第四讲单自由度系统的受迫振动
17-4 单自由度系统的无阻尼受迫振动
单自由度系统的无阻尼受迫振动工程中的自由振动由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止 实际上又存在大量不衰减的持续振动，由于外界有能量输入补 充阻尼的消耗，例如外加激振力。
在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。
k m 交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统； 弹性梁上的电动机由于转子偏心在转动时引起的振动。
)sin(ϕω+=t H F 简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力： H ：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位简谐激振力 F 在坐标轴上投影为： )sin(ϕω+=t H F)sin(22ϕω++−=t H kx dt x d m m k n =2ωm H h =kxF k −=1.振动微分方程 m k F F k m x O x图示振动系统，物块质量m 。
取平衡位置为原点，向下为正.)sin(222ϕωω+=+t h x dtx d n 恢复力F k 在坐标轴上投影： 两端除以m ，并设： 物块受恢复力F k 和激振力F 。
质点运动微分方程为：则得： 该式为 无阻尼受迫振动微分方程的标准形式)sin(222ϕωω+=+t h dtx d n 二阶常系数非齐次线性微分方程21x x x +=)sin(1θω+=t A x n )sin(2ϕω+=t b x 解由两部分组成： 齐次方程的通解为: 将x 2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：)sin()sin()sin(22ϕωϕωωϕωω+=+++−t h t b t b n 22ωω−=n h b )sin()sin(22ϕωωωθω+−++=t h t A x n n b 为待定常数设特解为： 得无阻尼受迫振动微分方程的全解：解得：表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的：第一部分是频率为固有频率的自由振动；第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。
实际振动系统存在阻尼，自由振动部分会很快衰减掉，我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态振动。
振动理论04(3)-单自由度系统受迫振动
振动理论(4-3)第四章单自由度的受迫振动陈永强北京大学力学系振动的隔离原理●机械或者其他原因产生的振动常常是不可避免的，但是通过适当的措施可以把影响降低到最小●隔振系统的作用是保护特定对象免受传过来的过大振动(被动隔振)，或者防止过大的振动力传递到周围环境（主动隔振）●这两个方面本质上是相同的，都是试图降低传递的振动力振动的隔离原理00000/()st x x kx x P k P TR ======弹簧力传递力传递比外力外力k通过弹簧传给下层结构的力012345-1－2-3-41A BCω/ωn振动的隔离原理：无阻尼012345-1－2-3-41A BCω/ωn传递比大于1如果无阻尼情况下2振动的隔离原理: 阻尼考虑阻尼的影响，传递的力包括两部分：弹簧力和阻尼力，分别与位移和速度同相而具有的相位差传递比振动的隔离原理: 阻尼ω/ωn10201230.250.50.5c /c c =0●区域中，阻尼使可传性减小(但仍然比1大)●,传递比小于1，阻尼的存在使可传性更差2●阻尼的存在可以有效防止共振●阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补在不改变传动比的情况下如何降低隔离质量的振幅可以把附放在一个大的质量上, 同时增加弹簧的刚度，保持不变。
由方程可以看到，由于的增大，将降低632014/10/22例题●一机器质量为，支承在总刚度为的弹簧上。
机器上的非平衡旋转部件在转速为3000 rpm时导致的扰动力. 假定阻尼比为, 试确定(a) 非平衡导致的运动振幅；(b) 传递比；(c) 传递的力●解：系统的静挠度为19811411−3m141mm其固有频率为=1332Hz系统的振幅为m=0.0379mm642014/10/22●传递比●传递的力=扰动力传递比N652014/10/22复频率响应●继续讨论系统激励(输入)与响应(输出)关系和描述●振动微分方程可以看成是矢量平衡投影⏹竖直轴投影⏹水平轴投影●把谐振激励表示为●位移记为cωx0mω2x0x0ϕωP0kx0●把复位移向量带入微分方程●可以求得●定义复频率响应(输出与输入的比值)容易看出，依赖于频率比和阻尼因子。
振动理论讲义第4章 单自由度系统受迫振动
图 4.1 电磁式振动台
