4-单自由度系统的受迫振动

1-2单自由度体系的受迫振动主要问题1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应1-2-2周期激励作用的受迫振动响应1-3-3任意激励作用的受迫振动响应1-3-5 隔振1-3-4 等效阻尼激励响应系统1-2-1简谐激励作用的受迫振动响应单自由度系统振动方程t F kx x c xm ωsin 0=++ 非自治系统tf x x x n n ωωςωsin 202=++t k F t k F t xt x x n n n n ωλωλλωωωsin 11sin 1sin cos 202000-+--+= 无阻尼系统⎪⎩⎪⎨⎧====+0002)0(,)0(,0sin x xx x t t f x x n ωω方程之解无阻尼自由振动无阻尼受迫振动自由伴随振动瞬态过程稳态过程实际系统中，阻尼的客观存在，随着时间的推移，瞬态响应逐渐衰减，系统进入稳态振动过程系统的瞬态振动过程是复杂的运动形式⇩ελ21+=⇩0→εtt f x n n ωεωεcos sin 20-≈tt f x n n ωωcos 210-≈“拍”无阻尼系统的稳态响应t k F x ωλsin 1120-=kF st 0=δ静变形211λβ-=动力放大因子1<<λ⇩1>>λ⇩1=λ⇩1→β系统表现为静态特征0→β系统表现为动态特征∞→β系统出现“共振”现象θβi e k-=1θβ 阻尼系统的稳态响应tf x x x n n ωωςωsin 202=++ ti nn e f x x x ωωςω022=++ 设系统的稳态响应为ti Bex ω=B 为复振幅)(F H B ω=H (ω)称为复频响应函数222)2()1(1ςλλ+-=212arctanλςλ-=动力放大因子响应与激励的相位差！系统的幅频特性！系统的相频特性⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=2222)2()1(211)(ςλλςλλωi k H系统的稳态响应)(θω-=t i Aex )sin(θω-=t A x βδst A =为系统的实振幅稳态响应的特征幅频特性曲线β-λ⇳稳态响应是与激励同频率的简谐振动⇳稳态响应的幅值和相位差仅由系统的物理参数和激励确定⇳，1>>λ，0→β，1<<λ，1→β振幅为弹簧静变形振幅趋近于零⇳，1>>λ，1→λ，1<<λ阻尼影响不显著振幅对阻尼十分敏感⇳，1→λ振幅急剧增大，出现共振现象动力放大因子为ςβλ211==2021ςωω-=共振频率为⇳为品质因子。

表征共振峰的陡峭程度ςβλ211===Q nςωω2=∆共振区频带宽相频特性曲线θ-λ，1→λ⇳相位差为π/2，与阻尼无关⇳，1>λ，1<λ响应与激励同相阻尼越小反响现象越明显响应与激励反相不同形式简谐激励的稳态响应 转子偏心质量引起的受迫振动ω系统振动方程tme kx x c x M ωωsin 2=++2222)2()1(ςλλλβ+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=212arctan λςλθ幅频特性曲线相频特性曲线支承运动引起的受迫振动系统振动微分方程0)()(=-+-+d d x x k x x c xm t ak t ac kx x c xm ωωωsin cos +=++2222)2()1()2(1ςλλςλβ+-+=幅频特性曲线相频特性曲线)2arctan(12arctan 2ςλλςλθ-⎪⎭⎫⎝⎛-=1-2-2周期激励作用的受迫振动响应tFtF对于周期激励)2,1,0()()( =±=n nT t F t F F (t )由Fourier 级数展开∑∞-∞==n tn i neF t F ω)(),2,1,0(d )(122±±==⎰--n t e t F T F T T tn i n ω()∑∞-∞=+=n n nt n b t n at F ωωsin cos )(),2,1,0(d sin )(2,d cos )(22222 ±±===⎰⎰--n tt n t F T b t t n t F T a T T T T n n ωω系统的振动方程∑∞-∞==++n tin neF kx x c xm ω ()⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞-∞=n n n t n b t n a ωωsin cos由叠加原理，系统地稳态响应为[]∑∞-∞=-+-=n n n n n n t n b t n a kt x )sin()cos(1)(θωθωβ∑∞-∞=-=n t n i n n n e F kt x )(1)(θωβ动力放大因子与相位差为()()2222211ςλλβn n n +-=2212λςλθn n n -=将周期激励或响应展成Fourier 级数的分析方法称为谐波分析法。

