机械振动4两自由度系统的动力学方程1-2全解
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《理论力学 动力学》 第十一讲 两个自由度系统的自由振动
两个自由度系统的振动理论曾凡林哈尔滨工业大学理论力学教研组本讲主要内容1、两个自由度系统的自由振动2、两个自由度系统的受迫振动1、两个自由度系统的自由振动（1）模型的简化同一物体的振动可以简化为不同的振动模型。
C研究上下平移振动研究前后颠簸振动两个自由度系统的自由振动模型112122222122()00mxk k x k x m x k x k x ++-=üý-+=þ&&&&2212121m k d m k c m k k b ==+=，，令方程变为：11221200xbx cx x dx dx +-=-+=&&&&，根据微分方程理论，可设上列方程组的解为：)sin()sin(21q w q w +=+=t B x t A x ，其中：A 、B 是振幅；ω为角频率，θ是初始相位角。
将上式代入微分方程组，得到：)sin()sin()sin(0)sin()sin()sin(22=+++++-=+-+++-q w q w q w w q w q w q w w t dB t dA t B t cB t bA t A 整理后得到：0)(0)(22=++-=--B d dA cB A b w w ，系统振动时，方程组具有非零解, 则方程组的系数行列式必须等于零，即：22=----ww d dc b —频率行列式①固有频率1、两个自由度系统的自由振动)()(24=-++-c b d d b w w 行列式展开后得到：—系统的本征方程，又称为频率方程21,22b d w +=m 2b d +=m i ω2的两个根都是实数，而且都是正数。
ii ω2的第一个根较小，称为第一固有频率。
iii ω2的第二个根较大，称为第二固有频率。
结论：两个自由度系统具有两个固有频率，这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关，而与振动的初始条件无关。
机械振动 第4章-二自由度系统的振动
(13)
4.2.2 有阻尼二自由度系统的自由振动
写成矩阵形式为：
K x 0 x Cx M
其中：
(14)
m11 m12 m1 0 M m m 0 m 21 22 2 c11 c12 c1 c2 c2 C c c c c 21 22 2 2 k11 k12 k1 k2 k2 K k k k k 21 22 2 2
2 2 如果行列式 K 不是负的，必然 0 b 4ac b ，将 n1
2 n 2
2 2 代入(6)，不能求得振幅A1和A2确定值，但可得对应于 n1 n 2 下的比值
称之为振幅比。振幅比决定了振动的振型 2 k22 n A1(1) k12 1m2 r1 (1) 2 A2 k11 n k21 1m1
运动微分方程
1 c2 x 2 (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 (t ) x1 (c1 c2 ) x m1 1 c2 x 2 k2 x1 k2 x2 F2 (t ) x2 c2 x m2
K x F (t ) x C x M
2 k11 m1n k21
k12 0 2 k22 m2n
(6)
4.2.1 无阻尼二自由度系统的自由振动
展开(6)得行列式：
2 2 2 (k11 m1n )(k22 m2n ) k12 0
m1m2 ( ) (m1k22 m2 k11 ) k11k22 k 0
A1(2) 2 1 5 r2 (2) 1.618 A2 2 1 5
例题4-1
r1
0.618
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
第四章 两自由度系统的振动
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
动力学-二自由度系统的自由振动
x1 x2
0
MX KX 0
求如下形式的解：
X
c c '
cost
特征方程
2M K 0
(k2 m22 )(k1 k2 m12 ) k22 0
方程有正实根： 1,2
特征向量：
i2 MKຫໍສະໝຸດ c c '0,
i
1,2
如果
X
c c '
cost
是解,
方程的通解：
则
X
c c '
sin
第七章 机械振动基础
• 当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变 化时，称之为振动。
•力学和机械系统中的振动称为机械振动。
研究振动的目的： 1. 振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动
§7-4、二自由度系统的自由振动
一、运动微分方程的建立
取静平衡位置为坐标原点：
k1
m1
x1
T
1 2
m1x12
m122
c4
振型： 第一振型
第二振型
1
u(1)
k1
k2 m112
k2
1
u(2)
k1
k2
m1
2 2
k2
二、二自由度系统自由振动的特性
系统的固有频率、振型与初始条 件无关，仅与系统的参数有关。
三、一般的二自由度系统
二自由度系统的动力学方程
m11 m21
m12 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0
