1单自由度系统振动总结与习题解析
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
单自由度系统的振动
Gl l 3 d st = 48 EI
式中，I为粱的截面惯性矩，据图可算出I＝406cm4。由此式可静变 形为δst＝0.755cm 梁的刚度为： 固有频率为：
G1 k= d st
G1 / d st k g 980 wn = = = = = 36rad / s m G1 / g d st 0.755
（ 1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力
解：
振动频率 0
gk 19.6rad / s W
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置 则 t=0 时，有：x0 0 振动解：
v
k
0 v x
静平衡位置
v
0
sin(0t ) 1.28 sin(19.6t ) (cm)
0.15
机器转速 n＝2400r/min
求：（ 1）机器振幅，（2）主动隔振系数（3）传到地基上的力幅
解：
频率比：
2n 1 3.2 0 60 2f n
B
弹性支承的刚度：
2 k m0 880 (2 12.5) 2 5.43 106 N
机器振动的振幅 ：
5 5
W
2.21 105 ( N )
由于
kA k v v km
动张力几乎是静张力的一半
0 为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
例：圆盘转动，圆盘转动惯量 I
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生
单位转角所需的力矩
( N m / rad )
k
I
由材料力学，等直圆轴的扭转刚度为
加特别声明时，弹簧质量系统是广义的
kx 0 m x
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
第一章(单自由度系统的振动)
单自由度系统的振动方程
c
k
m
s k
c
o
u
m
u
f (t)
mu(t) k[u(t) s ] cu(t) mg f (t)
k (u s ) cu
m
mg
f (t)
mg k s
mu(t) cu(t) k u(t) f (t)（单自由度系统振动方程的一般形式）
结论：只要以系统静平衡位置为坐标原点，那么在列写系统运动方程 时就可以不考虑系统重力的作用。
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1 k3
k2
√
k4
问题2
k1
k2
k3
m
k4
k1
k3
k2
╳
k4 k1
k3
k2
m
k4
问题3
无质量弹性杆
刚性杆
k
m
等效
k
m
F
k F /
第一章：单自由度系统的振动
第二讲：
无阻尼单自由度系统的自由振动
•正确理解固有频率的概念 •会求单自由度无阻尼系统的固有频率
无阻尼单自由度系统的自由振动
4
o 势能：V mg(R r)(1 cos ) 1 mg(R r) 2
2
R
m 简谐运动： max sin(nt )
B
rC
Tmax
3m 4
(
R
r
)2
(n
max
)
2
A
D
mg
Vmax
1 2
mg
(
R
r
)m2 ax
Tmax Vmax
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
振动习题答案
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
第1章 单自由度系统的振动
第1章 单自由度系统的振动1.1概述机械振动是工程中常见的物理现象。
悬挂在弹簧上的物体在外界干扰下所作的往复运动就是最简单直观的机械振动。
广泛地说，各种机器设备及其零部件和基础，都可以看成是不同程度的弹性系统。
例如桥梁在车辆通过时引起的振动，汽轮机、发电机由于转子不平衡引起的振动等。
因此，机械振动就是在一定的条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复性的机械运动。
实际中的振动系统是很复杂的。
为了便于分析研究和运用数学工具进行计算，需要在满足工程要求的条件下，把实际的振动系统简化为力学模型。
例如图示1.1-1就是个最简单的单自由度质量(m )—弹簧(k )系统。
如果实际系统很复杂，要求的精度较高，简化的力学模型也就复杂。
振动系统中和参数的动态特性，可以用常系数线性微分方程来描述的，称为线性振动。
但工程实际中也有很多振动系统是不能线性化的，如果勉强线性化，就会使系统的性质改变，所得的系统只能按非线性振动系统处理。
机械振动分析方法很多。
对于简单的振动系统，可以直接求解其微分方程的通解。
由于计算机进行数值计算非常方便，所以振动仿真是一种最直接的方法。
由于振动模型中尤其是多自由度振动很方便用矩阵微分方程来描述，所以MATLAB 语言在振动仿真中体现出十分优越的特性。
本章先介绍机械振动的单自由度、多自由度振动的基础，然后介绍仿真计算的各种计算公式，最后通过MATLAB 语言来实现。
1.2单自由度系统的振动1.2.1 无阻尼自由振动如图1.1-1所示的单自由度振动系统可以用如下微分方程描述：0=+kx xm (1.2.1-1) 令mkn =2ω ，方程的通解为t b t a x n n ωωcos sin += (1.2.1-2)式(1.2.1-2)表示了图示(1.1-1)中质量m 的位置随时间而变化的函数关系，反映了振动的形式与特点，称为振动函数。
式(1.2.1-2)中，a 、b 为积分常数，它决定于振动的初始条件。
结构动力学习题解答(一二章)
第一章 单自由度系统1。
1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。
单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。
1、 牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。
解题步骤：(1） 对系统进行受力分析，得到系统所受的合力；（2） 利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率.2、 动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤：（1) 对系统进行受力分析和动量距分析；（2) 利用动量距定理J ∑=M θ，得到系统的运动微分方程；（3） 求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法：适用范围:所有的单自由度系统的振动.解题步骤:（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T —U ； （2)由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程； （3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。
