函数概念及三要素
专题1.1 函数概念及三要素(教师版)
第一讲函数的概念及三要素1．函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数、映射的判断【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x【举一反三】1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是A．M={x|x∈Z},N={y|y∈Z}，对应关系f:x→y,其中y=x2B．M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=±2x C．M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2D．M={x|x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=2x2．下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( )A．B．C．D．考向二函数定义域求法类型一：已知解析式求定义域的定义域是。
【例2-1】（1）函数y=√3−xlgx(x−1)0的定义域是。
（2）函数y=√12+x−x2【举一反三】1．函数()f x =的定义域为 。
2．函数f (x )=√2−x +log 2x 的定义域是 。
第8讲函数的三要素
第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。
这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。
1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。
函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。
函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。
参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。
参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。
返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。
返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。
函数体是函数的具体实现逻辑。
函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。
函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。
函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。
2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。
函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。
函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。
函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。
值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。
引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。
函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。
在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。
3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。
函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。
第一讲 函数概念及三要素(教师)
第一讲 函数概念及三要素一、知识梳理1、映射的定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任何一个元素,在B 中有且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射。
记作：映射B A f →:。
集合A 中的元素a 对应集合B 中的元素b 叫a 的象，记作)(a f b =，a 叫b 的原象。
若A 中元素m 个，B 中元素n 个，则：A 到B 的映射有m n 个；B 到A 的映射有n m 个. 2、函数的概念：设B A ,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作A x x f y ∈=),(。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ），与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 }|)({A x x f ∈叫做函数的值域(range)。
3、函数的定义域：函数)(x f y =中，自变量x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域。
由表达式决定的定义域，常见情况有： ①1()f x 要求()0f x ≠； ②n x f 2)(要求0)(≥x f ； ③0)(x f 要求0)(≠x f ； ④log ()a f x 要求0)(>x f 且01a <<； ⑤)(tan x f 要求(),2f x k k ππ≠+∈Ｚ4、函数的值域：函数)(x f y =中，y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数)(x f y =的值域。
求值域的常用方法：单调性法、常数分离法、配方法、 换元法、判别式法、数形结合法、不等式法、有界法、均值不等式等。
5、函数的表达式：表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种。
求函数解析式的常用方法：换元法；配凑法；待定系数法；消元法6、分段函数：在定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同的函数称为分段函数。
专题4 函数的概念与三要素
