函数的三要素
专题1.1 函数概念及三要素(教师版)
第一讲函数的概念及三要素1．函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．考向一函数、映射的判断【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x【举一反三】1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是A．M={x|x∈Z},N={y|y∈Z}，对应关系f:x→y,其中y=x2B．M={x|x>0,x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=±2x C．M={x|x∈R},N={y|y∈R},对应关系f:x→y,其中y=x2D．M={x|x∈R},N={y|y∈R}，对应关系f:x→y,其中y=2x2．下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是( )A．B．C．D．考向二函数定义域求法类型一：已知解析式求定义域的定义域是。
【例2-1】（1）函数y=√3−xlgx(x−1)0的定义域是。
（2）函数y=√12+x−x2【举一反三】1．函数()f x =的定义域为 。
2．函数f (x )=√2−x +log 2x 的定义域是 。
第8讲函数的三要素
第8讲函数的三要素函数的三要素是指函数的定义、函数的参数和函数的返回值。
这三个要素是函数的基本组成部分，决定了函数的行为和功能。
1.函数的定义：函数是一段封装了特定功能的代码块，用于实现特定的任务。
函数的定义包括函数名、参数列表、返回类型和函数体。
函数名是用来唯一标识函数的名称，可以根据函数的功能来命名函数名，通常使用驼峰命名法。
参数列表是函数用来接收外部传入数据的部分。
参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。
返回类型是函数执行完任务后返回的数据类型。
返回类型可以是任意有效数据类型，可以是基本数据类型、数组、结构体等。
函数体是函数的具体实现逻辑。
函数体中包含了一组语句，用来实现函数的功能。
函数的定义示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例定义了一个函数名为add的函数，该函数有两个参数a和b，返回类型为int。
函数的功能是计算a和b的和，并将结果返回。
2.函数的参数：函数的参数是函数定义中的一部分，用来接收外部传入的数据。
函数的参数可以是0个或多个，每个参数都有自己的类型和名称。
函数可以通过参数来获取外部传入的数据，并在函数体中使用这些数据进行计算或逻辑操作。
函数的参数可以分为两种类型：值传递和引用传递。
值传递是指将参数的值复制给函数内部的局部变量，函数内部对参数的修改不会影响外部变量的值。
引用传递是指将参数的地址传递给函数内部的指针变量，函数内部可以通过指针修改外部变量的值。
函数的参数示例：```int add(int a, int b)int sum = a + b;return sum;```上述示例中的add函数有两个参数a和b，都是int类型的。
在函数体内，使用a和b进行计算，并将结果返回。
3.函数的返回值：函数的返回值是函数执行完任务后返回的数据。
函数可以根据实际需要选择是否返回值，以及返回的数据类型。
概率密度函数和累积分布函数
03
累积分布函数
累积分布函数
一、定义 又叫分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量X的概率分布。其表达式为：
a
b S=a ×b
累积分布函数
二、累积分布函数图形
累积分布函数
三、累积分布函数的特点 1.有界性
2.单调性 如果x1＜x2，则Fx(x1)＜ Fx(x2) 3.右连续性
概率密度函数
四、解读概率密度函数
当取值数量无限增大时，直方图外形无线趋近于概率分布图， 直方图和概率分布图相同点：1.外形相似；2.x轴为随机变量取值范围；3.研究自变量对应的应变量无意义。 直方图和概率密度函数不同点： 1.直方图x轴上数据数值可以不全覆盖；2.概率分布图x轴上数据为连续性数据，需全覆盖； 3.直方图图纵坐标为频数，当取值数量增大或分组组距越小时，纵轴覆盖数据范围越大； 4.概率分布图纵坐标分布图为密度，一般最大值不超过1。
概率密度函数
概率密度函数
概率只能小于等于1，而概率密度可以大于1，连续性随机变量在某点的概率为零，概率密度≠概率。 单纯的讲概率密度没有实际的意义，它能反映数据分布的一种趋势，必须有确定的有界区间为前提。可以把概 率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生 的概率，所有面积的和为1。 所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。 区间[a，b]上的概率可由概率密度函数在该区间上求积分得到。
概率密度函数和累积分布函数
CONTENTS
目 录
1 函数相关概念 2 概率密度函数
3 累积分布函数
01
函数相关概念
函数相关概念
一、函数三要素 1.自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 2.因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相 对应。 3.函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的 函数值。
函数三要素_经典习题
函数三要素一、定义域1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（7）复合函数定义域 1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②xx f -+=42)( ③ 1+=x x y④ xx y 1+=2. 求下列函数的定义域 （1）8|3x |15x 2xy 2-+--=（1）2|1|)43(432-+--=x x xy （2）)103(log 22327---=x x y（－≦，－3）∪（－3，－1）∪[4，+≦] [－3，－2]∪（5，6）3. 求下列函数的定义域：（1）y=x x x -+||)1(0; (2)y=232531xx -+-; (3)y=1·1-+x x .{x|x ＜0且x ≠-1}. {x|-5≤x ≤5且x ≠〒3} ［1，+≦）.复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
