机械振动单自由度系统的自由振动
机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
胡海岩机械振动基础第一章课件
1.1 单自由度系统振动方程
• 振动系统的组成
三要素：质量，刚度，阻尼
c
k
必须要素
• 振动系统的数学模型:
运动方程（力平衡给出方程）
m u(t) f(t)
mu(t) cu(t) ku(t) f (t)
振动工程研究所
方程中的弹性项
fs
u2
u1
f
f
k
def
f s (t) k (t) k[u1 (t) u2 (t)]
u
(t
)
0a
s
in(
0t
2
)
注意位移、速 度、加速度之间 得相位关系
u(t)
2 0
a
s
in(
0
t
)
2 0
u
(t
)
振动工程研究所
旋转向量法（几何法）——纵轴投影
Im
P
Q
u
a 0t
0
O
Re
Im
Im
a
0
a 0a
0
O
Re
a2 0
O
Re
a
b
c
– 复数法 z aej e j0t aej(0t )
振动工程研究所
Im(aej e j0t )
a sin(0t )
振动工程研究所
• 不同频率的简谐振动的合成不再是简谐 振动
1. 周期振动(频率可通约)
关键
u1(t) a1 sin(1t 1) 整数倍数 u2 (t) a2 sin(2t 2 )
证
1 m
明 2 n
T2 m , T1 n
T0 T1m T2n
mu(t) ku(t) 0
机械振动基础-单自由度系统-1
• 速度和加速度也是简谐函数，并与位移具有相同频率； • 在相位上，速度超前位移90，加速度超前位移180°。
• 加速度始终与位移反向： u&&(t) n2u(t) • 速度和加速度的幅值分别是振幅的 n和n2倍。
• 简谐振动过程
最大振幅
最大速度
最大振幅
-A
速度为零， 位移，加速度 绝对值最大， 方向反向。
m
解：系统的动能和势能分别为：
系统的广义力为：
T 1 mx2 , 2
U 1 kx2 2
Q W P(t)x Pt
x
x
代入到拉格朗日方程得：
d dt
Tx
dU dx
Q
mx kx P(t)
例1-3： 如图所示：圆弧形滑道上，有一均质圆柱体 作纯滚动。建立其运动方程。
解：因为纯滚动，所以振动
a) 简谐振动是一种周期振动
周期振动满足条件： u(t T ) u(t)
（1.2.13）
即每经过固定时间间隔，振动将重复原来的过程。最小正 常数 T -振动周期。
Tn
2 n
2
m k
（1.2.14）
— 无阻尼单自由度系统自由振动的固有周期。
固有频率的另一种形式：
fn
n 2
1 Tn
(赫兹）
表示1秒内重复振动的次数。
该矢量在t 时刻在y轴 上的投影 即为位移 响应在同 一时刻的 值.
b) 简谐运动的位移、速度和加速度之间的关系：
• 速度和加速度可分别表达为：
u&(t )
na
cos
nt
na
sin(nt
2
)
（1.2.17）
u&&(t) n2a sin nt n2a sin nt （1.2.18）
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
机械振动基础
Td
T
1 2
① 阻尼对振动周期的影响
由
Td
T
1 2
Td T
所以，阻尼使自由振动的周期变长。
☆ 阻尼使周期变长的程度
当 = 0.05 时，Td = 1.00125 T，增大 0.125%; 当 = 0.3 时， Td = 1.048 T ，增大 4. 8 %
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
则此一半长度的弹簧的刚度系数是多少？
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
4 其它类型的单自由度振动系统
■ 扭振系统 扭杆（扭转刚度 kt ） 扭簧产生的力矩:
扭簧
M kt
运动微分方程:
JO kt
kt 0
JO
n2
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
■ 摆振系统
微分方程：J0 mgl k(0 b)b
n c , 2m
2 n
k m
将方程化为标准形式:（阻尼系数n）
x 2nx n2 x 0
■阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
x ert
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
x 2nx n2 x 0
■ 阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
A为振幅， 为初相位角。
设初始条件为: t 0时, x x0, x x0
则有: A
x02
x02
n2
