ch2a单自由度系统受迫振动
振动理论及其应用：第2章_单自由度系统受迫振动
1
2s
1 s2
x
F0 k
ei(t )
Aei(t )
A B 稳态响应的实振幅
若： F (t) F0 cost
则： x(t) Acos(t )
2020年12月9日 <<振动力学>>
无阻尼情况：
x(t) B 1 s2
eit
F0 k
1 1 s2
eit
7
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年12月9日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4
（6）当 1/ 2 振幅无极值
1
3
2
1
0.25 0.375
0.5 1
s
0
0
1
2
3
2020年12月9日 15
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
2x02为0年复12月数9日变量，分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
振动理论(4-3)第四章单自由度的受迫振动陈永强北京大学力学系振动的隔离原理●机械或者其他原因产生的振动常常是不可避免的，但是通过适当的措施可以把影响降低到最小●隔振系统的作用是保护特定对象免受传过来的过大振动(被动隔振)，或者防止过大的振动力传递到周围环境（主动隔振）●这两个方面本质上是相同的，都是试图降低传递的振动力振动的隔离原理00000/()st x x kx x P k P TR ======弹簧力传递力传递比外力外力k通过弹簧传给下层结构的力012345-1－2-3-41A BCω/ωn振动的隔离原理：无阻尼012345-1－2-3-41A BCω/ωn传递比大于1如果无阻尼情况下2振动的隔离原理: 阻尼考虑阻尼的影响，传递的力包括两部分：弹簧力和阻尼力，分别与位移和速度同相而具有的相位差传递比振动的隔离原理: 阻尼ω/ωn10201230.250.50.5c /c c =0●区域中，阻尼使可传性减小(但仍然比1大)●,传递比小于1，阻尼的存在使可传性更差2●阻尼的存在可以有效防止共振●阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补在不改变传动比的情况下如何降低隔离质量的振幅可以把附放在一个大的质量上, 同时增加弹簧的刚度，保持不变。
由方程可以看到，由于的增大，将降低632014/10/22例题●一机器质量为，支承在总刚度为的弹簧上。
机器上的非平衡旋转部件在转速为3000 rpm时导致的扰动力. 假定阻尼比为, 试确定(a) 非平衡导致的运动振幅；(b) 传递比；(c) 传递的力●解：系统的静挠度为19811411−3m141mm其固有频率为=1332Hz系统的振幅为m=0.0379mm642014/10/22●传递比●传递的力=扰动力传递比N652014/10/22复频率响应●继续讨论系统激励(输入)与响应(输出)关系和描述●振动微分方程可以看成是矢量平衡投影⏹竖直轴投影⏹水平轴投影●把谐振激励表示为●位移记为cωx0mω2x0x0ϕωP0kx0●把复位移向量带入微分方程●可以求得●定义复频率响应(输出与输入的比值)容易看出，依赖于频率比和阻尼因子。
振动理论讲义第4章 单自由度系统受迫振动
图 4.1 电磁式振动台
当励磁线圈通以直流电流时，导磁体就形成恒定磁场。当在这种磁场中的振动线圈
有交流电通过时，便受到交变电磁力的作用，使支承在平板弹簧上的导杆以及与导杆联
在一起的台面等在磁场中振动。
由于振荡器供给的交流电是正弦波，产生的电磁力也是简谐力，可用
表示。其频率 和幅值 都可以调节，从而使台面能以不同的频率和振幅作上下振动。
将振动线圈、导杆、台面等简化为集中质量 ，平板弹簧为具有刚度 的弹性元件，
并考虑各部分的阻尼作用，用 表示相应的阻尼系数，振动台可以简化成图 4.1b 所示的
单自由度有阻尼的质量弹簧体系，受
的简谐激励。
4.2 无阻尼受迫振动
进一步分析(4.5)式表示的含义。显然， 是一个具有振幅为
的正弦
波，该振幅取决于频率比 。
图 4.2 常幅 变 频力作用于质量 上的系统绝对运动 共振图
当
时，纵坐标（即振幅）是负值，如何理解负振幅的意义？考虑到
上式表明，“负振幅”相当于与原波相位差为 180 度。在物理上，它表示，当
，
力和运动同相，质量在平衡位置下面而力又向下推质量；而当
以表示为
⁄
假定 和 比较接近，例如
/
,则
⁄
/
⁄
/
在 很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此
⁄
/
/
这是拍的方程。当激振频率和固有频率相等，即
/
，有
即为振幅随时间发散的振动方程。当然，在共振情况下的振幅发展到无穷大是需要一定 时间的。
4-4
4.3 外力的振幅取决于频率的情况
前面讨论的问题中，外力的振幅 是独立于其频率 的。工程中常见的还有振幅 取
2-单自由度受迫振动解读
F0 / k
17
≈1（激振频率接近固有频率）时，b 迅速增
大，振幅很大，这种现象称为共振;
• 阻尼比z 的影响: 阻尼越小，共振越厉害。因
此加大阻尼可以有效降低共振振幅。
对b 求导数取极值
b
2 (1 2 ) 2 (2z ) 2
(2z 1 )
2 2
令其等于0得
第2章 单自由度系统的受迫振动
4
因此方程的全解为：
x(t ) e
zwn t
( A cos wn 1 z t
2
2
B sin wn 1 z t ) X sin(w t )
系数A和B由初始条件确定。
设 t＝ 0 时 ,
x 0 x x0 , x
则：
A x0 X sin x0 zwn Xw ( x0 X sin ) cos B wd w d wd
2
2.1 简谐激励下的受迫振动
所谓简谐激励就是正弦或余弦激励。
2.1.1 振动微分方程及其解
设单自由度黏滞阻尼系统受到的激励为 F(t)=F0sinwt ，这里 w为激振频率，利用牛顿 定律并引入阻尼比z 可得到
F0 x 2wnz x w x sin wt m
2 n
第2章 单自由度系统的受迫振动
而强迫振动部分才是我们最关心的。
第2章 单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励下的受迫振动
7
若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 zwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd zwnt zwn cos w sin Xe sin wd t cos cos wd t wd
第3章单自由度系统受迫振动(2)资料
1 0
0 .5 1
s
0
1 2 3
幅频特性曲线
0
2018年10月14日 <<振动力学>>
2 1 2
6
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
在共振频率下的振幅为：
X max
F0 k 2 1
2
F0 c d
在一般情况下，阻尼比ζ <<1，这时可以认为共振频率
e m
t
x
x e sin t
系统在垂直方向的动力学方程：
k 2
c
k 2
2018年10月14日 <<振动力学>>
d2 m 2 ( x e sint ) cx kx 0 ( M m ) x dt