当励磁线圈通以直流电流时，导磁体就形成恒定磁场。当在这种磁场中的振动线圈
有交流电通过时，便受到交变电磁力的作用，使支承在平板弹簧上的导杆以及与导杆联
在一起的台面等在磁场中振动。
由于振荡器供给的交流电是正弦波，产生的电磁力也是简谐力，可用
表示。其频率 和幅值 都可以调节，从而使台面能以不同的频率和振幅作上下振动。
将振动线圈、导杆、台面等简化为集中质量 ，平板弹簧为具有刚度 的弹性元件，
并考虑各部分的阻尼作用，用 表示相应的阻尼系数，振动台可以简化成图 4.1b 所示的
单自由度有阻尼的质量弹簧体系，受
的简谐激励。
4.2 无阻尼受迫振动
进一步分析(4.5)式表示的含义。显然， 是一个具有振幅为
的正弦
波，该振幅取决于频率比 。
图 4.2 常幅 变 频力作用于质量 上的系统绝对运动 共振图
当
时，纵坐标（即振幅）是负值，如何理解负振幅的意义？考虑到
上式表明，“负振幅”相当于与原波相位差为 180 度。在物理上，它表示，当
，
力和运动同相，质量在平衡位置下面而力又向下推质量；而当
以表示为
⁄
假定 和 比较接近，例如
/
,则
⁄
/
⁄
/
在 很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此
⁄
/
/
这是拍的方程。当激振频率和固有频率相等，即
/
，有
即为振幅随时间发散的振动方程。当然，在共振情况下的振幅发展到无穷大是需要一定 时间的。
4-4
4.3 外力的振幅取决于频率的情况
前面讨论的问题中，外力的振幅 是独立于其频率 的。工程中常见的还有振幅 取
振动力学4单自由度受迫
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
•
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
X=
X 0ω0
2
2
(ω0 − ω 2 ) 2 + (2ζω 0ω ) 2
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
2 0 0
(ω0 − ω ) + (2ζω 0ω )
2 2 2
2
=
0
(1 − s ) + (2ζs ) 2
2 2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s—线性阻尼系统简谐激振
• 结论 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同
于激振频率）线性系统对简谐激励的稳态响应是 频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐 振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物 理性质（m, , k, , c）和激振力的频率及力幅，而 与系统进入运动的方式（即初始条件）无关
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
例：
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
单自由度受迫振动
单自由度受迫振动一、运动方程的建立在简谐荷载t P θsin )t (P =作用在质点m 上，其作用线与运动方向一致。
此时的运动方程为：t mP t y t y θωsin )()(2=+∙∙ 经积分可求得运动方程的解。
由初始条件t=0时，0,0v y 可得到方程为t m p t m P t v t y t y θθωωωθθωωωωsin )(sin )(sin cos )(222200-+∙--+= 1.1 当θ=0时或P=0时，体系为自由振动，图像如下图： 考虑阻尼的情况下不考虑阻尼的情况下当P不为0，且θ不为零的情况下，体系发生受迫振动。
二、无阻尼振动单自由度体系受迫振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
如下图，结构在受迫振动的同时会有初位移，初速度引起的自由振动，以及动荷载激起的按结构自振频率振动的分量，即伴随自由振动。
三、有阻尼受迫振动由于有阻尼的作用，自由振动会很快的衰减掉。
在振动计算过程中，通常不考虑自由振动部分尚未完全衰减掉的过渡阶段，而只计算在这以后体系按干扰力的频率θ进行的受迫振动。
这时的振幅和频率是恒定的。
成为稳态强迫振动。
如图：3.1 振幅22-11A ωβm P ∙=，ωθβ= 由公式可见，强迫振动的振幅除与干扰力这幅P 有关外，还与ωθβ=有关。
3.1.1 ωθ<< 此时0≈=ωθβ，得st y ≈≈A 1，μ，可知与自振频率相比，频率很低的干扰力所产生的动力作用并不明显，可当静荷载处理，可认为结构为刚体或荷载并不随时间变化，不存在振动问题。
图像如下图所示3.1.2ωθ>> 此时ωθβ=是一个很大的数，st y <<<<A 1，μ。
