第2章 两自由度机械系统动力学
二自由度动力学方程推导
二自由度动力学方程推导一、引言在机械工程领域，动力学方程是研究机械系统的运动规律和相互作用力的重要工具。
本文将介绍如何推导二自由度机械系统的动力学方程，通过此方程可以描述系统的运动行为和相互作用力。
二、二自由度机械系统的建模二自由度机械系统由两个相互连接的质点或刚体组成，例如双杆摆、双摆锤等。
为了推导动力学方程，首先需要对系统进行建模。
2.1笛卡尔坐标系考虑一个二自由度机械系统，我们选择合适的笛卡尔坐标系来描述系统的运动。
假设系统的质点一的坐标为$(x_1,y_1)$，质点二的坐标为$(x_2,y_2)$，则可以用位移矢量$\ve c{r}_1$和$\v ec{r}_2$来表示质点一和质点二的位置。
2.2动力学变量为了研究系统的运动行为，我们引入广义坐标$q_1$和$q_2$来描述系统的状态。
广义坐标可以是位移、角度或者它们的组合。
在本文中，我们选择关节角度作为广义坐标，记为$\th et a_1$和$\th et a_2$。
定义广义坐标的变化率为广义速度$q_1'$和$q_2'$，广义速度的变化率为广义加速度$q_1''$和$q_2''$。
2.3势能和动能系统的能量可以通过势能和动能进行描述。
势能表示系统由于位置而具有的能量，动能表示系统由于运动而具有的能量。
势能$V$和动能$T$可以表示为：$V=V(q_1,q_2)$$T=T(q_1',q_2')$2.4广义力广义力用于描述系统中各个自由度受到的相互作用力。
对于二自由度机械系统，广义力可以表示为：$\ta u_1=Q_1(q_1,q_2,q_1',q_2')$$\ta u_2=Q_2(q_1,q_2,q_1',q_2')$其中，$\t au_1$和$\t au_2$分别表示广义坐标$q_1$和$q_2$的广义力，$Q_1$和$Q_2$为相应的广义力函数。
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析资料讲解
机械系统动力学作业---平面二自由度机械臂运动学分析平面二自由度机械臂动力学分析［摘要］机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。
本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。
经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。
［关键字］平面二自由度机械臂动力学拉格朗日方程一、介绍机器人是一个非线性的复杂动力学系统。
动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
机器人动力学问题有两类：■ ■■(1)给出已知的轨迹点上的■J- ■■■■■■，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q。
这对实现机器人动态控制是相当有用的。
(2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。
也就是说，给出关节力矩■ ■■向量T求机器人所产生的运动風&及&。
这对模拟机器人的运动是非常有用的。
二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。
机器人动力学方程的具体推导过程如下：(1)选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量O r , r=l, 2,…,n。
(2)选定相应关节上的广义力F r :当O r是位移变量时，F r为力；当O r是角度变量时, F r为力矩。
(3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
(4)代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。
下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
1平更二自由度机械臂1、分别求出两杆的动能和势能设齐、B 2是广义坐标，Q i、Q2是广义力。
两个杆的动能和势能分别为:式中，’是杆1质心C i.，\ ）的速度向量，\是杆2质心C i （ ' , J ）的速度向量。
自由度机械系统动力学分析
06
结论与展望
研究成果总结
01
02
03
04
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析在 理论和实践方面取得了重要进 展，为复杂机械系统的动态性 能分析和优化设计提供了有力 支持。
自由度机械系统动力学分析
目
CONTENCT
录
• 引言 • 自由度机械系统基础 • 自由度机械系统动力学分析方法 • 自由度机械系统动态特性分析 • 自由度机械系统优化设计 • 结论与展望
01
引言
背景介绍
机械系统在工业、航空航天、交通运输等领域广泛应用，其动力 学性能对系统的稳定性和性能至关重要。
结合人工智能、大数据等先进技术，开展自由度 机械系统动力学分析与优化设计，实现智能化、 自动化的动态性能预测和优化设计。
拓展自由度机械系统动力学分析的应用领域，特 别是在智能制造、新能源、生物医学工程等新兴 领域，发挥其在技术创新和产业升级中的作用。
THANK YOU
感谢聆听
稳定性分析
线性稳定性分析
通过判断系统的线性化方程的解的稳定性，确定系统的稳定性。常用的方法有 特征值法和Lyapunov直接法。
非线性稳定性分析
