第2章 多自由度系统的振动讲解
多自由度系统 振动力学课件
k2 )x12
1 2
(k2
k3 )x22
1 2
k
3
x32
1 2
(k2 )(2x1x2 )
1 2
(k3 )(2x2x3)
1 2
x1
x2
k1 k2
x3
k2
0
k2 k2 k3
k3
0 k3 k3
x1 x2 x3
C
1 2
c1x12
1 2
c2 (x2
x1 )2
1 2
c3 (x3
x2 )2
设某一瞬时： 角位移 1 , 2
角加速度 1 ,2
受力分析：
1
2
k 1
k 2
k 3
M 1 (t )
M 2 (t)
I1
I2
k 11
M 1 (t )
k 2 (2 1)
k 2 (1 2 ) I11 k 32
M 2 (t)
I 22
k 11
k 2 (1 2 )
k 2 (2 1)
k 32
M 1 (t )
建立方程：
m2 x2
m3x3 k3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 ) F3 (t) k3 (x3 x2 ) c3 (x3 x2 ) k2 (x2 x1) c2 (x2
x1 )
F2 (t)
m1x1 k2 (x2 x1) c2 (x2 x1) k1x1 c1x1 F1(t)
质量矩阵 M m21
m22
...
m2n
... ... ... ...
mn1
mn2
...
mnn
2. 势能函数
对于完整、定常系统，势能函数 V V q1 q2 ... q将n 势能函数选择
《多自由度系统振动》课件
课程目的
理解多自由度系统振动的 特性，包括固有频率、模 态振型等。
掌握多自由度系统振动的 基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的 分析方法，包括直接法、 模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包 括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根 据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等 。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使 用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动 更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许 多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用， 因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学 和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进 的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系 统的刚度、阻尼和/或质量分 布来减小系统的振动。被动 控制技术不需要外部能源， 而是利用自然现象或物理效 应来减小系统的振动。
多自由度系统振动
（2）半正定系统
可能出现形如 的同步运动。
也可能出现形如 的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当 不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵 求得相应的主振型 。
根据逆矩阵定义 ：
两边左乘 ：
当 时 ：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图： 横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端.
当 不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的 。 设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有 的某个元素（例如 ）的项全部移到等号右端 。 若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用 表示的 否则应把含 的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。 多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程 非奇次方程组
第二部分两自由度 系统的振动
k 0
(e)
k 3k 2 2m
得特征方程
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
( 2 ) 2m2 4 7mk 2 5k 2 0
(f )
固有频率为
1
k, m
2 1.5811
k m
(g)
将
代入式2(d) 1
，有
2k 12m X
0 0
(a)
设
x1(t) X1 sin(t )
(b)
x2 (t) X 2 sin(t )
