多自由度系统的受迫振动
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4-第4章 多自由度体系的振动分析
T ( , , , ) 可求得其位移幅值向量为 i 1i 2i 3i ni
n个自由度体系——可得到n个线性无关的位移幅值向量：
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
k1n k2n 0 k nn 2 m n
将频率方程展开，可得到关于2 的 n 次代数方程。
从频率方程可解得n 个正实根
ω2 i 开方得到各阶频率：
2 ω ； i
ω (1 2 n )T
CY KY F (t ) MY E
m1 0 质量矩阵 0 m 2 M 0 0 0 0 mn
CY ] Y P [ MY
k11 k12 刚度矩阵 k 21 k 22 K k n1 k n 2 11 12 柔度矩阵 21 22 n1 n 2
第 i 个振型方程：
k11 2 k12 i m1 2 k k 2 21 22 i m2 ( K i M ) i kn2 k n1
1i k1n 2i k2n 0 2 k nn i mn ni
(K 2 M) 0
振型方程：
(K 2M) 0
（ 4-8）
如果方程存在非零解，则系数行列式必为零，即：
K 2 M 0
k11 2 m1 k12 k 21 k 22 2 m 2 k n1 kn2
称为频率方程或特征方程。
（ 4-9）
2
（ 4-13）
求解一元二次方程得：
结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
4.3多自由度有阻尼体系的受迫振动
1.Rayleigh阻尼
C = M K
（4.62）
式中，， 为比例常数，这时，系统的各振型关于阻尼矩阵正交。即
X T CX i X T ( M K ) X i X T MX i X T KX i j j j j
0 2 c j ( j )m j
对于初始条件q(0)和q(0)，可以式（4.60）求得：
X iT Mu (0) X iT Mu (0) qi (0)= , qi (0)= Mi Mi
（4.78）
u Xq X i qi
i 1
n
（4.55）
上述求解方法是将运动方程的解用振型的线性叠加来表示，称振型叠加法。
振型叠加法思路：
c11 c12 c 21 c22 C ci1 ci 2 cn1 cn 2
c1n c2 n cij cin cnn
（4.61）
式中，Cij为j质点单位速度对质点i所产生的阻尼力。
关于阻尼矩阵却不满足正交条件，因此在一般情况下，只能得到关于振 型坐标的一组相互耦联的微分方程。为了便于方程组解耦，使振型关于 阻尼矩阵正交，现介绍以下两种多自由度体系中的阻尼假设。
n 1
C 0 M 1K 2 KM 1K M m ( M 1K )m （4.67）
m 0
式中， 0，1， 2， ， n 1为n个待定常数。利用广义正交性可以证明Caughey阻 尼矩阵满足正交性，即i j时，
X iT CX i X iT M m ( M 1K ) m X i 0
(i j ) (i j )
（4.63）
式中，c为第j阶振型的广义阻尼系数。从上式可以求出第j阶振型的阻尼比 j
3.5多自由度系统的受迫振动
• 系统对简谐力激励的响应
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同
的广义简谐力的激励
系统受迫振动方程：
MX KX
F0eit
X Rn
M，K Rnn
复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应 F0 Rn1
：外部激励的频率
F0 ：广义激励力的幅值列阵
《机械动力学》
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
x1
x2
k1
k2 m1
k2
2
k2
1
k2
m2
2
F0
0
F0
()
k2
m2 2
k2
() ：系统的特征多项式
() K 2M
() (k1 k2 m12 )(k2 m22 ) k22 m1m24 (k1m2 k2m1 k2m2 )2 k1k2
当 k2 时
m2
外部激励频率等于吸
振器的固有频率
F0 sin t
主系统不再振动 x1 0 反共振
此时
(
)
k
2 2
吸振器振幅
x2
F0 k2
m2 k2
m1 k1
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡
x2 x1
2021/4/24
《机械动力学》
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
MX KX F0eit X Rn H [K 2 M ]1
X Xeit
K 2 M X F0
X HF0
因此： X HF0eit
n
H 的物理意义： 沿 i 坐标的投影式： X i Hij F0 j
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同
的广义简谐力的激励
系统受迫振动方程：
MX KX
F0eit
X Rn
M，K Rnn
复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应 F0 Rn1
：外部激励的频率
F0 ：广义激励力的幅值列阵
《机械动力学》
9
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
x1
x2
k1
k2 m1
k2
2
k2
1
k2
m2
2
F0
0
F0
()
k2
m2 2
k2
() ：系统的特征多项式
() K 2M
() (k1 k2 m12 )(k2 m22 ) k22 m1m24 (k1m2 k2m1 k2m2 )2 k1k2
