第三章_二自由度系统
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
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利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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机械振动二自由度
m mL1
mL1 mL12
I
C
y"
q "
k1 k2
k2L
k2L k2 L2
yA
q
{0}
这个方程存在弹性耦合和惯性耦合
3. 取广义坐标为yA，yB
系统 的动
ET
1 2
y
A
',
yB '
mL22 I L2
mL1L2
c
I
c
mL1L2 L2
mL12 I
I
c
c
yA' yB '
k2
k2 k2 k3
x1 x2
1 {x}T 2
[ K ]{x}
系统的能量 耗散函数
D
1 2
c1x'12
1 2
c2
(x'2
x'1
)2
1 2
c3 x'22
1 2
{x'1
,
x'2
}c1c2c2
c2 c2 c3
xx''12
1 2
{x'}T
[C]{x'}
利用这三个函数可以分别求出三 个矩阵的各个元素
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩
阵也是正定矩阵。
上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自
由度系统和n自由度系统。
[M
]
m1
0
0
m2
[C
]
c1 c2
c2
c2
c2
c3
[K
]
k1 k2
第三章 两自由度系统
k12 x1 F sin t k 22 x 2 0
M x K x F sin t
三．方程求解
令方程的解为
jt xt X e
X1 X X 2
k 2 L x3 0 2 k 2 L 0
方程含有静耦合和动耦合
结论：
1. 2. 3. 4. 5. 描述一个两自由度系统的运动，所需要的独立坐标数是 确定的、唯一的，就是自由度数2。但为描述系统运动 可选择的坐标不是只有唯一的一组。 对于同一个系统，选取的坐标不同，列出的系统运动方 程的具体形式也不同，质量矩阵和刚度矩阵对不同的坐 标有不同的具体形式。 如果系统的质量矩阵和刚度矩阵的非对角元有非零的元 素，则表明方程存在坐标耦合。坐标耦合决定于坐标的 选取，不是系统的固有性质。 方程中存在耦合，则各个方程不能单独求解。 同一个系统，选取不同的坐标来描述其运动，不会影响 到系统的性质，其固有特性不变。
2 随
变化的曲线
§3.3无阻尼吸振器
一．物理模型
二．数学模型
m1 x1 k1 x1 k 2 x2 x1 F sin t m2 x2 k 2 x2 x1 0
m1 0 x1 k1 k2 k2 x1 F sin t 0 m x k k2 x2 0 2 2 2
可以解出两自由度系统的两个固有频率。
§3.4有阻尼振动
一．自由振动
1.物理模型
2.数学模型
m1 x1 c1 c2 x1 k1 k 2 x1 c2 x2 k 2 x2 0
[工学]企业综合自动化课程资料第3章自由度分析
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第三章 自由度分析3.1自由度概念化工流程模拟从本质上讲就是用不同的方法求解不同类型、不同规模的方程组求得有关未知变量的问题。
一个基本问题就是确定未知数数目（m ）与独立方程数（n ）之间的关系。
考察由m 个未知变量和n 个独立方程构成的模型方程组：0)(=X F 式中，),,,(21m x x x X "= ),,,(21n f f f F "=根据方程理论，n 个方程只能对n 个变量求解，因此，必须有m -n 个变量在求解方程之前被确定。
这个在求解方程之前必须确定其值的变量数（m -n ）称作自由度，用符号d 表示：n m d −=显然，自由度实际上就是独立变量数。
自由度d 有三种情况：（1） 0=d ，即n m =，独立方程数与未知变量数相同，方程有唯一解； （2） 0>d ，即n m >，未知变量数比独立方程数多，（设定不足），必须指定多余的)(n m −个未知变量的值方程才有唯一解，否则有无穷多解，——方程解不确定。
（3） 0<d ，即n m <，独立方程数比未知变量数多，（设定过度），有多余的方程，不同方程之间会出现矛盾，方程组无解。
在过程模拟之前，通过自由度分析正确地确定独立变量数，可以避免由于设定不足和设定过度而引起的方程组无解。
看起来确定自由度十分容易，实际上并非如此。
例如混合单元如图，我们可能会写出下列物料衡算方程：),,1(,33,22,11,c i F x F x F x i i i "==+ 321F F F =+111,=∑=ci i x112,=∑=ci i x113,=∑=ci i x式中，j F ——第j 股流的摩尔流量；j i x ,——第j 股流组分i 的摩尔分率。
上述方程共有4+c 个，变量数33+c 个，可得到自由度12−c 。
实际上这些方程不是相互独立的。
组分平衡方程各式相加可得到总物料平衡。
因此独立方程数应该是3+c ，正确的自由度为c 2。
第3章平面机构的自由度计算分解
平面机构的结构分析
43 2 C5 D
B1 A
8
67
E n =7 Pl = 10 F = 3×7–2×10 = 1