研究非线性系统的稳定性，需要考虑系统的非线性特性，常用的方法有分岔理 论和混沌理论。
振动特性分析
固有频率和模态分析
通过求解系统的运动微分方程，得到系统的固有频率和模态，即系统自由振动的频率和振型。
02
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
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142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
机械动力学第二章——两自由度振动讲解
k1 c1
F1(t)
m1
x1 k2
c2
F2(t)
m2
x2 k3
c3
建立坐标：x1，x2的原点分别取在m1，m 2的静平衡位置
受力分析：
F1(t)
F2(t)
k1x1
c1 x1
k2(x2-x1) m1
k2(x2-x1) m2
c2 (x2 x1) c2 (x2 x1)
k3x2
c3 x2
8
两自由度系统的振动微分方程
特解 2： x12 (t) sin 02t 2 , x22 (t) 2 sin 02t 2
由特解线性叠加可以得到通解：
x1(t) C1 sin 01t 1 C2 sin 02t 2
x2
(t
)
1C1
sin
01t
1
2C2
sin
02t
2
20
教学内容
两自由度系统的振动微分方程 两自由度系统的无阻尼自由振动 两自由度系统的强迫振动
21
两自由度系统的强迫振动
装在梁上或者板上的的转动电机，由于转子的不 平衡，或者说转子质量不均匀，在电机高速转动下，梁 或者板将发生上下振动。试问如何减小振动。 （1）提高电机质量 （2）增加阻尼 （3）动力吸振器
14
两自由度系统的无阻尼自由振动
图示两自由度系统，无阻尼，无激励
k1
k2
k3
m1
m2
振动微分方程为：
m1x1 (k1 k2 )x1 k2 x2 0 m2 x2 (k2 k3 )x2 k2 x1 0
令：
自由度机械系统动力学
采用轻质材料如碳纤维、钛合金 等，降低系统重量，提高动态性 能。
02
03
高强度材料
智能材料
利用高强度材料如超高强度钢、 陶瓷等，提高系统承载能力和耐 磨性。
集成传感器和执行器的智能材料， 能够实时感知和响应外部激励， 优化系统动态行为。
多学科交叉研究
机械工程
结合机械设计、制造和控制技 术，优化系统结构、性能和可
04 自由度机械系统的应用
机器人学
工业机器人
在制造业中，自由度机械系统动 力学用于设计和控制工业机器人， 实现高效、精确的生产线作业。
服务机器人
在服务行业中，自由度机械系统 动力学也广泛应用于服务机器人， 如家政机器人、医疗机器人等，
提高服务质量和生活便利性。
仿生机器人
通过模拟生物的运动机制，自由 度机械系统动力学有助于设计和 制造具有生物相似性的仿生机器 人，实现复杂环境的探索和作业。
牛顿第二定律
总结词
描述物体运动状态变化的基本规律。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体运动状态的改变与作用力成正比，加速度的大小与作用 力成正比，方向与作用力相同。
拉格朗日方程
总结词
描述系统运动状态的变分方程。
详细描述
拉格朗日方程基于拉格朗日函数，描述了系统运动状态的变分关系，是分析自由度机械系统动力学的重要工具。
航空航天工程
1 2
飞行器设计
自由度机械系统动力学在航空航天工程中用于优 化飞行器的设计和控制，提高飞行器的稳定性和 机动性。
航天器姿态控制
通过自由度机械系统动力学，实现对航天器姿态 的精确控制，确保航天任务的顺利完成。
3
航空发动机控制
在航空发动机控制中，自由度机械系统动力学有 助于提高发动机的效率和稳定性，降低故障率。
二自由度动力学模型状态方程
二自由度动力学模型状态方程动力学是研究物体运动的学科，它涉及物体的力学性质以及力对物体的影响。
在动力学中，二自由度动力学模型是一种常用的模型，它描述了具有两个自由度的物体在外力作用下的运动规律。
通过建立二自由度动力学模型的状态方程，可以研究和预测物体的运动轨迹、力学特性和动力学行为。
在二自由度动力学模型中，物体的运动可以用两个广义坐标来描述，通常分别表示为q1和q2。
这两个广义坐标可以代表物体在空间中的位置、方向或其他物理量。
状态方程是描述物体运动的微分方程组，它表达了物体的广义坐标随时间的变化规律。
为了建立二自由度动力学模型的状态方程，需要确定物体的受力情况和运动方程。
受力情况包括作用在物体上的外力和内力，外力可以是重力、弹性力、摩擦力等。
内力可以是物体内部的相互作用力。
运动方程描述了物体的加速度与受力之间的关系，可以通过牛顿第二定律来得到。
根据物体的受力情况和运动方程，可以得到二自由度动力学模型的状态方程。
状态方程是一个包含广义坐标和其导数的微分方程组，通常是二阶微分方程。
通过求解状态方程，可以得到物体的广义坐标随时间的变化规律，从而了解物体的运动情况。
在实际应用中，二自由度动力学模型的状态方程可以用于研究各种物理系统的动力学行为。
例如，在机械系统中，可以通过建立二自由度动力学模型的状态方程来分析机械结构的振动特性和稳定性。
在控制系统中，可以利用状态方程设计控制器，实现对物体运动的控制和稳定。
除了状态方程，二自由度动力学模型还可以通过能量方法进行分析。
能量方法是一种基于能量守恒原理的分析方法，通过建立物体的能量方程来描述物体的运动规律。
能量方法在实际应用中具有很高的效率和准确性，特别适用于复杂的动力学问题。
二自由度动力学模型的状态方程是研究物体运动的重要工具。
通过建立和求解状态方程，可以得到物体的运动规律和力学特性，为物体的设计、控制和优化提供理论依据。
