机械振动运动学3两自由度系统振动2
第5章 机械振动
令
2＝ mgh
J
单摆或复摆在小角度摆动情况下， 经过近似处理，它们的运动方程与弹簧振 子的运动方程具有完全相同的数学形式。
O h C
P
例题
【例 题】 一质量为 m 的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平
衡位置附近的振动是简谐振动。
证 如图所示，以平衡位置 A 为原点，向下为 x 轴正向，设某一 瞬时振子的坐标为 x 。
5.1.2 微振动的简谐近似
一端固定且不可伸长的细线与可视为质的物体相连，当它在竖
直平面内作小角度( ≤5°)摆动时，该系统称为单摆，如图所示。
单摆过 C 点的力矩：
M＝－mglsin 很小，近似简化
C l
M＝－mgl
T
摆球的动力学方程：
P sin m
－mgl＝ml
2
d2
dt 2
解 设此简谐振动为
x＝Acos( t+0 )
x cm 4
A＝0.4 m,只需求出0 和 。
2
P
0
从图中分析可知，t＝0 时，x0＝－2cm ， 2
1
ts
且
v0＝
dx dt
＜0
(由曲线的斜率决定)，
4
代入振动方程，有
－2＝4cos0
故 0＝
2π 3
，又由
v0＝－ Asin0＜0
x0＝Acos0
－
v0
＝Asin0
注意：
A＝
x02
(
v0
)2
（1）振幅 A 是离开平衡位置的最大位移的绝对值，只能取正值； （2）振幅 A 确定了系统运动的范围。
五六七总结
机械振动基础当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化时，称之为振动。
振动是社会生活和工程问题中普遍存在的一种现象，力学和机械系统中的振动称为机械振动。
在研究一个具体的力学或机械系统的振动时，常常将系统抽象为较简单的力学模型，利用力学理论建立系统的运动方程，然后利用数学工具求解，分析结果并与实验结果进行比较。
机械振动理论作为动力学的一个专题，现已发展成为一个独立的分支学科。
在理论力学中仅仅限于介绍一些振动理论中常用的方法及对一些振动现象作简单讨论。
一、线性振动系统的弹簧-质量模型在力学系统中，产生振动的基本要素是有质量的物体和产生弹性恢复力的元件。
所以在机械振动研究中，都是将系统抽象成弹簧-质量模型。
二、 弹簧－质量系统的自由振动系统受初始扰动，仅在恢复力作用下产生的振动称为自由振动。
如果将坐标原点取在系统的静平衡位置，单自由度系统的振动微分方程都可以写成如下标准形式：(13-1) 对于弹簧-质量系统，，其中m 是物块的质量，k 是弹簧的刚度系数，称为系统的固有频率，写出系统的标准振动(微分)方程（13－1），就可以求解出系统的固有频率。
由常微分方程理论，上述方程有如下形式的解：(13-2)其中是积分常数，由运动的初始条件(也称初始扰动)确定。
显然，系统的运动是以静平衡位置为中心的简谐运动。
值得一提的是，如果坐标原点不是取在系统的静平衡位置，则系统的运动微分方程会略为复杂一点，但最终得出的解仍然表示系统以静平衡位置为中心作简谐振动。
所以系统的运动规律与坐标系的选取无关。
不过，在机械振动理论中，不论是单自由度，还是多自由度或连续体，一般都是取系统的静平衡位置为坐标原点，这样选取可使得方程和解的表达式较简洁。
02=+x xω mk =2ωω12sin cos sin()o x c t c t A t ωωωϕ=+=+12,,,o c c A ϕ三、振动系统的特征量周期：系统振动一次所需的时间，记为T ，其单位是秒(s)。
机械振动系统与机械振动分类
