机械振动二自由度讲解
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第三章 两自由度系统
k12 x1 F sin t k 22 x 2 0
M x K x F sin t
三．方程求解
令方程的解为
jt xt X e
X1 X X 2
k 2 L x3 0 2 k 2 L 0
方程含有静耦合和动耦合
结论：
1. 2. 3. 4. 5. 描述一个两自由度系统的运动，所需要的独立坐标数是 确定的、唯一的，就是自由度数2。但为描述系统运动 可选择的坐标不是只有唯一的一组。 对于同一个系统，选取的坐标不同，列出的系统运动方 程的具体形式也不同，质量矩阵和刚度矩阵对不同的坐 标有不同的具体形式。 如果系统的质量矩阵和刚度矩阵的非对角元有非零的元 素，则表明方程存在坐标耦合。坐标耦合决定于坐标的 选取，不是系统的固有性质。 方程中存在耦合，则各个方程不能单独求解。 同一个系统，选取不同的坐标来描述其运动，不会影响 到系统的性质，其固有特性不变。
2 随
变化的曲线
§3.3无阻尼吸振器
一．物理模型
二．数学模型
m1 x1 k1 x1 k 2 x2 x1 F sin t m2 x2 k 2 x2 x1 0
m1 0 x1 k1 k2 k2 x1 F sin t 0 m x k k2 x2 0 2 2 2
可以解出两自由度系统的两个固有频率。
§3.4有阻尼振动
一．自由振动
1.物理模型
2.数学模型
m1 x1 c1 c2 x1 k1 k 2 x1 c2 x2 k 2 x2 0
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
x2 A2 sin(nt ) A2 x1 A1 sin(nt ) A1
这样，在振动过程中系统其他各点的位移都可由x1和x2 所决定，并且系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。
2 上式是关于 n 的一元二次方程，称为频率方程或特征方程，
装备制造学院
2 n 1, 2
ad ad 2 ( ) bc （3-9） 2 2
College of Equipment Manufacture
由于刚度K1、K2、K3和质量m1、m2都是正的，所以，式 n1 和 n 2 为实 中a、b、c、d系数都是正数，根号项恒为正， 数；而且由于 ad>bc，式（3-9）中的根号项小与前面的项， 2 2 n1 和 n 2 只与振动 所以 n 1 和 n 2 为方程的两个正实根。 系统本身的物理性质有关，称为系统的固有频率，也可称为 主频率。 较低的 n1 ，称为第一阶固有频率，简称基频；较高的 n 2 称为第二阶固有频率。 理论证明，n个自由度系统的频率方程是 的n次代数方 程，在无阻尼的情况下，频率方程有n个正实根，故固有频 率的个数与系统的自由度数相等。
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
振幅的大小可由振动系统的初始条件来确定，但当系统 按任一固有频率振动时，振幅比和固有频率一样，取决于振 动系统本身的物理性质。 由式（3-6）可以看出，在任一瞬时两质量m2和m1的 位移比值，同样也是确定的，并等于振幅比，即：
3.1.1二自由度振动微分方程
机械、汽车等的实际结构简化成二自由度系统模型后， 要研究其振动问题，关键在于建立系统的运动微分方程。 在选定广义坐标后，利用牛顿第二定律求系统运动方程。 下图为所示的二自由度系统，建立运动微分方程。
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
第四章 两自由度系统的振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
第十一讲—二自由度系统强迫振动
机械与运载工程学院第十一讲二自由度系统强迫振动2机械与运载工程学院运动方程m 1m 2k 3k 1k 2x 1x 2P 1(t )P 2(t )k 1x 1k 2(x 1-x 2)11x m m 1P 2(t )k 2(x 1-x 2)22xm m 2k 3x 2⎩⎨⎧=+−−=−++)()()()(2332122212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P x x k k k k k k x x m m3机械与运载工程学院1θk 1I 2θ2I 2θk 3θk )(1t M )(2t M 1θ11θθk 11θ I )(1t M )(212θθθ−k 22θ I )(2t M 33θθk )(122θθθ−k 1111121212222332()()()()I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩运动方程：矩阵形式：122111122322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4机械与运载工程学院⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t Px x k k k k k k x x m m⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t M t M k k k k k k I I θθθθθθθθθθ 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度振动有阻尼及强迫振动响应
12224133442413111333031133sin333wwwwwwwwwwwwwwt?????????????????????????式39这样我们就将式31变成式39由于式39只有4个一阶微分方程所以代入到ode45函数并给出求解初值和区间便可以解出两个质量块在物理坐标系下的解
Harbin Institute of Technology
7
哈尔滨工业大学课程设计