当 k2 时
m2
外部激励频率等于吸
振器的固有频率
F0 sin t
主系统不再振动 x1 0 反共振
此时
(
)
k
2 2
吸振器振幅
x2
F0 k2
m2 k2
m1 k1
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡
x2 x1
2021/4/24
《机械动力学》
10
多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
MX KX F0eit X Rn H [K 2 M ]1
X Xeit
K 2 M X F0
X HF0
因此： X HF0eit
n
H 的物理意义： 沿 i 坐标的投影式： X i Hij F0 j
第4章：多自由度系统的振动
2 2 k m k m 11 11 12 12 0 2 2 k m k m 21 21 22 22
频率方程:
4 2 a b c 0
第4章 多自由度系统的振动
( 4 . 1 . 10 )
2 2 a m m m , c k k k k m k m 2 k m , 1122 12 b 11 22 12 11 22 22 11 12 12
特征根—固有频率:
( b b 4 ac 4 . 1 . 11 )
2 1 a 1 , 2 2 2
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 2 A k m k m 21 11 111 21 1 21 1 2 2 A k m k m 11 12 112 22 1 22
k1x1
c 1 x 1
m 1 x1
k2 (x2 x1)
F1(t)
2 x 1) c 2(x
k
1
x1 (t )
k
c
x 2 (t)
k
c
m
3
1
m
c1
1
m
2
2
3
x2 k2 (x2 x1) m 2
2 x 1) c 2(x
k3 x2
F 2 (t)
(a)
m
2
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
x ( t ) φ q ( t )
( 4 . 1 . 16 )
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： 四个初始条件：
A1 1 A12
频率方程:
4 2 a b c 0
第4章 多自由度系统的振动
( 4 . 1 . 10 )
2 2 a m m m , c k k k k m k m 2 k m , 1122 12 b 11 22 12 11 22 22 11 12 12
特征根—固有频率:
( b b 4 ac 4 . 1 . 11 )
2 1 a 1 , 2 2 2
1—第一阶固有频率： 代入齐次方程组 (4.1.9)，得
2 2 A k m k m 21 11 111 21 1 21 1 2 2 A k m k m 11 12 112 22 1 22
k1x1
c 1 x 1
m 1 x1
k2 (x2 x1)
F1(t)
2 x 1) c 2(x
k
1
x1 (t )
k
c
x 2 (t)
k
c
m
3
1
m
c1
1
m
2
2
3
x2 k2 (x2 x1) m 2
2 x 1) c 2(x
k3 x2
F 2 (t)
(a)
m
2
图4.1.1 两个自由度系统的受迫振动
x ( t ) φ q ( t )
( 4 . 1 . 16 )
—模态矩阵或振型矩阵， q(t)—广义位移矢量 。
第4章 多自由度系统的振动
四个待定常数： 四个初始条件：
A1 1 A12
高等结构动力学 多自由度系统的振动
(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数，取决于初始运动条件。
例
K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当 时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧 为辅助系统，称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2
12.9_多自由度体系在任意动力荷载作用下的强迫振动
各层振幅值为
All Rights Reserved
0.028
Y 0.045 mm
0.23
可见,两种方法计算结果相同。
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20 0
103
m
0.045 0.230
mm
负号表示当荷载向右达到幅值时，位移向左达到幅值。
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解法二:采用振型叠加法求解
(1)求自振频率和振型：
由例12-26，已求出
w1 13.47 s 1 w2 30.1 s1
w3 46.6 s1
0.333 0.664 4.032
Y 0.667 0.663 3.022
1
1
1
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(2)计算广义质量：
由 M i Y (i) T [M ] Y (i) ，可得
0.333
T
270
0
0 0.333
M1
0.667
0
t
1 0 0 180 1
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(3)计算广义荷载：
由 Fi t Y (i) T [FP t] ，可得
0.333 T 0
F1t
0.667
20
sin
t
13.34
sin
t
kN
1 0
0.664
T
0
F2 t
0.663
20
sin