专题4 函数的概念与三要素知识点一 函数的概念解析获取vx ：lingzi980一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(1)x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数． (2)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (3)除f (x )外，有时还用g (x )，u (x )，F (x )，G (x )等符号来表示函数．知识点二 函数定义域 1.基本的函数定义域限制 （1）分式中的分母不为0；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0； （3）零指数幂的底数不为0； （4）指数式的底数大于0且不等于1；（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0； （6）正切函数x y tan =R x ∈(且)2Z k k x ∈+≠，ππ．【例1】若函数)(x f y =的定义域为22{|}M xx =≤≤－，值域为02{|}N y y =≤≤，则函数)(x f y =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】下列函数()f x 与()g x 表示同一函数的是（） A ．()f x()g x = B ．()f x x =与32()1x g x x x +=+C ．y x =与2y =D ．()f x ()g x 【例3】（2022•北京）函数1()f x x=．【例4】（2022•上海）下列函数定义域为R 的是( ) A ．12yx -= B ．1y x -= C ．13y x =D ．12y x =2.可转化为二次函数定义域问题xx xx【例5】若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围为 ． 【例6】已知函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域是R ，求实数k 的取值范围． 归纳总结：在关于二次函数定义域为一切实数的时候，除了分析判别式以外，还要考虑二次项系数． 3.抽象函数的定义域求法此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若()f x 的定义域为()a b ，，求[()]f g x 中()a g x b <<的解x 的范围，即为[()]f g x 的定义域．①．已知)(x f 的定义域，求复合函数()[]f g x 的定义域【例7】已知函数()f x 的定义域为[15]-，，求(35)f x -的定义域． ②．已知复合函数[()]f g x 的定义域，求)(x f 的定义域若[()]f g x 的定义域为x a b ∈（，），则由a x b <<确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 【例8】已知函数2(22)f x x -+的定义域为[03]，，求函数()f x 的定义域． ③．已知复合函数()[]f g x 的定义域，求()[]f h x 的定义域先由()[]f g x 定义域求得()f x 的定义域，再由()f x 的定义域求得()[]f h x 的定义域．【例9】已知函数(23)f x -的定义域是(13)-，，求函数1(6)2f x +的定义域．④．已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．【例10】若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)g x f x f x =-++的定义域．1.函数()01(4)2||f x x x =+--的定义域为 ．2.（2019•江苏）函数y =的定义域是 ．3.（2021•全国）函数()f x = ．4.（2020•北京）函数f 1()1x lnx x =++的定义域是 ． 5.（2022•新兴区期末）若函数()y f x =的定义域是[1，3]，则函数(21)()f x h x lnx-=的定义域是( ) A ．[1，3]B ．(1，3]C ．(1，2]D ．[1，2]6，（2022•香坊区期末）已知函数2(1)f x +的定义域为[1，2]，则函数()()(2)f xg x lg x =-的定义域为( )A ．[2，5]B ．(2，3)(3⋃，5]C ．(2，5]D ．[2，3)(3⋃，5]7，（2022•兴庆区期末）若函数y =R ，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1(0,)2C ．1[0,)2D ．1[0,]28.（2022•盘龙区月考）下列每组函数不是同一函数的是( )A ．2()1,()f x x g x =-=B ．()1,()f x x g x =-C ．24(),()22x f x g x x x -==+-D ．()||,()f x x g x ==知识点三 函数的解析式 1.待定系数法求函数解析式已知函数解析式的类型时，可用待定系数法求其函数解析式． 【例11】求下列函数的解析式．（1）若一次函数()f x 满足[()]91f f x x =+，求()f x 的函数解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且(0)2(1)()1f f x f x x =+-=-，，求()f x 的讲解析式．注意 解析式类型已知的，一般用待定系数法，对于二次函数问题要注意对一般式2y ax bx c =++，顶点式2()y a x h k =-+和两点式12()()y a x x x x =--的选择． 2.换元法求函数解析式已知复合函数[()]f g x 的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围． 【例12】（1）若函数()f x 满足221()f x x -=，求函数()f x 的解析式； （2）已知函数()f x 满足22112x f x x--()=，求函数f x ()的解析式．3.配凑法求函数解析式当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．【例13】已知函数()f x 满足2211()x x x f x x +++=，求()f x 的函数解析式． 4.方程组法求函数解析式若已知成对出现()f x ，1()f x或()f x ，()f x -，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出()f x ．【例14】（1）已知函数()f x 满足3()2()3f x f x x +-=+，求()f x 的解析式；（2）已知函数()f x 满足95)1(2)(+=+x xf x f ，求)(x f 的解析式；（3）已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且1()()1f xg x x +=-，求()f x 和()g x 的函数解析式． 注意 函数方程的问题，需建立关于()f x 的方程组，如本例4，若函数方程中同时出现()f x 、1()f x，则一般x 用1x代之，构造另一个方程．5.迭代法求函数解析式当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时，可采用递推迭代的方法求出()f x ．【例15】已知函数()f x 的定义域是正整数集*N ，(1)1f =，且(1)()5f x f x +=+，求()f x 的函数解析式．6.分段函数的解析式分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．【例16】设函数=)(x f 22220x x x x x ⎧++≤⎪⎨->⎪⎩，，，若2))((=a f f ，则a = ．【例17】已知函数2(5)232f x x x =--，5(2)g x x =-．求：（1）)2(f ，)2(g ； （2）))2((g f ，))2((f g ；（3）(())f g x ，(())g f x ．