第三部分 多自由度系统的振动
《机械振动学》教学大纲
《机械振动学》教学大纲一、一、课程性质和目标机械振动学是机械设计、制造及自动化专业的一门专业选修课，总学时32，学分3.2。
随着机器生产率的不断提高，导致了载荷的速度和加速度的增加，这就使得机械动力学的问题变得日益突出起来，机械动力学的一个重要组成部分机械振动同样也不会例外。
本课程就是为了适应生产实际的需要，为大学本科高年级学生开设的一门技术基础课。
本课程着重从工程实际的角度对机械振动的有关理论进行讨论，使学生在掌握基本理论的基础上，能够把工程中的实际机械抽象为力学模型，然后在正确的力学模型基础上运用已有的知识进行正确的力学分析，解决一些工程实际的问题，达到学与用的统一。
二、二、先选课程或知识理论力学、材料力学、高等数学、线性代数和相关的专业知识等。
三、三、教学内容基本要求绪论（1学时）第一章第一章单自由度系统的振动（10学时）振动系统的力学模型及自由度的概念；弹性元件的形式和刚度；振动微分方程的推导；无阻尼自由振动；固有频率的计算；粘性阻尼对自由振动的影响；无阻尼受迫振动；具有粘性阻尼的受迫振动；等效粘性阻尼的概念；单自由度系统振动的利用及振动分析；单自由度系统的减动；机械结构的动应力和动刚度的概念。
第二章第二章二自由度系统的振动（8学时）应用动静法建立方程式；应用拉格朗日方程建立方程式；振动方程的一般形式及其矩阵表示法；无阻尼二自由度系统的自由振动；无阻尼二自由度系统的受迫振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的自由振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的受迫振动；二自由度振动系统的利用及振动机械的振动分析；振动机械及测试机器的二次隔振；动力减振原理与动力减振器。
第三章第三章多自由度系统的自由振动（6学时）多自由度系统举例；刚度矩阵与刚度影响系数；柔度矩阵与柔度影响系数；惯性藕联和弹性藕联；固有频率与振型矩阵。
第四章第四章多自由度系统的受迫振动（3学时）无阻尼系统受迫振动的响应；多自由度系统的阻尼。
四、实践性环节基本要求25个自由度系统的计算机辅助振动分析4学时五、课程考核要求由主讲教师自定考核。
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
多自由度系统的振动
m1x1 2kx1 kx2 0 2mx2 kx1 2kx2 0
5.1 两自由度系统的模态
m
0
0 2m
xx12
2k k
k
2k
xx12
5.1 两自由度系统的模态
主振动 x(t) u cos(t )
代入运动微分方程 Mx Kx 0
化简可得代数齐次方程组 (K 2M )u 0
k1+k2
-k2
2
m1
-k2
k2+k3
2m2
uu12
0 0
上式存在非零解的充要条件：系数行列式为零，即：
K 2M 0
k1+k2 2m1
两自由度系统的振动
多自由度系统的特点：
各个自由度彼此相互联系，某一自由度的振动往 往导致整个系统的振动。
运动微分方程的变量之间通常相互耦合，需要求 解联立方程。
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两自由度系统的振动
多自由度系统是指具有两个以上自由度以上的动力学系 统，二自由度系统是最简单的多自由度系统。
汽车左右对称，化为平面系统
5.1 两自由度系统的模态
再将初始条件（2）代入式，得
A(1) 1
0,
1 0,
A(2) 1
1,
2 0
x1(t) cos2t cos 3
kt m
(cm)
x2 (t) cos2t cos 3
k t (cm)
m
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率ω2作谐振动。
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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多自由度系统振动
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
第三章 多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统)(1t P 3m )(2t P 1m 2m )(3t P 1k 1c 2c 3c 2k 3k 4k 4c解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
第三章(多自由度系统的振动)
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
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q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
5k 0 0 2m K 2 k 其中， M 0 1 . 5 m 0 0 m 0 0 2 k 3k k 0 k k
0 F(t) Q sin t 2 0
u'(2) 已知该振动系统的二阶振型为，
则系统的微分方程为
CX KX Q MX
系统的特征矩阵为
2.5k 2 m 1.5k 0 H K 2 M 1.5k 3.5k 2 m 2k 2 0 2 k 3 k m
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 响应求解 Kq F(t) 某振动系统的运动微分方程为：Mq
Q3
m3
k4 r4 x3
解：
m1 M 0 0
0 m2 0
0 0 m3
k1 k2 K k2 0
k2 k 2 k3 k3
k3 k3 k 4 0
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 求解振动方程
1）简谐激励，
F t F0 sin t
2 r r
r t 2 rr r t t N0r sin(t )
