双自由度系统
两自由度系统-振动力学
振幅比、主振型、固有振型
1
A21 A11
k11
n21m1
k12
k22
k12
n21m2
2
A22 A12
k11 n22m1
k12
k12
k22 n22m2
1 1
特征向量、振型向量、模态向量
1
,
2
A 1
A11 A21
A11
1
1
,
A 2
A12 A22
A12
1
2
模态参数包括：
3K t I
系统按第二阶固有振型做简谐振动
x10 x0，x20 0，x10 x20 0
解得：A11 A12 x0 / 2,1 2 900
作业：3-1，3-2，3-4
x1 0.5x0 cos
K / I t 0.5x0 cos
3K t I
x2 0.5cos
K / I t 0.5x0 cos
于是有
k11 n2m1
k12
0
(7)
k21
k22 n2m2
m1m2n4 (m1k22 m2k11)n2 k11k22 k122 0
(8)
方程有两个正实根
n 1，2
m1k22 m2k11
(m1k22 m2k11)2 4m1m2 (k11k22 k122 ) 2m1m2
(9)
[K]：刚度矩阵。
{x}：位移向量
第一节 无阻尼自由振动
分析{x0},{x0}引起的自由振动
微分方程的一般形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
k11 k 21
k12 k 22
x1 x2
0 0
第四章两自由度系统的振动介绍
第四章两自由度系统的振动介绍第四章是关于两自由度系统的振动的介绍。
在这一章中，我们将探讨两自由度系统的振动模型、动力学方程，并讨论其解析解和数值解。
此外，我们还将介绍两自由度系统的模态分析、共振现象以及一些相关的应用。
两自由度系统是一种具有两个自由度的振动系统，它由两个具有质量和弹性的物体通过柔性连接件或刚性连接件相互连接而成。
这些物体可以是质点、弹性体或刚体等，而连接件可以是弹性杆、弹簧、细梁等。
在两自由度系统中，每个物体都可以做平动或转动运动，因此系统具有两个自由度。
例如，双摆锤、双弹簧振子等都属于两自由度系统。
两自由度系统的动力学方程可以由拉格朗日方程或牛顿第二定律得到。
得到动力学方程后，我们可以通过解方程得到系统的解析解，以获得系统的振动特性。
在分析解时，通常要求系统的运动是简谐振动或近似简谐振动。
另一种求解两自由度系统的方法是数值解法。
数值解法可以通过数值积分来近似求解动力学方程，这种方法常用于求解复杂的系统，或者对系统参数进行优化等情况。
分析解和数值解法可以用来研究两自由度系统的固有振动频率、振型和动态响应等。
通过模态分析，我们可以得到系统的固有频率，并确定每个模态的振型。
对于实际工程问题，模态分析可以帮助我们了解系统的共振情况，并设计出合适的控制策略，以求减小共振现象的发生。
共振是两自由度系统中一个重要而常见的振动现象。
当外力的频率与系统的固有频率接近时，系统会发生共振现象。
共振的发生会导致系统振幅的急剧增加，并且可能对系统的稳定性产生不利影响。
因此，在设计过程中，需要避免共振现象的发生，并采取合适的措施来控制共振。
此外，两自由度系统的振动也有许多实际应用。
例如，双摆锤可以用来研究天体运动和天文学现象；双弹簧振子可以用来研究建筑物或桥梁的振动特性；双振子可以用来研究分子振动和分子动力学等。
总而言之，两自由度系统的振动是一种普遍且重要的物理现象。
通过对两自由度系统进行建模和分析，我们可以深入了解系统的振动特性，并在实际应用中进行优化和改进。
第三章 两自由度系统
物理坐标：根据分析系统工作要求和结构特点而建立的坐标 物理坐标运动表达式
1 1 xt A1 sinn1t 1 A2 sinn 2 t 2 r1 r2
四．初始条件引起的自由振动
施加于系统的初始条件
x1 0 x10 , x2 0 x20
2
F x2 (t ) sin t k2
X 1 0
k2 x2 (t ) F sin t
1 X 2 2
X0 F k 2
2
在任何时刻，吸振器施加于主系统的力 精确地与作用于主系统的激励力平衡。
由主系统和吸振器组成的两自由度系统的特征方程
二．广义坐标和坐标耦合
汽车简化为二自由度系统，即一根刚性杆（车体的简化模型） 支承在两个弹簧（悬挂弹簧和轮胎的模型）上，刚性杆作跟 随其质心的上下垂直振动和绕刚性杆质心轴的俯仰运动。
m 0
0 x1 k1 k 2 Jc k a k 2 b1 1 1