总结 求函数值时，遇到本例题中（2）（3）这种类型的函数称为复合函数，一般有里层函数与外层函数之分，如(())f g x ，里层函数就是()g x ，外层函数就是()f x ，其对应关系可以理解为()(())g fx g x f g x −−→−−→，类似的(())g f x 为()(())f gx f x g f x −−→−−→，类似的函数，需要先求出最里层的函数值，再求出倒数第二层，直到最后求出最终结果．9.（2022•湖南月考）已知函数2(23)f x x +=，则函数()f x 的表达式为（ ） A ．2139424x x -+ B ．2119424x x ++C ．24129x x ++D ．24129x x -+10.（2022•保定二模）若函数2112()1x f x x x-=-+，则函数()()4g x f x x =-的最小值为( ) A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-11．若一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，则函数()f x = ．12．已知()2f x x a =+，21()(3)4g x x =+，若2[()]1g f x x x =++，则a = ．13．（2022•盐田期中）已知2(1)lg f x x+=，则()f x = ．14．求下列函数的解析式．（1）已知2()2f x x x =+，求(21)f x +； （2）已知1)f x =+()f x ； （3）已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．15.已知函数210()1()20x x f x x g x x x ->⎧=-=⎨-<⎩，，，．（1）求((2))f g ，((2))g f ，(((2)))g g g -的值； （2）求(())f g x ，(())g f x 的解析式．16.已知函数满足3(1)2(1)2f x f x x -+-=，求()f x 的解析式．知识点四 函数的值域由函数的定义知，自变量x 在对应法则f 下取值的集合叫做函数的值域． 1.函数值域的常规求法（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；（2）形如y ax b =+可用换元法．即设t =转化成二次函数再求值域（注意0t ≥）；（3）形如(0)ax by c cx d+=≠+的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为|a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； （4）形如22ax bx cy mx nx p++=++（a m 、中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域，也可以分离常数后换元．【例18】求下列函数的值域：（1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 【例19】（1）已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为（ ） A ．14B ．12C．2 D（2）设2 ||1() ||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，()g x 是二次函数，若[()]f g x 的值域是)0[∞+，，则()g x 的值域是（ ）A ．)1[]1(∞+--∞，，B ．)0[]1(∞+--∞，，C ．)0[∞，D ．)1[∞+，总结 函数的值域问题是每年高考必考内容，而且既有常规题型，也有创新题．解答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处理．如本例（3）中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出[()]f g x 的值域，要求()g x 的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方法、基本知识来分析解决问题．【例20】求函数的值域22221x x y x x -+=++．2. 函数值域的单调性求法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值．（原理：同增异减） 【例21】求函数212log (4)y x x =-的值域．【例22】求函数)102(1log 235≤≤-+=-x x y x 的值域．【例23】（2022•浙江）已知函数22,1,()11,1,x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+->⎪⎩则1(())2f f = ；若当[x a ∈，]b 时，1()3f x ，则b a -的最大值是 ． 3. 函数值域的换元求法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型．换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用． 适用类型：无理函数、三角函数（用三角代换）等． 【例24】求函数y x =+1-x 的值域．（注：此题可利用函数单调性直接求函数的值域）4. 函数值域的数形结合求法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目． 适用类型：函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．【例25】（2022•北京）设函数21,,()(2),ax x a f x x x a -+<⎧=⎨-⋅⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为 ；a 的最大值为 ．【例26】求函数22)8()2(++-=x x y 的值域． 【例27】求函数5413622++++-=x x x x y 的值域．5. 复合函数值域不变性（保值性）形如(或化为)[()]f g x 的函数的值域，抓住最关键一点就是“内值外定”就是内函数看值域是否满足外函数定义域，如果内函数值域完全填满外函数定义域，那么外函数的值域即为整个函数的值域，我们将这个原理叫做复合函数“保值性”，这个问题我们在《秒2》中关于同构式性质中已经阐述． 【例28】已知定义在R 上的函数)(x f 的值域为]32[，-，则函数(2)f x -的值域为（ ） A ．]14[，-B ．]50[，C ．]51[]04[，， -D ．]32[，-【例29】已知函数)(x f 的定义域为[01]，，值域为]21[，，则函数)2(+x f 的定义域和值域分别是 ． 【例30】（2014·重庆）函数2()log )f x x =的最小值为 ． 6.值域最值逆用【例31】已知函数y =[0+∞，)，则k 的取值范围是 ． 【例32】已知函数212()log (23)f x x ax =-+．（1）若函数)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 7.值域与双变量函数不等式问题（包裹性定理）定理一 若()y f x =满足12x x D ∀∈，，12()()f x f x m -<恒成立，则在区间D 上max min ()()f x f x m -< 如图3-3-4所示，令AB m =，则12()()f x f x m -<恒成立．图3-3-4 图3-3-5xB定理二 若()()y f x y g x ==，满足1122x D x D ∀∈∈，，12()()f x g x >恒成立，则在各自区间上min max ()()f x g x >；如图3-3-5所示，()f x 的区域始终在()g x 区域上方才满足条件．