函数三要素教案

（一）教学目标1．知识与技能（1）了解函数三要素的含义，掌握根据函数的三要素判定两个函数是否为同一个函数的方法.（2）会求简单函数的定义域和函数值.2．过程与方法通过示例分析，让学生掌握求函数定义域的基本题型及方法，进一步加深对函数概念的理解.通过求出函数的函数值，加深对应法则的认识.3．情感、态度与价值观通过动手实践研究数学问题，提高分析问题，解决问题能力；体会成功地解答数学问题的学习乐趣，培养钻研精神.（二）教学重点与难点重点：掌握函数定义域的题型及求法.难点：理解函数由定义域与对应法则确定函数这一基本原则.二、授课内容：【知识要点】⑴定义域———自变量x 的取值范围函数三要素 ⑵值 域———函数值的集合⑶对应法则——自变量x 到对应函数值y 的对应规则注意：①核心是对应法则；②值域是由定义域与对应法则所确定了的，故确定一个函数只需确定其定义域、对应法则则即可；③如何判断“两个”函数为同一函数；④函数()12-=x x f 的对应法则f ：x （平方再减1整体再开平方）y 。

而在此基础上的函数()1+=x f y ，其自变量为式中的x 而不是1+x ，其对应法则x（加1再取f 运算）y ，即x （加1整体平方再整体减1再整体开方）y ，故此时()1)1(12-+=+x x f 。

【典型例题】 1．函数定义域求法⑴已知函数的解析式求定义域时需要注意： ①()x f 是整式，则定义域为R ；②()x f 是分式，则令分母不为0的值为定义域；③()x f 是偶次根式，则函数定义域为使被开方式为非负数的自变量集合； ④若()x f 由几个部分式子构成，则定义域是使几个部分式子都有意义的值的集合； ⑤函数[]2)(x f y =的定义域()x f 0≠；⑥对数函数()x f y a log =（0>a ，且1≠a ）的定义域要求()x f >0； ⑵求函数()[]x g f 的定义域，()x g 相当于()x f 中的x 。

⑶当函数由实际问题给出时，还应考虑实际意义。

例1：求下列函数的定义域 ①()02)1(4--=x x x f ；②()121122+-+++=x x x x x f ； ③()xx f 11111++=042≥-x 22≤≤-x解析：①由 ⇒ ∴函数定义域为[)(]2,11,2⋃- 01≠-x 1≠x 012≥++x x （Ⅰ）② 12++x x 的判别式0<∆ ∴（Ⅰ）式对一切R x ∈恒成立。

0122≠+-x x （Ⅱ）（Ⅱ）式化为0)1(2≠-x 1≠⇒x ∴函数定义域为（-∞，1）⋃（1，+∞） 01111≠++x111-≠+x 21-≠x ③由 011≠+x⇒ 1-≠x ⇒ 1-≠x 0≠x 0≠x 0≠x例2：已知)1(+x f 的定义域为[]3,1，求函数()x f 32-的定义域。

解析：()1+x f 定义域为[]3,1，其自变量[]3,1∈x[]4,2∈∴x ，()x f ∴的定义域为[]4,2∴对于()x f 32-的自变量x 应满足条件4322≤-≤x ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,32x∴()x f 32-的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,322x （0>x ）例3：指出函数()=x f 1 （0=x ）的定义域、对应法则、值域。

x +-1 （2-≤x ）解析：定义域为(){}(]2,0,0-∞-⋃⋃+∞=(][)+∞⋃-∞-,02,对应法则f ：()+∞∈,0x 时，()0;2==→x x x f x 时，()(]2,,1-∞-∈=→x x f x 时，()x x f x +-=→1()+∞∈,0x 时，()()+∞∈=,02x x f ；0=x 时，()(]2,;1-∞-∈=x x f 时，()(]3,1-∞-∈+-=x x f【练习】 1．已知()211xx f +=，()2+=x x g 。

