第二章单自由度系统的有阻尼自由振动
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单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
第二章 单自由度系统振动的理论及应用
M t
则得
2 .. n 0
通解为:
A sin(n t 0 )
代入:
将振动的初始条件t= 0 ， 0 , . 0.
A
.0 2 0 2 n
2
n 0 0 arctan . 0
例: 已知：质量为m＝0.5kg的物体沿光滑斜面无初速度滑下。 当物块下落高度h=0.1m时，撞于无质量的弹簧上， 并与弹簧不再分离，弹簧刚度系数k=0.8kN/m。 倾角 30 求：此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程。
计算固有频率的能量法
无阻尼自由振动系统没有能量的损失,振动将永远持续下去. 在振动过程中,系统的动能与弹簧的势能不断转换,但总的机械能 守恒.因此,可以利用能量守恒原理计算系统的固有频率. 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时，运动规律为:
x A sin(0t )
速度为:
dx v 0 A cos(0t ) dt
称为单自由度线性纵向振动系统的运动微分方程式,又称单 自由度有粘性阻尼的受迫振动方程.
可分为如下几种情况进行研究:
(1)当c=0,F(t)=0时, 该方程为单自由度无阻尼自由振动方程.
(2)当F(t)=0时, mx cx kx 0 该方程为单自由度有拈性阻尼的自由振动方程.
.. .
mx .. kx 0
由机械能守恒定律有
Tmax Vmax
即
1 1 2 2 J 0 Φ ( k1l 2 k 2d 2 )Φ 2 2 2
解得固有频率
0
k1 l 2 k 2 d 2 J
例: 已知：如图表示一质量为m，半径为r的圆柱体，在一半 径为R的圆弧槽上作无滑动的滚动。 求：圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率。
第二章单自由度系统自由振动)
二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
0723第二章单自由度振动系统(讲)
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零）（动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
单自由度系统的振动阻尼
比前者略小的最大偏离值Ai+1
Ai
Ai1Ane(tiTd)
Ai+1
这两个相邻
振幅之比为:
Ai Ai1
Aneit Aen(tiTd)
enTd
η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动
的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。
由
Ai
Ai1
Aneit Aen(tiTd)
enTd
两端取自然对数得 lnlnenTndTδ称为对数减缩系数
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时 间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量， 使振幅不断地减小，直到最后振动停止。
振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。
上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置， 因此运动已不具有振动的特点。
临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统
的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。
设cc为临界阻尼系数，由于ζ =n/ω0 =1，即
d 02 n2 称有阻尼自由振动的圆频率
xAn est i ndt()
当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0 速度v= x;可0 求得有阻尼自由
振动中的振幅和相位：
A x02 (x002nnx02)2
x
arctaxn0x0n2nx0n2
这种振动的振
Aent 衰减曲线的包络线
幅是随时间不 Ax0 断衰减的，称
振动理论及工程应用2 第二章 单自由度系统的振动
刚度系数k。
先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。
设在C处作用一力F，按静力平衡的
关系，作用在B处的力为 Fa
C
b
此力使B 弹簧 k2 产生 变形，
而此变形使C点发生的变形为
c
a Fa 2 b k2b2
得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数
k F
c
k2
C1 x0
C2
v0 pn
x
x0
cos
pnt
v0 pn
sin
pnt
另一种形式
x Asin( pnt )
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x02
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
自由振动。
arctg(
pn x0 v0
)
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
b2 a2
k F
c
k2
b2 a2
与弹簧k1串联
C
得系统的等效刚度系数
k
k1k 2
b2 a2
k1k 2 b 2
k1
k2
b2 a2
a 2k1 b2k2
物块的自由振动频率为
pn
k b
k1k2
m
m(a2k1 b2k2 )
弹性梁的等效刚度
例 一个质量为m的物块从 h 的高 处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、 长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁 的质量，求该系统自由振动的频率、 振幅和最大挠度。
系统振动的周期 T 2π 2π m
第二章 单自由度系统
M x + c x + kx = meω 2 sin ω t
方程稳态响应可表示为:
M m
x ( t ) = X s in ( ω t )
式中:
m 2 eγ meω M X= = (k ω2M )2 + ω2c2 (1 γ 2 )2 + (2ξγ )2
2
系统的放大因子为:
MX γ2 = me (1 γ 2 ) 2 + (2ξγ ) 2
单自由系统
M
自由振动微分方程
m x + c x + kx = 0
K
无阻尼自由振动方程:
2 x+ ωn x = 0
Hale Waihona Puke C方程解:A=
x x + ωn
2 0 2 0
2
x = A sin (ωn t + ψ )
固有圆频率: 固有圆频率:
ψ = arctan
ω n x0
x0
固有频率: 固有频率:
式中,等效静位移 X 0 = F k 频率比 γ = ω / ωn 振幅放大因子 M = X =
X0
1 (1 γ 2 ) 2 + (2ξγ ) 2
简谐激励下的强迫振动
M= X 1 = X0 (1 γ 2 ) 2 + (2ξγ ) 2
γ = ω / ωn
等效静位移
X0 = F k
简谐激励下的强迫振动
隔振
T 令 TF = TD = TR ,R 叫做传递系数,随 ξ 和 γ 的变化曲线如下图.