图3-3-6 图3-3-7定理三（包裹性定理） 若()()y f x y g x ==，满足若1x D ∀∈，总0x D ∃∈，使得01()()f x g x =成立, 则在区间D 上min min max max ()()()()f x g x f x g x <⎧⎨>⎩；如图3-3-6，()y f x =所在区域能包含()y g x =所在区域时，满足条件．定理四 若()()y f x y g x ==，满足11x D ∀∈，总22x D ∃∈使得12()()f x g x >能成立，则在区间D 上min min ()()f x g x >；如图3-3-7，()y f x =所在区域最小值大于()y g x =所在区域最小值时，满足条件．注意 包裹性定理的关键在于区别符号∀与∃，还要看是否有两个区间与1122x D x D ∈∈，． 【例33】已知函数1()x f x e =－，2(4)3g x x x =--＋，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ） A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，【例34】已知()21()lg(31)()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是 ． 【例35】已知2(2)23x f x x =-+． （1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 的取值范围．17.（2022•兴庆区期末）函数()f x x =( ) A ．[2，)+∞B ．7[,)4+∞C ．[0，)+∞D ．(2,)+∞18.（2022•道里区期末）下列说法中正确的是( ) A ．函数2123y x x =-+的值域为1(,]2-∞ B．函数2y =[2，)+∞C．函数y =[2,x )maxx )minminD ．若函数22log (2)y ax x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围是[0，1]19.（2022•松原月考）设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数1()12x x e f x e =-+，则下列叙述中正确的是( ) A ．[()]f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在R 上是增函数D ．[()]f x 的值域是{1-，0，1}20.（2022•秀英区期中）设函数2log (1),2()23,2x x x f x x ->⎧=⎨-⎩，则以下结论正确的为( )A ．()f x 为R 上的增函数B ．()f x 有唯一零点0x ，且012x <<C ．若()5f m =，则33m =D ．()f x 的值域为R 21．（2022•漳州模拟）已知函数22()9xf x x =+，则( ) A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是偶函数C ．函数(2022)y f x =+的零点为0D ．当0x >时，()f x 的最大值为1322.（2017•浙江）已知a R ∈，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ． 23.若函数()y f x =的值域是[1，3]，则函数()1(3)F x f x =-+的值域是（ ）A ．]38[--，B ．]15[--，C ．]02[，-D ．]31[，24.函数()f x x =-（ ） A ．1(0)2，B ．1(0]2，C ．]21(，-∞D ．1()2-∞，25.（2022•香坊区期末）已知()f x 是R 上的单调函数，若[()2f f x -=，则()2()()f xg x f x -=的值域为( )A ．[1-，0)B ．[1-，1)C ．(1,1)-D ．[1-，)+∞26.（2022•阜阳期末）若函数()f x 在区间[a ，]()b a b <上的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 是函数()f x 的一个“等域区间”．下列函数存在“等域区间”的是( ) A ．21y x x =-+B ．21x y =-C ．2y lgx =+D ．sin y x =27．（2022•遵义期末）设函数21,()21,ax x a f x x ax x a -<⎧=⎨-+⎩，()f x 存在最小值时，实数a 的值可能是( )A ．2-B ．1-C ．0D ．128.（2022•高州市期末）已知函数()log (1)log (3)(0a a f x x x a =-++>且1)a ≠在定义域内存在最大值，且最大值为2，21()2x xm g x ⋅-=，若对任意1[1x ∈-，1]2，存在2[1x ∈-，1]，使得12()()f x g x ，则实数m 的取值可以是( ) A ．1-B ．0C ．2log 7D ．329.函数()f x =（ ）A ．1+B ．3C ．4D ．530．设函数()2f x =()1g x ax a =+-，若对任意1[0)x ∈+∞，都有2(1]x ∈-∞，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围为 ．31. 已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是 ．。
高中数学必修一-第三章-3.1 函数的概念及其表示
第三章函数3.1 函数的概念及其表示知识点一：函数的概念1.函数的有关概念2.函数的三要素一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以两个函数的定义域和对应关系相同时，它们是同一个函数.3.区间的概念:设a,b∈R,a<b.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞).知识点二：函数的表示法1.函数的三种表示法2.分段函数已知函数y=f(x)，x∈A，如果自变量x在不同的取值范围内，函数有着不同的对应关系，那么我们称这样的函数为分段函数.【思考】1.函数的定义域和值域是否一定是无限集?2.区间是数集的另一种表示方法,是否任何数集都能用区间表示?3.根据函数的定义,任何一个自变量x是否都有唯一的函数值y与之对应?任何一个函数值y 是否都有唯一的自变量x与之对应?4.如何确定分段函数的定义域和值域?【解析】1.不一定.函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1，x∈{1,2,3}.2.不是.如集合{0,1}就不能用区间表示.3.任何一个自变量x都有唯一的函数值y与之对应，但是函数值y不一定有唯一的自变量x 与之对应。
如f(x)=x2中，函数值4有两个自变量2、-2与之对应。
