第03课 单自由度系统：阻尼自由振动汇总
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机械振动 第3章-单自由度系统的振动
kx H sin(t ) m x
2 令 n k , h H 则 m m 2 x x h sin(t ) n
无阻尼受迫振动微分方程的标准形式 ，二阶常系数非齐次线性微分方程。
x x1 x2
x1 A sin( n t ) 为对应齐次方程的通解 x2 b sin(t ) 为特解 h h b 2 , x sin(t ) 2 2 2 2 n n h x A sin( t ) sin(t ) 全解为 n 2 2 n ：
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T ——周期，每振动一次所经历的时间。
2 f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T，T 。 n n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
n 1 c fn 2 2 a
n反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。
则自由振动的微分方程的标准形式 ： 2
q q 0
其解为 也可以写成 有
q A sin(nt ) q C1 cos nt C2 sin nt
2 1 2 2
A C C
C1 tg C2
1
6
对于初始扰动引起的自由运动
=q 0 设 t = 0 时， q = q0 , q
单自由度系统无阻尼自由振动
一、自由振动的例子
J
k
实验确定转动惯量装置
5
二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位 置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：
c a, c是与系统的物理参数有关的常数，令 a
2 n
单自由度体系自由振动
单自由度体系自由振动一、无阻尼振动单自由度体系自由振动可分为有阻尼和无阻尼振动两种。
在模型建立过程当中，可以直接进行建立。
在运行时，只需将c=0即可。
ω增加，单位时间内振动次数增加。
无阻尼振动是简谐振动，振幅和初相位仅取决于初位移和速度。
初始干扰反映了外部初始赋予体系能量的大小。
由于不考虑振动过程中体系能量的耗散，因而体系的总能量保持不变，这就表现为振幅Ａ保持不变，永不衰减。
于是振动一旦发生便永不停息，但这仅是一种理想状态。
二、对阻尼自由振动的讨论当阻尼系数ｃ不为０时，体系做阻尼运动。
由于有能量的耗散，体系的运动幅度会逐渐减小，最终停止振动。
有阻尼单自由度体系，自由振动的运动方程为ωξωm c m k t ky t y c t y m 2,0)()()(2===++∙∙∙， 则原式可变为022=++∙∙∙ωξωy y 。
解微分方程有如下结果：2.1 当1<ξ时，即小阻尼运动，方程的解为：)sin(A )sin cos ()(000ϕωωωξωωξωξω+=++=--t e t y v t y e t y d t d d d t 其中2200201)(ξωωωξω-=++=d d y v y A可画出小阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：是一条逐渐衰减的波动曲线2.2 当1>ξ时，即大阻尼的情况，方程的解为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--+=-t ch y t sh v y e t y o t ωξωξξξωωξ11)1()(20220 上式不含有简谐振动的因子，是因为体系受干扰后偏离平衡位置所积蓄起来的初始能量在恢复平衡位置的过程中全部消耗克服阻尼，由于阻尼很大，不足以引起振动。
当初始速度，初始位移都大于０时，可画出大阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如图所示：2.3 当1=ξ时，即临界阻尼的情况，方程的解为：[]t v t y e t y t 00)1)(++=-ωω（当初始速度，初始位移都大于０时，可画出临界阻尼体系自由振动时的ｙ－ｔ曲线如下图所示；当体系在临界阻尼时，其运动衰减的最快，即他能在最短时间内无振动的回到平衡位置。
单自由度系统的有阻尼自由振动
0.8 (e nTd ) 20 0.16
ln5 20 nTd 20 n 2 n 1 2
由于 很小，ln5 40
ln5 W W ln5 1502 c 2 m k 2 2 40 g st 40 1980 0.122( Ns/cm)
nt
2 t n2 n
C2 e
2 t n2 n
)
代入初始条件 (t 0时 , x x0 , x x 0 )
C1
2 0 ( n n 2 n x ) x0
2 n
2
2 n
; C2
2 0 ( n n 2 n ) x0 x 2 2 n 2 n
可见阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。当阻尼小时， 影响很小，如相对阻尼系数为5%时，为1.00125，为20%时， 影响为1.02，因此通常可忽略。
14
振幅的影响： 为价评阻尼对振幅衰减快慢的影响，引入减 幅系数η ，定义为相邻两个振幅的比值。
Ai Aewnti wnti td ewntd Ai 1 Ae
5
也可写成
x Ae nt sin(d t )
2 d n n2
—有阻尼自由振动的圆频率
x 0 , 则 设 t 0 时, x x0 , x
2 2 2 x n ( x nx ) 0 n 2 A x0 0 2 02 ; tg1 0 nx0 n n x
16
例4 如图所示，静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大 位移为10%，求相对阻尼系数。
17
x(t ) e
wnt
0 wn x0 x ( x0 cos wd t sin wd t ) wd
18
第三讲单自由度系统振动
ent D1d sin d t D2d cos d t
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
35
关于解的讨论——小阻尼振动系统
在t=0时有 x0 D1, 解得
x0 n x0 D2d
D2 x0 n x0
D1 x0 ,
d
经 D1与D2代入式(2.4-17)即得系统对于初始条件x0 0 的响应。 与x
另一方面使系统振动的振幅按几何级数衰减。 相邻两个振幅之比
A1 Ae nTd n (t1 T d ) e A2 Ae
n d
nt1