k12 x1 F1 t k 22 x 2 F2 t
m11 m 21
m12 x1 c11 m22 x c 21 2
c12 x1 k11 c 22 x k 21 2
0 x 2 0 2 2 k1 a 2 k 2 b2 0
方程通过惯性项相互耦合，叫做运动耦合或惯性耦合
选坐标
x3
和
，
m a x 3 m k1 k 2 m a J k2 L A
两个自由度系统频率和模态测量实验
两个自由度系统频率和模态测量实验一、实验目的1、研究具有两集中质量的悬臂梁的动力系统特性，并将基本概念、方法及所得结论推广到多自由度系统；2、掌握结构（系统）的固有频率和振型的基本概念及其物理意义，加深对两自由度结构（多自由度系统）自由振动的规律及特性的认识；3、掌握模态实验的基本步骤和方法，加深对结构动力学基本理论的理解；4、了解动态测试仪器的基本工作原理，熟悉模态分析软件的基本操作过程及使用方法。
二、实验内容1、测试具有两个集中质量的悬臂梁的固有频率和振型；2、根据实验数据计算质量归一化振型； 三、实验原理1、参数识别基本理论本实验采用锤击法测定具有两个集中质量的悬臂梁的固有频率和振型，采用分量分析法进行上述参数的识别。
首先测试系统的频响函数，依据结构动力学理论，运算得出、r s 两点间的频响函数可写成下式：rs H ()()()21(12)nr ri sirs i s i i i i X H F k i ωϕϕωωλζλ===−+∑(1)由于实验测试为加速度响应，设圆频率为ω，位移函数,sin t X x ω=因此加速度函数为2sin a X t 2x ωωω=−=−，用复数表示后，参照(1-1)式可得到加速度频响函数为2221(12)nari si r rs i s i i i iX H F k i ϕϕωωλζλ=−==−−+∑ (2) 由公式(1-2)可知，当k ωω=时，1k λ=，此时式(1-2)可近似写为：2()22ark sk rk sk rs k k k k k kH i k i m ,ϕϕϕϕωωωζζ==−=− (3) 它对应频响函数ars H 的幅频曲线的第k 个峰值，其中在上面(1-3)2kk kk m ω=式中为第阶模态质量。
改变k s 点的位置，在不同点激振，可以得到不同点与点之间的频响函数，当r s r =时，可得到点r 处的原点频响函数为：221(12)nari ri rr i i i H k i ϕϕωi λζλ==−−+∑ (4) 它的第个峰值为：k 2()2ark rk rr k k k kH i k ,ϕϕωωωζ==− (5)由(1-3)/ (1-5)得到()()a rs k skarr k rkH H ωωϕωωϕ=== (6) 若另，就可得到：1rk ϕ=(()ars k sk arr k H H )ωωϕωω=== (7) 由(1-7)式，令1,2,,s n ="，就可得到第阶主振型的各个元素。
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
二自由度系统振动
二自由度系统振动
两自由度
二自由度系统振动
四自由度
缺点：车轮、车身模型也相对简单（车身简化为一个 自由度，没考虑前后车轮二自的由度影系响统振）动 。
车辆悬架
二自由度系统振动
车辆悬架结构简图
七自由度
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
建立振动微分方法： 牛顿运动定律 拉格朗日方程
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m 0 1m 0 2 x x 1 2 c 1 c 2 c 2c 2 c 2 c 3 x x 1 2 k 1 k 2 k 2k 2 k 2 k 3 x x 1 2 F F 1 2 ( ( t t) )
例1：两自由度弹簧阻尼质量系统
二自由度系统振动
2.1 两自由度系统的振动微分方程
取 置
为m坐1、标m原2
静平衡位 点，水平
向右为两个坐标的正
向，根据牛顿第二定
律得到:
m1x1 k1x1 c1x1 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) F1(t) m2x2 k2 (x1 x2 ) c2 (x1 x2 ) k3x2 c3x2 F2 (t) 整理,得 m m 2 1 x x 2 1 c (c 2 1 x 1 c 2 (二) c x 2 自1 由 度c 系c 3 统2 )x x 振2 2 动 ( k k 2 1 x 1 k 2 () k x 2 1 k k 3 2 )x x 2 2 F F 1 2 ( (tt) )