函数中x，y的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”.4.分段函数的定义域是每一段自变量取值范围的并集,值域也是每一段函数值取值范围的并集.3.1.1 函数的概念基础练一函数的概念1.（多选题）下面选项中,变量y是变量x的函数的是()A.x表示某一天中的时刻,y表示对应的某地区的气温B.x表示年份,y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)C.x表示某地区学生的某次数学考试成绩,y表示该地区学生对应的考试号D.x表示某人的月收入,y表示对应的个税2.下列四组函数中,表示同一个函数的是()3A.y=|x|与y=√x3B.y=√x2与s=(√t)2C.y=2t+1与y=2u+1D.y=1与y=x03.设集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的有()A.①②③④B.①②③C.②③D.②④二函数的定义域4.函数f(x)=√x−1的定义域为() x−2A.[1,+∞)B.[1,2)C.[1,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)5.已知某矩形的周长为定值a,若该矩形的面积S是这个矩形的一边长x的函数,则这个函数的定义域是.6.已知函数y=f(x)的定义域为[-2,3],则函数y=f(2x+1)的定义域为.x+1三函数值及函数的值域7.已知集合P={x|y=√x−1},集合Q={y|y=√x−1},则()A.P=QB.P⫋QC.Q⫋PD.P∩Q=⌀8.函数y=√x2−2x+3的值域为.,则f(x)的值域为.9.已知函数f(x)=1x2−2x10.已知函数f(x)的定义域是[0,1],值域是[1,2],则这样的函数可以是f(x)=.11.已知函数f(x)=x2+x-1.);(1)求f(2), f(1x(2)若f(x)=5,求x的值.3.1.2 函数的表示法基础练一 函数的表示法及其应用 1.函数y =x x+1的图象大致是 ( )A B C D2.某同学从家里到学校,为了不迟到,先匀速跑一段时间,跑累了再匀速走余下的路,设在途中花费的时间为t ,离开家的距离为d ,则下面图象中,能正确表示d 与t 的关系的是( )A B C D3.已知函数y =f (x )的对应关系如表,函数y =g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ,则g (f (3))的值为 .二 函数解析式的求法5.已知函数f (x +2)=x 2+6x +8,则函数f (x )的解析式为( ) A.f (x )=x 2+2x B.f (x )=x 2+6x +8 C.f (x )=x 2+4x D.f (x )=x 2+8x +66.函数f (x )满足f (1-2x )=-1x ,则f (2)=( )A.2B.-2C.12 D.-12 7.已知函数f (2x -1)=3x -5,若f (x 0)=4,则x 0= .8.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )= .9.(1)已知函数g (√x +1)=2x +1,求g (x )的解析式;(2)已知f (x )为二次函数,且f (0)=2, f (2)=f (-1)=0,求f (x )的解析式.三 分段函数问题10.已知函数f (x )={√x,x >0,|x +1|,x ≤0,则f (f (-3))=( )A.√3B.1C.2D.√2 11.已知f (x )={x +2,x ≤−1,x 2,−1<x <2,2x,x ≥2,若f (x )=3,则x 的值是( )A.1B.1或32C.1,32或±√3 D.√312.函数f (x )=x +|x |x 的图象是( )A B C D13.(2022山西大同期中)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,4−2x,x >0.(1)画出函数f (x )的图象;(2)当f (x )≥2时,求实数x 的取值范围.。
函数概念定义域
函数定义及定义域一：1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，对应关系，值域。
3．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.4.相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)二.值域 :函数值的取值构成的集合（ 先考虑其定义域）。
(1)观察法 (2)配方法 (3)代换法三． 函数图象知识归纳1.定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P (x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)，均在C 上 .2. 画法： A.描点法： B.图象变换法3.常用变换方法有三种 (1)平移变换 (2)伸缩变换 (3)对称变换 4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间（3）区间的数轴表示． 5.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
3.1.1 函数的概念(解析版)
3.1.1 函数的概念考点讲解考点1：函数的概念1.定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数2.函数三要素：【例1】（1）判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．∈ A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；∈ A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；∈ A＝{－1，1，2，－2}，B＝{1，2，4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；∈ A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．（2）下列各组函数是同一函数的是()∈ f(x)＝－2x3与g(x)＝x－2x；∈ f(x)＝x与g(x)＝x2；∈ f(x)＝x0与g(x)＝1x0；∈ f (x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1. A．∈∈B．∈∈C．∈∈ D．∈∈[解](1)∈对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．∈对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．∈对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．∈集合A不是数集，故不是函数．(2)C[∈f(x)＝－2x3＝|x|－2x与y＝x－2x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．∈g(x)＝x2＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．∈f(x)＝x0与g(x)＝1x0都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．∈f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是∈∈.故选C.]【方法技巧】1．判断对应关系是否为函数的2个条件（1）A，B必须是非空数集．（2）A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法（1）先看定义域，若定义域不同，则不相等；（2）若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．