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动
代入振动微分方程组，得
(k1 k2 X1
k2) 2
（k2
m1 k3 )
X1
2
k2 X 2 m2 X
sin t
第二部分 两自由度系统的振动
2 两自由度简谐激励系统强迫振动
如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由于偏心而产生受迫振动，激振力
。马达的质量为m1、梁
的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系统应满足的条件。
Q1 sin t
第二部分 两自由度系统的振动
1 两自由度系统自由运动 ●在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。
●在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。
初始条件的响应，由
x1 x2
C1 sin(1t C1r1 sin(1t
(4.1-11)
展开得
( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11) 2 k11k22 k122 0
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
第二章 两自由度系统振动
d
2
d1
2
2
2 1 1
2
2
A
(2) 1
1 1 2
d
2
d1
1
2
2 1 2
1
2
两自由度系统振动规律总结
1）两自由度系统有两个固有频率，与之对应有两 个主振型，其形状是确定的，都只与系统物理 参数有关，与初始条件无关 2）两个质点的振动均为两个不同频率的谐振动的 叠加，只有当两个固有频率比之为有理数时， 才是周期振动，振幅和相位与初始条件有关。 3）主振动实现： 1 1 实现第一主振动 d2 d1 , 2 1 实现第二主振动
2.3 动力减振器 一个重要应用，动力减振器的设计。其中， m2 ，
k2 ， c2 以一个动力减振器的形式存在，如何设计它
们使得主质量 m1 在外力 F 作用下产生的振动变小。
F0 st k1 外力幅引起主质量静变形
0
k1 m1
单独主质量固有频率 单独减振器局部固有频率
a
k2 m2
k2 b m1
k2 c m2
由微分方程理论，可设通解为
x1 A1 sin t
x2 A2 sin t
代入运动方程，令两个方程两边 sin t 前系数 相等，得特征方程
( a 2 ) A1 bA2 0 cA1 (c 2 ) A2 0
A1 2 1 2 2 A1 2 A2
2 a 12 1 a c a c 1 bc 0 b b 2 2 2 2 ac a 2 1 a c 2 bc 0 b b 2 2 对应于 1 的解(微分方程第一特征值解)为：
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此式说明，当系统以频率p1振动时，质量m1和m2总是按 同一方向运动；而当以频率p2振动时，m1和m2则按相反 方向运动。 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，称 为系统的主振动。
§2.1二自由度系统的自由振动
K1
M1
K2
K3
M2
1 k1 k 2 x1 k 2 x2 0 m1 x 2 k 2 x1 k 2 k3 x2 0 m2 x
xc
x1
l2 )
x
k1 ( xc l1 )
2 l1l2 C 1 2 2 l2 C 2 l1l2 C 2 2 2 l1 C
其中
C
JC m
2 C
l1l2
汽车绕质心轴的 回转半径
质量分配系数
惯性耦合系数
二自由度汽车坐标变换
§2.1二自由度系统的自由振动
p1
p2
振幅比
1 2 A2 a p1 f 1 1 2 A1 b e p1
振幅比
2
2 2 A2 a p2 f 2 2 A1 b e p2
这说明，虽然振幅的大小可用振动的初始条件来确定， 但当系统按任一固有频率振动时，振幅比却和固有频率一样， 只决定于系统本身的物理性质。
平衡位置
x2
x2 x l2
2 l2 c2 l1l2 c2 1 m 2 k1 x1 0 m x x 2 2 k2 ( xc l l l12 c2 l1l2 c2 2 m 1 k 2 x2 0 m x x 2 2 l l
►耦合：从振动方程可以看出，若K2=0，则是两 个独立的弹簧质量单自由度模型。也就时说K2将 两个自由度的振动联系了起来。
§2.1二自由度系统的自由振动
K1
M1
K2
K3
M2
x t x x A sin p t A sin p t
§2.1二自由度系统的自由振动
x x
(1) 1 (1) 2
why
(1) (1) (t ) A sin( p t ) A 1 1 1 1 1 (1) (1) (t ) A2 sin( p1t 1 ) A2 ( 2) ( 2) (t ) A sin( p t ) A 2 2 1 1 2 ( 2) ( 2) (t ) A2 sin( p2t 2 ) A2
2 1, 2
a p p f
2
2
b 0 2 e p
p
ae ae bf 2 2
2
§2.1二自由度系统的自由振动
a p 2 f b A 0 1 2 e p A2 0
2
p
2 1, 2
