第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动
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多自由度系统振动
= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时 各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态 虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动 形态已确定 主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日 《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：
第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动
将上式代入(5.6-14)，得
sin t m 0.325057
0
F0 1 t 1 t 0.627963 sin sin 1 t d m 1 0
F0 1 0.627963 2 sin t sin 1t 2 2 ω1 m 1 1 1
F q2 t 0 m 2 1 2 1 0.627963 2 1 cos1t 0.325057 2 1 cos 2 t 1 2
F0 k k 1 cos0.796226 t 0.044658 1 cos1.538188 t 0.621945 k m m
r t
1
t
(r 1,2,, n) (5.6-12)
任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即
r
N r sin r t d 0 (r 1,2,, n)
(5.6-13)
自由振动初始条件的响应 多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导 ——振型分析
也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得 T T 0 (5.6-11) 0 u Mq0 , η0 u Mq 由初始条件引起方程(5.6-8)的齐次解为
式中 r 0和 r阶模态在正则坐标中的初始条件。 r为第 0
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
T T
(5.6-5) (5.6-6)
方程(5.6-5)左乘以uT，有
T
t u Kuη t u F t u Muη
t ω η t N t η
(5.6-7) 式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力 向量，即正则激励。
多自由度体系自由振动
KN
振动方程
y2 (t )
y1 (t )
质点在任何时刻要受力平衡
竖向
1 (t ) m y
FEK1
水平方向：
2 (t ) FEK 2 m y
问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的 恢复力
恢复力的求法
B
D
y2 (t )
y1 (t )
竖向
VDB
FEK1
A
C
弹簧反力
y1 (t )
1 (t )11 m2 212 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 22 y2 (t ) m1 y y
y2 (t )
方程中各个系数意义如下：
P=1 L/4 L L/4 L/2 L/2 L/4
P=1
L/4
M1
L/4
A1 A11
与A1的比值，记为
A21
T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2
A22 2 m1 11 A12 m2 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ） y2(t)= A22sin（ω2t + φ） 同样，称 A2 A 12
A22 为第二振型
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
K 1
[计算举例]
，杆长都是L，列振动方程
m EI EI EI1=∞
13 EI 图示结构弹簧的刚度 KN= 3 2L
解：1）2个动力自由度，质点的 水平位移和竖向位移，如图
并求振动频率和振型，作出振型图
y 2 (t )
y1 (t )
振动方程
y2 (t )
y1 (t )
质点在任何时刻要受力平衡
竖向
1 (t ) m y
FEK1
水平方向：
2 (t ) FEK 2 m y
问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的 恢复力
恢复力的求法
B
D
y2 (t )
y1 (t )
竖向
VDB
FEK1
A
C
弹簧反力
y1 (t )
1 (t )11 m2 212 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 22 y2 (t ) m1 y y
y2 (t )
方程中各个系数意义如下：
P=1 L/4 L L/4 L/2 L/2 L/4
P=1
L/4
M1
L/4
A1 A11
与A1的比值，记为
A21
T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2
A22 2 m1 11 A12 m2 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ） y2(t)= A22sin（ω2t + φ） 同样，称 A2 A 12
A22 为第二振型
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
K 1
[计算举例]
，杆长都是L，列振动方程
m EI EI EI1=∞
13 EI 图示结构弹簧的刚度 KN= 3 2L
解：1）2个动力自由度，质点的 水平位移和竖向位移，如图
并求振动频率和振型，作出振型图
y 2 (t )
y1 (t )
《多自由度系统振动》课件
多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为 比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原 理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性 具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
多自由度系统振动
系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
多自由度系统振动的研究
多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。
建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。
2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。
在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。
振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。
3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。
该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。
模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。
4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。
结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。
模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。