位移传递系数 TD和力传递系数 TF 的表达式是完全相同的.
隔振
由图可得到两点结论: 1)无论阻尼比为多少, 只有在 γ > 2 时才有隔振 效果; 2)对于某个给定的 γ > 2 值,当阻尼比减小时,传 递系数也减小.
第二章单自由度系统自由振动)
在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数 学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的 阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻 尼来处理。
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
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代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x0 )
C1
x0
(n 2
n
n2
2
2 n
2 n
)
x0
;
C2
( n
2
n
2
2 n
)
x0
n
2
2 n
x0
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，
不具备振动特性。
12
（1）过阻尼情况（ 1）
13
由上可见，阻尼的存在对自由振动的影响表现在两方面， 一是使振动频率发生变化，另一是使振幅衰减。
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念： 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在各种 阻力。 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼（如空气、水） 及结构阻尼((也称迟滞阻尼Hysteresis Damping):当 材料处于交变应力状态时，由于内部的能量耗散 （材料内阻）而呈现的阻尼特性，结构阻尼力大 小与位移成正比, 方向与速度相反)
)
e nTd
对数减缩率
ln
Ai Ai 1
ln enTd
nTd
因为：
2
Td
n
1 2
2 2 1 2
9
2、临界阻尼情形 (n n , 1 )
临界阻尼系数 cc 2 mk
1，s wn 是二重根
通解为：
x(t) ewnt (c1 c2t)
1
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时， 由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的 一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。
R cv
式中：
R cx
R —— 粘性阻尼力 v —— 相对速度
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
2
二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼：
4
t
n
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平 衡位置，不再具备振动的特性。
11
3、过阻尼（大阻尼）情形 (n n , 1 ) (c cc ) 有两个不等的实根，s1与s2是两个不等的实根
s1, s2 wn wn 2 1
xent (C1e n2n2 t C2e ) n2n2 t
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
xent [x0 ( x0 nx0 )t]
(t 0时 , x x0 , x x0 )
10
（2）临界尼情况（ 1）
1.0
0.5
u a 0.0
-0.5
e-nt -te-nt
=1.0
F1 F2 F3
-1.0 0
2
mx kx cx mx kx cx 0
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x 2nx n2x 0
此即为有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
其中n为衰减系数，单位为1/s，wn为无阻尼的固有频率
3
进一步令：
n / wn 2
C mk
C 2mwn
称为相对阻尼系数
Ai Ai1
Aewnti Aewnti td
ewntd
阻尼比越大，减幅系数越大，表明衰减的越快，如为 5%时，为1.37, 每一周期为1/1.37=0.73，每一周期内振 幅减小27%，可见对振幅影响很大。
15
例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
频率的影响：
记Tn为相应的无阻尼的振动同期，有阻尼时的振动周期为：
Td
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响：
为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
s1,s2为共轭复数，可写为
s1, s2 wn iwd
d
2 n
n2
—有阻尼的自由振动频率,阻尼固有频率
通解为 x(t) ewnt (c1 cos wdt c2 sin wdt)
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
x(t)
e wnt
( x0
可以认为
d n Td T7小（欠）阻尼情况（0 Nhomakorabea 1）
1.0 0.5
u a 0.0
-0.5 -1.0
0
e-nt asinj
=0.1
- t
-e n
2
4
6
t
n
8 10
F1 F2 F3
8
(2) 振幅按几何级数衰减
相邻两次振幅之比
Ai Ai1
Ae nti Aen(ti Td
x0 nx0
2
6
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
Td
2 d
2 n2 n2
2 n 1 2
n c n 2 mk
有阻尼自由振动：
——阻尼比
Td
T
1 2
fd f 1 2
d n 1 2
当 n n 时， 1
A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
解：
A1 A1 A2 A20 (enTd )20 A21 A2 A3 A21
0.8 (e nTd )20 0.16
ln520
nTd
20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln540
c 2
mk
ln5
40
2
W g
Wst
ln5
40
2
1502 1980
0.122(Ns/cm)
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t)
e wnt
( x0
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
18
19
20
Td
x 2wnx wn2x 0
为了求解，令：
x est
s2 2wns wn2 0
它的两个根为：
s1, s2 wn wn 2 1