表明当干扰力平率远大于自振频率时，动位移将远小于扰力幅值P 所产生的静位移，质体将接近静止状态，如下图：θ→3.1.3ωθ→时，放大系数和动位移的振幅A理论上将趋于无限，而实际上由于阻当ω尼的存在，振幅不会趋于无穷，但仍会远大于静位移y。
《振动力学》4单自由度系统受迫振动(b)
另一种分析方法
基础位移假定为正弦: x 取绝对位移 动力学方程 ：
x f = De iωt m&& x 受力图
m
m k c
k(x − x f )
& & c( x − x f )
xf
& & m&& + c( x − x f ) + k ( x − x f ) = 0 x & m&& + cx + kx = cx f + kx f = kD sin ωt + cDω cos ωt x &
隔振后系统响应：
隔振前
m
F0e
iωt
隔振后
m c
F0 e iωt
F0 i (ωt −θ1 ) x= βe k
F A= 0 β k
隔振材料：k，c
k
β=
1 (1 − s 2 ) 2 + (2ζs ) 2
2ζs θ1 = tg 1− s2
−1
10
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 振动的隔离
• 惯性式测振仪 • 振动的隔离 • 转子的临界转速
16
单自由度系统受迫振动 / 工程中的受迫振动问题 / 转子的临界转速
• 转子的临界转速
气轮机、发电机等高速旋转机械在开机或停机过程中经过某一 转速附近时，支撑系统经常会发生剧烈振动
ω
临界转速 在数值上很接近转子横向振动的固有频率 以单盘转子为例 转轴质量不计 圆盘质量 m 圆盘质心 C 固定在转轴中部 形心 O1 偏心距 CO1＝e
隔振材料：k，c
k
= F0
1 + (2ζs ) 2 e i[ωt −(θ1 −θ 2 )] (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζs ) 2
振动理论04(1)-单自由度系统受迫振动
振动理论(4-1)第四章单自由度系统受迫振动陈永强北京大学力学系减速带speed bump2014/10/172橡胶减速带32014/10/1742014/10/17无阻尼受迫振动●图示电磁式振动台，励磁线圈通直流电形成恒定磁场；振动线圈通交流电时，导杆和台面在磁场中振动●激振力由正弦交流电引起的电磁力提供，是简谐力受迫振动（强迫振动）：系统由外界持续激振引起振动；从外界不断获得能量补偿阻尼所消耗的能量，维持系统的等幅振动响应：外界激振引起的系统振动状态（位移形式，速度形式，加速度形式）外界激振：持续的激振力（包括系统的不平衡离心惯性力）；持续的支承作用单自由度系统振动微分方程不考虑阻尼的作用是这个方程的解，代入上式，有或重写为所以记(静变形)定义振幅放大因子82014/10/17●全微分方程的一般解是齐次方程的通解和全方程的特殊解之和●简谐力作用下，受迫振动是简谐振动，频率与激振作用的频率相同●受迫振动的振幅与相位差与初始条件无关；初始条件只影响瞬态振动自由振动受迫振动瞬态振动稳态振动012345-1-2-3-41A B C 负振幅？:频率低，静变形:频率极高，振幅小:受迫频率＝固有频率：力永远在正确时间正确的方向上推动质量●如果在施加外来激励的时候，外来激励的圆频率与系统的固有频率相同（而不是在求解后分析二者相同的情况），此时如何求解？●实际上相当于求解如下方程：即该微分方程的解为：12cos sin cos 2n n n np y c t c t t tωωωω=+123456-6-4-2246第三项的时间曲线（前20周期）包括前两项自由振动影响的前20周期曲线123456-6-4-2246在1-2个周期内，也能引起较大的振动●无阻尼受迫振动的通解●在零初始条件下●假定和比较接近，例如,则在很小的情况下，括号中的第二项可以忽略，因此 这是拍的方程，利用这一特性，拍的原理可以用于校正乐器，测量声的频率等等。
振动理论04(2)-单自由度系统受迫振动
振动理论(4-2)第四章单自由度受迫振动陈永强北京大学力学系●谐变化的力在谐位移上的功是●运动较慢时，＝, 外力主要用于克服弹簧力，一周中所作功为零●运动较快时，, 外力分量克服阻尼力，一部分功转变为热能●共振时，，外力平衡阻尼力，功全部消耗于阻尼⏹阻尼振幅⏹阻尼消耗的功=外力功⏹⏹共振●这是相位差为的频率下的振幅，接近于最大振幅的频率能量法求解共振振幅每周的能量振幅外力阻尼力0A B C共振时的放大因子共振另一方面，有阻尼振动的对数衰减率近似为 共振时的放大因子用对数衰减率表示为瞬态振动和稳态振动瞬态振动稳态振动特解例题汽车重千克，装在四只弹簧上，在车身重量作用下弹簧下压厘米，四只缓冲器，每只在1厘米/秒的速度时具有阻尼系数千克。
把车子和四只车轮一起安装在一个试验台上，实验台以共振速率上下运动，振幅为厘米。
假定中心时在轴距中心处，试求车身在弹簧上的振幅。
