第7讲 函数的三要素
高三数学函数的概念
1 u 1 v D f u , g v 1 u 1 v
2.关于函数（映射）定义
例2、集合 A 3,4, B 5,6,7 ，那么从A→B的映射 有 9 个，从B→A的映射 8 个,从B→A，且A中 每个元素都有原像的映射有 6 个，。
变式一
设集合A和B都是自然数集合N，映射f： A→B 把集合A中的元素n映射到集合B中的元素 2n+n，则在映射f下，像20的原象是 4 .
2 ( x 1 ) ,x 1 练习2.（2004. 人教版理科）设函数 f ( x ) ， 4 x 1, x 1
7 1求f f f =1 2若f a 3, 求 a的值. 1.5或 4 6
函数的概念与表示
高三备课组
（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射 法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有 唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B 以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射， 记作f：A→B。 （2） 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映 射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的 象，a叫做b的原象。
参考答案：1
（A）1
2 2 2 （B）1, （C） 1, （D） 2 2 2
x 2( x 1) 已知函数 f x 2 x(1 x 2) 练习1： x2 x 2 2
、则使得 f ( x ) 1的自变量的取值范围为（B ） ,2 0,1 B、 ,2 0,10 A、 xC、 ,2 1,10 D、 2,0 1,10
D f x log
ax a
(a 0, a 1),
C语言第七讲 函数(2)
21
一、变量的存储空间分配概念
变量定义位置 变量的作用域 空间 （变量的使用范围）
变量的存储类别变量的生存期 时间
26
局部变量
二、变量的作用域——
局部变量(local variable)与全局变量(global variable)
例
void swap( ) { int t,x,y; t=x;x=y;y=t; } main() { int x=3,y=5; printf("x=%d,y=%d\n",x,y); swap( ); printf("x=%d,y=%d\n",x,y); }
斐波那契数列的递归方法实现。计算并输出斐波 那契数列的前7个数据。
1 当n =0, 1时
fib(n) =
fib(n-1)+ fib(n-2) 当n > 1时
int fib(int n) { if(n==0||n==1) return 1; else return fib(n-1)+fib(n-2); }
10
void main() { int n; for(n=11;n<=99;n++) if( absoluteprime(n) ) printf("%d\t",n); } /*判断一个数是否为绝对素数*/ int absoluteprime (int n) /*函数定义*/ { if(prime(n)==0) return 0; else if(prime(invert(n))==1) return 1; else return 0; }
函数三要素的确定(2)-课件
（2）当1t 3时，路程 S 所对应的集合为
S 260 S 760.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域. (1) x R;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
当
x
1 2
时，
y
0；
例 4：求函数 f x x2 2x 1 的值域.
解：
f
x
x2
2x
1
x
2
x2
2x 2x
1,x 1, x
1 2 1 2
, .
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
值域.
(1) x R; (2) x 2,4; (3) x 1,4.
解：画出二次函数 f x x2 2x 3的图象，在
不同条件下求出值域
（1） y 2,; （2） y 3,11;
例 3：求函数 f x x2 2x 3在下列条件下的
为S 260,385,760.
解：高铁所行驶的路程S 与时间t的对应关系为
S 250t 10，
（1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
为S 260,385,760.
（2）当1 t 3时，
解：高铁所行驶的路程 S 与时间t 的对应关系为 S 250t 10， （1） 当t 1,t 1.5,t 3时，路程S 所对应的集合
函数的三要素复习公开课
三.易错点辨析
3.求函数的单调区间
例：函数 f (x) ln( x2 2x 8)的单调递增区间是 _____
定义域优先：要使函数有意义，则x2 2x 8 0，得x (,2) (4,) 取定义域内二次函数的递增区间即可 内层二次函数对称轴为x 1,所以f (x)递增区间为（4， ）
三、易错点辨析
4.复合函数和抽象函数的定义域
例：已知 f (x)的定义域为[0,1]，求函数 y f x2 f x 4 的定义域 3
分析1 4 3
4 3
解得x [1,0]
四、分组讨论，展示评价
1. f (x) log（ 2 ax 1)(a 0)的定义域为（ ,1），则a的值是 ____
分析：易知 f (x)定义域为[a,)，则[2,) [a,) a 2
三.易错点辨析 2.定义域和值域在集合中的应用
例：已知A {x | y x2 2x 3}, B {x | y lg（x -1）},则A B ________ 分析：集合A和B中代表元素均为x，则A, B分别表示两个函数的定义域 易得：A [1,3] B (1,),则A B (1,3]
五、真题闯关
1（. 16全国文）下列函数中，定义域和值域分别与y 10lg x的定义域和值域都相同的是( ) A.y x B.y lg x C.y 2x D.y 1
x
3（. 15山东理）已知f (x) ax b(a 0, a 1)定义域和值域是[1,0], 则a b ______
高一数学：函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
函数的三要素
第一章函数第一讲函数的概念【知识归纳】(1) 映射映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.一对一，多对一是映射但一对多显然不是映射辨析：①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；(2) 映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).（3）函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记作：y = f (x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.（4）函数的表示方法1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.【经典例题】例1 以下给出的对应是不是从集合A 到B 的映射？（1）集合A = {P | P 是数轴上的点}，集合B = R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P 是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y ) | x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x 是三角形}，集合B = {x | x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x 是新华中学的班级}，集合B = {x | x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生.