,
tan
x0n
x0
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
3 、弹簧的并联和串联
并
机械震动--单自由度体系的自由振动
y sy(t)机械振动分析------单自由度无阻尼系统的自由振动机械振动是物体(或物体的一部分)在平衡位置（物体静止时的位置）附近作的往复运动。
可分为自由振动、受迫振动。
又可分为无阻尼振动与阻尼振动。
常见的简谐运动有弹簧振子模型、单摆模型等。
振动在机械中的应用非常普遍,例如在振动筛分行业中基本原理系借电机轴上下端所安装的重锤（不平衡重锤），将电机的旋转运动转变为水平、垂直、倾斜的三次元运动，再把这个运动传达给筛面。
若改变上下部的重锤的相位角可改变原料的行进方向。
物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。
其中仅需用一个独立坐标就可确定振体位置的系统为单自由度系统。
单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
研究单自由度系统的振动有着非常普遍的实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。
而同时对多自由度系统和连续系统的振动，在特殊坐标系中考察时，显示出与单自由度系统类似的性态。
因此，揭示单自由度振动系统的规律、特点，为进一步研究复杂振动系统奠定了基础。
影响振动作用的因素是振动频率、加速度和振幅。
现在我们就此方面展开对单自由度无阻尼振动的讨论。
主要包括两部分：单自由度无阻尼系统的自由振动和单自由度无阻尼系统的受迫振动。
一、单自由度无阻尼系统的自由振动如下图，设此梁上的集中质量为m ，其重量为W mg ，梁由于质量的重力引起的质量处的静力位移用s y 表示，与s y 相应的质量位置称为质量的静力平衡位置。
若此质量受到扰动离开了静力平衡位置，当扰动除去后，则体系将发生振动，这样的振动称为体系的自由振动。
由于振动的方向与梁轴垂直，故称为横向振动。
在此，只讨论微小振幅的振动，由振动引起的内力限于材料的弹性极限以内，用以表示质量运动的方程将为线性微分方程。
1、建立运动方程建立运动方程常用的基本原理是达朗伯原理（亦称惯性力法或动静法）。
机械振动ppt课件
设 t 的初始位移和初始速度为：
x() x
x() x
令：
c 1b 1co 0 s ) (b 2si n 0 )(
c2b 1si n 0 )( b 2co 0 s)(
有 ： x ( t) b 1 co 0 ( t s ) b 2 si 0 ( t n )
b1 x
b2
x 0
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mxkx0
令： 0
k m
固有频率
单位：弧度/秒（rad/s）
则有 ： x02x0
通解 ： x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
c1
,
c
：
2
任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
A c12 c22
x
tg 1 c1
c2
T2/0
A
0
t
0
单自由度系统自由振动
m xkx0 x02x0
0
k m
x(t) c 1co0 ts ) c (2sin 0 t)(Asin0(t)
单自由度系统自由振动
• 线性系统的受迫振动
弹簧原长位置
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置
m
0
静平衡位置
为坐标原点，λ为静变形。
当系统受到初始扰动时，由牛顿第
k
x
二定律，得：
m x mg k(x)
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另外，还有一种自然频率（又称频率）。 f——每秒振动的次数，单位 周/秒（赫兹、次/秒）。
φ——初相位 f 1 T
T 2
速度和加速度
速度
也
v
dx dt
A
cos t
A
sin
t
2
是 同 频
率
加速度
的
简
谐
a
d2x dt 2
a0 2
n1
an
cos
n1t
bn
sin
n1t
1
2
T
是基频，a0, an,bn
均为待定常数。
确定常数 a0，an ，bn 三角函数的正交性
T
0
cos
m1t
cos
n1tdt
0 2
T
mn mn
T
0
sin
m1t
sin
n1tdt
0 2
T
mn mn
T
T
0 sin m1t cos n1tdt 0 cos m1t sin n1tdt 0
x x1 x2
A1
2
A2
sin 1t
1 sin 2t
2
A1
2
A2
sin
1t
1
sin
2t
2