已知函数[()]f g x 的定义域为（a,b ），则f （x ）的定义域a ≤x≤b ，推导出…≤g （x ）≤…，即得f （x ）的定义域。
1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：（1）y=f(3x); (2)y=f(x 1); (3)y=f()31()31-++x f x （1）2()23f x + （2）2y =（3）|1|1y x =--2.函数(2)xf 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域 3已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
高一数学：函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
函数三要素分别是
函数三要素分别是
函数三要素分别是：定义域A、值域C和对应法则f。
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x 是自变量，y是x的函数。
x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。
函数的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
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函数的定义与三要素
一、函数定义及其定义域研究函数必须树立定义域优先考虑．．．．．．．的原则！(很重要，但又很容易忽视)1．函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．①函数f(x)的图象与动直线x=m至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．②点(a，b)在函数y=f(x)的图象上⇔f(a)=b．③函数表示法——解析法、列表法、图象法．④两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．⑤设函数y=f(x)的定义域为集合P，若f(x)在集合Q上有意义，则Q⊆P．⑥区间表示法：设a<b，则{x|a≤x≤b}=[a，b]，{x|a<x<b}=(a，b)，R=(−∞，+∞)，…．2．映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．【函数与映射都是：一对一，或多对一．】3．若A中含有m个元素，B中含有n个元素，从A到B能建立多少个映射？4．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：①f(x)g(x)中要求g(x)≠0；②√f(x)2n中要求f(x)≥0；③[f(x)]0中要求f(x)≠0；④y=a x（a>0，且a≠1），x∈R；⑤y=log a x（a>0，且a≠1），x>0；⑥y=tanx，x∈R，x≠kπ+π2，k∈Z；⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集．⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．5．不给出f(x)的解析式，函数f(x)，f(g(x))，f(ℎ(x))三者之间定义域的关系：【定义域都是指x的取值范围．】①已知f(x)的定义域是(a，b)，求f(g(x))的定义域：解不等式a<g(x)<b，其解集就是f(g(x))的定义域．②已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(x)的定义域：利用a<x<b求g(x)的值域，该值域就是f(x)的定义域．③已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(ℎ(x))的定义域：利用x∈(a，b)先求出g(x)的值域(c，d)，然后解不等式c<ℎ(x)<d，此不等式的解集就是f(ℎ(x))的定义域．【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 f 作用的对象取值范围相同．】6．①|a|={a， a≥0，−a， a<0．②|a−b|=|b−a|（数轴上a，b两点间的距离）；③|−a|=|a|，④(a−b)2=(b−a)2．C n1∙C n1∙⋯∙C n1⏟m个=n m(个)．1．定义域必须用集合或区间的形式表示！2．集合{x|y=f(x)}的含义：即函数y=f(x)的定义域．3．要养成这样一个习惯：一研究函数问题，就指出该函数的定义域！二、 函数解析式的求法【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于f (x )=ax 2+bx +c ，f()=a 2+b +c ．】 1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：3x +4=(x +3)+(2x +1)．】（1）代入法【直接法，适用于①由f(x)求复合函数f[g (x )]，②由f(x +a)、f(x −a)、f(ax)、f(xa )等求f(x)； 注意：由分段函数f(x)求复合函数f[g (x )]时，首先需要根据f(x)中对x 的分段，替换为对g(x)的分段．】（2）凑配法【整体替换法，适用于f (√x +1)、f (1+1x )、f(x +1x )、f(x −1x )等类型．】 （3）换元法【如f (3x +1)=2x 2−3x +1．换元法与凑配法可以交替使用，如f (√x +1)，f (1+1x )等类型．】 （4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)是一次函数，则可设f (x )=kx +b ；然后，①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】（5）解方程组法【给出的方程同时含：①f(x)与f(−x)，或f(x)与f(a −x)； 【前者x →−x ，后者x →a −x 】②一奇一偶函数f(x)与g(x)； 【x →−x 】③f(x)与f(1x )，或f(x)与f(a x )； 【前者x →1x ，后者x →ax 】 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】（6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】（7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】2．