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平面机构的结构分析
3.2.5 计算机构自由度的实用意义 1．判定机构运动设计方案是否合理 2．改进不合理的运动方案使其具有确定的相对运动 3．判断测绘的机构运动简图是否正确
平面机构具有确定运动的条件： 1）机构自由度数 F≥1; 2）原动件数目等于机构自由度数F。
平面机构的结构分析
3.2.4 计算机构自由度时应注意的几种情况
先看例子：按照之前的算法下图机构的自由度为
F =3n－2PL－PH
=3×10－2×13－2 =2
为什么？
平面机构的结构分析
1.复合铰链 两个以上构件在同一轴线处用转动副连接，就形成了
惯性筛机构
平面机构的结构分析
2.局部自由度
机构中个别构件不影响其它构件运动，即对整个机构运动无 关的自由度。
处理办法：在计算自由度时，拿掉这个局部自由度，即可将滚 子与装滚子的构件固接在一起。
3
n=3 PL=3 PH=1
C
C
3 n=2 PL=2 PH=1
F=3x3-2x3-1x1=2图
计算平面机构自由度 （F=3n-2PL-PH）
机构具有确定运动的条件 F>0（F=原动件个数）
复合铰链 局部自由度
虚约束
转动副：沿轴向和垂直于轴向的移动均受到 约束，它只能绕其轴线作转动。所 以，平面运动的一个转动副引入两 个约束，保留一个自由度。
移动副： 限制了构件一个移动和绕平面的 轴转动，保留了沿移动副方向的 相对移动，所以平面运动的一个 移动副也引入两个约束，保留一 个自由度。
第三章二自由度系统
二自由度系统振动 / 不同坐标系的运动微分方程
以汽车的二自由度振动模型为例
汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有质量m和绕质心 的转动惯量Ic。质心位于C 点。分别在A点和B点与杆相联的弹性 元件k1、k2为汽车的前，后板簧。
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
[K
]
k11 k 21
[C]
c11 c21
k12
k
22
k1 k2
k2
c12
c22
2 ET x1x1
2 ET x12
m1
m12
2 ET x1x2
2 ET x2x1
m21
0
m22
2ET x2x2
2 ET x22
m2
[M
]
m11 m21
m12
m22
m1
0
0
m2
二自由度系统振动 / 能量法
(t ) (t)
如同在单自由度系统中所定义的，在多自由度系统中 也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
第三章 两自由度系统的振动
设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
机械振动学总结全
机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。
二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。
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T 0
i 0 (i 1 ~ n) 除非 x
所以，M 正定
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
• 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵 A 正定 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 yT Ay 0 成立
并且等号仅在
y0
时才成立
如果 y 0 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的。 1 T 势能： V X KX 2
[C] 即为所求的阻尼矩阵，也是对称矩阵。
二自由度系统振动 / 能量法
2 D 2 D cij c ji i x j x j x i x
2 D 2 D c11 2 c1 c2 1x 1 x 1 x 2 D 2 D c12 c21 1x 2 x 2x 1 x 2 D 2 D c22 2 c2 c3 2x 2 x 2 x
刚 度 矩 阵 位 移 向 量 刚 度 矩 阵 位 移 向 量 激 励 力 向 量
作用力方程
若系统有 n 个自由度，则各项皆为 n 维矩阵或列向量
二自由度系统振动 / 运动微分方程
式中：
m11 [M ] m21
m12 m1 m22 0
0 m2
k2 k11 k12 k1 k 2 [K ] k k k k k 22 21 2 2 3 c11 c12 c1 c2 c2 [C] c c c c c 21 22 2 2 3
c11 c12 c1 c2 [C] c21 c22 c2
c2 c2 c3
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
例2：两自由度系统
摆长 l，无质量，无阻尼做微摆动
k1
m1 x k2
求： 质量矩阵、刚度矩阵和 运动微分方程
m2
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
优点：分别考虑了人与车、车与 车轮之间的相互耦合，模 型较为精确.
