⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 442. 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R 上的,若二次函数的定义域是R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.
知识点二 函数的三要素
函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.
在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围.
确定函数定义域时,要从两个方面考虑:
（1）使函数解析式有意义;
（2）符合客观实际.
对应关系 用f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x 施以某种运算,类似于程序的作用.
值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.
例2. 讨论反比例函数()0≠=
k x k y 的定义域和值域. 解:反比例函数()0≠=k x
k y 的定义域为{}0≠x x ,值域为{}0≠y y . ()()A a a f ∈与()x f 的区别与联系
)(a f 表示当a x =时()x f 的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)
(x f
表示自变量为x 的函数,它表示的是变量.
如x x f 2)(=表示的是一个函数,()63=f 是它的一个函数值,是常量.
知识点三 具体函数的定义域的确定方法
所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:
（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R .
（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;
（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;
（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.
（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.
（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.
知识点四 函数的相等
只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数. 对函数的相等理解时要注意:
（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.
（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.
（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.
如函数2)(-=x x f 与函数x x f 2)(=的定义域都是R ,值域都是R ,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.
（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.
如函数1)(2+=x x f 与函数1)(2+=t t f 表示的就是同一个函数.
（5）对)(x f 中x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f 施加关系的对象不同,两个函数也不相等.
如函数2)(x x f =和函数2)1(x x f =-表示的就不是同一个函数.
例3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】
（A ）x x f =)(,()2
)(x x g = （B ）1)(2+=x x f ,()12+=t t g
（C ）1)(=x f ,x
x x g =)( （D ）x x f =)(,()x x g =
分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.
解:（A ）选项中,函数x x f =)(的定义域为R ,函数()2)(x x g =的定义域为{}0≥x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;
（B ）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;
（C ）选项中,函数1)(=x f 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线,其定义域为R ,函数x
x x g =
)(的定义域为{}0≠x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;
（D ）选项中,函数x x f =)(与函数()x x g =的定义域均为R ,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.
选择【 B 】.
例4. 求下列函数的定义域:
（1）2322---=x x x y ; （2）x x y -⋅-=11; （3）x y --=113
; （4）2253x x y -+-=.
分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.