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(5)计算各楼层的位移：
05-3 多自由度系统的受迫振动
(2)固有频率 特征方程：
B [ K ] 2 [M ] 3K 2 m 2K 0 2K 3K 2 m K
2
燕山大学
Yanshan University
0 K K 2 2 m
3
0
展开并整理得：
K 4 K 2 K 6.5 7.5 0 m m m
1 振型矩阵： P 1.4235 2.0523
1 0.8544 0.5399
1.0279 0.1128 1
正则振型矩阵 主质量矩阵：
燕山大学
Yanshan University
1 1 1 1.4235 2.0523 m 0 0 1 T 0 m 0 1.4235 0.8544 1.0279 1 0.8544 0.5399 M P P M P 1 1.0279 0.1128 0 0 2m 2.0523 0.5399 0.1128 0 0 11.4502 m 0 2.3130 0 0 2.0820 0
燕山大学
Yanshan University
F0 x x sin t m
2 n
F0 x 2 m 2 sin t n
系统正则响应方程：
Q 1 1 2 2 sin t n1 Q 2 sin t 2 2 2 n 2 Q n sin t n 2 2 nn
5.3
多自由度系统的受迫振动
燕山大学
Yanshan University
5.3.1 无阻尼系统的受迫振动 无阻尼系统受迫振动运动方程：M K x Q(t ) x 式中:
多自由度系统的受迫振动
则由 ( 2 ) 0
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
1 c c x 1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 k 2 c c x 2 x2 k2 x1 F0 sin t k2 x2 0
主系统振幅并不为零但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比共振振幅明显下降3216模态叠加法17模态叠加法18模态叠加法19模态叠加法20多自由度系统的受迫振动21多自由度系统的受迫振动22多自由度系统的受迫振动23多自由度系统的受迫振动24多自由度系统的受迫振动25多自由度系统的受迫振动26多自由度系统的受迫振动27多自由度系统的受迫振动28多自由度系统的受迫振动29有阻尼的多自由度系统振动30有阻尼的多自由度系统振动31有阻尼的多自由度系统振动32有阻尼的多自由度系统振动33有阻尼的多自由度系统振动34有阻尼的多自由度系统振动35有阻尼的多自由度系统振动36有阻尼的多自由度系统振动37有阻尼的多自由度系统振动38有阻尼的多自由度系统振动39有阻尼的多自由度系统振动40有阻尼的多自由度系统振动41有阻尼的多自由度系统振动42有阻尼的多自由度系统振动43有阻尼的多自由度系统振动44有阻尼的多自由度系统振动45有阻尼的多自由度系统振动461
多自由度系统的受迫振动
•系统对简谐力激励的响应 •动力吸振器 •模态叠加法
•系统对任意激励力的响应
系统对简谐力激励的响应
回顾：
cx kx F0eit x 单自由度系统的受迫振动 m x 为复数变量，分别与F0 cost和 F0 sin t 相对应
x H () F0 H ( ) 复频响应函数 引入： s c 2 1 1 s 2si 0 2 km H ( ) [ ] 2 2 2 k (1 s ) (2s) 1 ( s) 1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2 e i k 2s ( s ) arctan 1 s2
《振动力学》7多自由度系统振动(c)
X ∈ Rn
φ 有非零解的充要条件： K − ω 2 M = 0
若ω =0 必有： K = 0
结论： K 为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条 件时系统的刚度矩阵 K 是半正定的 。 ω =0 Kφ = 0 说明当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此 不产生弹性恢复力 。
3
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
5
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
例：教材P100习题4.14（不考虑阶梯力的作用）
k m m k m k m
T 初始条件： X 0 = [0 0 0 0]
& X 0 = [v 0 0 v]T 求系统响应
&& MX + KX = 0
解： 方法一
动力方程 :
x ⎡m 0 0 0 ⎤ ⎡ &&1 ⎤ ⎡ 1 − 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ 0 m 0 0 ⎥ ⎢ && ⎥ ⎢− 1 2 − 1 0 ⎥ ⎢ x ⎥ x2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ 2 ⎥ = 0 + k⎢ ⎢ 0 0 m 0 ⎥ ⎢ &&3 ⎥ ⎢ 0 − 1 2 − 1⎥ ⎢ x3 ⎥ x ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ x ⎣ 0 0 0 m⎦ ⎣ &&4 ⎦ ⎣ 0 0 − 1 1 ⎦ ⎣ x4 ⎦
sin ω3t
12
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
x1 =
1
ω3
sin ω3t