解：rad具有振幅的弹簧顶部的运动相当于在质量上具有振幅的力kgcm●假定弹簧质量体系，由旋转机械的不平衡运动激励，只能竖向运动●不平衡部分用一个离心质量表示，离心距为，角速度为●表示非旋转部分的位移(以静平衡位置为参考)，的运动可以表示为考虑阻尼影响的转动失衡2014/10/2232运动平衡方程sinsin这个方程与具有振幅的弹簧顶部运动导致的振动方程是一样的,令, 可直接得到振动的振幅tan332014/10/22进一步，可以写成如下的无量纲关系tan342014/10/22转动失衡受迫振动幅频和相频特性352014/10/22●前面的例子是旋转不平衡发生在单一平面内，现在讨论在几个平面内的平衡情况●静不平衡⏹不平衡质量都在同一平面内，合力是一个单一的径向力⏹这种不平衡可以用静态试验测出来，即把轮-轴架在轨道上，使其停留在某个位置：重心在轴的下方⏹不用转动轮子就可以测得不平衡位置●动不平衡⏹不平衡出现在多个平面内⏹合力是一个集中力和一个摇摆力矩⏹通过旋转转子才能测出转子失衡2014/10/2236平衡机一般来讲，比较长的转子，例如马达的电枢或者汽车的发动机的机轴，汽车的轮毂和轮胎，都可以认为是一系列薄盘组成，每个薄盘都带有不同程度的失衡⏹用于检测并修正转子失衡的机器叫平衡机⏹平衡机包含弹性支承用于通过运动检测不平衡力⏹测得支承振动幅度和相对相位，进而确定转子的不平衡量并进行修正⏹这是一个二自由度问题：转子的平动和转动是同时发生的372014/10/22●在设计机械具体实施上述原理的检测过程的时候，会采用各种振动传感器、光电传感器，测量其振动情况和转速同步信号，确定失衡重点的位置，然后根据需要对转子进行加重法和去重法的对转子进行平衡加工⏹加重法：在不平衡相反方向配上校正重块。
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r 0
可以看出：稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均
与初始条件无关，仅仅取决于系统和激励的特性。
系统的唯一稳态响应为：
x2
k m
F0
2
2 c
c sin t arctan 2 k m
x2 t 忽略阻尼时（c=0)：
f0
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
x x1 (t ) x2 (t )
x1(t)——有阻尼自由振动运动微 0 2
x2(t)——有阻尼系统简谐激励响应中的特解是指 不随时间衰减的稳态响应：
x2 t Bsin t
2、r >>1的区域(高频区或惯性控制区)，β 0， π ，响应与 激励反相；阻尼影响也不大。 3、r ＝1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 r＝1略为偏左 处有峰值。通常将r＝1，即 ＝0称为共振频率。阻尼影响显 著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上， 无论阻尼大小， r＝1时，总有， θ ＝ /2 ,这也是共振的重要
现象。
2.2.3 旋转失衡引起的强迫振动
例 质量为M的电机安装在弹性基础上。 由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e， 偏心质量为m。转子以匀角速ω转动如图 示，试求电机的运动。弹性基础的作用相 当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时 受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。
例题
解：取电机的平衡位置为坐标原点O，
周期函数，也可以是非周期函数。 简谐激励是最简单的激励。
2.2.1
振动微分方程
F F0 sin t
例： 简谐激振力 F F0 sin t ，F0为激 振力的幅值， ω为激振力的圆频率。 以平衡位置O为坐标原点，x轴铅直 向下为正，物块运动微分方程为 ：
m
k
cx kx F0 sin t m x
k ( x y) c( x y ) m x
cx kx cy ky mx
利用复指数法求解，用 并设方程的解为
ae
jt
代换 y a sin t
jt
j t
x(t ) B e
2
代入方程得：
k m jcBe
2.2 简谐激励作用下的受迫振动
2.2.1 振动微分方程
2.2.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论 2.1.3 旋转失衡引起的强迫振动 2.1.4 支撑运动引起的强迫振动
2.2
简谐激励作用下的受迫振动
受迫振动
－系统在外界激励下产生的振动。
k
m
激励形式
f0 sin t
－外界激励一般为时间的函数，可以是
2r arctan arctan 2 2 2 2 1 r 2 4 2 r 2 k k m c
2
m c
放大系数
例题
B 1 (2r ) 2 b (1 r 2 ) 2 (2r ) 2
2r 3 arctan 1 r 2 4 2 r 2
n
0
c 2m 0
F0 B0 2 0 k
f0
等效于F0静止作用在 弹簧上产生的静变形
令：振幅放大因子 ＝ B
1
B0
2n 2r arctan 2 arctan 0 2 1 r 2