【针对训练】1.下列四个图象中，不是函数图象的是()A B C DB [根据函数的定义知：y 是x 的函数中，x 确定一个值，y 就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y 轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B 不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1 B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2B [A 、C 选项中两函数的定义域不同，D 选项中两函数的对应关系不同，故A 、C 、D 错误，选B.] 考点2：求函数值【例2】 设f (x )＝2x 2＋2，g (x )＝1x ＋2， （1）求f (2)，f (a ＋3)，g (a )＋g (0)(a ≠－2)，g (f (2))． （2）求g (f (x ))．思路点拨：(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可； (2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x ))． [解] (1)因为f (x )＝2x 2＋2， 所以f (2)＝2×22＋2＝10，f (a ＋3)＝2(a ＋3)2＋2＝2a 2＋12a ＋20.因为g (x )＝1x ＋2，所以g (a )＋g (0)＝1a ＋2＋10＋2＝1a ＋2＋12(a ≠－2)．g (f (2))＝g (10)＝110＋2＝112.(2)g (f (x ))＝1f （x ）＋2＝12x 2＋2＋2＝12x 2＋4.【方法技巧】 函数求值的方法（1）已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． （2）求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则． 【针对训练】3．已知f (x )＝x 3＋2x ＋3，求f (1)，f (t )，f (2a －1)和f (f (－1))的值． [解] f (1)＝13＋2×1＋3＝6； f (t )＝t 3＋2t ＋3；f (2a －1)＝(2a －1)3＋2(2a －1)＋3＝8a 3－12a 2＋10a ； f (f (－1))＝f ((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f (0)＝3. 考点3：求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f (x )＝x ＋1x 2－1.倘若先化简，则f (x )＝1x －1，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围？函数y ＝f (x )的定义域是什么？提示：[1，2]是自变量x 的取值范围． 函数y ＝f (x )的定义域是x ＋1的范围[2，3]． 【例3】 求下列函数的定义域： （1）f (x )＝2＋3x －2；（2）f (x )＝(x －1)0＋2x ＋1； （3）f (x )＝3－x ·x －1；（4）f (x )＝（x ＋1）2x ＋1－1－x .思路点拨：要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可． [解] (1)当且仅当x －2≠0，即x ≠2时， 函数y ＝2＋3x －2有意义，所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}．(2)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x |x >－1且x ≠1}．(3)函数有意义，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －1≥0，解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}．【方法技巧】求函数定义域的常用方法（1）若f (x )是分式，则应考虑使分母不为零． （2）若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零．（3）若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合． （4）若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． （5）若f (x )是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．考点过关一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则⎪⎭⎫⎝⎛af 1＝( )A ．1aB.3a C ．aD ．3aD [⎪⎭⎫ ⎝⎛a f 1＝3a ，故选D.]2．下列表示y 关于x 的函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y 2＝x C ．|y |＝xD ．|y |＝|x |A [结合函数的定义可知A 正确，选A.]3．函数y ＝x 2－2x 的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为( ) A ．{－1，0，3} B ．{0，1，2，3} C ．{y |－1≤y ≤3}D ．{y |0≤y ≤3}A [当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1－2＝－1；当x ＝2时，y ＝4－2×2＝0；当x ＝3时，y ＝9－2×3＝3，∈函数y ＝x 2－2x 的值域为{－1，0，3}．]4．下列函数中，与函数y ＝x 相等的是( ) A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝|x |D ．y ＝3x 3D [函数y ＝x 的定义域为R ；y ＝(x )2的定义域为[0，＋∞)；y ＝x 2＝|x |，对应关系不同；y ＝|x |对应关系不同；y ＝3x 3＝x ，且定义域为R .故选D.]5．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞) B ．[－1，＋∞) C ．(－1，1)∈(1，＋∞)D ．[－1，1)∈(1，＋∞)D [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1，故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}．故选D.] 6．下列四组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [∈f (x )＝x (x ∈R )与g (x )＝(x )2(x ≥0)两个函数的定义域不一致，∈A 中两个函数不表示同一函数；∈f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2两个函数的对应法则不一致，∈B 中两个函数不表示同一函数；∈f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，∈C 中两个函数表示同一函数；f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)两个函数的定义域不一致，∈D 中两个函数不表示同一函数，故选C.]7．