机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
《机械振动学》教学大纲
《机械振动学》教学大纲一、一、课程性质和目标机械振动学是机械设计、制造及自动化专业的一门专业选修课，总学时32，学分3.2。
随着机器生产率的不断提高，导致了载荷的速度和加速度的增加，这就使得机械动力学的问题变得日益突出起来，机械动力学的一个重要组成部分机械振动同样也不会例外。
本课程就是为了适应生产实际的需要，为大学本科高年级学生开设的一门技术基础课。
本课程着重从工程实际的角度对机械振动的有关理论进行讨论，使学生在掌握基本理论的基础上，能够把工程中的实际机械抽象为力学模型，然后在正确的力学模型基础上运用已有的知识进行正确的力学分析，解决一些工程实际的问题，达到学与用的统一。
二、二、先选课程或知识理论力学、材料力学、高等数学、线性代数和相关的专业知识等。
三、三、教学内容基本要求绪论（1学时）第一章第一章单自由度系统的振动（10学时）振动系统的力学模型及自由度的概念；弹性元件的形式和刚度；振动微分方程的推导；无阻尼自由振动；固有频率的计算；粘性阻尼对自由振动的影响；无阻尼受迫振动；具有粘性阻尼的受迫振动；等效粘性阻尼的概念；单自由度系统振动的利用及振动分析；单自由度系统的减动；机械结构的动应力和动刚度的概念。
第二章第二章二自由度系统的振动（8学时）应用动静法建立方程式；应用拉格朗日方程建立方程式；振动方程的一般形式及其矩阵表示法；无阻尼二自由度系统的自由振动；无阻尼二自由度系统的受迫振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的自由振动；具有粘性阻尼的二自由度系统的受迫振动；二自由度振动系统的利用及振动机械的振动分析；振动机械及测试机器的二次隔振；动力减振原理与动力减振器。
第三章第三章多自由度系统的自由振动（6学时）多自由度系统举例；刚度矩阵与刚度影响系数；柔度矩阵与柔度影响系数；惯性藕联和弹性藕联；固有频率与振型矩阵。
第四章第四章多自由度系统的受迫振动（3学时）无阻尼系统受迫振动的响应；多自由度系统的阻尼。
四、实践性环节基本要求25个自由度系统的计算机辅助振动分析4学时五、课程考核要求由主讲教师自定考核。
第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
3.3多自由度系统的固有频率和模态
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《机械动力学》
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多自由度系统振动 / 固有频率和模态
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
固有振动方程： MX KX 0
（自由振动方程）
和单自由度系统一样，自 由振动时系统将以固有频 率为振动频率
同步振动：系统在各个坐标上除了运动幅值不相同外，
建立动力学方程的影响系数法
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多自由度系统振动 / 固有频率和模态
小结：
• 多自由度系统的位移方程： DMX X DF
• 柔度矩阵：
位移的量纲
柔度矩阵dij的含义为系统仅在第 j 个坐标受到单位 力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移
柔度矩阵和刚度矩阵互为逆阵
DK I
• 多自由度系统的自由振动
• 固有频率 • 模态 • 模态的正交性 • 主质量和主刚度 • 模态叠加法
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多自由度系统振动 / 固有频率和模态
• 多自由度系统的固有频率
作用力方程： MX KX P(t) X Rn
固有振动方程：
（自由振动方程）
MX KX 0
和单自由度系统一样，自由振动时系统将以固有频率 为振动频率
方程解耦，变成了两个单自由度问题
使系统运动微分方程不存在耦合，成为相互独立方程的坐标 称为主坐标
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多自由度系统振动 / 固有频率和模态
结论：
假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X 和Y 有如下的变
换关系：
X TY
其中T 是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：
振动理论基础及激励源分析
(3-13)
例 3-3 图 3-8 所示凸轮-从动杆机构利用一个轴的旋转运动实现阀的往复运动。从动杆系统 由质量为 m p 的推杆、质量和绕质心转动惯量分别为 mr 、 J r 的摇臂、质量为 mv 的阀门和不 计质量的阀门弹簧组成。求该机构在位置 A 点和 C 点的等效质量。
图 3-8
凸轮-从动杆系统
图 3-7 平动和转动多质量系统
（3-8）
1 1 1 1 m a2 1 1 2m (2a)2 2 2 T m1 x12 m2 x2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 3
假设 xe x1 ，且 x1 a ， x2 2 a ，则
(3-9)
1 1 T m1 xe2 2m2 xe2 m3 xe2 2 2
（1） 如果假设等效质量的位置在 A 点，则其速度为 xeq x p ，动能表达式为
