函数概念及三要素(答案)

函数的概念、表示法与定义域

一、映射与函数： （1）映射的概念： （2）一一映射： （3）函数的概念：

二、函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

相同函数的判断方法：①定义域相同；②对应法则一样 (两点必须同时具备) （1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）： ②换元法： ③待定系数法： ④赋值法： （2）函数定义域的求法：

①)

()

(x g x f y =

，则g （x ）0≠； ②)()(*2N n x f y n ∈=则f （x ）0≥； ③0

)]([x f y =，则f （x ）0≠； ④如：)(log )(x g y x f =，则

{

()0

0()1()1g x f x f x ><<>或；

⑤含参问题的定义域要分类讨论；

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

（3）函数的表示法：解析法、列表法与图象法。

（4）分段函数：一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同。 三.练习题:

1. 已知集合M ＝｛1,2,3,m ｝，4

2

{4,7,,3}N n n n =+，*

,m n N ∈，映射:31f y x →+是从M 到N 的一个函数，则m n -的值为(B)

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 2．下列对应关系是集合P 上的函数是有 2 ．

（1）*

,P Z Q N ==，对应关系:f “对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应”； （2）{1,1,2,2},{1,4}P Q =--=，对应关系：:f x →2

,,y x x P y Q =∈∈；

（3）{P =三角形},{|0}Q x x =>，对应关系:f “对P 中三角形求面积与集合Q 中元素对

应．”

3.}30|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M 给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ C ）

A 、 0个

B 、 1个

C 、 2个

D 、3个

4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)

()1

f x

g x x =

-的定义域是（B ） A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4]U D ．(0,1) 5.下列各组函数中，表示同一函数的是

（ C ）

A ．x

x

y y =

=,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y C ．33,x y x y == D ． 2

)(|,|x y x y ==

6.设函数2

211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，

，，，

≤则

1(2)f f ⎛⎫

⎪⎝⎭

的值为（ A ）

A ．

1516

B ．2716

-

C ．

89

D ．18

7.（1）函数

lg 3y x =

-的定义域.答：[0,2)(2,3)(3,4)U U )；

（2）若函数2743kx y kx kx +=

++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是(答：[,]a a -)； （4）若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,2

1，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：{

}

42|

≤≤x x ）；

（5）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）． 8．求下列函数的值域：

（1）2

32y x x =-+；（2）y =；（3）31

2

x y x +=

-； 解：（1）（配方法）2

212323323()61212

y x x x =-+=-+≥

Q ， ∴2

32y x x =-+的值域为23[,)12

+∞。

改题：求函数2

32y x x =-+，[1,3]x ∈的值域。

解：（利用函数的单调性）函数2

32y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26。 ∴函数2

32y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]。 （2）求复合函数的值域：

设2

65x x μ=---（0μ≥），则原函数可化为y 。

又∵2

2

65(3)44x x x μ=---=-++≤，

∴04μ≤≤[0,2]，

∴y =的值域为[0,2]。 （3）（法一）反函数法： 312

x y x +=

-的反函数为21

3x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠，

∴原函数31

2

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠。 （法二）分离变量法：313(2)77

3222

x x y x x x +-+===+

---， ∵

702x ≠-，∴7

332

x +≠-， ∴函数31

2

x y x +=

-的值域为{|3}y R y ∈≠。 9.（1）已知2

211()f x x x x +=+，求()f x ；

（2）已知2

(1)lg f x x

+=，求()f x ；

（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；