理坐标系下： x(1)= 1.27*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.0236*sin(3.0*t) - 0.00203*cos(3.0*t) + (0.502*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.0859*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.492*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.00198*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.236*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) x(2)= (1.51*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) - 0.0709*sin(3.0*t) 3.8*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.00608*cos(3.0*t) + (0.258*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) - (1.48*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.00593*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.707*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) 利用 Matlab 作图可得图（3-2） ，图中实线为图（2-1）中的质量块 1 的运动，图中 虚线为图（2-1）中的质量块 2 的运动。
Harbin Institute of Technology
7
哈尔滨工业大学课程设计
理坐标系下： x(1)= 1.27*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.0236*sin(3.0*t) - 0.00203*cos(3.0*t) + (0.502*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.0859*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.492*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.00198*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.236*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) x(2)= (1.51*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) - 0.0709*sin(3.0*t) 3.8*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.00608*cos(3.0*t) + (0.258*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) - (1.48*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.00593*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.707*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) 利用 Matlab 作图可得图（3-2） ，图中实线为图（2-1）中的质量块 1 的运动，图中 虚线为图（2-1）中的质量块 2 的运动。
动力学-二自由度系统的自由振动
x1 x2
0
MX KX 0
求如下形式的解：
X
c c '
cost
特征方程
2M K 0
(k2 m22 )(k1 k2 m12 ) k22 0
方程有正实根： 1,2
特征向量：
i2 MKຫໍສະໝຸດ c c '0,
i
1,2
如果
X
c c '
cost
是解,
方程的通解：
则
X
c c '
sin
第七章 机械振动基础
• 当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变 化时，称之为振动。
•力学和机械系统中的振动称为机械振动。
研究振动的目的： 1. 振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动
§7-4、二自由度系统的自由振动
一、运动微分方程的建立
取静平衡位置为坐标原点：
k1
m1
x1
T
1 2
m1x12
m122
c4
振型： 第一振型
第二振型
1
u(1)
k1
k2 m112
k2
1
u(2)
k1
k2
m1
2 2
k2
二、二自由度系统自由振动的特性
系统的固有频率、振型与初始条 件无关，仅与系统的参数有关。
三、一般的二自由度系统
二自由度系统的动力学方程
m11 m21
m12 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0
MX KX 0
M：广义质量矩阵，K：广义刚度矩阵
1 2
m2 x22
k2
m2
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
机械转子陀螺仪-二自由度解析
J xcos H M x J y H cos M y
二自由度陀螺 运动方程：力矩投影
J xcos H M x J y H cos M y
力矩的变换
M x1 M x cos
代入上式，得到
J xcos
二自由度陀螺 运动方程：推导
根据动量矩定理和苛氏定律 dH dH~ H M
dt dt
其中
dH~ dt
Jx
d x
dt
i Jy
d y
dt
j Jz
d ( x
)
k
dt
i
j
k
H x y
z
J x x J y y J z ( z )
M y t (0.345度 / 分) (1分) 0.345 度
H
章动振幅
JeM y H2
41 10000
2
rad
1.36 10 3角秒
章动频率
H 10000 2500 rad / sec 397 Hz
Je
4
常值干扰力矩的产生原因及影响
二自由度陀螺 正弦响应：输入输出
如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示：
M y (t) M y0 1(t)
M
y
(s)
M y0 s
陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为：