1 r 2r
2 2
2
－r 相频响应曲线
－r 幅频响应曲线
2nx x f 0 sin t x
2 0
2 0
c
F0 k c ,2n , f 0 m m m
具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶 常系数线性非齐次常微分方程。
简谐激励的响应－全解
有阻尼系统在简谐激励力作用下的运动微分方程
(0) x 0 2nx x f 0 sin t t 0时，x(0) x0和x x
x轴铅直向下为正。作用在电机上的力
有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚 加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。
例题
根据达朗贝尔原理，有
Mg k ( x st ) M me 2 sin t 0 cx x
cx kx me 2 sin t M x
me M
幅频 特性 曲线 和相 频特 性曲 线
2.2.4 支撑运动引起的强迫振动
例：在图示的系统中，物块受粘性
例题
欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物
块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。 设物块和支撑只沿铅直方向运动，
且支撑的运动为
y(t ) a sin t ,
试求物块的运动规律。
解：建立物块的运动微分方程：
m 2nx x x e 2 sin(t π) M
2 0
k c m e 2 = f0 ， 2n , M M M
2 0
(1)
题 ) 电机作受迫振动的运动方程为 x B sin(t 例
将（1）代入P41（2.54）、（2.55）得到：
2 2 m e r r M b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 M ( 1 r ) 4 r ( 1 r ) 4 r 0 4n
2 0
微分方程全解：
非齐次通解
=
齐次通解
＋
非齐次特解
齐次
2 2nx 0 x x0
2 2nx 0 x x f0 sin t
齐次解: x1(t) 特解: x2(t)
非齐次
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解
x x1 (t ) x2 (t )
(0) x 0 其中初始条件：t 0时x(0) x0和x
得到： B
f0
2 (0 2 ) 2 (2n) 2
稳态受迫振动的振幅
2nω 2r 相位差；其中r是 arctan 2 arctan 2 2 激励的频率与系统 0 ω 1 r 的固有频率之比
2 0
2
sin t
F0 k m
2
sin t
c k M sin t 同理，扭转振动微分方程为： J 0
扭转受迫振动的稳态响应为：
2 t
k
J 2 c
M0
2
c sin t arctan 2 k J
受迫振动的构成：
2
稳态振动 完整受迫振动
1 0 -1
瞬态振动
B0
-2
0
2
4
t
6
8
10
这表明：稳态受迫振动是与激励频率相同的谐振动。
特解（稳态响应）的求解：
将 xP (t )＝Bsin t 代入
2.1.1 振动微分方程
2 2nx 0 x x f0 sin t
2.2.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论
对振幅和相位进行无纲量化处理：
B F0
2
ψ
B0
k m
F0
2 2
c
2
2 n k (1 2 ) 2 0 0 0
2
2
1 r 2r
2 2
2
r , 0
－r 幅频响应曲线
r 相频响应曲线 2.1.2－ 受迫振动的振幅 B、相位差
ψ 的讨论
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ， 为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
幅频特性与相频特性
1、r ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ，β 1 θ＝0，响
应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
ak jc e jt
B j k jc e 2 a k m jc
Ba
k m c
2 2
k 2 c
2 2
1 (2r ) 2 a (1 r 2 ) 2 (2r ) 2
3
其中： r 0
c 0 2m0 n
B
m e 2
f0
2n 2r arctan 2 arctan 2 0 1 r 2
B b
me b M
r2 (1 r 2 ) 2 4 2 r 2
例题
当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率ω0
时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。