机械振动系统与机械振动分类1. 机械振动系统简介机械振动系统是指由于外界激励或系统自身特性而引起的物体或结构产生振动运动的系统。
机械振动系统广泛应用于工程领域，如机械制造、工程结构、航空航天等。
了解机械振动系统及其分类对于研究和应用机械振动具有重要意义。
2. 机械振动分类机械振动可以根据不同的分类标准进行分类，包括运动形式、激励方式、振动特性等。
2.1 运动形式机械振动根据物体或结构的运动形式可以分为自由振动和强迫振动。
2.1.1 自由振动自由振动是指系统在无外界激励的情况下，由于系统本身的特性而产生的振动。
自由振动分为自由衰减振动和自由无衰减振动两种形式。
自由衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，由于系统阻尼的存在而衰减的振动。
在自由衰减振动中，振动幅值呈指数衰减。
自由无衰减振动是指振动系统在没有外界激励的情况下，没有阻尼或阻尼较小而不影响振动的情况下产生的振动。
在自由无衰减振动中，振动幅值保持不变。
2.1.2 强迫振动强迫振动是指系统由外界激励引起的振动。
外界激励可以是周期性的，也可以是非周期性的。
强迫振动分为共振和非共振两种形式。
共振是指外界激励频率与系统的固有频率相等，从而使得系统振动幅值达到最大的状态。
共振时，振动幅值会明显增大，甚至会出现破坏性振动。
非共振是指外界激励频率与系统的固有频率不同，振动幅值会有所减小。
2.2 激励方式机械振动根据激励方式可以分为有源振动和无源振动。
有源振动是指通过外部能量源对振动系统进行能量输入的振动。
典型的有源振动系统包括激励器、驱动器等。
无源振动是指在自由振动状态下，由于外界条件或系统初始激励引起的振动。
无源振动通常分为两种情况，即系统外力激励和几何和材料非均匀性。
2.3 振动特性机械振动根据振动特性可以分为单自由度振动和多自由度振动。
单自由度振动是指一个自由度的振动系统，在一个平面或轴向上只有一个振动方向的振动。
典型的单自由度振动系统包括单摆、弹簧振子等。
机械振动
相差
(t 2 ) (t 1 ) 2 1
➢ 2 < 1 ， 振动（1）比振动（2）超前或振动
（2）比振动（1）落后；
x1
➢2- 1=0 或 2π的整
数倍，即π的偶数倍,
x2
称这两个振动为同相;
➢ 2- 1=π或π的奇
数倍，称这两个振 动为反相.
x1 x2
五.简谐振动实例 1. 单摆
ft mg sin
例3.质点沿x轴谐振动的方程为x=4cos(2πt+ π/3)cm,求: 从t=0时刻到x=-2cm且向x轴正向运动的最短时间间隔.
解: x=-2cm, 且向x轴的正向运动, v>0, =4π/3 t=0, o=π/3 0 t t=0.5s
课堂练习： (1)x0 A
(3)x0 0,vo 0
机械振动的概念
振动也称振荡.在力学中,振动是指物体围绕某个 平衡位置作周期性的往复运动,又称机械振动.
广义地说,任何一个物理量在某一确定值附近的反 复变化都可称为振动,如电磁振荡,交流电中电流、 电压的反复变化等. 物体作机械振动时,来回往复的运动轨迹，最简单 的是一条直线,称为直线振动.在平面或空间的往复 振动,都可以认为是由多个直线振动叠加而成的.
A1 cos1 A2cos2 Acoso
x Acos(t o )
用旋转矢量法可得到同样结果
x1 A1 cos(t 1 ),
x2 A2 cos(t 2 )
x x1 x2 ➢合矢量 A 将与矢 量 A1 与 A2 一起以 角速度ω转动.
x Acos(t o )
y A2
ω
A
2 o 1
➢振幅A :是质点离开平衡位置的最大位移,它的大 小表征振动的强弱.