谐波举例F (t )弹簧-质量系统受周期方波激励。

已知。

1.0,12==ςωπnT 确定系统的响应⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=T t TF T t F t F 220)(00方波激振力)sin 13sin 31(sin 4)(1110++++=t n nt t F t F ωωωπ系统的稳态响应)sin(415,3,10n n nt n kF x θωβπ-=∑∞=如何能形象地表现出任意周期激励的系统响应？工程实际问题中，Fourier展开后的无穷多项如何处理？频谱图频谱分析法的物理意义就是将函数由时间域转到了频率域1-3-3任意激励作用的受迫振动响应F (t )系统振动方程)(t F kx x c xm =++ Ftδ分布函数及其应用定义()τδτδεε-=-→t t 0lim )(且1d )(=-⎰∞∞-t t τδ⎪⎩⎪⎨⎧≠=∞=-τττδt t t 0)(取任意值面积为1⎪⎩⎪⎨⎧+><+≤≤=-εττεττετδεt t t t ,01)(δ分布函数的筛选性质()()()ττδf t d t t f =-⎰∞∞-()()()0f t d t t f =⎰∞∞-δ()()()ττδf t d t t f =-⎰∞=τt≤<τ0δ 函数可以用来描述在时间或空间上一点集中的物理量举例脉冲力作用时间无限短具有有限冲量假设脉冲力P (t )的冲量为U ，定义平均脉冲力)()(t U t P εεδ=冲量为U 的脉冲力P (t ))()(lim )(0t U t P t P δεε==→举例集中力或集中力矩空间上一点集中)()(a x P x P -=δ)()(b x M x M -=δ单位脉冲响应U=1对于冲量为U 的脉冲力)()(t U t F δ=当U =1时，为单位脉冲力)()(t t F δ=系统的振动方程⎪⎩⎪⎨⎧====++--0)0(,0)0(,0)(xx t t kx x c x m δ由冲量定理t t xm d )(d δ= ⎪⎩⎪⎨⎧====++++m x x t kx x c x m 1)0(,0)0(,00⎰⎰+-+-=0000d )(1d t t m x δ mx1)0(=+系统对单位脉冲的响应te m t h d tdn ωωςωsin 1)(-=)()(sin 1)()(ττωωττςω>-=---t t e m t h d t dn 任意激励的受迫振动响应（Duhamel 积分）在时间间隔（τ , τ+d τ）内，激励的脉冲量为F (τ)d τ。

当t >τ 时，系统的响应为τττd )()(d -=t h F x 由线性叠加原理，系统对任意激励的响应为⎰-=tt h F t x 0d )()()(τττ⎰-=tt h F t x 0d )()()(τττ杜哈梅（Duhamel ）积分零初始条件下，系统对任意激励的响应为单位脉冲响应与激励的卷积分⎰-=tn nt F m t x 0d )(sin )(1)(ττωτω若无阻尼，则有⎰-=tn n t F m 0d sin )(1ττωτω举例无阻尼弹簧-质量系统在（0 , t 1）时间间隔内受突加矩形脉冲的作用，确定系统的响应。

⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=1100)(t t t t F t F由杜哈梅积分，在（0 , t 1）内，有⎰-=tn nt F m t x 00d )(sin 1)(ττωω)cos 1(0t k F n ω-=当t > t 1时，有⎰-=100d )(sin 1)(t n nt F m t x ττωω[])cos )(cos 10t t t kF n n ωω--=系统响应为[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤≤-=110cos )(cos 0)cos 1()(t t t t kF t t t kF t x n n n ωτωω阶跃激励响应-F 0t 1利用叠加原理t0F (t )F 0对于阶跃激励F (t)=F 0，由杜哈梅积分有)cos 1()(0t kF t x n ω-=而时刻t =t 1的阶跃激励F (t)=－F 0，有⎰--=tt n n t F m t x 1d )(sin )(1)(0ττωω[])(cos 110t t kF n ---=ω叠加得系统在t > t 1时的响应[])cos )(cos )(10t t t kF t x n n ωω--=系统在t > t 1时为自由振动，以t =t 1为自由振动开始时刻，有)cos 1()()(1011t kF t x t x n tt ω-===101sin d d )(1t kF t xt x n n t t ωω=== 系统的自由振动响应为t t xt t x t x n nn ωωωsin )(cos )()(11 +=[])cos )(cos 10t t t kF n n ωω--=脉冲的作用时间t 1 对响应有什么影响?工程设计中最关心的是冲击载荷作用后的最大响应值，如何描述？系统在t > t 1时自由振动的幅值为21212max )()(nt xt x x ω +=2sin 210t k F n ω=Tt k F 10sin 2π=幅值与比值t 1/T 相关⇩当211=T t 时，stkF A δ220==⇩当11=Tt 时，0=A 定义：最大响应值与激励某参数的关系曲线称为响应谱⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤=2220sin 211T t T t T t x st m πδ逐步积分法⎰-=tthFtxd)()()(τττ？逐步积分法的基本思想：将计算的时间区间分割，以已知运动量的点为开始时刻，递增地逐点求出各个时间点所对应的运动量。

增加时间，以下介绍几种对加速度的变化规律进行假设的逐步积分法。

特点是利用运动微分方程，由某时刻t 的已知位移，速度，加速度计算出时刻t +△t 相应的各量，并依次进行，逐点求出系统的响应? 对于运动量，如何对其中的一个量进行假设x xx ,,? 对近似计算结果（或计算方法）的优劣线加速度法将时间区间[ a , b ]剖分成若干个分点：a = t 0 < t 1<· · · · · · < t n = bii h i t t +=0ni ,2,1,0=i i i t t h -=+1时间步长等时间步长ii t t h -=+1⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=++++12211161312121i i i i i i i i i xh x h x h x x xh x h x x 假设在第i 时间间隔[ t i , t i+1 ]内，加速度呈线性变化，即()11++≤≤-+=i i i i i t t t hxx x x τht t i≤≤-=ττ0()Chxx x x i i i +-+=+221ττ ()D C hx x x x i i i ++-+=+τττ621312 当i t t =i i i i x t xx t x ==)(,)(i i x D xC ==, 当ht =τ∫∫补充运动微分方程)(211211++++=++i i n i n i t f x x x ωςω ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=-++=-=++++++++++i i i i i i i i i i i i n i n x h x x h x x h x h x x h x t f x x x 21213161)(211212111112ςωω线加速度法的递推公式ΔtΔtΔt⇳线加速度法的计算精度高⇳线加速度法的计算结果是条件稳定时间步长Δt一般要小于振动周期的1/6~1/10计算量大！Lagrange 中值定理若f(x ）在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）可微，则在（a ，b ）间至少有一点c ，使bc a c f a b a f b f <<'-=-)()()()(Newmark 法在区间[ t i , t i+1 ]内，由微分中值定理h xx x i i ξ +=+1假设1)1(++-=i i x x x γγξ10<<γ速度Lagrange 中值定理由Tayloy 级数展开221h xh x x x iii η++=+假设12)21(++-=i i xx x ββη120<<β位移⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=+-+=++++21211i 121)1(h x h x h xx x h x h x x xi i i i i i i i ββγγ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--+=-=++++++++++i i i i i i i i i i i i n i n x h x h x x h x x h x x h x t f x x x 2121111111221)1()(2ββγγςωωNewmark 法的递推公式⇳β 值影响算法精度即为线加速度法⇳当61，21==βγNewmark 法无条件稳定⇳当22141，21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=≥γβγ算法引起附加阻尼（数值解周期延长、振幅缩减），21>γ⇳当算法精度高，但条件稳定21=β算法精度低，但无条件稳定41>βWilson-θ 法基本思想引入一个参数，1>θ[]t t t ∆+θ,在更大的时间间隔内，对线加速度法进行修正。