矩阵（上述是解耦条件）X及F分别为系统的位移响应向量及激励力向量，均为N 1阶矩阵。
即X（2— 1）式是用系统的物理坐标X 、X 、X 描述的运动方程组。
在其每一 个方程中均包含系统各点的物理坐标，因此是一组耦合方程（请大家想象一下其 展开式）。
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结构振动分析基本理论
• 一般的振动问题
激励 振动结构 响应
输入
系统
输出
1. 已知激励和振动结构，求系统响应（正问题）
2. 已知激励和响应，求系统参数——系统识别（逆问题）
3. 已知系统和响应，求激励——荷载识别
结构振动分析基本理论
• 振动结构模型： 物理参数 识别
(k 1,2,
, )
不同激励下频响函数表达式
• 瞬态激励f(t)下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换
F ( ) F[ f (t )]
X ( ) F[ x(t )]
系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比
X ( ) H ( ) F ( )
• 随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比
A jV 2 H A ( ) F F k m 2 jc
频 响 函 数
单自由度系统频响函数
• 频响函数的倒数称为阻抗
F • 位移阻抗： Z () k m 2 jc X
F k • 速度阻抗： ZV ( ) V c j m j
F k c • 加速度阻抗： Z A ( ) m 2 A j
jk0 t x ( t ) X ( )e k k T X ( ) 1 2 x(t )e jk0t dt T k T 2
系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比
X (k ) H (k ) F (k )
j ( t )
h( )d Fe
h( )e- j d
• 已知此时系统稳态输出为 x(t ) Xe jt H () Fe jt • 因此 H ( ) h( )e- j d
h(t ) H ( )
• 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。脉冲响应函数与频响函数是系统识别的基础。
X H ( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
jk0t f ( t ) F ( )e k k T 1 jk0 t F ( ) 2 f ( t )e dt T k T 2
线性系统的输入与输出关系
• 频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
f (t )h( )d
jt
• 若系统的激励为 f (t ) Fe jt
x(t )
f (t )h( )d Fe
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(tБайду номын сангаас) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X ( ) H ( ) F ( )
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
H ( )
Gxf ( ) G ff ( )
单自由度系统频响函数曲线（1） ——粘性阻尼
• 由频响函数表达式
H ( ) X 1 1 1 F k m 2 jc k 1 2 2 j
• 可得频响函数复指数形式 1 1 H ( ) ei , k (1 2 )2 4 2 2
• 模态分析：以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析方法。 1. 理论模态分析 2. 实验模态分析（EMA）
空间模型 （质量、阻尼、 刚度） 模态模型 （固有频率， 模态振型） 响应模型 （频率响应、 脉冲响应）
• 在理论模态分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 • 在实验模态分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。
单自由度系统脉冲响应函数
• 单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉 冲响应函数（脉冲响应函数）
mx cx kx (t )
单自由度系统脉冲响应函数
mx cx kx (t )
• 该式的解为
1 t e sin D t , t 0 x(t ) h(t ) mD 0, t 0
jt • 稳态速度响应： x j Xe
• 稳态加速度响应： x ( j)2 Xe jt 2 Xe jt
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
( 2 m jc k ) X F
• 位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比： X 1 H ( ) F k m 2 jc • 速度频响函数： V j X j HV ( ) F F k m 2 jc • 加速度频响函数：
• 式中， D 1 2
• 若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：
x(t ) h(t ) * f (t ) h(t ) f ( )d
单自由度系统频响函数
• 单自由度系统振动微分方程：
mx cx kx f (t )
• 设系统作用简谐激励 f (t ) Fe jt • 稳态位移响应： x Xe jt
空间模型 （质量、阻尼、 刚度）
模态参数 识别
模态模型 （固有频率， 模态振型）
非参数 识别
响应模型 （频率响应、 脉冲响应）
• 空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 • 模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 • 响应模型——一系列响应函数组成
结构振动分析基本理论