2W2018高一函数概念——三要素

函数概念及三要素2018.9.22
函数是个很抽象的概念，有着宽阔的外延，建立起完整的函数思想需要一个过程，理解函数的概念对培养抽象思维能力十分有利，函数是解决很多代数问题的工具，而熟练掌握函数三要素即是开始！
函数是定义在非空数集上的一个映射，函数是变量间一种关系。

一、函数概念
1.下列每组中两个函数是同一函数的组数共有（）
（1）2()1f x x =+和2()1f v v =+
(2)y =
和2
y x =+(3)y=x 和321
x x y x +=+(4)
y=
和y =A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
2.具有性质：⎪⎭
⎫ ⎝⎛x f 1＝－f（x）的函数，我们称之为满足“负倒”变换的函数，下列函数：①y＝x－1；②y＝x＋1；③y＝,010,11,1x x x x x
⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪->⎩，其中满足“负倒”变换的函数是（）
A．①②B．①③C．②③D．①
3.)(x f 满足对任意的实数b a ,都有),()()(b f a f b a f ⋅=+且2)1(=f ，则=++++)
2017()2018()5()6()3()4()1()2(f f f f f f f f ()A.1007 B.2014 C.2018 D.1009
4.函数220()10x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，且(1)()2f f a +=-，则a 的取值集合为()A ．{13
-}B ．{1-}C ．{11,1,3--}D ．{1,1-}
二、函数定义域、值域5.1）已知函数)(x f 的定义域为[]1,3-，则函数)54()12()(x f x f x F -+-=的定义域为
2）已知函数6)1(3)1()(22+-+-=
x a x a x f 的定义域为R，则实数a 的取值范围6.已知函数a a ax x f ),0(,1)(<+=为常数，在(]1,∞-上有意义，则实数a 的取值范围是
7.函数[]3,3,5)4)(3)(2)(1()(-∈+++++=x x x x x x f ，则其值域为
8.已知函数[]4,0,1
432)(2∈++-=x x x x x f ，则其值域为
三、分段函数
9.已知}3,3,2max{)(2
-+--=x x x x x f ，试求)(x f 的最小值.10.已知,
1,21),(21,0),()(21⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈=x x f x x f x f 其中22)(,1)21(2)(221+-=+--=x x f x x f ，若
01010)(),(,21,0x x f x f x x ==⎪⎭
⎫⎢⎣⎡∈，求0x 的值.四、其他：
11.已知函数{1,()0,R x Q f x x C Q ∈=∈.则
（ⅰ）(())f f x =
；（ⅱ）给出下列四个命题：
①函数()f x 图像关于y 对称；
②存在(1,2,3)i x R i ∈=,使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等边三角形；
③存在(1,2,3)i x R i ∈=,使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i =为顶点的三角形是等腰直角三角形；④存在(1,2,3,4)i x R i ∈=,使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i =为顶点的四边形是菱形．其中，所有真命题的序号是．
12.从盛满a 升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n 次操作后溶液的浓度是．
13.定义在实数集R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x Ax B =+（A、B 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，那么称()g x 为函数()f x 的一个承托函数。

给出如下四个结论：
①对于给定的函数()f x ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②定义域和值域都是R 的函数()f x 不存在承托函数；
③()2g x x =为函数()3f x x =的一个承托函数；④1()2
g x x =为函数2()f x x =的一个承托函数。

其中所有正确结论的序号是__________________.
14.给出定义：若11+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作m x =}{，在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题：
①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2
1,21上是增函数；③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1；
④函数y =)(x f 的图象关于直线k x =
（Z k ∈）对称.其中正确命题的序号是__________
15.对于函数()f x ,定义域为D ,若存在0x D ∈使00()f x x =,则称00(,)x x 为()f x 的图像上的不动点,由此,函数95()3
x f x x -=+的图像上不动点的坐标为____________.16.用水清洗衣服时，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用一个单位量的水可清除衣服上残留赃物的
12，用水越多，清除掉的赃物也越多.设用x 单位量的水清洗一次后，衣服上残留的赃物与本次清洗前残留的赃物之比为函数()f x .（1）规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）设2()(,)n f x m n R x m =∈+，且用两个单位量的水清洗一次可清除衣服上残留赃物的45.现用()0a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，哪种方案清洗后衣服上残留的赃物比较少？说明理由.
函数概念及三要素
一、函数概念
1.【答案】C
2.【答案】B
【解析】①因为()x x x f 1-=所以()x x x f 1+-=-，x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛11所以()x f x f -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛1；②因为()x x x f 1+=所以()x x x f 1--=-，x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛11所以()x f x f -≠⎪⎭⎫ ⎝⎛1；③因为y＝,010,11,1x x x x x
⎧⎪<<⎪=⎨⎪⎪->⎩，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-=>=⎪⎭⎫ ⎝⎛10,1,01,11x x x x x x f ，()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<<-=>=-10,1,01
,1x x x x x x f ，所以()x f x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛1.3.B
4.D 二、函数定义域、值域
5.1）
2）6.7.
8.三、分段函数
9.10.4
1四、其他：
11.【答案】①②④【解析】（ⅰ）由题意知，1()0
f x ⎧=⎨⎩，当x∈Q 时，f（x）=1∈Q，
则f（f（x））=1，
当x∈Q R C 时，f（x）=0∈Q，则f（f（x））=1，综上得，f（f（x））=1；
（ⅱ）①当x∈Q 时，则-x∈Q，故f（-x）=1=f（x），当x∈Q R C 时，则-x∈Q R C ，故f（-x）=0=f（x），∴函数f（x）是偶函数，①正确；②不正确③根据1()0
f x ⎧=⎨⎩，做出函数的大致图象：
假设存在等腰直角三角形ABC，则斜边AB 只能在x 轴上或在直线y=1上，且斜边上的高始终是1，不妨假设A，B 在x 轴上，如图
故斜边AB=2，故点A、B 的坐标不可能是无理数，否则O 点不再是中点，故不存在
另外，当AB 在y=1上，C 在x 轴时，由于AB=2，则C 的坐标应是有理数，
故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，③错误；④根据③做出的图形知，
取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且是对
角线相互垂直，可以做出以点（x i ，f（x i ））（i=1，2，3，4）为顶点的四边形为菱形，④正确．
故答案为：①②④
12.【答案】n
a ⎪⎭⎫
⎝⎛-1113.【答案】①③14.【答案】①③④
15.【答案】(1,1),(5,5)16.解：（1）(0)1f =，没有清洗时衣服上的残留物不发生变化。

（2）21
()1
f x x =+
当a >2分清洗两次残留的赃物较少；
当a =
当0a <<时，用a 单位量的水清洗一次残留的赃物较少。