二次函数的解析式的三种形式(a ≠0)：①一般式：y =ax 2+bx +c ； 对称轴是x =−b2a ； 顶点(−b2a ，4ac−b 24a )．②顶点式：y =a(x −ℎ)2+k ； 对称轴是x =ℎ； 顶点(ℎ，k)．③两根式：y =a (x −x 1)(x −x 2)； 对称轴是x =x 1+x 22； 顶点(x 1+x 22，−a (x 1−x 22)2)． 【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好．【提醒2】f (x )=ax 2+bx +c =a (x −x 1)(x −x 2)：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．【已知一个零根x 1时，另一零根x 2可由韦达定理求出．】【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！3．应用题中求函数解析式：关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式． 注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．②要根据实际意义，准确求出函数定义域．③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(还可建立分段函数模型)常见函数的平方表示：[f(x)]2=f 2(x)，(log a x )2=log a 2x ，(sinx )2=sin 2x ，(cosx )2=cos 2x ，(tanx )2=tan 2x ．基数免税 3% 10% 20% 3500元 1500元 3000元 4500元 26000元 25% 20000元 25000元 30% 35% 45%补充1．设f (x )，g(x)均为定义域相同的两段式的分段函数，①若分段标准一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数仍为两段式的分段函数． ②若分段标准不一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数均为三段式的分段函数． 2．给出分段函数f (x )={f 1(x )，x ≤a ，f 2(x )，x >a ．如何解不等式（或方程）：f(g (x ))≥f(ℎ(x))． 方法一：就g (x )，ℎ(x)与a 的大小关系分四种情形，将两边代出后求解；方法二：令g (x )=a ，ℎ(x )=a ，解出x 的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解．3．若f (x )=a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 2x 2+a 1x +a 0，且f (t )=0，则f(x)必含有因式(x −t)；必要时可以用竖式除法或待定系数法将f(x)因式分解；若x =x 0为f(x)的极值点，则x =x 0必为方程f (x )=f(x 0)的重根．4．y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 在a 确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！5．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的解析式：【其图象(a >0)的各种情形你知道吗？】①若已知f (x )=0的三个根为x 1，x 2，x 3，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)．②若已知f (x )=0的两个根为x 1，x 2，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −m)．③若已知f (x )=0的一个根为x 1，则可设f (x )=a (x −x 1)(x 2+mx +n)．6．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有极值的充要条件是：f′(x )=3ax 2+2bx +c =0有两个不等实根．【由f′(x )=3ax 2+2bx +c =3a (x −x 1)(x −x 2)的图象可知．】三、 值域，最值1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．2．配方法（对称轴法）：对于型如f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈[m ，n]的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴x =−b2a 完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略．使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域． ①y =ax +b +k √cx +d ，令t =√cx +d ．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）②y =a f (x )，令u =f(x)，则y =a u ； ③y =log a f(x)，令u =f(x)，则y =log a u ；④y =f(a x )，令t =a x ，则y =f(t)； ⑤y =f(log a x)，令t =log a x ，则y =f(t)；⑥令a x +a −x =t ，则a 2x +a −2x =t 2−2(t ≥2)； ⑦令√1−x +√1+x =t ，则√1−x 2=t 2−22．无参函数先定性，定性之后再前行！ 定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质；然后再结合性质去解题.a a 1 a 2 函数符号的使用：p =kV ⇒p (V )=kV ，y =ax 2+bx +c ⇒y (x )=ax 2+bx +c ，但对于后者习惯用f(x)． 在使用函数符号时，“y =⋯”，根据需要可改用“f (x )=⋯”．【y 即f(x)，f(x)即y ，因为y =f(x)．】 如：判断函数单调性和奇偶性及周期性等，就应该使用函数符号f(x)．