(3-14)
1 2 Teq meq xeq 2
5
(3-15)
令 T 与 Teq 相等，并注意到下列关系：
x p x ， xv l2 l1 x ， xr l3 l1 x ，
得
r x l1
(3-16)
F F F ( x* ) dF dx (x)
x*
（3-24）
注意到弹簧 F F ( x* ) ， F 可以写成如下的形式：
F k x
dF 显然，等效线性弹簧常数为 k dx
（3-25）
x*
为了简单，可以利用式（3-25） ，但有时由于这种近似带来的误差可能比较大。 像梁这样的弹性元件其作用也相当于弹簧。例如，如图 3-4 所示端部有集中质量 m 的 悬臂梁，为了简单，可以假设梁的质量相对于集中质量 m 可以忽略不计。根据材料力学的 结果，梁在自由端的静变形为
3.5多自由度系统的受迫振动
多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动
设 n 自由度系统沿各个广义坐标均受到频率和相位相同
的广义简谐力的激励
系统受迫振动方程：
MX KX
F0eit
X Rn
M，K Rnn
复数列阵
实部和虚部分别为余弦或正旋激励的响应 F0 Rn1
：外部激励的频率
F0 ：广义激励力的幅值列阵
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
x1
x2
k1
k2 m1
k2
2
k2
1
k2
m2
2
F0
0
F0
()
k2
m2 2
k2
() ：系统的特征多项式
() K 2M
() (k1 k2 m12 )(k2 m22 ) k22 m1m24 (k1m2 k2m1 k2m2 )2 k1k2
当 k2 时
m2
外部激励频率等于吸
振器的固有频率
F0 sin t
主系统不再振动 x1 0 反共振
此时
(
)
k
2 2
吸振器振幅
x2
F0 k2
m2 k2
m1 k1
主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡
x2 x1
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多自由度系统振动 / 多自由度系统的受迫振动
MX KX F0eit X Rn H [K 2 M ]1
X Xeit
K 2 M X F0
X HF0
因此： X HF0eit
n
H 的物理意义： 沿 i 坐标的投影式： X i Hij F0 j
机械振动学总结全
机械振动学总结 第一章 机械振动学基础第二节 机械振动的运动学概念第三节机械振动是种特殊形式的运动。
在这运动过程中，机械振动系统将围绕其平衡位置作往复运动。
从运动学的观点看，机械振动式研究机械系统的某些物理量在某一数值近旁随时间t 变化的规律。
用函数关系式来描述其运动。
如果运动的函数值，对于相差常数T 的不同时间有相同的数值，亦即可以用周期函数来表示，则这一个运动时周期运动。
其中T 的最小值叫做振动的周期，Tf 1=定义为振动的频率。
简谐振动式最简单的振动，也是最简单的周期运动。
一、简谐振动物体作简谐振动时，位移x 和时间t 的关系可用三角函数的表示为式中：A 为振幅，T 为周期，ϕ和ψ称为初相角。
如图所示的正弦波形表示了上式所描述的运动，角速度ω称为简谐振动的角频率简谐振动的速度和加速度就是位移表达式关于时间t 的一阶和二阶导数，即可见，若位移为简谐函数，其速度和加速度也是简谐函数，且具有相同的频率。
因此在物体运动前加速度是最早出现的量。
可以看出，简谐振动的加速度，其大小与位移成正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。
这是简谐振动的重要特征。
在振动分析中，有时我们用旋转矢量来表示简谐振动。
图P6旋转矢量的模为振幅A ，角速度为角频率ω若用复数来表示，则有)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t jA t A z Ae z t j用复指数形式描述简谐振动，给计算带来了很多方便。
因为复指数t j e ω对时间求导一次相当于在其前乘以ωj ，而每乘一次j ，相当于有初相角2π。
二．周期振动满足以下条件：1)函数在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点上函数左右极限存在；2)在一个周期内，只有有限个极大和极小值。
则都可展成Fourier 级数的形式，若周期为T 的周期振动函数，则有式中22n n n b a A += nn n b a =ψt a n 三、简谐振动的合成一、同方向振动的合成1.俩个同频率的简谐振动)sin(222ψω+=t A x ，)sin(2222ψω+=t A x它们的合成运动也是该频率的简谐振动2.俩个不同频率振动的合成若21ωω≤，则合成运动为若21ωω≥ ，对于A A A ==21 ,则有上式可表示为二、两垂直方向振动的合成1.同频率振动的合成如果沿x 方向的运动为沿y 方向的运动为2不同频率振动的合成对于俩个不等的简谐运动它们的合成运动也能在矩形中画出各种曲线。
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析
机械振动学基础知识振动系统的瞬态响应分析引言机械振动学是研究物体在受到外力作用时产生的振动现象以及振动特性的一门学科。
振动系统在受到外部激励时会产生瞬态响应，瞬态响应是指系统在初始时刻受到外部干扰后，振动幅值和相位都发生变化的过程。
了解振动系统的瞬态响应对于分析系统的动态特性和设计控制策略至关重要。