(2.4-21)
式中称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 T 1 e 减缩到初值的 。 在ζ=0.05时， =1.366，A2=A1/1.366=0.73A1 亦即在每一个周期内振幅减小27%，振幅按几何 41 级数缩减，衰减是显著的。
x0 A1 cosn 0 A2 sinn 0 0 A1n sinn 0 A2n cosn 0 x
A1 x0 0 n A2 x
22
0 x0 , x
x (t ) x0 cos n t
n
0 x
sin n t
关于解的讨论——小阻尼振动系统
为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来代替减幅系数，即 A1 2 T ln ln e nTd (2.4-22) A2 1 2 即对数缩减表示为唯一的变量ζ的函数。
n d
同样相对阻尼系数可以确定 为 2 (2） 2 当ζ <<1时
20
单自由度振动系统自由振动微分方程：
kx 0 m x
改写为标准方程：
x x 0
2 n
从数学上看，这是二阶常系数线性齐次常微分方程。
机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
c 2 k 2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k /n
c cc
式 (2.3-1)可 以 写 成
mxcxkx0 x(0)x0, x(0)x0
x
2
n
x
2 n
x
0
(2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
。2粘
性
阻
尼
系
c
统的
自由2
振动k，
其
2m m
振 动 。实 际 阻 尼 小 于 临 界 阻 尼 的
位 系
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（ 2） 1 ， 临 界 阻 尼 （ critical damped）
这
时
，
系统
的c阻尼
系数c等于2
系
k
统
的
临
界
阻
c
尼
系2数，k这
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
第三讲单自由度系统的振动(阻尼)解读
nt i
两端取自然对数得 其中
ln ln e nTd
nT
δ称为对数减缩系数
Td
2
0 1 2
c 0 2 m k
n
对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：
n
2
0 1
2
2 1
2
2
（ 2<<1 ）
上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼
x
这种振动的 振 幅 是 随 时 间 A x0 不断衰减的， 称为衰减振动。 衰减振动的运 动图线如图所 示。 d
Ae nt
衰减曲线的包络线
A1
A2
A3
t
Td
x
由衰减振动的表达式：
Ae
A x0
nt
x Ae
nt
sin(d t )
A1
A2
A3
这种振动不符合周期振 动 f (t ) f (t nT ) 的定
机械振动学
2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动
1.阻尼
上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随
时间改变的，振动过程将无限地进行下去。
实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能 量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。 振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。 阻尼类型： 1）介质阻尼； 2）结构阻尼； 3）库仑阻尼
ωd =ω0 ， Td =T
阻尼对振幅的影响
nt 2 2 x Ae sin( n t ) 由衰减振动运动规律： 0
Ae-nt相当于振幅
设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有: 经过一个周期 Td ，系统到达另一个 比前者略小的最大偏离值Ai+1
第三节单自由度体系的自由振动
得
yk 1 e 2 (0.05) e0.周期后的振幅比前者约减少27%。
(4)阻尼比 值的测算
若用yk和yk+n表示相隔n个周期的两个振幅，它们的比值为
yk e nT e2n yk n
将上式两边取对数，得
ln yk 2n
yk n
则
1 ln yk
y(t) 2 y(t) 2 y(t) 0 y(t) Cert
代入运动方程，可得确定r的特征方程
r 2 2 r 2 0
其两个根为 于是一般解为
r1,2 ( 2 1)
(d)
y(t) C1e r1t C 2e r2t
方程的解取决于式(d)中根号内的数值。现分三种情况讨论。
1． ＜1(小阻尼情况)
kg
c 2m 2 81057 5 0.029 73848 kg/s
y0 e5T (eT )5 ( y0 )5
y5
y1
y5
y0 ( y0 )5
0.6 ( 0.6 )5
0.241cm
y1
0.5
y(0) v0
可求出 C1 y0 ,
C2
v0
代入上式，得到质点位移
y(t)
y0
cost
v0
sin t
由上式可知，自由振动由两部分 组成：一部分是由初始位移y0引 起的，质点按余弦规律振动，如 图 a所示；另一部分是由初始速 度v0引起的，质点按正弦规律振
动，如图b所示。两项均为简谐
函数，其合成运动仍为简谐运动,
得
C1 y0 ,
C2
v0
y0
故
y(t)
e t
(
y0
cost
v0
y0
sin
yk 1 e 2 (0.05) e0.周期后的振幅比前者约减少27%。
(4)阻尼比 值的测算
若用yk和yk+n表示相隔n个周期的两个振幅，它们的比值为
yk e nT e2n yk n
将上式两边取对数，得
ln yk 2n
yk n
则
1 ln yk
y(t) 2 y(t) 2 y(t) 0 y(t) Cert
代入运动方程，可得确定r的特征方程
r 2 2 r 2 0
其两个根为 于是一般解为
r1,2 ( 2 1)
(d)
y(t) C1e r1t C 2e r2t
方程的解取决于式(d)中根号内的数值。现分三种情况讨论。
1． ＜1(小阻尼情况)
kg
c 2m 2 81057 5 0.029 73848 kg/s
y0 e5T (eT )5 ( y0 )5
y5
y1
y5
y0 ( y0 )5
0.6 ( 0.6 )5
0.241cm
y1
0.5