⑧y=ax+b±k√c2−x2，令x=csinα，α∈[−π2，π2]（或令x=ccosα，α∈[0，π]）．⑨x∈R时，令x=tanα，α∈(−π2，π2)；⑩令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2−12．4．图象法（数形结合法）：(直观实用！)■①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．②求f(x)=max{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}或f(x)=min{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}的值域，可先分别作出其中所含函数：f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)的图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象，从而确定值域或最值．③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率？平方和（的算术根）→距离？等】，作出图象，求出值域或最值．5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■6．有界性法：含x2，|x|，√x，x(x∈(m，n))，a x，sinx，cosx的函数，若可用y表示它们，则常利用其有界性来求值域或最值．7．基本（均值）不等式法：利用a+b2≥√ab或a+b+c3≥√abc3(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如y=x+kx(k>0)．【还要注意柯西不等式的应用．】8．判别式法：用于y=f(x)=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2．（a12+a22≠0，分子、分母无公因式，且x无人为限制．）先化成(a2y−a1)x2+(b2y−b1)x+(c2y−c1)=0，再运用∆≥0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）．附：若含参数的函数f(x)=a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的值域为[a，b]，求所含参数的值．方法①：利用判别式法；方法②：利用a≤a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2≤b恒成立且等号也可成立．9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值．(万能方法！)■⒑分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数f(x)=ax2+bx+c，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，①对称轴x=−b2a与x轴上区间[m，n]的两端点m，n的三种位置关系；②对称轴x=−b2a 与x轴上区间[m，n]的中点m+n2的两种位置关系；同理：对于函数f(x)=k|x−a|+b，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．补充1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于x的方程．．在定义域内有解．．，从而求参数y的取值范围问题！求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标．．．组成的集合！2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域．3．可学会使用的符号：①f(x)max=f(p)，f(x)min=f(q)；②f(x)max=max{f(p)，f(q)}=⋯，f(x)min=min{f(p)，f(q)}=⋯．【含参数时可根据f(p)−f(q)的符号分类确定。
函数知识点(详细)
第二章函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值X 围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值X 围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的X 围出发，推出()y f x =的取值X 围。
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第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】(1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；(2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（4）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.【经典例题】例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.例21. 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．f (x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o x y o第二讲 函数的定义域【知识归纳】1.函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。
（注：专指x 的取值范围。
） 2.函数定义域的求法：(1)由函数的解析式确定函数的定义域；(2)由实际问题确定的函数的定义域；(3)不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。
注：1、具体函数的定义域（1）若()f x 是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；（2）若()f x 是偶次根式，则函数的定义域是使（被开方数）根号内的式子大于或等于0的实数集合；（3）若()f x 是对数函数，则函数的真数要大于0； （4）若0()f x x =，则x 不等于0 。
