第二章单自由度系统自由振动)解析

i (t )
Ae
x A e
2 i (t )
A e
2 i (t )
在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大 小成正比，始终指向静平衡位置。
④简谐振动的合成
（2）周期振动的谐波分析
f (t ) f (t nT ) n 0, 1, 2,
2 T
基频 一个周期函数如果满足如下条件，就可以展成傅立叶级数。
（1）在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点的左右极限都存在； （2）在一个周期内，具有有限个极大、极小点。
a0 f (t ) a1 cos t a2 cos 2t 2
b1 sin t b2 sin 2t
2 T b j f (t ) sin( jt )dt T 0
Aj a b a j arctan bj
2 j 2 j j
例题1－1 对方波信号
F0 f (t ) F0
T 0t 2 T t T 2

进行谐波分析。
f (t )
4F0

j 1,3,5,
)
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z A cos(t ) iA sin(t )
z Ae
x iAe
i (t )
i (t )
x Im( Ae
பைடு நூலகம்
) A sin(t )
i (t ) 2
eit cos t i sin t it e cos t i sin t
当作运动坐标方向上只存在一个质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量 和刚度，分别成为原系统的等效质量和等效刚度。 同样，实际振动系统不可避免地存在阻力，因而在一定时间内自由振
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法 五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
一、单自由度振动系统 1、单自由度系统及其振动微分方程建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解
（1）简谐振动 ①函数表示法
A cos( t ) A sin(t x
2 2
2 x A sin(t ) A sin( t ) A sin( 2ft ) T

2 A sin(t ) A sin(t ) x

sin jt j

4 F0 1 1 sin t sin 3t sin 5t 3 5
（3）振动的频谱分析 频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方 法可以将系统传递函数从复域引到具有明显物理概念的频域来分析系统的特性。 将频率特性分析方法用于振动分析，成为频谱分析。 引入频谱分析的重要性在于： ①可将任意激励函数分解为叠加的谐波信号，即可将周期激励函数分解为叠加 的频谱离散的谐波信号，可将非周期激励函数分解为叠加的频谱连续的谐波信 号。 ②对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的振动系统，可以通过实验求 出系统的频率特性，进而得到系统的传递函数或微分方程。 输出和输入的傅氏变换之比等于频率响应函数H ( ) （频响函数）
第一章
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
概论
第一章
概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法 建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法 三、 汽车上的振动问题 四、简谐振动、谐波分析及频谱分析 1、简谐振动 2、谐波分析 3、频谱分析
②能量法
T+U=常数
例题2-2
d T U 0 dt
（教材例题2.11）
半径为r、重力为 mg的圆柱体在半径为R 的圆柱面内滚动而不滑 动，如图所示。试求圆 柱体绕其平衡位置作微 小振动的微分方程。
2g 0 3( R r )
2、等效振动系统及外界激励
在工程上为便于研究，常把一些较为复杂的振动系统进行简化，以便
物理特性
模态特性
响应特性
力学模型: 质量、刚度、阻尼
模态模型: 固有频率、模态矢量 模态质量、刚度、阻尼
响应模型: 位移、速度、加速度
时域模型：微分方程描述
频域模型：传递函数描述 频率特性描述
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励 二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动 三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
1、单自由度系统及其振动微分方程建立
（1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f
mx
f
mx 0
M J M J 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
a2 b2 d2 mlx cx k1 k2 x 0 l l l
a0 = a j cos( jt ) b j sin( jt ) 2 j 1
a0 Aj sin( jt j ) 2 j 1
其中
2 T a0 f (t )dt T 0
2 T a j f (t ) cos( jt )dt T 0