y(0) v0
可求出 C1 y0 ,
C2
v0
代入上式，得到质点位移
y(t)
y0
cost
v0
sin t
由上式可知，自由振动由两部分 组成：一部分是由初始位移y0引 起的，质点按余弦规律振动，如 图 a所示；另一部分是由初始速 度v0引起的，质点按正弦规律振
动，如图b所示。两项均为简谐
函数，其合成运动仍为简谐运动,
得
C1 y0 ,
C2
v0
y0
故
y(t)
e t
(
y0
cost
v0
y0
sin
振动力学3单自由度自由
= 1 1 (ka 2θ 2 − mglθ 2 ) = ( ka 2 − mgl )θ 2 2 2 ka 2 − mgl ω0 = ml 2
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
x(t ) = A sin( ω0t + ϕ )
Tmax = U max
θ&max = ω0θ max
单自由度系统的自由振动-能量法
•
单自由度系统的自由振动-能量法
2
振动初始条件：
kx0 = mg × sin 30
0
考虑方向
x0 = −0.1 (cm)
& 初始速度： x0 = 0
运动方程： x(t ) = −0.1 cos( 70t ) (cm)
x(t ) = x0 cos(ω0t ) +
ω0
& x0
sin( ω0t )
单自由度系统的自由振动-无阻尼系统 • 例题
概述
• 时不变系统：指系统的物理特征或性质恒定，不随时间变 化。反之，则称为时变系统。 • 线性系统：指系统的运动规律可由线性方程描述。反之， 则称为非线性系统。线性系统满足如下的叠加原理，即
f表示激励，x表示响应。 • 一般而言，非线性系统不适用叠加原理。 • 实际的机械系统往往是非线性的，但多数系统在特定范围 或条件下，可以近似为线性系统。
ω0
A = x0 + (
2
ω0
& x0
) , ϕ = arctan
ω0 x0
& x0
• 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是 以为振动频率的简谐振动，并且永无休止 • 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式，有初始位移即传 入了弹性势能，有初始速度即传入了动能
单自由度系统自由振动
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▪ 固有频率计算方法
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞 分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时， 强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生 的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过c阻尼 系统 或c强阻2尼系k统，其特征 值c为两2实数k，即
由于
s12,21
2m s1,2 2m m 2 1 d 2m m
c ，2m可以看出
s1
和
s2
都是负实数，因 2而cm系统2 的运mk动是两个
指数衰减的运动 之和 c x2(mt)
i
A1e
k
m
c
2m 2
1
d
t
2
A2
e
c
2
2m
2
1
d
t
k m
系统的运动将是非振荡的。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )
2m 2m m
2m m
统叫这 做x(s是 临t1),2一 界阻个A尼时1间 系22ccAmm的 统2t。线 ei由性n函 于mtk 数 与21一cm，个系2指统数的衰运减 动22的ccmm方函程22数可之以mmkk积写，为其
一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
粘性阻尼振动系统
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2 v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
为二共轭复根
c
s1,2
c
2
i1k
2
n
方程（2.3-3）的通2解m为 2m m
c
2
k
2m m
2
s c c k x(t) 1, 2
B1e
i
1 2 nt
B2e i
1 2 nt
2m 2m m ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
(2.3-2)
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2
k
c
2
k
2m 2m m
2m m
s1,2
的 cc 2
mk
c 2m
2mn
c i 2m
c 2 k 2m m
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
k
2m m
2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
k m
c
2
2m ccc
c
2
k
2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
再是往复振动。c所以对于满 足c
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
粘性阻尼振动系统
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping • 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping • 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
机械振动(Mechanical Vibration)
第三课 单自由度系统： 阻尼自由振动
交通与车辆工程学院 刚宪约 2020年10月4日
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0 • 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
移是一式个中具d有振幅12-随cm时2间n 叫按i 做指阻数mk尼衰固减有的2频减cm率小。振2粘动性。实阻际尼阻系尼统2c小的m于自临由2 界振阻动mk尼，的其系位
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统 的c阻尼系数c等于2 系 统k 的临界阻 尼c 系2数，k这种系