练1 已知下列集合A 到B 的对应，请判断哪些是A 到B 的映射？并说明理由： （1）A=N ，B=Z ，对应法则：“取相反数”；（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”； （3）A={1，2，3，4，5}，B=R ，对应法则：“求平方根”；（4）A={α|00≤α≤900}，B={x|0≤x ≤1}，对应法则：“取正弦”.例21. 函数y = f (x )表示（ ）A ．y 等于f 与x 的乘积B ．f (x )一定是解析式C ．y 是x 的函数D ．对于不同的x ，y 值也不同2.下列各图中，可表示函数y =f (x )的图象的只可能是 ( )A B C D3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）A ．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素4. 已知f (x ) = x 2+ 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .5. 已知f (x ) = x 2(x ∈R )，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.x y o x y o x y o x y o第二讲 函数的定义域【知识归纳】1.函数的定义域：函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x 的取值。
函数的三要素方法总结
一、考点自我梳理：1.函数的概念设A、B 是__________，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的_______数x，在集合B 中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的_______；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合_________叫做函数的值域．值域是集合B 的______。
两个函数为同一函数的条件:1._________________2._________________2.函数的定义域：（1）定义：________________________________________________________；（2）求函数定义域的主要依据：①分式的分母不能为________；②偶次方根的被开方数必须________；③零的________次方无意义；负分数指数幂的底数_______④对数函数的底数必须______，真数必须______⑤实际问题中的函数定义域要根据自变量的实际意义确定。
⑥反函数的定义域由_________2、求函数解析式的常用方法:求值域的常用方法:请同学们对本节所学知识归纳总结后，画出知识树：二、自主体验：1.设{}{}02,02M x x N y y =≤≤=≤≤给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N的函数关系的有（）2.下列各组函数是同一函数的是()①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x ；③f (x )＝x 0与g (x )＝1x0；④f (x )＝x 2－2x －1与g (x )＝t 2－2t －1.A．①②B．①③C．③④D．①④3.已知f(x),g(x)分别由下表给出则f[g(1)]+g[f(2)]=_________x 123g(x)321x 123f(x)211知识树：我的疑问：我的收获与发现：4.函数y=log 2(1-x)的图象是()A.B.C.D.5.(2012全国大纲卷文)函数1)y x =≥-的反函数为（）（A ）)0(12≥-=x x y （B ）)1(12≥-=x x y （C ）)0(12≥+=x x y （D ）)1(12≥+=x x y 6.(2012重庆文)设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则M N 为（）（A）(1,)+∞（B）（0，1）（C）（-1，1）（D）(,1)-∞7.(08江西理)若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域为（）A ．[21，3]B ．[2，310]C ．[25，310]D ．[3，310]8.(2009辽宁文、理)已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1(3f 的x 取值范围是（A）（13，23）(B)［13，23）(C)（12，23）(D)［12，23）______32)(.92的单调增加区间是++-=x x x f _____,8)(2)1(.10==-=-a a f x x x f 则且已知11.（2019全国2改编）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则f(x)解析式为____________三．典例探究探究点（一）求函数的定义域例1：根据下列函数图像分别确定函数的定义域和值域规律方法总结:_______________________________________________________________的定义域：求函数例)1lg(6122++++-=x x x y 例3：已知等腰三角形ABC 的周长为10，设底边长为y,腰长为x，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为______的定义域求函数的定义域是）若函数（的定义域，求函数的定义域为若函数：例)12(],3,2[)1()(]1,0[)()1(42-=-+=x f y x f x f x f y 2 反思小结：出由定义复合函数定义的取值范围中与中的③的取值范围的定义域是②的取值范围定义域是①_______解域应的)]([其],域[的若已知______)()]([)(___)]([___)(x g f ，b a f(x)x g x g f x x f x g f x f 例5：已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域。
函数三要素
高中数学函数的三要素函数的三要素是指定义域、值域、对应法则。
每个要素里掌握的方向不一样。
定义域从具体函数和抽象函数两个方向去把握，值域掌握求值域的方法有哪些，对应法则也掌握的是方法有哪些，下面一一介绍。
一、定义域1、具体函数定义域，主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义。
2、抽象函数的定义域，此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题，既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。
二、对应法则函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）。
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。
(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。
(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
三、求值域：求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数。
（2）反解法。
（3）配方法。
（4）不等式法。
（5）单调性法。
（6）换元法。
（7）数形结合法。
（8）导数法。