U
1 2
k1 x12
1 2
k2 ( x1
x2 )2
1 2
k3 x22
1 2
x
1ห้องสมุดไป่ตู้
第三章 两自由度系统的振动
设两质量块振动时按同频率和同相位作简谐振动，即：令
一组解x1 A1 sin( t )、x2 A2 sin( t )，代入方程后得： [(a 2 ) A1 bA2 ]sin( t ) 0 [cA1 (d 2 )A2 ]sin( t ) 0
(a 2 ) A1 bA2 0
cA1
(d
一阶主振型。
例
练习1 如图，推导系统的频率方程并 求主振型。设滑轮为均质圆盘， 其质量为m2，质量块质量为m1， 弹簧刚度分别为K1和K2，并假定 滑轮与绳索间无相对滑动。
解：选取广义坐标为（ ），
取静x,平 衡位置作为坐标原点，
进行受力分析，建立系统的运 动微分方程：
m1x K1(x r) I0 K1(x r)r K2r 2
1) 当作用于系统的主动力都是有势力时（系统没有能
量损失时），则系统具有势能U（q1,q2,···,qn)，广义力
为
Qj
U q j
( j 1, 2, , n)
代入方程得： d ( T ) T U 0 dt qj q j q j
( j 1, 2, , n)
或
d ( L ) L 0 ( j 1, 2, , n)
m1l 21 (m1gl Ka2 )1 Ka22 0 m2l 22 Ka21 (m2gl Ka2 )2 0
1 2
K2 (u2 u1)2
u1
u2
代入拉氏方程，得系统的微分方程
(m1
m2 2
)u1
m2 2
u2
(K1
K2 )u1
K2u2
0
m2 2
u1
3u2 2
u2
K 2u1
K2u2
0
m1
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a
b
-1
二自由度系统的固有振型 a）第一阶（对称） b）第二阶（反对称）
-Chapter
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14
结论
• • • 每一阶固有振动都是同步自由振动，在振动中两质量块总是同时 到达峰值或同时经过平衡位置（同相或反相）。 作第一阶固有振动时两质量块始终保持相同运动方向，且振幅相 同，中间弹簧无变形。 作第二阶固有振动时两质量块始终保持相反运动方向，且振幅相 同，中间弹簧的中点总是静止不动的。该点称为该阶固有振动的 节点。
-Chapter
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8
2.2 无阻尼系统的自由振动 2.2.1 固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
二自由度振动系统
运动微分方程
m1 0 u1 k1 k2 0 m u k 2 2 2
-Chapter
k2 u1 0 k2 k3 u2
-Chapter
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11
性质 固有振型反映了二自由度系统作某一阶固有振动时 两质量块的位移比例关系，两质量块的固有振动总是 同频率的简谐振动，可能同相，可能反相。 固有振型只能确定到相差一个实常数因子的程度。
-Chapter
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12
例 2.2.1 如图中，取 m1 m2 m, k1 k3 k , k 2 k，确定 系统的固有振动。
det(K 2 M ) 0
解此特征方程得到固有频率ωr，二自由度无阻尼系统的 第r阶自由振动形式为
-Chapter
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10
1r ur (t ) φr sin( r t r ) sin( r t r ), r 1,2 2 r
l1
汽车简化力学模型－二自由度
-Chapter
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3