4
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 1 (n n) c 2 mk
s1, s2 wn wn 2 1
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )2
n2 n2
;
tg 1
x0 n2 n
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
21
22
C1
x0
(n 2
n
n2
2
2 n
2 n
)
x0
;
C2
( n
2
n
2
2 n
)
x0
n
2
2 n
x0
所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，
不具备振动特性。
12
（1）过阻尼情况（ 1）
13
由上可见，阻尼的存在对自由振动的影响表现在两方面， 一是使振动频率发生变化，另一是使振幅衰减。
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
一、阻尼的概念： 实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在各种 阻力。 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 摩擦阻尼，电磁阻尼，介质阻尼（如空气、水） 及结构阻尼((也称迟滞阻尼Hysteresis Damping):当 材料处于交变应力状态时，由于内部的能量耗散 （材料内阻）而呈现的阻尼特性，结构阻尼力大 小与位移成正比, 方向与速度相反)
)
e nTd
对数减缩率
ln
Ai Ai 1
ln enTd
nTd
因为：
2
Td
n
1 2
2 2 1 2
9
2、临界阻尼情形 (n n , 1 )
临界阻尼系数 cc 2 mk
1，s wn 是二重根
通解为：
x(t) ewnt (c1 c2t)
1
§3 单自由度系统的有阻尼自由振动
粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时， 由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的 一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。
R cv
式中：
R cx
R —— 粘性阻尼力 v —— 相对速度
c —— 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。
2
二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量—弹簧系统存在粘性阻尼：
4
t
n
可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平 衡位置，不再具备振动的特性。
11
3、过阻尼（大阻尼）情形 (n n , 1 ) (c cc ) 有两个不等的实根，s1与s2是两个不等的实根
s1, s2 wn wn 2 1
xent (C1e n2n2 t C2e ) n2n2 t
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
xent [x0 ( x0 nx0 )t]
(t 0时 , x x0 , x x0 )
10
（2）临界尼情况（ 1）
1.0
0.5
u a 0.0
-0.5
e-nt -te-nt
=1.0
F1 F2 F3
-1.0 0
2
mx kx cx mx kx cx 0
令
n2
k m
,
n
c 2m
则 x 2nx n2x 0
此即为有阻尼自由振动微分方程的标准形式。
其中n为衰减系数，单位为1/s，wn为无阻尼的固有频率
3
进一步令：
n / wn 2
C mk
C 2mwn
称为相对阻尼系数
Ai Ai1
Aewnti Aewnti td
ewntd
阻尼比越大，减幅系数越大，表明衰减的越快，如为 5%时，为1.37, 每一周期为1/1.37=0.73，每一周期内振 幅减小27%，可见对振幅影响很大。
15
例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm , A1=0.8cm,
频率的影响：
记Tn为相应的无阻尼的振动同期，有阻尼时的振动周期为：
Td
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响：
为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
s1,s2为共轭复数，可写为
s1, s2 wn iwd
d
2 n
n2
—有阻尼的自由振动频率,阻尼固有频率
通解为 x(t) ewnt (c1 cos wdt c2 sin wdt)
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
x(t)
e wnt
( x0
可以认为
d n Td T7小（欠）阻尼情况（0 Nhomakorabea 1）
1.0 0.5
u a 0.0
-0.5 -1.0
0
e-nt asinj
=0.1
- t
-e n
2
4
6
t
n
8 10
F1 F2 F3
8
(2) 振幅按几何级数衰减
相邻两次振幅之比
Ai Ai1
Ae nti Aen(ti Td
x0 nx0
2
6
衰减振动的特点：
(1) 振动周期变大，
频率减小。
Td
2 d
2 n2 n2
2 n 1 2
n c n 2 mk
有阻尼自由振动：
——阻尼比
Td
T
1 2
fd f 1 2
d n 1 2
当 n n 时， 1
A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。
解：
A1 A1 A2 A20 (enTd )20 A21 A2 A3 A21
0.8 (e nTd )20 0.16
ln520
nTd
20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln540
c 2
mk
ln5
40
2
W g
Wst
ln5
40
2
1502 1980
0.122(Ns/cm)
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t)
e wnt
( x0
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
18
19
20
Td
x 2wnx wn2x 0
为了求解，令：
x est
s2 2wns wn2 0
它的两个根为：
s1, s2 wn wn 2 1
4
其通解分三种情况讨论：
1、小阻尼情形 1 (n n) c 2 mk
s1, s2 wn wn 2 1
cos
wd t
x0
wn x0
wd
sin
wd t )
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
d n2 n2 —有阻尼自由振动的圆频率
设 t 0 时, x x0 , x x0 , 则
A
x02
(
x0 nx0 )2
n2 n2
;
tg 1
x0 n2 n
2
wd
wn
2 1 2
Tn
1 2
21
22