x2 = −
1
ω3
sin ω3t
x3 = −
1
ω3
sin ω3t
x4 =
1
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动力吸振器
许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动， 为减小这种振动有时可以采用动力吸振器。 有阻尼动力吸振器系统
m1 k1 m1
主系统的质量和弹簧刚度
上作用有简谐激振力
阻尼动力吸振器
m2
质量
k 2 弹簧
c
阻尼
动力吸振器
系统的强迫振动方程：
m1 0 0 1 c c x1 k1 k 2 x c c x k m2 x2 2 2 k 2 x1 F0 sin t x 0 k2 2
反共振
F0 k2
吸振器振幅 x2
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力 平衡
动力吸振器
( 2 ) k1k2 [ s 4 (2 ) s 2 1] 则： 设 1 2 是吸振器和主系统组成的两自由度系统的固有频率
则由 ( 2 ) 0
动力吸振器
动力吸振器
多自由度系统的受迫振动
•系统对简谐力激励的响应 •动力吸振器 •模态叠加法
•系统对任意激励力的响应
系统对简谐力激励的响应
回顾：
x 单自由度系统的受迫振动 m cx kx F0 eit x 为复数变量，分别与F0 cost 和 F0 sin t 相对应
x H ( ) F0 H ( ) 复频响应函数 引入： s c 1 1 s 2 2si 0 2 k m H ( ) [ ] 2 2 2 k (1 s ) (2s) 1 (s) 1 i (1 s 2 ) 2 ( 2s ) 2 e k 2s ( s) arctan 1 s2
H ( ) [ K 2 M ]1
系统对简谐力激励的响应
MX KX F0eit X Rn
X Xeit
( K 2 M ) X F0
H ( ) [ K 2 M ]1
X HF0
因此： X HF0eit n H 的物理意义： 沿i 坐标的投影式： X i H ij F0 j
模态叠加法
模态叠加法
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
多自由度系统的受迫振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
1
( 2 ) 系统的特征多项式 ( 2 ) (k1 k 2 m1 2 )( k 2 m2 2 ) k 22
m1m2 4 (k1m2 k 2 m1 k 2 m2 ) 2 k1k 2
当
k2 m2
时
x1 0
主系统不再振动
2 此时 ( 2 ) k 2
为激励频率
F0 为广义激励力的幅值列阵
F0 [ F01 F02 ...... F0 n ]T
系统对简谐力激励的响应
it 系统受迫振动方程： MX KX F0e
X Rn
稳态解： Xeit X
X R n 振幅列向量 X [ X 1 X 2 ...... X n ]T
先考虑无阻尼动力吸振器 利用直接法
X X sin t x X 1 x2
得到稳态响应振幅:
x1 k1 k 2 m1 x k2 2 F0 k 2 m2 0 k2
1
动力吸振器
x1 k1 k 2 m1 x k2 2 F0 F0 k 2 m2 2 0 ( 2 ) k 2 m2 k2 k2
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
动力吸振器
m1 0 0 1 c c x1 k1 k 2 x c c x k m2 x2 2 2 k 2 x1 F0 sin t x 0 k2 2
2 代入，得：( K M ) X F0
记：H ( ) [ K 2 M ]1 则有：X HF0
多自由度系统的幅频响应矩阵
因此： X HF0eit
简谐激励下，系统稳态响应也为简谐响应，并且振动频率 为外部激励的频率，但是各个自由度上的振幅各不相同。 工程中： ( K 2 M ) 阻抗矩阵 导纳矩阵
j 1
因此H 的物理意义为仅沿j坐标作用频率为ω 的单位幅 度简谐力时，沿i坐标所引起的受迫振动的复振幅。 adj( K 2 M ) 1 2 H ( ) [ K 2 M ]1 K M 由于H含有 K 2M K 2M 0 系统的特征方程 因此，当外部激励频率ω 接近系统的任意一个固有频率时， 都会使受迫振动的振幅无限增大的引起共振。
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
分析： 1 0.32 当 当 0时，系统中无阻尼，两个共振频率点 s 0.976 0.时，系统变为单自由度系统，共振点 当 主系统振幅并不为零，但是和无阻尼 系统的两个共振振幅相比，共振振幅明显下降
模态叠加法
模态叠加法
x1 4m
3k 4k y 1 m k x1 k
y2 m
4k 4k
k
x2 k m 2m k x3 k 2k
x2 2k
2k
图2
图3
有阻尼的多自由度系统振动
有阻尼的多自由度系统振动
习题
1.求系统的固有频率和振型，坐标及正方向 如图1所示，平衡位置为原点。 2. 求固有频率和振型，坐标和正方向如图2 所示，取平衡位置为 x 零点
i
k x1 m k m x3 k m k k x2 k
图1
3. 求系统的固有频率和振型
m1 m2 m
设：x x eit
系统对简谐力激励的响应
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同 的广义简谐力的激励 系统受迫振动方程： X KX F eit X R n M
0
M , K R nn F0 R n
x为复数列阵 实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应