MX KX 0
M：广义质量矩阵，K：广义刚度矩阵
1 2
m2 x22
k2
m2
04-1 两自由度系统的振动
主振型向量或模态向量： (1) 1 A 1 A( 2 ) 1 2 振型图：以横坐标表示系统中各点的静平衡位置，以纵坐标表示各 点在振动过程中振幅比的大小，由此所画出的图形。
主振型向量 或模态向量
主振动
燕山大学
Yanshan University
主振动：系统按某一阶固有频率和相应主振型所作的振动。
第一阶主振动：
x1(1) A1(1) sin( n1t 1 )
(1) x2
(1) (1) A2 sin( n1t 1 ) 1 A1 sin( n1t 1 )
整理得系统运动微分方程：
燕山大学
Yanshan University
引入符号：
K1 K 2 a , m1 K2 b , m1 K2 c , m2
1 ( K1 K 2 ) x1 K 2 x2 0 m1 x 2 K 2 x1 ( K 2 K 3 ) x2 0 m2 x
第二阶主振动：
x1( 2 ) A1( 2) sin( n 2 t 2 )
( 2) x2
( 2) ( 2) A2 sin( n 2 t 2 ) 2 A1 sin( n 2 t 2 )
结论：系统作主振动时，各点同时经过平衡位置、同时达到最 大极限位置，并以相同的频率和确定的振型作简谐振动。
2 K 5K m 2m 0.5 K m
燕山大学
Yanshan University
第二阶主振型 第一阶主振型
4.1.3 无阻尼自由振动的通解 由上述分析可见：
燕山大学
Yanshan University
机械振动基础 第三章 二自由度系统讲解
的微分方程解
的微分方程解
注：红色路线代表走不通，绿色路线代表可走通
例3.3 如图所示系统。设m1＝m2=m。这是个对称系统， 对称点为k1的中点。取向右为x轴的正方向。
m1
0
0 m2
xx12
c1 c2
c2
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合
如果k2L2 k1L1=0，则刚度矩阵为对角矩阵，方程已经解耦。 这时系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
3.取广义坐标为yA，yB
由
yC yB
yA yA
L1 L
L
L1
L2
yC
yA
L1 yB
yB L
yA
yA
L2 L
yA
yA yB
mij
2ET xix j
,
kij
2U xix j
,
cij
2D xix j
例如：对系统的动能函数ET
1 2 m1
x12
1 2 m2
x22
利用公式mij 2ET 得：m11 2ET =m1
xi x j
x12
m12 2ET =0 x1 x2
m21 2ET =0 x2 x1
m22 2ET =m2 x22
§3.3 不同坐标系下的运动微分方程 例3.2 汽车的二自由度振动模型如图3—3所示。
——汽车板簧以上部分被简化成为一根刚性杆，具有 质量m和绕质心的转动惯量Ic。质心位于C点。 ——分别在A点和B点与杆相连的弹性元件k1、k2为汽 车的前、后板簧。
只考虑杆的竖向运动（平动）和绕质心的转动（转动）。 系统的动能和势能为
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
两个自由度体系自由振动例题.ppt
4A 3 A 1 2 0 6 A 8 A 0 1 2
3. 频率方程
D
2
4. 求主振型 将λ=λ1代入振型方程， 得
4
6
3 0 8
12 14 0
10 . 6904 , 1 . 3096 1 2
1
6EI 1 EI 0 . 7499 ml3 1 ml3
4A 3 A 1 2 0 A 6 A 8 1 2 0
A 21 1 4 2 .230 A 3 11
6EI 1 EI 2 2 . 140 ml3 2 ml3
1 A 2 . 230
1 1 21 2 2 22
a/2 a 1
3 3 a a , 11 22 6 EI EI
a3 12 21 4EI
m
a
1
m
a a
2
2. 振型方程
) A m A 0 1 12 2 2 2 1 21m 22m2 2 )A2 0 1A 1 ( (11m 1 1
3 a3 1 a 解：1. 运动方程 m A mA 0 2 2 1 6EI 4 EI 3 3 y ( t ) m y ( t ) m y ( t ) a a 1 1 1 1 11 2 2 12 mA m A 0 1 2 EI 4EI 2
3
0
2 14 15 0
12 . 8310 , 1 . 1690 1 2
1 2
12EI 1 EI 0 . 9671 ma3 1 ma3 12EI 1 EI 3 . 2039 ma3 2 ma3
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c2
m m 轮
c3 k3
m轮
c3
优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相 互耦合，模型较为精确 需多个独立坐标 问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？
《机械振动》 4
本章教学内容
§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 自由振动 静力耦合和动力耦合 任意初始条件的自由振动 简谐激励的强迫振动 动力减振器