m m 轮
k3 c3 k3
m轮
c3
问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
二自由度系统振动
3.2运动微分方程
二自由度系统振动 / 运动微分方程
• 运动微分方程
例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力。 不计摩擦和其他形式的阻尼。
m11 M m21 m12 m22
m11 M 0 0 m22
k12 k22
存在惯性耦合
不存在惯性耦合
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
m11 耦合 M m21
m12 m22
m11 非耦合 M 0
矩阵形式：
1 k1 k2 k2 x1 F1 (t ) x1 c1 c2 c2 x m1 0 0 m c c c k k k x x x F ( t ) 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2
F1 (t ) {F (t )} F2 (t )
x1 {x} x2
二自由度系统振动 / 能量法
• 用能量法确定振动系统的[M]、[K]、[C]
1. 质量矩阵的形成, 系统的动能可以表示为
1 1 2 2 ET m1 x1 m1 x2 2 2 1 m1 0 x 1 1 , x 2 } {x 2 2 0 m2 x 1 T Mx x 2
振动问题中主要讨论 K 阵正定的系统及 K 阵半 正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半 正定振动系统 。
二自由度系统振动 / 耦合
• 耦合与坐标变换
矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项。
m11 M m21 m12 m22
质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。
k11 刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。 K k21 以两自由度系统为例:
1 k1 k2 c2 x 2 k2 c2 c3 x
k2 x1 F1 (t ) k2 k3 x2 F2 (t )
可统一表示为： MX
质 量 矩 阵 加 速 度 向 量
KX F (ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ) CX
二自由度系统振动
m人
k1 c1
m车
k2 建模方法2：
车、人的质量分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼。 c2
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合；
缺点：没有考虑车与车轮之间的相互影响。
二自由度系统振动
m人
k1 c1
m车
建模方法3： k2
c2
k2
c2
车、人、车轮的质量分别考 虑，并考虑各自的弹性和阻尼。
F1(t)
m1
k1 c1
k2 c2
F2(t)
m2
k3
c3
试建立系统的运动微分方程。
二自由度系统振动 / 运动微分方程
解：
k1 c1
F1(t)
m1
x1 k2 c2 F2(t)
m2
x2 k3 c3
建立坐标：
x1 , x2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置。
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移
F1(t)
m1
k2(x1-x2)
k2(x2-x1)
2 x 1 ) c2 ( x
F2(t)
m2
k3x2
1 c1 x
建立方程：
1 m1 x
1 x 2 ) c1 ( x
2 m2 x
2 c3 x
1 k2 ( x1 x2 ) c2 ( x 1 x 2 ) x1 F1 (t ) k1 x1 c1 x m1 2 x 1 ) k3 x2 c3 x 2 x1 F2 (t ) k2 ( x2 x1 ) c2 ( x m2
第三章
二自由度系统
1
3.1 引言
二自由度系统振动
例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动。
m
k 要求：对轿车的上下振动进行动力学建模。 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合。 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼。 优点：模型简单； 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮之间 的相互影响。 c
1 T X KX 2
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
• 质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵 A 正定 是指对于任意的 n 维列向量 y，总有 yT Ay 0 成立
并且等号仅在
y0
时才成立
如果 y 0 时，等号也成立，那么称矩阵 A 是半正定的。 动能：T
1 T X MX 2
[M]即为所求的质量矩阵，显然为对称矩阵。
二自由度系统振动 / 能量法
2 ET 2 ET mij m ji i x j x j x i x
2 ET 2 ET m11 m1 2 1x 1 1 x x 2 ET 2 ET m12 m21 0 1x 2 x 2x 1 x 2 ET 2 ET m22 m2 2 2x 2 2 x x
k11 [K ] k 21
k12 k1 k 2 k 22 k 2
k2 k 2 k3
二自由度系统振动 / 能量法
3. 阻尼矩阵的形成
线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为
1 1 1 2 2 1 c2 ( x 2 x 1 ) c3 x 2 2 ET c1 x 2 2 2 1 c2 x c1 c2 1 1 , x 2 } {x 2 c1 c2 x 2 c2 1 T Cx x 2
0 m22
如果系统仅在第一个坐标上产生加速度
m11 0 1 m11 0 x 1 x 0 m22 0 m11 m 21
1 0, 2 0 x x
1 1 m11 m12 x x 1 m22 0 m21 x
m11 [M ] m21
m12 m1 m22 0
0 m2
二自由度系统振动 / 能量法
2. 刚度矩阵的形成
系统的势能可写为
1 1 1 2 2 U k1 x1 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 2 2 2 2 k2 x1 k1 k2 1 {x1 , x2 } k2 k3 x2 2 k2 1 T x Kx 2
对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值。
当各个位移 xi (i 1 ~ n) 不全为零时， V > 0 对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移。 对于不全为零的位移 xi (i 1 ~ n) 存在 V ＝ 0
K 正定
K 半正定
二自由度系统振动 /质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
不出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度只在该坐标上引起 惯性力.
出现惯性耦合时，一个坐标上 产生的加速度还会在别的坐标 上引起惯性力.
同理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只 在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐 标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力. 耦合的表现形式取决于坐标的选择
3.3不同坐标系下的运 动微分方程
内容回顾
自由度与广义坐标
x1、x2 速度 x 1、x 2
k2(x2-x1)
1、 2 加速度 x x
F2(t) k3x2
m2
受力分析：