若集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A 到B 的函数f ：A →B 的是( )A B C DD [A 中的对应不满足函数的存在性，即存在x ∈A ，但B 中无与之对应的y ；B 、C 均不满足函数的唯一性，只有D 正确．]8．下列函数中，对于定义域内的任意x ，f (x ＋1)＝f (x )＋1恒成立的为( ) A ．f (x )＝x ＋1 B ．f (x )＝－x 2 C ．f (x )＝1xD ．y ＝|x |A [对于A 选项，f (x ＋1)＝(x ＋1)＋1＝f (x )＋1，成立． 对于B 选项，f (x ＋1)＝－(x ＋1)2≠f (x )＋1，不成立． 对于C 选项，f (x ＋1)＝1x ＋1，f (x )＋1＝1x ＋1，不成立．对于D 选项，f (x ＋1)＝|x ＋1|，f (x )＋1＝|x |＋1，不成立．] 二、填空题9．若[a ，3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 [由题意知3a －1>a ，则a >12.] 10．将函数y ＝31－1－x的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∈(0，1] [由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0，用区间表示为(－∞，0)∈(0，1]．] 11．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________． －56 [由f (t )＝6，得11＋t＝6，即t ＝－56.] 12．已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝⎪⎭⎫⎝⎛2x f ＋f (x －1)的定义域是________．(0，2) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －1<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <2，0<x <2.解得0＜x ＜2，于是函数g (x )的定义域为(0，2)．] 13．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________． 1 2 [∈g (1)＝3，f (3)＝1，∈f [g (1)]＝1. 当x ＝1时，f [g (1)]＝f (3)＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3， f [g (x ]<g [f (x )]，不合题意；当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1， f [g (x )]>g [f (x )]，符合题意；当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3， f [g (x )]<g [f (x )]，不合题意．]14．已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有________个． 9 [因为一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1，4}，所以函数的定义域可以为{1，2}，{－1，2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{－1，1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]三、解答题15．求下列函数的定义域： （1）f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； （2）f (x )＝（x ＋3）0|x |－x.[解] (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131，(2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为(－∞，－3)∈(－3，0)．16．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2.（1）求函数的定义域；（2）求f (－3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f 的值；（3）当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≥0，x ＋2≠0，得函数的定义域为[－3，－2)∈(－2，＋∞)．(2)f (－3)＝－1，⎪⎭⎫ ⎝⎛32f ＝38＋333.(3)当a >0时，f (a )＝a ＋3＋1a ＋2，a －1∈(－1，＋∞)，f (a －1)＝a ＋2＋1a ＋1. 17．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.（1）求f (2)＋⎪⎭⎫⎝⎛21f ，f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的值； （2）求证：f (x )＋⎪⎭⎫⎝⎛x f 1是定值． [解] ∈f (x )＝x 21＋x 2，∈f (2)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1. f (3)＋⎪⎭⎫ ⎝⎛31f ＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 1＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1.。
函数的概念,三要素的求法（整理版）
函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
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函数概念及三要素
1．函数的概念：
设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的
任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．
记作： y=f(x)，x ∈A ．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．
2．分段函数：在定义域内不同的区间上有不同的 。
注：分段函数是 个函数，而不是多个函数。
3．复合函数：若(),(),(,)y f u u g x x m n ==∈，那么[]()y f g x =称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域。
方法一：函数定义域的求法
关注：分母、根号、指对数底数对数真数、tan 、零次方的底数 例题：)35lg(lg x x y -+=
的定义域为_______
方法二：求函数解析式的常用方法
1、配凑法
2、待定系数法
3、换元法
4、解方程组法
例1、已知2(1)23f x x x -=--，则()f x = 。
例2、已知2
(31)965f x x x +=-+，则()f x = 。