17
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
0.25
0.375
0 .5 1
F (t ) F0 cost
从左到右：
0
0
0
s
1 2
3
0 0
0.4, 1.01, 1.6
2018年10月14日 <<振动力学>>
9
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
幅频特性与相频特性
1、s ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ， β 1，＝0， 响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2
3
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
振动理论04(2)-单自由度系统受迫振动
振动理论(4-2)第四章单自由度受迫振动陈永强北京大学力学系●谐变化的力在谐位移上的功是●运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹阻尼振幅⏹阻尼消耗的功=外力功⏹⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅每周的能量振幅外力阻尼力0A B C共振时的放大因子共振另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解例题汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。
把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。
假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。
解：rad具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅的力kgcm●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡2014/10/2232运动平衡方程sinsin这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅tan332014/10/22进一步，可以写成如下的无量纲关系tan342014/10/22转动失衡受迫振动幅频和相频特性352014/10/22●前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡⏹不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出转子失衡2014/10/2236平衡机一般来讲，比较长的转子，例如马达的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程度的失衡⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平衡机⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检测不平衡力⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而确定转子的不平衡量并进行修正⏹这是一个二自由度问题：转子的平动和转动是同时发生的372014/10/22●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。
第三章 单自由度系统受迫振动分析
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
2020年8月6日 <<振动力学>>
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
2020年8月6日 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
2020年8月6日 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
单自由度系统受迫振动
s
0 1 2 3
0
结论：响应的振幅很小
0
F0 i (t ) x e Aei (t ) k
C2.14
§2.1.2 稳态响应的特性
(s)
0
0 .1
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
5 4 3 2 1
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
1 0
1 2
0
s
0
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
F0 i (t ) x e Aei (t ) k
C2.19
§2.1.2 稳态响应的特性
( s)
以s为横坐标画出 ( s) 曲线 2 s ( s ) arctan 1 s2 相频特性曲线 （1）当s<<1（ 0） 相位差 0
C2.16
§2.1.2 稳态响应的特性
( s)
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
5 4 3 2
(s)
0
0 .1
max 并不 （5）对于有阻尼系统， 出现在s=1处，而是稍偏左
d 0 ds
max
0.25 0.375 0 .5 1
s 1 2 2
1 2 1 2
180
90
0 0
s
1 2 3
位移与激振力在相位上几乎相同
（2）当s>>1（ 0 ）
π
（3）当
位移与激振力反相
s 1
0
π 共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
F0 i (t ) x e Aei (t ) k C2.20
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k
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
有阻尼单自由度系统
假设系统固有频率： 0 1
外部作用力规律：
F (t) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
0 0 0
Saturday, June 06, 2020 18
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
Q 0
1 1 2
s
0
0
阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄，共振峰越陡峭
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
16
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s) 180
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
tg
1
2s
＋
x0
x 02
x(0)
x B02
0，x(0)