r 1,2,, n
N0r u
r T
F0
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： 2）周期激励，F t F (t jT )
u
u Mu M1 Mr M2 Mn
T
( s )T
Ku
(r )
0
(r s )
uT Ku K1 Kr K2 Kn
u( r )T Ku(r ) Kr
第三部分 多自由度系统的振动 3 固有振型的正交性（正则振型） u( s )T Mu(r ) 0 (r s ) u( r )T Mu( r ) 1
r t 2 rr r t r t
2 r
a0 N r t a j cos j t b j sin j t 2 j 1 r 1,2,, n
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： 3）任意激励，
第三部分 多自由度振动系统
基本知识点
1 多自由度系统运动微分方程
2 多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型） 3 固有振型的正交性 4 对多自由度系统振动求响应 5例题
第三部分 多自由度系统的振动 1 多自由度系统运动微分方程
Cq Kq Q Mq
●牛顿力学方法： 这种方法必须考虑约束反力并画出物体系统的受力 图，对于一些简单问题，采用这种方法比较直观简便。 ●分析力学方法： 这种方法首先应该合理选取系统的广义坐标，然后 根据拉格朗日方程等分析力学方法，建立系统的运动方 程，由于这种方法仅涉及动能、势能和功等标量形式的 物理量，对于复杂的多自由度振动系统建立运动微分方 程较为方便。 d T T U ( j 1 , 2 , , n ) Q ( t ) j q q dt q j j j
正则振型 一个很简便的正则化方法就是令
u
有
( r )T
Mu
(r )
1
(r 1, 2,, n)
(r 1, 2,, n)
u( r )T Ku( r ) r2
第三部分 多自由度系统的振动 3 固有振型的正交性（主振型）
u( s )T Mu(r ) 0 (r s )
u( r )T Mu(r ) M r
r1 r2 C r2 0 r2 r2 r3 r3
1 x1 0 x Q1 X x X x r3 Q Q2 2 2 3 x3 x Q r3 r4 3 x1 X x 2 x3
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
r
1
t 0
N r sin r t d
(5.6-14)
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 各正则坐标下单自由度有阻尼振动系统对各种激振的 响应 1）简谐激励（稳态响应）
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (2)求系统的特征值和特征向量（固有频率及主振型）
( ) det( K M ) 0
2 2
( K r2 M )u(r ) 0 (r 1, 2,, n)
(3)将固有振型转换成正则振型
u
第三部分 多自由度系统的振动 2 多自由度系统特征值问题（固有频率及固有振型） 按无阻尼自由振动方程进行求解 固有频率求解：
Kq 0 Mq
( 2 ) det( K 2 M ) 0
2 n a1 2( n1) a2 2( n2) an1 2 an 0
1
0 u1q 0 η T 0 u Mq 0 η
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 2）初始条件响应求解公式
r 0 r t r 0 cos r t sin r t (r 1,2,,n) r
各正则坐标下单自由度无阻尼任意激振振动系统的响 应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件 2）任意激振响应求解公式
第三部分 多自由度系统的振动 5 例题 求解振动方程 k1 k 4 k 图示三自由度有阻尼受迫振动系统。已知： k 2 1.5k , k3 2k , m1 m2 m3 m 试建立该系统的振 动微分方程，并写出系统的特征矩阵。
k1 Q1
r1
m1
k2 r2
x1
Q2
m2
k3 r3 x2
r t
N0 r
2 r
1 2
2 2 r r r
1
2
sin t r
2 r r r tg 1 r2
r r
N0r u
r T
F0
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 2）周期激励（稳态响应） 1 a0 r t 2 H rj j a j cos jt rj b j sin jt rj r 2 j 1 式中
H rj j
1
2 r jr rj tg 2 2 1 j r r r
1
1 j 2
2 2 2 r
r
jr
2
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 3）任意激励 r 0 rrr 0 r r t r t e sin dr t r 0 cos dr t dr 1 t r r t N e sin dr t d r
dr
0
dr 1 r r 0 u
2 r
r T
Mq0 ,
r 0 u
r T
0 Mq
经过上述步骤可求得正则坐标下的响应
η(t) 1 (t ) 2 (t ) n (t )
T
第三部分ห้องสมุดไป่ตู้多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 (5)变换为原坐标下的响应
固有振型求解： 将求得的固有频率r (r=1,2,…,n)分别代入下面的方 程，得
( K M )u
2 r
(r )
0 (r 1, 2,, n)
第三部分 多自由度系统的振动 振型向量可以排列成为n阶方阵，称为模态矩阵(或 振型矩阵)，即
(1) u u
u(2) u( n )
0.679 0.6066 1.000
试用模态分析法求对应于二阶振型的强迫振动解。