机械振动学总结全
若用复数来表示，则有 机械振动学总结机 械 振 动 学 基 础第二节机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从 运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间 t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数 T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数1来表示，则这一个运动时周期运动。
其中 T 的最小值叫做振动的周期，f 二1定义为振动的频率。
T简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动.■, ... ■ ?. I .. ■；-.物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，「和■■称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度 •’称为简谐振动的角频率 简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间 t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前 加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这 是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图 P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率⑷z = Ae j(心z = Acos( t ) jAsin( t '-)用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数e j t 对时间求导一次相当于在其前乘以j ■，而每乘一次j ，相当于有初相角-2二•周期振动满足以下条件: 1）函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在;2）在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中b n三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成 1. 俩个同频率的简谐振动x 2 二 A 2sin( t 2) , x 2 二 A 2sin( 2t 2)它们的合成运动也是该频率的简谐振动2. 俩个不同频率振动的合成若「1—2，则合成运动为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线第三节构成机械运动的基本元素构成机械振动的基本元素有惯性、 恢复性和阻尼。
第十二章第1讲机械振动-2025年高考物理一轮复习PPT课件
高考一轮总复习•物理
2．图像 (1)从_平__衡__位__置__处开始计时，函数表达式为 x＝Asin ωt，图像如图甲所示． (2)从_最__大__位__移__处开始计时，函数表达式为 x＝Acos ωt，图像如图乙所示．
第10页
高考一轮总复习•物理
四、受迫振动和共振
固有频率 固有频率
最大
第11页
动条件
(2)无摩擦等阻力． (3)在弹簧弹性限度内
(1)摆线为不可伸缩的轻细 线． (2)无空气等阻力． (3)最大偏角小于 5°
高考一轮总复习•物理
第8页
模型 回复力 平衡位置 周期
能量转化
弹簧振子 弹簧的___弹__力____提供
弹簧处于___原__长____处 与振幅无关
弹性势能与动能的相互 转化，机械能守恒
答案
高考一轮总复习•物理
第25页
解析：由题分析可得振子振动图像的一种可能情况如图所示，振子在 t＝0 时位于最大位 移处，速度为零，t＝10 s 时，振子在平衡位置，速度最大，故 A 错误；在 t＝4 s 时，振子位 于最大位移处，加速度最大，t＝14 s 时，振子处于平衡位置处，此时振子的加速度为零，故 B 错误；在 t＝6 s 和 t＝14 s 时，振子均处于平衡位置，此时动能最大，势能最小，故 C 正确； 由振子的振动周期 T＝2π mk 可知，振动周期与振子的振幅无关，故只改变振子的振幅，振 子的周期不变，只增加振子质量，振子的周期增大，故 D 正确．
12A＝Asin φa， 23A＝Asin φb，解得 φa＝－π6或 φa＝－56π(由题图中运动方向舍去)，φb＝π3或 φb ＝23π，当第二次经过 B 点时 φb＝23π，则23π－2π－π6T＝t，解得 T＝152t，此时位移关系为 23A ＋12A＝L，解得 A＝ 32＋L 1，C 正确，D 错误．故选 BC．
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
理论力学经典课件-振动
2 n
x C1er1t C2er2t
本征值与运动微分方程旳通解旳形式与阻尼比有关。
3. 小阻尼情形
当 n< n 时，阻尼系数 c 2 mk ，这时阻尼较小，
称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：
r1 n i
2 n
n2
r2 n i
2 n
n2
其方程旳解为
或
x Aent sin(
2 n
F l 3 3EI
Fl 3 3EI
F ky yst
k
3EI l3
k－等效刚度
Wl 3 mgl 3 yst 3EI 3EI
k
3EI l3
my mg F
F ky yst
my ky 0 此即梁－物块旳运动微分方程
y Asin(nt )
串联弹簧与并联弹簧旳等效刚度
1. 串 联
meq－等效质量：使系统在广 义坐标方向产生单位加 速 度，需要在这一坐标方 向施加的力或力矩。
meq q keq q＝0
q＝C1cosnt C2cosnt
q
2 n
q＝0
q＝Asinnt
＝
n
keq －系统的固有频率；A meq
q02
q0
n
2
振动的振幅；
arctan
n q0
q0
－振动的初位相； q0－初始广义坐标； q0－初始速度。
l
处于平衡，若k、m、a、l 等均
为已知。
ak
m
求：系统微振动旳固有频率
解：取静平衡位置为其坐标原点，
