第2章 单自由度系统的受迫振动题解
振动力学4单自由度受迫
F0
= H (ω ) F0
k − mω + icω = re
2 2 2
iϕ
• 有： r = (k − mω ) + (cω )
x = xe
_ iωt
cω ϕ = arctan k − mω 2
F0 i (ωt −ϕ ) F0 e i (ωt −ϕ ) = e = r (k − mω 2 ) 2 + (cω ) 2
X = X 0ω 0
2 2
(ω 0 − ω 2 ) 2 + ( 2ζω 0ω ) 2
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
tan ϕ =
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 相频特性曲线
• 当频率比s等于1时，相角为 2 。 • 利用相位判断共振：共振相位法。 • 利用振幅判断共振：共振幅值法。
=
X0 (1 − s 2 ) 2 + ( 2ζ s ) 2
2ζω 0ω 2ζs = ω0 2 − ω 2 1 − s 2
2ζs 1− s2
单自由度系统受迫振动—线性阻尼系统简谐激振
• 结论 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同
于激振频率）线性系统对简谐激励的稳态响应是 频率等同于激振频率、而相位滞后激振力的简谐 振动 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物 理性质（m, , k, , c）和激振力的频率及力幅，而 与系统进入运动的方式（即初始条件）无关
H v (ω ) ：速度导纳 H a (ω ) ：加速度导纳
k − mω 2 + icω ：速度阻抗 Z v (ω ) = iω k − mω 2 + icω ：加速度阻抗 Z a (ω ) = − 2
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
2单自由度系统振动2
(2)振动特性的讨论
①受迫振动的运动规律
x Bsint
②受迫振动的频率
1 2
2 2
B0
sint
2
受迫振动的频率与激振力的频率 ③受迫振动的振幅 1）初始条件的影响： 2）激振力幅 的影响
相同
3）激振力频率 及振动系统固有频率
的影响
图2.23 幅频响应曲线
1
2
cos
nt
1
2
nt
sin
1
2
nt
e
1
cos
2
1
2
nt
B 0
式中 B0 P0 ; k
tg 1 1
1
e nt
1
2
2
; cos
1 t
kk m C imC a k m C
2 2 2 2 2 2 2
3
Ba
k2 C22 a 2 2 2 2 km C
2 12 2 2 1 2 2
mC2 2 2 tg 2 2 2 k km C 12 2 1 2 2 B a 1 2 2 2 2
k m
n
【例2-10】如图2.26所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端 处有一质量为 的质点，距 处有一阻尼器，其阻力系数为C, 距 处有一刚度系数为 的弹簧，并作用一简谐激振力 。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求振 动系统的固有频率 ，以及当激振力频率 等于 时质点 的振幅。
1cosnt
h t
1
【2019年整理】机械振动第二章习题
n2 h sin t
研究受迫振动方程特解
2 n
h
2
sin t
l 2 O
m
将ω=1/2ωn代入上式
解得：
h sint
3 4
2 n
2
4F0 /(3 4k sin t)
ml 4 m
4F0 sint
3k l
l
2
k
A
F
例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1， 偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速 度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。
图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性恢 复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。
若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：
Fk kx
Fc
c
c
dx dt
F H sint
可建立质点运动微分方程
m
d2x dt 2
k x
c
dx dt
x
mx kx kesint
s
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
mx kx kesint
物块的受迫振动形式：
x bsint
s
l0
st
x
O
激振力的力幅为
H ke
h
ke
e
x
b
2 n
2
m(
2 n
2)
1(
)2
n
s
b为物块绝对运动的振幅。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
第二章3-单自由度系统强迫振动
积分常数的确定
x x Acosnt ， 代入微分方程：
2 n 2 n
2Bn sin nt cos cosnt sin Acosnt
2 n
从而：
cos 0
2
2 n A cos nt n A B 2n cos nt 2
方程解可以写成：
A x x0 cos nt sin nt cos t cos nt 2 n 1 x0
解的讨论
从上式可以清楚地看到，前两项是由初始条件引起 的自由振动，频率为系统的无阻尼自由振动的固有 频率 n 。
A cos t 2 1
表示系统在简谐激励下的强迫振动，与
激扰力的频率相同，振幅和初始条件无关。
A cos nt 2 1
表示激扰力引起的自由振动。
对扰力引起自由振动的讨论
令初始条件：x 0, x 0 ，微分方程的解简化为： 0 0
A x cos t cos nt 2 1
可见，激扰力不但引起强迫振动，同时还要引起自 由振动，二者都是简谐振动，但频率不相等的两个
齐次解的讨论
当 1 时，由前面的单自由度阻尼自由振 动可得： x1 e t B1 cos d t B2 sin d t
n
，
2 1 n 其中：d
，称为衰减振动的圆频率。
特解的讨论
由于激励为简谐的，根据微分方程的理论， x2 X cos t 上述微分方程有如下形式的特解： x2 X2 cos t x2 X sin t ， 将 x2 X cos t ， 2 2 代入 x 2n x n x n Acos t 可得：
203单自由度体系强迫振动(力学)
ω
FP (τ ) d τ sin ω ( t − τ ) = sin ω ( t − τ ) mω