例3、已知()f x 是一次函数，且(1)(1)23f x f x x +--=+，则()f x = 。
例4、已知()2()32f x f x x +-=-，则()f x = 。
例5、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，并且()()1f x g x x +=+，则()g x = 。
方法三：分段函数
分段函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同，而分别用几个不同的式子来表示，这种函数就称之为分段函数.分段函数虽然有几个部分组成，但它表示的是一个函数.近几年高考考察的频率较高. 1．函数
22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．
2. 已知函数11,02()ln ,2
x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，那么实数k 的取
值范围是（ ）
（A ） (1,)+∞ （B ）3[,)2+∞ （C ）
32[,)e +∞ （D ）[ln 2,)+∞
3、设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+=1
141 )1()(2x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的取值范围为 （ ） （A ）]10,0[]2,( --∞ (B) ]1,0[]2,( --∞ （C ）]10,1[]2,( --∞ （D ）]10,1[)0,2[ -
练习：
1．函数()21x f x =-的定义域为（ A ）
A ．［0，＋∞）
B ．［1，＋∞）
C ．（－∞，0］
D ．（－∞，1］
2．函数f （x ）＝)1(log 2
1－x 的定义域是
（ ） A ．（1，＋∞） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，2） D ．]21(，
3.函数y=2122--+-+x x x x
的定义域是（ ）
（A ）-21-≤≤x （B ）-21≤≤x
（C ）x>2 （D ）x 1≠
4. 函数x x y +-+=2)2(0的定义域为（ ）
A.),2[+∞-
B. [2,0)(0,)-+∞
C. ),2(+∞-
D. )2,(-∞
5、若()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x 的表达式为 （
） A 、21x + B 、21x - C 、23x - D 、27x +
6．下列函数中，值域为[0,1]的是（ ）
（A ）2y x =（B ）sin y x =（C ）21
1y x =+（D ）21y x -7、已知1)1(+=+x x f ，则函数)(x f 的解析式为 （
）
A 、2)(x x f =
B 、)1(1)(2≥+=x x x f
C 、)1(22)(2≥+-=x x x x f
D 、)1(2)(2≥-=x x x x f
8、下列各函数解析式中，满足)(21)1(x f x f =
+的是 （ ） A 、 2x B 、21+x C 、 x -2 D 、x 2
1log 9.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是（ ）
A ．{}|10x x -<≤
B ．{}|11x x -≤≤
C ．{}|11x x -<≤
D ．{}|12x x -<≤
10、设()1f x x x =--，则1()2
f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦( ) A 、 －21 B 、0 C 、2
1 D 、 1 11. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是
A .2a <- B.2a ≤- C.20a -≤< D.2a >-
12
．函数1y x
=_____________． 13、若一次函数()y f x =在区间[]1,2-上的最大值为3，最小值为1，则()y f x =的解析式为_____________．
14、若二次函数()y f x =过点(0,3),(1,4),(1,6)-，则()f x =_______________.
15、函数[]2
()23,2,0f x x x x =+-∈-的值域为 。
16、已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1
f x
g x x +=-,则()f x =___________________。
17、若函数)(x f 满足关系式x x
f x f 3)1
(2)(=+，则)(x f 的表达式为__________. 18． 已知函数24()(1)4x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩
， 则2(2log 3)f +的值为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8
19．已知函数2log 0()30x x x f x x >⎧=⎨≤⎩
，，，，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．
20.已知函数2322,1()log (1).1
⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩x x f x x
x x
则((f f =________；
的最小值为 ．
课后练习
1、设函数f （x ）=则满足f （x ）≤2的x 的取值范围是
（A ）[-1，2] （B ）[0，2] （C ）[1，+） （D ）[0，+）
2、已知函数f(x)= 若f （f （0））=4a ，则实数a 等于( )
A. B. C.2 D.9
3、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 （
）
A 、[ 1，+∞）
B 、[0，2]
C 、（-∞，2]
D 、[1，2]
4、已知32)121
(+=-x x f ，且 6)(=m f ，则m 等于 （ ）
A 、 41
- B 、41
C 、 23
D 、23
-
5、已知22
1111x x
x x f +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-，则)(x f 的解析式可取为 （ ）
A 、21x x
+ B 、212x x +- C 、212x x
+ D 、－21x x
+
6、函数的定义域是___________________________。
7
、函数()f x =的定义域为 。
8、（1）函数 )3(log 1
3x y -= 的定义域为
()f x ⎩⎨⎧≤，＞，，
，1x x log -11x 22x -1∞∞2211
1x x x ax x ⎧+<⎪⎨+≥⎪⎩，，1245x x f )21
(1)(-=
9、函数)23(log )12(-=-x y x 的定义域为 .
10、 223x x y +-= 的值域是______________.
11、已知1()2()f x f x x
+=，则()f x = 。
12、已知2()21,()2f x x g x x =-=-，则[]()g f x = 。
13、若221)1(x x x x f +
=-，则函数)1(-x f =_____________.。