由动量矩定理，得
F
JO
d 2
dt 2
mgl cos
Fa cos
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
上作用有弹性恢复力。力的作用方向如图3.2所示。应用牛
顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式为：
令 则： 上式为一个二阶常系数线性齐次微分方程组。
【例3-2】图3.3所示的两个自由度的振动系统，两物块质量各为 和 ，质量 与一端固定的刚度系数为 的弹簧连接，质
量 用刚度系数为 的弹簧与 连接。物块可以在水平方向运 动，摩擦等阻力都忽略不计。
3.2 两个自由度系统的自由振动
1. 系统的运动微分方程
【例3-1】设弹簧的刚度分别为 k1 和 k2，其质量为m1 、m2 。质量的位 移分别用x1和x2来表述，并以静平衡位 置为坐标原点，以向下为正方向。
【解】在振动的任一瞬间 t， 和 的位移分别为 及 。
在质量 上作用有弹性恢复力 及
，在质量
图3.7系统的主振型 根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
k
k
x1 0.4cos
t 0.8cos1.581
t
m
m
k
k
x 0.4cos
2
t 0.4cos1.581
t
m
m
3.2.4 振动特性的讨论
（1）运动规律
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。
第3章 两自由度系统振动
赠言
赠言
前事之不忘，后事之师。 《战国策 · 赵策》
欲穷千里目，更上一层楼。 王之涣《登鹳雀楼》
3.1概述
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的 基础，本章将讨论两个自由度系统的振动。
两自由度系统是指用两个独立坐标描述系统任意瞬时其几 何位置的振动系统。两自由度系统具有两个固有频率，并进行 振动。
分别取一阶、二阶导数可得：
整理后得：
上式是关于 、 的线性齐次代数方程组。要使 、 有非空解，则上式的系数行列式必须等于零，即：
将上式展开，得： 解方程，进一步可得如下的两个根：
上式是决定系统频率的方程，并称为振动系统的 特征方程。
结论：两个自由度振动系统具有两个固有频率，这两 个固有频率只与振动系统的质量和刚度等参数有关， 而与振动的初始条件无关。
例如，石油载重卡车的车身相对重心的振动；图3-1
（a）所示车床刀架系统、 （b）车床两顶尖间的工件系统、 （c）磨床主轴及砂轮架系统。 磨床磨头系统就可以简化为图3.1 （d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。
两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动型
图3.3两自由度振动系统
【解】现建立系统的振动微分方程。选取两物块的平衡位 置 ， 分别为坐标原点，取两物块离平衡位置的位移 和
为系统的坐标。当振动系统发生运动时，两物块的运动 微分方程可列出:
整理后得:
令
方程组可改写为:
上式为两自由度系统振动的微分方程。 图3.2，双质量－弹簧机械振动系统中，第一个方程中包 含 项，第二个方程中则包含 项，统称为“耦合项”。
【例3－4】标准m-k-c系统中，设 ＝m, ＝2m, ＝ ＝k, ＝2k, 求图3.6所示系统的固有频率和固有振型。
设初始条件为
图
3.6
两
自
由
试求系统的响应。
度
振
动
系
统
【解】:该振动系统的运动微分方程式为 令 解出
2k
k
k
3k
a , b , c , d
m
m
2m
2m
可作出如图3.7所示的主振型图。进一步可看出节点。
，这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型。
3.系统对初始条件的响应
根据微分方程的理论，两阶主振动是微分方程组的两 组特解。而它的通解则应由这两组特解相叠加组成。从振 动的实际考虑，两自由度系统受到任意的初干扰时，机械 振动系统的各阶主振动都要激发。故出现的自由振动应是 这些简谐振动的合成。
因此，在一般的初干扰下，振动系统的响应是：
（2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任
何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
（3）节点和节面 主振型的阶数越高，节点数也就越多。概括起来，第i
阶主振型有 i 1个节点。 （4）阻尼
如果机械振动系统存在阻尼，则阻尼影响多自由度系 统和影响单自由度系统是相似的。由于在工程结构中阻尼 较小，故可忽略不计。
以上表明，质量 同不仅受到弹簧 的恢复力的作用， 而且受到弹簧 的恢复力的作用； 只受一个弹簧 恢复 力的作用，还受到第一质点 位移的影响。位移之间有耦合 称为弹性耦合；加速度之间有耦合称为惯性耦合。
2. 固有频率和主振型 设在机械振动时，两个质量按同样的频率和相
位角作简谐振动的方程组（3.2）式的特解为：
方向相
细杆的质心坐标为
细杆绕质心C的微小转角
列出细杆的平面运动微分方程
两式可整理得 其中
设方程组的解为 将上式消去sinωt
若要A，B有非零解，必须有
其中， ， 是此振动系统的两个固有频率。
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
，
这是对应于直杆上下平动的固有振型；
当
时，为使式中两个方程组都满足，应有
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
3.2.5 主振型的正交性
将所求得的 和
代入（3.7）式中可得：
为第一主振型，即对应于频率 的振幅比； 为第二主振型，即对应于频率 的振幅比。 振幅 与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。 振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
图3.5均质细杆振动系统 【解】以平衡位置为原点，只考虑铅垂方向位移，分别以弹 簧的两个支点的位移 和 为系统的两个坐标，如图3.5所 示。
在任意位置处细杆受到的两个恢复力与位移 反，大小为