• 求解特征方程 • 单位加速度法 • 能量法
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
1. 引言
▪ 什么是阻尼？
• “阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思
▪ 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞 分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时， 强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生 的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。
（3） 1 ，过阻尼（overdamped）
这时，系统叫做过c阻尼 系统 或c强阻2尼系k统，其特征 值c为两2实数k，即
由于
s12,21
2m s1,2 2m m 2 1 d 2m m
c ，2m可以看出
s1
和
s2
都是负实数，因 2而cm系统2 的运mk动是两个
指数衰减的运动 之和 c x2(mt)
i
A1e
k
m
c
2m 2
1
d
t
2
A2
e
c
2
2m
2
1
d
t
k m
系统的运动将是非振荡的。
例题
有一个有阻尼系统，质量为 m ，弹簧常数为 k 。测
得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。
解：根据单自由度阻尼振动系统的运动方程
x(t) Aent cos(dt )
2m 2m m
2m m
统叫这 做x(s是 临t1),2一 界阻个A尼时1间 系22ccAmm的 统2t。线 ei由性n函 于mtk 数 与21一cm，个系2指统数的衰运减 动22的ccmm方函程22数可之以mmkk积写，为其
一般运动形式可以表示为如图所示，显然不发生振荡。
粘性阻尼振动系统
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k / n
c
cc
式(2.3-1)可以写成
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
x 2n x n2x 0 (2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
粘性阻尼振动系统
（1） 1，此时为弱阻尼（欠阻尼，underdamped）情况，此时特征值
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2 v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
c
4L
d
2
D
粘性阻尼
▪ 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻 尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在 粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑 剂时）可以认为阻尼与速度成正比。
为二共轭复根
c
s1,2
c
2
i1k
2
n
方程（2.3-3）的通2解m为 2m m
c
2
k
2m m
2
s c c k x(t) 1, 2
B1e
i
1 2 nt
B2e i
1 2 nt
2m 2m m ent A1 cos 1 2nt A2 sin nt Aent cos(dt )
(2.3-1)
为了得到它的解，设 x Aest 。代入式(2.3-1)得到
A ms2 cs s est 0
对于非平凡解， A 0 ，因此
k x
m
c
ms2 cs s 0
式(2.3-2)称为式(2.3-1)的特征方程。解之可得
(2.3-2)
粘性阻尼振动系统
s1,2
c 2m
c
c
2
k
2
k
c
2
k
2m 2m m
2m m
s1,2
的 cc 2
mk
c 2m
2mn
c i 2m
c 2 k 2m m
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
k
2m m
2k / n 称为临界阻尼（critical damping）。再令
k m
c
2
2m ccc
c
2
k
2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
2m 2m m
c
2
2m
k m
c 2m
c
i
2m
k c 2 m 2m
k
c
c
2
k
2m m
c
2
k
2m m
c 2 k 2m m
x m
粘性阻尼振动系统
考虑 x Aest Aeσ iω ( Aeσ )eiω ，如果 0 ，则物体的运动将不
再是往复振动。c所以对于满 足c
粘性阻尼振动系统
在线性振动理论中规定，由粘性阻尼引起的粘性阻尼力的大小
与相对速度成正比，方向与速度方向相反。阻尼系数 c 为常数。单
自由度系统阻尼振动的模型如图所示,与阻尼自由振动相比，增加 一个阻尼器。按照前面讲述的建立系统运动微分方程的方法可得
k x
m c
粘性阻尼振动系统
mx cx kx 0 x(0) x0, x(0) x0
▪ 最常见的阻尼是
• 粘性阻尼viscous damping • 库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping • 结构阻尼structural damping
▪ 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有 阻尼系统就是粘性阻尼系统。
主要内容
1. 引言 2. 粘性阻尼系统 3. 库仑阻尼与结构阻尼
机械振动(Mechanical Vibration)
第三课 单自由度系统： 阻尼自由振动
交通与车辆工程学院 刚宪约 2020年10月4日
前课需要掌握的内容
▪ 运动方程的建模方法
• 牛顿第二定律 • 机械能守恒dE＝0 • 虚功原理
▪ 运动方程的解
• 求解方法 • 解的形式：幅值与相位 • 固有频率
移是一式个中具d有振幅12-随cm时2间n 叫按i 做指阻数mk尼衰固减有的2频减cm率小。振2粘动性。实阻际尼阻系尼统2c小的m于自临由2 界振阻动mk尼，的其系位
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（2） 1 ，临界阻尼（critical damped）
这时，系统 的c阻尼系数c等于2 系 统k 的临界阻 尼c 系2数，k这种系