ae ae bf 2 2
振幅比
振幅比
1 2 A2 a p1 f 1 1 2 A1 b e p1
p1
p2
2
2 2 A2 a p2 f 2 2 A1 b e p2
1 A 1 1 0 Ax
节点
节点
xc
xc
K2 K1
K2
K1
1阶主振型
二自由度汽车主振动形态
2
2阶主振型
2 A 2 0 Ax
1 A 1 1 0 Ax
节点
节点
xc
xc
K2 K1
K2
K1
二自由度汽车坐标变换
x1 x l1
x x
(1) 1 (1) 2
在任一瞬时两质量的位移比值也同样是确定的，并等于 振幅比。其它各点的位移都可由x1和x2所决定。这样在振 动过程中，系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。 可见振幅比确定系统的振动形态，因此称为主振型。与 1 p1对应的振幅比 称为第一阶主振型；与 p2对应的振幅 2 比 称为第二阶主振型。
根据非齐次微分方程的解的结构可知
§2.2二自由度系统的强迫振动
x1 B1 sin t x2 B2 sin t
注意由于没有阻尼，所以激励和响应之间没有相位差。 代入微分方程组，化简得
a B bB f fB e B f
2 1 2 1 2 1 2
2
二自由度汽车力学模型 坐标系统和受力分析 K2 L2 L1
K1
x
平衡位置
x2
xc
微分方程组建立
k2 ( xc l2 )
l2 (sin )
x1
x
c k1 k 2 xc k 2l2 k1l1 0 m x k l k l x k l 2 k l 2 0 J
p
2 1
e f p
2 1 2 2 2 2
ff1 2 2 p1 2 p2 2
其曲线如图2-4(下页)所示。 两个概念 ●反共振：当加在x1上的激振力的频率 e 时，B1=0，实际上相 当于没有m1和k1时m2-k2-k3组成的单自由度系统的固有频率，这 叫反共振。利用这一规律，可以对定转速的电机进行减振，也叫动力 减振方法。
2.2 二自由度系统的强迫振动
一. 简述 设在双质量弹簧系统的质量m1与m2上分别作用简谐激振力 F sin t 和 F sin t。如图2-3所示。
1 2
k1
F1 sin t
m1
x1
k2
F2 sin t
m2
x2 k3
图2-3 二. 振动微分方程及解
1 ax1 bx2 f1 sin t x 2 fx1 ex2 f 2 sin t x
c 2 2 11 c
k1 ( xc l1 )
应该为+
11
2 2
二自由度汽车自由振动分析
c k1 k2 xc k2l2 k1l1 0 m x k l k l x k l 2 k l 2 0 J
c 2 2 11 c
11
x1 A1 sin pt a p 2 A1 bA2 0 fA e p 2 A 0 1 2 x2 A2 sin pt
a p 2 f b A 0 1 2 e p A2 0
解之得
B1 B2
e f bf p p a f ff p p
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
§2.2二自由度系统的强迫振动
三. 解的讨论 当f2=0，得
B1 B2
二自由度汽车自由振动分析
c k1 k2 xc k2l2 k1l1 0 m x k l k l x k l 2 k l 2 0 J
c 2 2 11 c
11
2 2
K2
L2
L1
K1
ax b 0 x e fx 0
x
p1
p2
振幅比
振幅比
1 2 A a p1 f 1 1 0 2 Ax b e p1
2
2 2 A a p2 f 2 2 Ax b e p2
0
1阶主振型
二自由度汽车主振动形态
2
2阶主振型
2 A 2 0 Ax
§2.2二自由度系统的强迫振动
图2-4
§2.2二自由度系统的强迫振动
比值：当激振频率一定时是一个常数 ，即系统有一定的振型。当激振频 率等于某一 阶固有频率时，称之 为某阶主振型。
B1 e f1 bf2 2 B2 a f 2 ff1
x
k1 ( xc l1 )
k1l 1 2 m l22 C
2
k 2l 2 2 2 m l12 C
称为汽车的偏频，它表示前后支点之 一受到限制时的振动频率。即x1=0时 的振动频率是 2 ； x2=0时的振动频 率是 1。
§2.2二自由度系统的强迫振动
1 ax1 bx2 0 x 2 fx1 ex2 0 x
通解：
x1 A1 sin pt x2 A2 sin pt
幅值不同，相位相同
§2.1二自由度系统的自由振动
1 ax1 bx2 0 x 2 fx1 ex2 0 x
§2.1二自由度系统的自由振动
1 a e ae 1 bf 0 b 2 2 2 1 a e a e 2 bf 0 b 2 2
2
灯片 4
本章主要内容
一、
2.1 二自由度系统的自由振动
2.2二自由度系统的强迫振动 2.3多自由度系统的振动
二、
三、
本章实验：多自由度汽车振动分析
2.1 二自由度系统的自由振动
一. 二自由度系统振动研究的意义
工程中的大量实际问题是不能简化为单自由度系统， 而只能简化为多自由度系统才能充分描述其振动特性。 二自由度系统振动问题具有一定的代表性，我们通过处 理二自由度系统振动问题及实际应用来熟悉多自由度振 动系统。另一方面，二自由度振动理论在实际中广泛的 应用，因此讨论二自由度系统的振动，具有特别重要的 意义。