⑴求()()2,2g f ；⑵求()[]x g f 。

2．求函数()()13lg 132++-=x xx x f 的定义域。

3．设()xxx f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为______________________。

2．函数值域求法⑴直接法，从x 的范围出发，直接推导y 的范围；（又称观察法） ⑵利用函数单调性；⑶利用原函数与其反函数的关系，即函数的定义域和值域分别是其反函数的值域和定义域； ⑷转化为二次函数，利用二次函数的性质，判别式、配方法等方法； ⑸通过变量代换、常数分离等变换将函数化简成熟悉的形式； ⑹根据函数的图像； ⑺数形结合法（几何法） 例4：求下列函数值域①)(20Nxx y *∈+=②2412--=x y ③962+-=xy ④⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211xy （0≥x ） ⑤x x y 22212--=⑥()2821≠=-x y x⑦()11222±≠∈-+=x R x y x x 且 解析：①函数)(20N xx y *∈+=的值域是{}3。

②{}2,02-≤∴≥y y x直接法③{}3,392≤∴≥+y y x④当0≥x 时，1021≤<⎪⎭⎫ ⎝⎛x，∴值域是[)1,0⑤由022122≥--xx 得函数的定义域是[]2,3-设xx z 22212--=，顶点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛-225,21 ∴当21-=x ，z 的最大值是225，y 最大值∴=225当023==-=y x x 最小值时，得或，∴函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡225,0⑥方法一：021,2≠-≠xx ，由图像性质得{}1,0≠>y y y 且。

方法二：由x y -=21log8解得yx log 812-=∴反函数是x y log 82-=（10≠>x x 且） 又 反函数的定义域和原函数的值域是一致的{}10)2(821≠>≠=∴-y y y x y x且的值域是函数⑦方法一：()()21,21222+=-+=-y y y x x x 即当1≠y 时，12-+±=y y x 在定义域（1±≠∈x R x 且）的范围内无反函数，若将定义域分成两段，当10≠≥x x 且时，原函数的反函数是12-+=x x y ；当时，且10-≠<x x 原函数的反函数是12-+-=x x y 。

在这两段内，两个反函数的定义域都要求012≥-+x x ，即21≤>x x 或。

方法二：()x y y y x时，当1,0212≠=--- 有实数解()()1,12,0214≠≥-≤≥----=∆∴y y y y y 但或解得 ∴函数()11222±≠∈-+=x R x y x x 且的值域为(]()+∞⋃-∞-,12,【练习】求下列函数的值域： ①651222+---=x x y xx ②13212+-=x y x ③x x y 41332-+-=④x x y 21--= ⑤()x x y 22log -=3．函数解析式的求法⑴换元法 ⑵待定系数法 ⑶方程组法 ⑷配凑法 例题5：已知(),5322+-=+x x f x求()x f 。

解析： 方法一：换元法设t x =+2，则2-=t x ()()1575)2(3222+-=+--=-t t x f t t()1572+-=∴x x f x方法二：配凑法()()()1527222++-=++x x f x 将原象x x 换成2+ ()1572+-=∴x x f x方法三：待定系数法因为x 加上2在f 的作用下得到的是二次多项式，所以()x f 一定是二次多项式。

设()c bx ax x f ++=2()()()c b a x b a ax c x b x a x f +++++=++++=+2442)2(222又(),5322+-=+x x x f 比较同类项的系数得 1=a34-=+b a 524=++c b a教师： 肖红汉 学生： 时间： 年 月 日 段1=a∴ 7-=b ()1572+-=∴x x f x15=c 方法四：变量代换法()22+-=x x 用x x 代换2-，()()[]()()15752322222+-=+--=+-=∴-x x x f x f x x【练习】 1．已知xxx x f 2211+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 的表达式。

2．已知()x x x f21-=+，求()x f 的表达式。

3．已知函数()x f 满足()xx f x f 213=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求()x f 的表达式。