（3）将时刻 t 之前的每一个瞬时冲量的反应进行叠加 ） 1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) d τ mω
1 t y (t ) = ∫0 FP (τ ) sin ω ( t − τ ) dτ mω
动位移、 ※动位移、动内力幅值计算
计算步骤: 计算步骤: 1. 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力； 2. 计算动力系数； 计算动力系数； 3. 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、 动内力幅值。 动内力幅值。
y (t ) = − F θ F sin ω t + sin θ t 2 2 2 2 m (ω − θ ) ω m (ω − θ )
伴生自由振动
稳态受迫振动
（2）※稳态受迫振动分析 ） 稳态受迫振动分析
y ( t ) = A sin θ t
y (t ) = µy st sin θt
动位移一定比 静位移大吗？ 静位移大吗？
F =µ sin θt 2 mω = µδ 11 F sin θt F =µ sin θt k11
F F y st = = = Fδ 11 2 k11 mω
动力系数 µ 的讨论
重要的特性： 重要的特性：
1 θ µ= , β = 2 ω 1− β
1. 当θ/ω→0时, µ →1，荷载变化 时 ， 如何减小 得很慢，可当作静荷载处理。 得很慢，可当作静荷载处理。 3 振幅？ 振幅？ 2. 当0< θ/ω <1时, µ >1，并且随 时 ， 2 θ/ω的增大而增大。 的增大而增大。 的增大而增大 。 3. 当θ/ω →1时, µ →∞。即当荷载 时 1 θ 频率接近于自振频率时， 频率接近于自振频率时，振幅会 ω 无限增大。称为“共振” 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 称为共振区。 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 称为共振区 4. 当θ/ω >1时, µ 的绝对值随 时 的绝对值随θ/ω 的增大而减小。 很大时， 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。 很大时 荷载变化很快，结构来不及反应。
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习 题2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值12.41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为t mxn x p x n 3cos 36022=++ 得到稳态解)3cos(α-=t B x其中m kB B B 45.03604)1(022220==+-=λζλ222122tg λζλωωα-=-=n p n 由d nT i iA A e 2.41===+η489.3π2797.0ln 8.1ln ======dd dd dT p T n T nT ηη 又22n p p n d -=有579.3222=+=n d n p n p p45.51255.1298.0374.0838.01838.0223.02tg 103.1408.045.0838.0223.04)838.01(45.0223.0579.3797.0838.0579.332222===-⨯⨯===⨯⨯+-=======ααζωλB p n p n n所以 x ＝1.103 cos(3t －51︒27')2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由m kp n =，共振时m kp n ==1ω 所以 mk =6 ①又由 当 86.512=+==m kp n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
解：列出平衡方程可得：222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g gW Qx kx w e wt g g kg Qx x w e wt W Wππ-σ+-=+=++=+所以：2n kgP W Q h w e W==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 ()22222()nstst hB PW w e B W g w =-σ-σ将结果代入得：Q =即为所求的振幅2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动t a x s ωcos =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
题2-4图解：选0s x =时物块平衡位置为坐标原点O ，建立坐标系，如右图， 则 ()()s mx k x x p t +-= 即 ()s mx kx kx p t +=+即 0cos sin mx kx ka wt p wt +=+ （*）0p 改成0F ，下面也都一样 利用复数求解 ， 用 jwt e 代换sinwt 并设方程（*）的特解为()jwt x t Be = 代入方程（*）得02j p jka B Be k mwφ+==- 其中B 为振幅，φ为响应与激励之间的相位差，有22022p ka B B k mw k mw ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=()()()222042022********22242211n n n n p p a p a p k a p mm m p w p λλ+++==---2202211p a kλ=+-。
2002kaka k mw tg p p k mwφ-==- 0ka arctg p φ∴= ()2202201()sin sin arc 1p ka x t B wt a wt tg k p φλ⎛⎫∴=+=++ ⎪-⎝⎭ 其中,n n w kp p mλ==2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力t F ωsin 0，求质量块的振幅。