解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零，即0)(=+dtU T d ,进一步得到系统的运动微分方程；(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤.用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法和共振法。
方法一：衰减曲线法.求解步骤：(1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A .（2)由对数衰减率定义 )ln(1+=i iA A δ， 进一步推导有 212ζπζδ-=，因为ζ较小， 所以有πδζ2=。
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粘 性 阻 尼 自 由 振 动
Cx Kx 0 M x
x e ( x0 cos nd nx0 x 0 sin nd t )
nt
n
n
C ， Cc 称为临界阻尼系数，对数衰 Cc
nd
减率表征阻尼对系统的能量耗散快慢程度
Ln
xm Ae nt m e nTd xm1 Aentm Td
并联弹簧：
Ke K1 K2
串联弹簧：
Ke
K1 K 2 K1 K 2
1 V真实＝V等效＝ K e x 2 K e 2
2、求如图所示系统的自由振动的频率
2 解：k e = = k； 1 1 3 2k k
1
ke 2K wn = = me 3M
3、求等效刚度Ke
解:等效系统简图: Mk=w 由图可求:k 1 1 (a+b)=w.b 1 =
1 机械振动的分类
自由度
单自由度 多自由度
阻尼 无阻尼
外激力 自由
响应 简谐
粘性阻尼 流体阻尼 摩擦阻尼
强迫 自激 参数
周期 瞬态 随机
连续体
振 动 类 型 无 阻 尼 自 由 振 动
力学模型
振动方程及响应
典型响应曲线
主要特性
Kx 0 M x x x x0 cos n t 0 sin n t
sin nt
xst sin n t sin t 2 2 n 1 1 n n
1 (
1
2 ) n
n ，共振
接近 n ，拍振
n C 2n ， nd n 1 ，阻尼比 M n
n
K g M
2、等效法
2 M e 动能：T真实＝T等效＝ M e x
2 势能：V真实＝V等效＝ K e x K e
1 2
1 2
n
Ke Me
3、能量法
Tmax
Vmax
1 KA2 2
1 M n 2 A 2
Vmax Tmax n
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、等效刚度计算方法
A sin(t )
第一项为自由振动项， 完全由初始条件 决定； 第二项称为伴随自由振动项， 它 由干扰力引起， 但其振动频率为有阻尼 自由振动频率， 这两项均为自由振动部 分；第三项是干扰力引起的纯强迫振 动， 是频率与干扰力频率相同的简谐振 动。
1 (1 ) (2 ) 2
简 谐 激 力 下 的 粘 性 阻 尼 系 统 强 迫 振 动
Cx Kx P0 sin(t ) M x
x(t ) e nt ( x0 cos nd t 0 nx0 x
nd
sin nd t )
ent A[sin( ) cos nd t
②
1 Mr 2 是滑轮的惯性矩。 2
在静平衡位置， mgr kr 20 ，因此②变为：
1 r (mg mx ) kr 2 mgr Mr 2 2
代替 ，运动方程变为： x 用 r 代替 x ， r
1 kr 2 0 ( Mr 2 mr 2 ) 2
2 2
任 意 激 力 下 系 统 强 迫 振 动
x0 cos nd t t nt x(t ) e x 0 nx0 sin tt nd nd
1 M nd
当力的作用时间 t1
T ，最大动力响应发生在 2
t
P( )e
o
t
n ( t )
n 系统振动的固有频率。 n 2f =
g
＝
K = M
Ke Me
稳态强迫振动的振幅 A 和静态力作用下的位移的 无 阻 尼 强 迫 振 动
Kx P0 sin t M x
x x0 cos nt xst xo
.
关系： A xmax xst 动力放大系数
n
1.阻尼强迫振动的振幅与初始条件无关，并 且不随时间 t 而变。 2.阻尼强迫振动的频率与干扰力的频率相 同，与阻尼无关。 3.与无阻尼强迫振动情况一样，有阻尼强迫 振动的振幅比系统在静力 P0 作用下引起的静位 移 x st 大 倍（ 称为动力放大系数） 。
cos( ) n sin( ) sin nd t ] nd
转动问题： 1）列力的动平衡方程 2）列矩的动平衡方程 3）得运动方程 4）定义求固有频率
所以，固有频率 n
k M /2m
5下图表示一质量 m系在弦上并具有张力 T。假定小变形，振动时张力不 变，求弦在铅锤方向振动的固有频率。
解： 张力为常数，小变形，故复原力为： T [ x / a x /( L a)] 应用牛顿第二定律，得运动方程： T [ x / a x /( L a)] 0 ，即 mx TL /[a( L a)]x 0 mx
k e 3 w ；
k1 k 2 (a b) 2 ke 2 a k1 b 2 k 2
4、求下图所示弹簧-质量-滑轮系统的固有频率。
① 解：用牛顿定律，对质量 m： mg T mx
Tr kr 2 ( ) 对滑轮 M： J0 0
式中， J 0
sin nd (t )d
T 处，反之由在力的作用结束之后出现。 2
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 一、求振动方程
单自由度系统固有特性（固有频率、等效刚度）求解知识点： 二、固有频率求法 1、静伸长法
w b k1 a b a w k 2 2 (a+b)=w.a 2 = K2 a b b .( 1 2 ) 3 = 2 + ab w.a b b a + ( ) 3 = 2 k 2 ( a b) ( a b ) k1 1 kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
w(a 2 k1 b 2 k 2 ) 3 = k1k 2 (a b) 2