令 1 2 2 ，则上式第二项略去得到
x
A1
A2
cos
t
1
2
2
sin
1
2
2
t
1
2
2
这是一个频率为 1 2 变幅振动
2
振幅在(A1+A2)与零之间周期性的缓慢变化
§1.3 谐波分析
An
n
0 1 21 31 41
0 1 21 31 41
有了两张频谱图就掌握了一个周期振动。 利用频谱图分析振动的方法称为频谱分析。
自变量由时间改变为频率，所以频谱分析由 时间域转为频率域。
例1.1
一周期为 T 、振幅为 F0的矩形波，如图所示。在一个周
期的函数表达式为
F (t )
F0
0 F0
并保持原来的频率。
A
a
b
t
x a cost bsin t
Asin t
两个不同频率的简谐振动合成不再是简 谐振动。
– 频率比为有理数时合成为周期振动 – 频率比为无理数时合成为非周期振动
拍（beat）
频率接近的两个简谐振动的合成会出现“拍” 的现象。
x1 A1 sin 1t 1
x2 A2 sin 2t 2
X
A
A
A 2 O
简谐振动的复数表示法
在复平面上，一个复数z代表在该平面上的一 个矢量 OP 。
虚轴
复数旋转矢量
P
A
t 实轴
O
任意时刻t的表达式为：
z Acost iAsin t Aeit
在复平面实轴或虚轴上的投影来表示一 个简谐振动
x Asin t Imz
合成问题
两个同频率的简谐振动合成仍然是简谐振动，
第一章 振动的运动学概念
运动学——描述质点或系统的运动形态 （位移、速度、加速度、相位等）随时间变化 的规律的学科，不涉及受力情况。
更一般的说，从几何方面研究而不涉及物 理原因。
前边说的第二类分类方法就是从运动学 角度把系统的运动分为简谐振动、一般周期 振动等等。
§1.1 简谐振动
简谐振动：物体离开平衡位置的位移按余弦函数(或正弦 函数)的规律随时间变化。
X
A
k
0
mt
T
x
Asin
2
T
t
作等速圆周运动的点在铅垂轴上的投影结果也可以看成是
一个简谐振动
X
X
o t A
0
P
A
t 2
x Asin t t 是相位
振动参量
其x中—振—动振参动量任有一：瞬时的位移（线位移或角位移） t——时间，单位秒（time）。 A——振幅（最大振动位移）amplitude。 T——振动周期，振动一次（一周）所需的时间，单位：秒。
T
试展开成付氏级数
t
F0
F
F0
0tT 2
T tT 2
按定义展开成付氏级数
F (t )
a0 2
n1
an
cos
n1t
bn
sin
n1t
求系数 a0 , an , bn
2
a0 T
T 0
F (t )dt
2 T
T 2 0
F0dt
T T F0dt 0 2
an
2 T
T
0 F(t) cos n1tdt 0
通过谐波分析，可以把一般的周期振动分解为 简谐振动。
谐波分析：把一个周期函数展开成一个付氏级 数，亦即展开成一系列简谐函数（或称谐波） 的叠加。
周期函数展开成付氏级数的条件
周期振动函数F(t) ，周期为T ，展开成付氏级数
F (t )
a0 2
a1
cos1t
a2
cos
21t
b1 sin 1t b2 sin 21t
An an2 bn2
tgn
an bn
F (t )
a0 2
n1
An
sin
n1t
n
频谱图：An 和 n 与 之间的变化关系可以用图形
来表示，这种图形称为函数 F(t)的频谱图。
– 振幅频谱图
– 相位频谱图
An和 n只在 n1(n 1,2, )点才有一定的数值，所以 频谱图形是一组离散的垂线，称为谱线。
bn
2 T
T
0 F(t)sin n1tdt
2 T
T
2 0
F0
sin
n1tdt
T
T F0 sin n1tdt
2
2F0 1 cos n
n
4F0
n 1,3,5,
n
各次谐波的幅值为
A1
4F0
,
A3
4F0
3
,
An
4F0
n
频谱图： An
0 1 31 51 71
Байду номын сангаас
T
T
0 cos n1tdt 0 0 sin n1tdt 0 n 0
利用三角函数的正交性，得到
a0
2 T
T
F (t )dt
0
2
an T
T
0 F(t) cos n1tdt
2
bn T
T
0 F(t)sin n1tdt
两个同频率的简谐振动可以合成一个简谐振动
an cos n1t bn sin n1t An sin n1t n
2 Asin
t
2
Asin
t
函 数
a 2x
§1.2 简谐振动的矢量表示法及复数表示法
描述简谐振动的数学表示方法有三种： 用三角函数的代数表示法
矢量表示方法
复数表示
矢量表示方法
X
x
A
t
M1 M
O
旋转矢量
参考圆
x Asin t
各旋转矢量之间的关系
用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速 度旋转矢量的相对位置关系（即相位关系）。