5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。
数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。
实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。
总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。
通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。
05-第五章-多自由度系统振动的近似解法
1
X r1 l X r l
l 1,2,, n 向量中的任一元素
每次迭代后，将迭代向量归一化。即向量的最后一个元素为 1 。
迭代步骤：求一阶固有频率和一阶主振型
1、选取初始迭代向量{X}1，使其最后一个元素为 1 。
2、对{X}1作矩阵迭代， Y 1 AX 1 归一化：X 2
Y 1 Y 1 n
3、重复步骤2、，直到第 r 次迭代：Y r AX r 4、若收敛精度允许：X r1 X r
§5.4 矩阵迭代法 （利用位移方程求解）
1、第一阶固有频率和主振型
A A F M K1M Ai ii
设：X 1 为初始迭代向量 （各阶主振型的线性组合）
X 1 a11 a22 ann 第一次迭代：X 2 AX 1 即： X 2 AX 1 a111 a222 annn
1T M X 1 M p1 a1
a1
1 M p1
T 1
M
X
1
一次迭代后： 取：X 2 AX 1 a111
A
1
M p1
1
T 1
M
X
1
X 2 b111 b222 bnnn 有误差，仍含有 1
同样由正交性得到：b1
1 M p1
T 1
迭代后取： X 3 AX 2 b111
M
X 2
EJ ml 3
邓克莱解 精确解 误差为 2.6%
第五章 多自由度系统振动的近似解法
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§5.2 瑞利法 （能量法）
设：主振动 x X sinnt 系统的动能：T 1 xT M x
2
Tm a x
1 2
n2X T
M
X
系统的势能：U 1 xT Kx
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5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
引入正则坐标，作如下的线性变换
q t uη t
(5.6-4)
式中(t)为系统的正则坐标。 因为u是一个常数矩阵,所以 q(t ) 和 η(t ) 之间存在着 同样的变换。把式(5.6-4)代入方程(5.6-1)，得
Muη t Kuη t F t
为了用振型分析去求解方程 (5.6-1)，首先必须求解 特征值问题，即 (5.6-2) Ku Muω2 式中 u为振型矩阵， 2 是固有频率平方的对角矩阵。振 型矩阵可以正则化，使其满足 T T 2 (5.6-3) u Mu I , u Ku ω
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得 T T (5.6-11) 0 u Mq0 , η0 u Mq0 由初始条件引起方程(5.6-8)的齐次解为
式中 r 0和 r阶模态在正则坐标中的初始条件。 r为第 0
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）
r t
1
t
(r 1,2,, n) (5.6-12)
任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即
r
N r sin r t d 0 (r 1,2,, n)
(5.6-13)
自由振动初始条件的响应 多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导 ——振型分析
u
2
对振型向量进行正则化，而后把振型向量排列成振型矩 阵 1 0.459701 0.888074 u 0.627963 0.325057 m
利用振型矩阵作线性变换
T
1.000000 0.366025
F0 0.627963 N t u F t u t m 0.325057
T T
(5.6-5) (5.6-6)
方程(5.6-5)左乘以uT，有
T
u Muη t u Kuη t u F t
η t ω η t N t
(5.6-7) 式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力 向量，即正则激励。
考虑到方程(5.6-3)，得到2
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
例5.6-1 考虑图5.6-1所示系统，在系统上作用有激 励向量F(t)={0 F0u(t)}T，u(t)为单位阶跃函数。求在零初 始条件下系统的响应。 解：系统的运动微分方程
1 0 q1 2 1 q1 m k q q 0 2 1 2 2 2 0 F u t 0
广义坐标q(t)的响应是广义坐标(t)的响应的叠加，则有
q t uη t u r t
r r Biblioteka 1(5.6-15)因此，将正则坐标的全解 (5.6-14) 代入方程 (5.6-15) 就可 以得到无阻尼n自由度系统的全部响应。
例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）
q 0 q0 ,
1
q 0 q0
1
(5.6-9)
由式(5.6-4)的变换(t)=u-1q(t)，有
η 0 η0 u q0 ,
η 0 η0 u q0 (5.6-10)
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
Mq t Kq t F t
(5.6-1)
式中M和K为nn阶的质量矩阵和刚度矩阵，n维向量q(t)和 F(t) 分别表示广义坐标和广义力。
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
●方程 (5.6-1) 构成了 n 个联立的常系数的常微分方 程组。虽然这些方程是线性的，但求解也并非是件容易 的事。 ●用振型分析来求解就要方便得多，振型分析的基 本思想就是将联立的方程组变换成为互不相关的方程组， 其变换矩阵就是振型矩阵。
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
因为2 是对角矩阵，故方程 (5.6-7)表示一组互不相 关的方程，即 2 r t r r t N r t (r 1,2,, n) (5.6-8) 方程 (5.6-8)具有与单自由度系统的运动微分方程相同的 结构，可作为n个独立的单自由度系统来处理。 设广义坐标q(t)的初始条件为
为了用振型分析方法求解，首先 要解特征值问题，得
k 1 0.796226 , m 1.000000 u 1.366025
1
图 5.9-1
例题：单位阶跃激励初始条件的响应（例5.6-1）
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
k 2 1.538188 , m
多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导——振型分析
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
目前，只介绍了离散系统的自由振动，并在第 5.4 节中讨论了如何用振型分析方法来确定一个 n 自由度无 阻尼系统对初始条件的响应。 ●振型分析能够用来导出无阻尼系统对任意激励的 响应，在某些情况下，也可以导出有阻尼系统的响应。 不计阻尼时，n自由度系统的强迫振动微分方程为
5.6 无阻尼系统对任意激励的响应· 振型叠加 法
所以第 r 阶模态的全解是由激励 Nr(t) 引起的响应和初始 条件引起的响应之和
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
r
1
t 0
N r sin r t d
n
(5.6-14)