汽车动力学模型 a）7 个自由度系统 b）4 个自由度系统 c）2 个自由度系统 d）1 个自由度系统
-Chapter
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4
-Chapter
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5
2.1 系统运动微分方程 运用牛顿第二定律来建立二自由度系统的运动微分方程
-Chapter
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6
用矩阵表示上述方程
m1 0 1 c1 c2 0 u 2 c2 m2 u 1 k1 k 2 c 2 u 2 k2 c2 c3 u k 2 u1 f1 k 2 k 3 u 2 f 2
1
第二章 二自由度系统的振动 单自由度系统难以描述工程问题中的实际情况。如汽车 的简化模型，车架有俯仰运动和上下的运动组成，因此 需要用两个坐标来描述，是一个二自由度的振动系统。 如果更精细，需要更多的坐标描述，那就是多自由度系 统。
-Chapter
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2
x C θ k2 l2
k1
可见，二自由度无阻尼系统具有两种不同频率的同步自由 振动。两个频率仅取决于系统的弹性和惯性（质量和转动 惯量等）特性。我们将两个频率从大到小依次称为第一阶 固有频率和第二阶固有频率，相应的振动称为第一阶固有 振动和第二阶固有振动。 第一阶和第二阶固有振动的振型，简称固有振型，是用向 量形式描述系统作固有振动时两坐标位移的比例关系。
k m1
k2＝μk m2
k
二自由度振动系统
-Chapter
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13
可得系统的两个固有振型为
1 k 1 (1 2 )k u1 (t ) 1 sin t 1 , u2 (t ) 2 sin t 1 m 1 m 1
或
(t ) Cu (t ) Ku(t ) f (t ) Mu
质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，位移向量和激振力向 量
-Chapter
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7
耦合——运动的相互关联 弹性耦合（刚度耦合）——刚度矩阵不是对角阵 惯性耦合——质量矩阵不是对角阵 阻尼耦合——阻尼矩阵不是对角阵 解耦 —— 选取适当的坐标，把各种耦合消除，叫解耦， 解耦后各个方程为独立方程，可以方便的独立求解。
1 1 1
a
b
-1
二自由度系统的固有振型 a）第一阶（对称） b）第二阶（反对称）
-Chapter
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9
设 u = u1 其解的形式
u1 ，上式写成T Nhomakorabea(t ) Ku(t ) 0 Mu
1 u(t ) φ sin(t ) sin(t ) 1 代入得方程
( K 2 M )φ 0
方程有解的条件为系数矩阵的行列式为零，也就是
1 1 1
a
b
-1
二自由度系统的固有振型 a）第一阶（对称） b）第二阶（反对称）
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15
•
•
•
•
固有振型可以用向量描述系统固有振动的运动模式，称为模态 （系统的运动模式，包含频率和振型）。 固有模态——无阻尼系统的固有频率和固有振型称为系统的固有 模态。固有振型的向量也称为模态向量。 固有模态为系统的内在特性，只和系统的特性参数有关，和外界 激励无关。 无阻尼系统的固有振动为系统可能存在的两种运动形式，到底为 哪一种或者两种运动形式的哪种线性组合，取决于系统振动的初 始条件。与单自由度系统的固有振动不同。
u1 k1 f1 m1 c1 c2 二自由度振动系统 k2 f2 m2 c3 u2 k3
1 k1u1 k 2 (u1 u 2 ) c1u 1 c2 (u 1 u 2 ) f1 (t ) m1u 2 k 3u 2 k 2 (u 2 u1 ) c3u 2 c2 (u 2 u 1 ) f 2 (t ) m2 u