m1 x 1 k11 x1 k12 x2 0
k2 k11 k12 k2 k3 k21 k22
m2 x 2 k21 x1 k22 x2 0
（4.1-4）
x1 u1 f (t ), x2 u2 f (t )
找x1与x2同步运动的解：
x2 k3
k1x1
k2(x1-x2)
m1
1 m1 x
m1 x 1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0
k2(x1-x2)
m2
k3x2
m2 x 2 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 0
写成矩阵形式： 其中：
2 m2 x
M x Kx 0
代入方程得：
(k11 2 m1 )u1 k12u2 0 k21u1 (k22 m2 )u2 0
2
（4.1-10）
代数方程，有非零解的条件：
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
《机械振动》
特征行列式，
9
2 k m1 k12 2 11 ( ) 0 2 k21 k22 m2
《机械振动》
5
§4.1
自由振动
两自由度系统的动力学方程一般由两个联立的微分方 程组成。 解两个联立的微分方程会得到两个特征根，即两个固 有频率。 两自由度系统以固有频率进行的振动，
有两个相对固定的位移形态。
这种相对固定的位移形态称为固有振型，或模态。
《机械振动》 6
实例：
k1 m1
x1 k2 m2
ห้องสมุดไป่ตู้
m1 0 M 0 m 2
k1 k2 K k2
k2 x x1 x 2 k 2 k3
质量矩阵
刚度矩阵
《机械振动》
位移向量
7
令k1 k2 k11，
k2 k12 k21，
k2 k3 k22。
k1 k2 K k2
《机械振动》 8
f(t ) f (t ) 0
与单自由度振动的方程一样，要有振动，λ必须为正实数。
而且解为： f (t ) C sin(t )
（4.1-9）
其中：C为任意常数， 为振动频率， 为初相位角。
xi ui f (t ) Cui sin(t )， (i 1,2)
代入方程得：
m1u1 f(t ) (k11u1 k12u2 ) f (t ) 0 m2u2 f(t ) (k21u1 k22u2 ) f (t ) 0
要使上式有解，必须：
f(t ) k11u1 k12u2 k21u1 k22u2 f (t ) m1u1 m2u2
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 2 k12 k u (k11 i m1 )u1 k12u2 0 11 i m1 2 2 2 k u k k21u1 (k22 i m2 )u2 0 22 i m2 1 12
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称为振型向量或模态向 量，分别对应于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin(i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin(i t i )，
《机械振动》 11
(1) x 1 (1) (1) 1 (t ) 得： x (t ) (1) u f1 (t ) C1 sin(1t 1 ) r1 x2 (t )
《机械振动》 10
(1) u2 k11 12 m1 k12 得：r1 (1) u1 k12 k22 12 m2 ( 2) 2 u2 k11 2 m1 k12 r2 ( 2) 2 u1 k12 k22 2 m2
(1) 1 u (1) (1) 1 得矩阵： u (1) u1 r1 u2 ( 2) 1 u ( 2) ( 2) 1 u ( 2) u1 r2 u2
m人
k1 c1
m车
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自 的弹性和阻尼 k2
c2
需两个独立坐标
优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响
《机械振动》 3
m人
k1 c1
m车
k2 建模方法3： 车、人、车轮的质量分别考虑， 并考虑各自的弹性和阻尼 k3 c2 k2
2 ( 2 ) m1m2 4 (m1k22 m2k11 ) 2 k11k22 k12 0
2 12 1 m1k 22 m2 k11 1 m1k 22 m2 k11 2 k11k 22 k12 2 ( ) 4 m1m2 2 m1m2 m1m2 2 2
第四章
两自由度系统的振动
《机械振动》
1
例子：汽车行驶在路面上会产生上下振动 m
k 要求：对汽车的上下振动进行动力学建模 分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合 建模方法1： 将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼 优点：模型简单（单自由度） 缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之 2 《机械振动》 间的相互影响 c