ch2a单自由度系统受迫振动

• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
Saturday, June 06, 2020 19
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生。系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
Q 0
1 1 2
s
0
0
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s) 180
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
tg
1
2s
回顾：
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
20
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(t)
c1
cos0t
c2
sin 0t
B 1 s2
sin t
x(0) x0 x(0) x0
c1 x0
x(0)
c20
1
B s2
x(0) x0
c2
x0
0
Bs 1 s2
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
零初始条件
x(t)
x1(t)
x2 (t)
1
Bs s
2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
(1) s < 1 ( 0 ) (T T0 )
稳态受迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环
(2) s > 1 ( 0 ) (T T0 )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态受迫振动完成多个循环
受迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
Saturday, June 06, 2020 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应 本节内容
Saturday, June 06, 2020 5
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设： x xeit
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
Saturday, June 06, 2020 8
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
Saturday, June 06, 2020 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
结论：响应的振幅 A 与静位移 B 相当
x
F0
ei(t )
Aei(t ) 10
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
3
（2）当s>>1（ 0 ）
2
激振频率相对于系统固有频率很高 1
0.25 0.375
0.5 1
s
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
（4）当 s 1 0
0.375
2
0.5
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
s
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ 0）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
sin
0t
B 1 s2
sin
t
x(t )
2 / 0
0
t
2 /
Saturday, June 06, 2020 25
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
由于系统是线性的，也可利用叠加定理求解
mx k x(0)
xx0，Fx0(s0i)ntx0＝
x 02
x(0)
x0 x0，x(0)
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
Saturday, June 06, 2020 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
(s)
tg
1
2s
1 s2
Saturday, June 0振6, 2幅020放大因子
<<振动力学>>
相位差 6
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
mx cx kx F0eit
x xeit x H ()F0
B F0
(s)
k1
(1 s2 )2 (2s)2
H () 1 [ 1 s2 2si ] 1 ei k (1 s2 )2 (2s)2 k
Saturday, June 06, 2020 26
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
考虑无阻尼的情况
正弦激励
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x
2 0
x
B
2 0
sin
t
B F0 k
s 0
通解：
x(t)
c1
cos 0 t
c2
sin
0t
B 1 s
2
sin
t
齐次通解
非齐次特解
c1、c2 初始条件决定
Saturday, June 06, 2020 21
<<振动力学>>
x ：稳态响应的复振幅
代入，有： x H ()F0
H ()
1
k m 2 ic
复频响应函数
0
k m
c
2 km
振动微分方程：
x
2
0
x
2 0
x
B
2 0
e
it
静变形
B
F0 k
引入：s 0
则：
H
()
1 k
[
(1
1
s2 s2 )2
2si (2s)2
]
1 ei
k
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
＋
x0
x 02
x(0)
x B02
0，x(0)
sin t
0
通解：
x1 (t)
x0
cos 0 t
x0
0
sin 0t
x2 (t)
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin
t
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
1
Bs s
2
sin 0t
1
B s
2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0 0 0
Saturday, June 06, 2020 18
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
Saturday, June 06, 2020 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
1 s2
90
相频特性曲线
（1）当s<<1（ 0）
s
0
0
1
2
3
相位差 0 位移与激振力在相位上几乎相同
（2）当s>>1（ 0 ）
位移与激振力反相
（3）当 s 1
0
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
x
F0
ei(t )
Aei(t ) 17
受迫振动响应成为自由振动响应 曲线上迭加的一个振荡运动
x(t )
2 / 0
x(t )
2 /
0
2 /
0
t
t
稳态响应
全响应
2 / 0
Saturday, June 06, 2020 24
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
零初始条件
x(t)
x1(t)
x2 (t)
Bs 1 s2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
如果是零初始条件
x(t)
x1(t)
x2
(t)
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin t
自由伴随振动 强迫响应
Saturday, June 06, 2020 23
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
s
0
0
1
2
3
Saturday, June 06, 2020 15
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
Q Q/ 2
记：
Q
s1
1
2
品质因子
2
在共振峰的两侧取与 Q / 2 对应的两点 1 ，2
2 1 带宽
Q与 有关系 ：
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
Sxatu为rda复y, Ju数ne 变06, 量202，0 分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
cos0t
百度文库
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
特点：以系统
固有频率为振
动频率
22
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
x(t)
x1 (t )
x2 (t)
x0
cos0t