解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，则有，21x x x += （A ）由图（1）和图（2）的受力分析，得到t P x k x k ωsin 02211+= （B ）22x k xm -= （C ） 题2-5图联立解得，t P k k k x k k k k x m ωsin 02122121+++-=t P mk k k x m k k k k xωsin )()(02122121+=++所以)(2121k k m k k p n =，n = 0，得，2102222222)(11)2()1(1)2()(nnp k P kH n p hB ωςλλωω-=+-=+-=2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB 的质量忽略不计，B 端作用有激振力t F ωsin 0，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m 作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2) ω等于固有频率p n 的一半。
解：图（1）为系统的静平衡位置，以θ为系统的广义坐标，画受力如图（2）t lF l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20+⋅⋅-⋅⋅⋅-= 又 I ＝ml 2 t F mlmk mc ωθθθsin 340=9++∴ 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===mlF h m c n m kp n 023,429题2-6图mgθBF 0sin ωtA X AY AF CF K22222222)2()()2()(ωωωωθθn p hllB B n p hB n n +-==+-=1）系统共振，即 ω=n pkmc F mkm c l ml F np hl B n 494)/3(200=⨯⨯==∴ 2）n p 21=ωmkc kF m k m c m k l ml F np p hl B n n 81641194944273)(432222222+=+⎪⎭⎫⎝⎛⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率p n 、阻尼比ζ及稳态响应振幅。
解：以刚杆转角ϕ为广义坐标，由系统的动量矩定理ϕϕϕ22)(4cl l x l k m l s ---= 即 t lka m k m c ωϕϕϕsin 44=++ 令，m k p n 4=，m c n 42=，n n mp c p n 8==ς，mlkah 4=，n p ωλ=得到2222)2()(ωωϕn p hB n+-=22222222)2()1(2)2()1(242ςλλωωϕ+-=+-⨯==ap p n p p l mlkal B B nn nn题2-7图2-8一机器质量为450kg ，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm 。
机器有一偏心重，产生偏心激振力gF 20254.2ω=N ，其中ω是激励频率，g 是重力加速度。
求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。
解：设系统在平衡位置有位移x ， 则0mx kx F +=，即0F kx x m m+=，又有st mg k δ= 则st mg k δ= （1） 所以机器的振幅为2021F B k λλ=- （2） 且n p ωλ=，40rad s ωπ=（3） 又有2n stk gp m δ==（4） 将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B =0.584 mm 则传入地基的力为514.7T p kB N ==2-9一个粘性阻尼系统在激振力t F t F ωsin )(0=作用下的强迫振动力为⎪⎭⎫⎝⎛+=6πsin )(t B t x ω，已知F 0=19.6N ，B =5 cm ，π20=ωrad/s ，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功W 1及W 2。
解：由已知可得：()t F t F π20sin 0=()()()()Jtt t t t t tt x t F W t t B t x 39.15d π80cos 1π9.4|40π40cos 39.4d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 6ππ20cos π6πcos 110111-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰ωω同理可得：()()Jt t t tt x t F W 0395.0d 6ππ20cos ππ20sin 6.19d 401040102=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅==⎰⎰2-10无阻尼系统受题2-10图示的外力作用，已知0)0()0(==xx ，求系统响应。
周期函数才用频谱分析！解：由图得激振力方程为⎪⎩⎪⎨⎧〉≤≤-〈≤=22111100)(t t t t t P t t P t F当 0 < t < t 1时，1)(P F =τ，则有]cos 1[)(sin )(2101t p mp Pd t p mp P t x n n tn n-=-=⎰ττ 由于mkp n =2，所以有 ]cos 1[)(1t p kP t x n -=当t 1 < t < t 2时，1)(P F -=τ，则有⎰-=11)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ⎰--+t t n nd t p mp P 1)(sin 1ττ)](cos 1[]cos )([cos 1111t t p kPt p t t p k P n n n -----=当 t < t 2时，0)(=τF ，则有⎰-=11)(sin )(t n n d t p mp P t x ττ⎰--+t t n nd t p mp P 1)(sin 1ττ+ 0)](cos )([cos ]cos )([cos 12111t t p t t p kPt p t t p k P n n n n ------=题2-10图2-11如题2-11图的系统，基础有阶跃加速度bu （t ），初始条件为0)0()0(==xx ，求质量m 的相对位移。
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为)()(s s x x k x x c xm ----= 令)(s r x x x -=，则有 )(t mbu kx x c x m r r r -=++得到系统的激振力为，)()(ττmbu F -=，可得响应为)cossin 1()](cos )(sin [)(sin )(22022220)(t p e t p p ne p n b t p e P n p t p e p n n e p b d t p e mp mb t x d nt d d nt dt d n dd d n d nt d td t n dr -------+-=-++-+-=--=⎰τττττττ 其中22n p p n d -=，m k p n =2，mc n =2。