在实际应用中，二自由度动力学模型的状态方程在机械、控制、物理等领域发挥着重要作用，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
二自由度机械臂动力学模型
二自由度机械臂的动力学模型通常涉及到两个主要的方面：几何构型和运动方程。
在建立动力学模型之前，首先需要确定机械臂的几何参数，包括每个关节的转动惯量以及各连杆的长度。
动力学模型可以分为两部分：静力学模型和动力学模型。
静力学模型关注的是力的平衡问题，即在机械臂的任意位置上，作用在机械臂上的所有外力之和等于零，所有外力矩之和也等于零。
动力学模型则进一步考虑了机械臂的运动情况，即在给定的力和力矩作用下，机械臂的运动如何变化。
为了建立动力学模型，我们通常采用牛顿-欧拉方法或者拉格朗日方法。
牛顿-欧拉方法从关节坐标出发，逐步推导出各关节的力和力矩，再结合连杆的长度，得到整个机械臂的动力学方程。
拉格朗日方法则是从能量的角度出发，利用动能和势能的关系来建立动力学方程。
具体来说，对于二自由度机械臂，其动力学方程可以表示为：
M(q)q'' + C(q, q', t)q' + G(q, t) = T(q, q', t)
其中：
- M(q) 是机械臂的质量矩阵，q是关节变量；
- q' 是关节变量的速度；
- q'' 是关节变量的加速度；
- C(q, q', t) 是由关节速度引起的科氏力和离心力等构成的矩阵；
- G(q, t) 是重力矩阵；
- T(q, q', t) 是外部施加的力和力矩。
在实际应用中，还需要对上述方程进行求解，这通常需要借助计算机模拟或数值积分方法。
通过求解动力学方程，可以预测机械臂在特定输入下的动态响应，这对于机械臂的控制系统的设计至关重要。
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56
(4)代入方程 E E 0 m l2 d m glsin m l2 dt g sin 0 即 l
作业3：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
57
例：拉格朗日方程的应用。
58
广义力为
Q1 0 Q2 M
59
M
60
(1) (2)
66
证明：对于单自由度系 统，拉格郎日方程应为 d E dt E Me 2 1 E 2 J e E J e
67
d ( ) dt
E 1 2 2 1 J e J 2 e 2 1 dJe dt 2 2 dt d 1 dJe 2 dt
44
45
46
v A l1 1 2 2 l 2 2 2l l cos( ) vB l12 1 2 2 1 2 1 2 2 1 系统动能为 1 1 2 2 2 2 E (m1 m2 )l1 1 m2l1l212 cos(2 1 ) m2l2 22
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例：证明，对于单自由度机械系统，拉格朗 日方程与等效力学模型是统一的。
证明：
dE 等效力学模型方程为： M e dt d E E 拉格郎日方程为 Qi i qi dt q 需要证明(1)是(2)的特例。
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4）代入拉格朗日方程
d E E Q1 dt 1 1 d E E Q 2 dt 2 2
50
E sin( ) m2l1l2 1 2 2 1 1 E 2 cos( ) ( m m ) l m l l 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 d E 2 ( ) sin( ) ( m m ) l m l l 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 dt 1 cos( ) m ll
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
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本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
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3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
14
对双摆系统，有：
关于约束
对系统的运动在几何位置上的限制称为约束。 如单摆的约束方程为：
x y l
2 2
2
球摆的约束方程为：
x y z l
2 2 2
2
15
约束分类： 1 几何约束与速度约束
约束方程中只含有质点的坐标而不含有质点的速度 时为几何约束；约束方程中含有质点的速度时为速度 约束。 2 定常约束与非定常约束
10
广义坐标
11
设系统广义坐标为：q (i 1,2,, n)
i
则任一点位置矢量 可表示为：
rk rk (q1, q2 ,, qn ) （3-1）
也可以写成投影形 式：
xk xk (q1 , q2 ,, qn )
yk yk (q1 , q2 ,, qn )
zk zk (q1 , q2 ,, qn )
26
3.3.3 广义力计算
rk Qi Fk qi k (i 1,2, n)
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
问题：如果在肘关节处加一控制电机，其力矩为T，则情况 如何？