（5）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （6）正切函数的角的终边不能在y 轴上. （7）分段函数：①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. （8）复合函数定义域的求法：①已知)(x f y =的定义域是A ，求()[]x f y ϕ=的定义域的方法为解不等式：A x ∈)(ϕ，求出x 的取值范围.②已知()[]x f y ϕ=的定义域为A ，求)(x f y =的定义域的方法:A x ∈，求)(x ϕ的取值范围即可.（9）若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；（10）若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 2、抽象函数的定义域求解：不管括号内是什么，定义域是指x 的范围；无论括号内是什么，括号的整体范围不变。
3、区间表示法：设a ，R b ∈，且b a <.满足b x a ≤≤的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[]b a ,. 满足b x a <<的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作()b a ,.满足b x a ≤<或b x a <≤的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，记作(][)b a b a ,,或.b a 与叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.【经典例题】例1.函数x x y +-=1的定义域为（ ）A .{}1x x ≤B .{}0x x ≥ C.{}10x x x ≥≤或 D.{}01x x ≤≤例2.函数()()xx x x f -+=1的定义域是（ ）A .()0,+∞B .(),0-∞C.()(),11,0-∞-- D.()()(),11,00,-∞--+∞例3.若函数()1+=x f y 的定义域是[],3,2-则()12-=x f y 的定义域是（ ） 5.0,2A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]4,1.-B []5,5.-C []7,3.-D 例4.已知函数(),11+=x x f 则函数()[]x f f 的定义域是（ ） {}1.-≠x x A {}2.-≠x x B {}21.-≠-≠x x x C 且{}21.-≠-≠x x x D 或例5.已知()x f21-求函数⎪⎭⎫⎝⎛-xx f 213的定义域是?例6.若函数()268y kx x k =-++的定义域是R ，求实数k 的取值范围.例7.已知函数x x x f -+=11lg )(，求函数)2(12)1()(xf x x f x F +++=的定义域.例8.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠. （1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.【巩固练习】1.函数()x x x y +-=1的定义域为（ ）{}0.≥x x A{}1.≥x x B{}{}01. ≥x x C{}10.≤≤x x D2.()xx f 11211++=的定义域为 .3.已知函数()x f 的定义域为[].2,2- ①求函数()x f 2的定义域； ②求函数⎪⎭⎫⎝⎛-141x f 的定义域. 4.已知函数()42-x f的定义域[]5,3∈x ，则函数()x f 的定义域是？5.如果函数()()()x x x f -+=11的图像在x 轴上方，则()x f 的定义域为（ ）.{}1.<x x A {}1.>x x B {}11.-≠<x x x C 且 {}11.≠->x x x D 且6. （1）已知1,,,,≠∈+a R z y x a ，设,,log 11log 11zya a ay ax --==用x a ,表示z .（2）设ABC ∆的三边分别为c b a ,,，且方程01lg 2)lg(2222=+--+-a b c x x 有等根，判断ABC∆的形状.第三讲函数的值域【知识归纳】1.函数的值域：函数的值域是指在定义域的范围内函数的取值范围。
（是指y的取值范围。
）2.函数值域的求法：见经典例题中分类。
【经典例题】一．观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1 求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
二．反函数法：函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2．求函数3456xyx+=+值域。
三．配方法：数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。
例3．求函数225,y x x x R=-+∈的值域。
四．判别式法：适用于二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
使用判别式求函数值域的条件是自变量x∈R。
例4．求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
特别注意转化后的二次方程的二次项系数为0的情况。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
五、均值不等式法：适用于二次型的分式函数。
，使用均值不等式的条件是“一正，二定，三相等”。
x+a/x≥2√x·a/x=2√a(x>0)；x+a/x≤-2√a（x<0）。
例5. 求函数y=x 2+x+1/x+1的值域。
.112..22222222ba y 型：直接用不等式性质k+x bxb. y 型,先化简，再用均值不等式x mx nx 1 例：y 1+x x+xx m x n c y 型 通常用判别式x mx n x mx nd. y 型x n法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉x x 1（x+1）（x+1）+1 1例：y （x+1）1211x 1x 1x 1==++==≤''++=++++=+++-===+-≥-=+++六、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。