sin t
0
通解：
x1 (t)
x0
cos 0 t
x0
0
sin 0t
x2 (t)
Bs 1 s2
sin 0t
B 1 s2
sin
t
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
1
Bs s
2
sin 0t
1
B s
2
sin t
初始条件响应
自由伴随振动 强迫响应
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
（4）当 s 1 0
0.375
2
0.5
对应于较小 值， (s) 迅速增大 1
1
s
当 0
(s)
0
0
1
2
3
结论：共振 振幅无穷大
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 s=1 附近的区域内，
增加阻尼使振幅明显下降
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
零初始条件
x(t)
x1(t)
x2 (t)
1
Bs s
2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
(1) s < 1 ( 0 ) (T T0 )
稳态受迫振动进行一个循环时间内， 自由伴随振动完成多个循环
(2) s > 1 ( 0 ) (T T0 )
自由伴随振动进行一个循环时间 内，稳态受迫振动完成多个循环
受迫振动响应成为稳态响应曲线 上迭加的一个振荡运动
Saturday, June 06, 2020 3
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动
F (t )
F (t )
x
弹簧－质量系统
设 F (t) F0eit F0 外力幅值
外力的激励频率
m
0
k
c
m mx
kx cx
实部和虚部分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应
• 稳态响应的特性
以s为横坐标画出 (s) 曲线
(s)
5
0
(s)
1
0.1
4
(1 s2 )2 (2s)2
3
0.25
幅频特性曲线
0.375
2
0.5
简谐激励作用下稳态响应特性： 1
1
s
（1）当s<<1（ 0）
0
0
1
2
3
激振频率相对于系统固有频率很低
1
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
Saturday, June 06, 2020 26
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
mx kx F0 sint
x(0) x0
x(0) x0
x(t)
x1 (t )
பைடு நூலகம்
x2 (t)
x0
cos0t
x0
0
sin 0t
Bs 1 s2
sin 0t
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
13
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（5）对于有阻尼系统， max并不 出现在s=1处，而且稍偏左
d 0
ds
max 2
s
1
1 2
1 2 2
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著
结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
Saturday, June 06, 2020 12
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
0
0
0
1
2
3
结论：响应的振幅 很小
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
11
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
（3）在以上两个领域 s>>1，s<<1
(s)
5
受力分析
振动微分方程： mx cx kx F0eit
Sxatu为rda复y, Ju数ne 变06, 量202，0 分别与 F0 cost 和 F0 sin t 相对应 4 <<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 简谐力激励的强迫振动
振动微分方程： mx cx kx F0eit
显含时间 t 非齐次微分方程
回顾：
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
20
单自由度系统受迫振动 / 受迫振动的过渡阶段
• 受迫振动的过渡阶段
单自由度系统受迫振动
单自由度系统受迫振动
教学内容
• 线性系统的受迫振动 • 工程中的受迫振动问题 • 任意周期激励的响应 • 非周期激励的响应
Saturday, June 06, 2020 2
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
1 s2
90
相频特性曲线
（1）当s<<1（ 0）
s
0
0
1
2
3
相位差 0 位移与激振力在相位上几乎相同
（2）当s>>1（ 0 ）
位移与激振力反相
（3）当 s 1
0
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
Saturday, June 06, 2020 <<振动力学>>
x
F0
ei(t )
Aei(t ) 17
mx cx kx F0eit
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
A F0
1
k (1 s2 )2 (2s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(
s)
tg
1
2s
1 s2
结论：
（1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率 、而相位滞后激振力的简谐振动
（2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质 （m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动 的方式（即初始条件）无关
Saturday, June 06, 2020 8
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动
• 线性系统的受迫振动
• 简谐力激励的强迫振动 • 稳态响应的特性 • 受迫振动的过渡阶段 • 简谐惯性力激励的受迫振动 • 机械阻抗与导纳
Saturday, June 06, 2020 9
<<振动力学>>
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
(s)
5
0
0.1
4
3
0.25
0.375
2
0.5
1
1
s
0
0
1
2
3
x F0 ei(t ) Aei(t )
k
14
单自由度系统受迫振动 / 稳态响应的特性
• 稳态响应特性
(s)
1
(1 s2 )2 (2s)2
(s)
5
0
0.1
4