37
3.4 拉格朗日方程（第二类）
38
39
40
41
42
43
用拉格郎日方程建立系统运动微分方程的步骤可简述 如下： （1）确定系统自由度数，选取广义坐标； （2）计算系统动能E; （3）计算系统的广义力Q； （4）将动能和广义力代入拉格郎日方程，得系统运动 微分方程； （5）求解方程。
23
另外，
rk Qi Fk qi k (i 1,2, n)
（3-6）
叫广义力。
24
则有：
W Qiqi 0
i 1
n
（3-7）
25
由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移 是任意的，所以有
Qi 0
(i 1,2,, n)
即，在理想约束下，系统平衡的充分必要 条件是所有的广义力为零。
即
69
3.5 二自由度机械系统动力学方程
70
71
3.5.1 系统动能的确定
72
73
74
75
76
77
78
79
3.5.2 广义力的确定
80
3.5.3 运动微分方程
81
82
3.5.4 运动微分方程的求解
83
84
85
86
87
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89
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91
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欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
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3.6 二自由度机械手动力学问题
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本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
W Fk rk 0
k
（3-3）
19
也可以写成分解形式，即
W （X kxk Ykyk Z kzk ) 0
k
（3-4）
20
说明：
（1）虚位移也叫可能位移，是在约束允许 的条 件下可能实现的无限小位移。与时间无关，可 用变分符号表示。变分与微分很相似，但对时 间冻结。
12
将位置矢量对时间求导，即可得到质点 的速度表达式： n drk rk k i （3-2） r q dt i 1 qi dq i 其中， i q dt
叫广义速度。
13
对单摆系统，有：
x l sin y l cos
x A l1 sin 1 y A l1 cos1 xB l1 sin 1 l2 sin 2 y B l1 cos1 l2 cos 2
143
144
（2）力在虚位移上作的功叫虚功，因此虚位移 原理也叫虚功原理。 （3）理想约束的约束力在虚位移上不做功，所 以约束力不在方程中出现。
21
3.3.2 虚位移原理的广义坐标形式
rk rk (q1, q2 ,, qn ) （3-1）
求变分得
rk
i 1 n
rk qi qi
（3-5）
17
非完整约束 (Nonholonomic constraint)为：含有速度的 约束且约束方程不可积分。
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情况。
18
3.3 虚位移原理与广义力
3.3.1 虚位移原理 在理想约束条件下，系统平衡的充分必要条件是 所有的主动力在虚位移上作的元功之和为零，即
2 1 2 2 2 1
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52
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例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
约束方程中不含时间t时为定常约束；约束方程中含 有时间t时为非定常约束。
x y l
2 2
2
16
另外，可以积分的速度约束也是完整约束。例如：直 线纯滚动的圆盘，速度满足如下约束关系：
r x
为速度约束，但可以积分，因此还是完整约束。
x r c
本课程只考虑完整约束，而且通常只考虑定常约束情 况。
68
代入拉格郎日方程得 d 1 dJe ( J e ) 2 Me dt dt dJe d 1 dJe Je 2 Me dt dt dt d 2 1 dJe J e M e 2 dt dt d 1 2 J M e 2 e dt dE M e dt
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
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107
108
109
110
111
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116
117
118
119
120
121
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当Dx D 0时，有 F m l （m m ) x
第3 章
二自由度机械系统动力学
1
第3章 二自由度机械系统动力学
本章内容 3.1 引言——力学的发展过程 3.2 自由度与广义坐标 3.3 虚位移原理与广义力 3.4 拉格朗日方程（重点） 3.5 二自由度机械系统动力学方程 3.6 二自由度机械手动力学问题