(s)
s(
J
x
J
H ys2
H
2
)
M y0 s
(s)
Jx JxJys2 H 2
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动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说， 对任意的位移，任意的速 度，必然有
ET
1 {x'}T [M ]{x'} 0 2
U 1 {x}T [K ]{x} 0
2
D 1 {x'}T [C]{x'} 0
2
由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩
U
1 2
k1x12
1 2
k2 (x2
x1 ) 2
1 2
k3 x22
1 2 {x1,
x2}T
k1 k2
k2
k2 k2 k3
xx12
1 2
{x}T
[K
]{x}
系统的能量 耗散函数
D
1 2
c1x'12
1 2
c2
(x'2
x'1
)2
1 2
c3 x'22
U
1 2
[k1
y
2 A
k2( yA
Lq )2 ]
1 2
{
y
A
,q
}k1k2 Lk2
mL1 mL12
Ic
y'
q
A
'
k2L k2 L2
yA
q
yA和q下的运动微分方程为
示例：
不同坐标系下的运动微分方程
四个广义坐标yA，yB，yC，q，
1．取广义坐标为yc，q
系统的动能 和势能为：
ET
1 2
my'c2
1 2
Icq
'2
1 2
{
y'c
,q
m
'}
0
0 Ic
y'c
q'
U
1 2
{
yc
,q
}k2
k1 L2
k2 k1L1
c2 (x'1 ) k3x2
x'2 )
c3
x
' 2
mm21xx""21
(c1 c2 )x'1c2 x'2 c2 x'1(c2 c3 )x'2
(k1 k2 )x1 k2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2
F1 (t ) F2 (t)
设： {x} {x1, x2}T {x'} {x'1 , x'2 }T {x"} {x"1 , x"2 }T {F(t)} {F1(t), F2(t)}T
1 2 {x'1
,
x'2
}c1c2c2
c2 c2 c3
xx''12
1 2
{x'}T
[C]{x'}
利用这三个函数可以分别求出三 个矩阵的各个元素
mij
2ET xix j
,
2U kij xix j ,
2D cij xix j
[M
]
m1
0
0
m2
[C]
c1 c2
c2
c2
c2
c3
[K
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
[M ]{x"}[C]{x'}[K]{x} {F(t)}
矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将 数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了
多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵
mij m ji cij c ji kij k ji
系统的动 能为
ET
1 2
m1x'12
1 2
m2
x'22
1 2
{x'1
,
x'2
}m01
0 m2
xx''12
1 2
{x'}T
[M
]{x'}
系统的势 能为
这个方程不存在惯性耦合
k2L2 k1L1 0 时方程存在弹性耦合 k2L2 k1L1 0 对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
2．取广义坐标为yA，q
系统 的动
ET
1 2
[m(
y'A
L1q
')2
Icq
'2
]
1 2
{
y'
A
,q
m '}mL1
能和
势能
为：
定义
设有实二次型
f
xT
Ax,
如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型，
并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。
阵也是正定矩阵。
上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自
由度系统和n自由度系统。
[M
]
m1
0
0
m2
[C]
c1 c2
c2
c2 c2源自c3 [K
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
将m1，m2联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影 响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分 方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在 耦合。如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角 矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。
k2 L2 k1L12
k1L1 k2 L22
yc
q
yc和q下的运动 微分方程为
m
0
0 Ic
y
q
k2
k1 L2
k2 k1L1
k2 L2 k1L12
k1L1 k2L22
yc
q
{0}
第三章 二自由度系统
常见的二自由 度系统模型 注意：自由度 的概念
模型－－单元体分离－－力平衡关系－－运动微分方程
运动微 分方程
mm21xx""21
F1(t F2 (t
) )
k1x1 k2 (x2
c1
x
' 1
x1)
k2 (x1 x2 ) c2 (x'2 x'1
定理
实二次型
f
xT
Ax
为正定的充分
必要条证件是设：可它逆的变标换准x形 的Cy使n 个系数全为正。
n
f ( x) f (Cy) kyi2 . i 1 上页 下页 返回
如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分
方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单 独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关 键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一 坐标系下同时成为对角矩阵。