一、单自由度系统的瞬态响应分析单自由度系统是机械振动学中最基本的振动系统之一，通常由质点和弹簧-阻尼器构成。
在受到外部激励时，单自由度系统的瞬态响应可以通过拉普拉斯变换等方法进行分析。
振动系统的瞬态响应主要包括自由振动和受迫振动两种情况，其中自由振动是指在没有外部激励的情况下系统的振动响应，而受迫振动是指在受到外部激励时系统的振动响应。
二、多自由度系统的瞬态响应分析多自由度系统是由多个质点和弹簧-阻尼器构成的振动系统，具有更加复杂的动力学特性。
在受到外部激励时，多自由度系统的瞬态响应需要通过矩阵计算等方法进行分析。
多自由度系统的振动模态是研究系统振动特性的重要方法，通过振动模态分析可以得到系统的固有频率和振动模型。
三、瞬态响应分析在工程应用中的意义瞬态响应分析在工程实践中具有重要的应用意义，可以帮助工程师了解系统在受到外部干扰时的振动特性，并设计合适的控制策略。
工程领域中的许多振动问题都需要进行瞬态响应分析，例如建筑结构的地震响应、风力作用下桥梁的振动响应等。
结论机械振动学是一门研究物体振动现象和振动特性的重要学科，瞬态响应分析是分析振动系统动态特性的关键方法。
通过对振动系统的瞬态响应进行深入研究，可以更好地理解系统的振动机制，为工程实践提供重要参考依据。
我们需要不断深化对振动系统的瞬态响应分析，推动机械振动学领域的进步与发展。
机械振动多自由度系统的运动方程
位移方程
x Mx
Mx x 0
与作用力方程比较 Kx Mx K是非奇异的，即K 1的逆矩阵存在
x K 1 (Mx)
K 1
多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程--影响系数法
柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系
K 1
即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵； 当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。
单自由度系统回顾
单自由度系统回顾
等效质量与等效刚度计算
• 等效质量－－动能等效 • 等效刚度－－势能等效
阻尼自由振动
• 三种阻尼类型（粘性，库伦，结构） • 阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应 • 对数衰减率测定系统阻尼 • 粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征
多自由度系统
单自由度系统回顾
系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形 x1 (m1x1 ) 11 (m2 x2 ) 12 (m3 x3 ) 13 x2 (m1x1 ) 21 (m2 x2 ) 22 (m3 x3 ) 23 x3 (m1x1 ) 31 (m2 x2 ) 32 (m3 x3 ) 33
多自由度系统
多自由度系统的运动微分方程--影响系数法
写成矩阵形式
x1
x2
x3
11 21 31
12 22 32
13 m1
23
0
33 0
0 m2 0
0 0 m3
x1 x2 x3
n
1
kn2
k1n
k2n
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利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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b) 柔度矩阵的影响系数法 KX 0 ，称为作用力方程； MX 对于多自由度的振动系统， X 0 称为位移方程，其中，F K 1 称为柔度矩阵。 FM X 在某些问题中求刚度矩阵比较困难，但柔度矩阵比较容易求得。 这时可以先求得柔度矩阵，利用柔度法建立系统的微分方程。 柔度矩阵F中的系数 ij 称为柔度响应系数，其定义为：在第j 个坐标上所需施加单位力作用时，在第i 个坐标上所引起的位 移。
W
Q q
i i 1
n
i
式中，Qi为非势力广义力。此时拉格朗日方程推广到非保守系 统，可表示为
d dt ( T i q ) T i q U qi Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
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d dt ( T i q ) T i q Q i 0 ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
式中，T为系统总动能； qi 为系统广义坐标； Qi 为对应于广义 坐标qi的广义力。
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根据Qi的不同表达形式，拉格朗日方程存在以下几种表达方式 1）系统为保守系统，即系统作用的主动力仅为势力时，广义 力可以表达为
C X Biblioteka KX p ( t ) MX 1
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2）影响系数法 如果在选定运动坐标后，能够设法求得与坐标相对应的质 量矩阵和刚度矩阵，就可以按照微分方程的一般形式写出振动 微分方程。为此，引入利用影响系数法求矩阵的方法。 a) 刚度矩阵的影响系数法 对于n自由度的振动系统，刚度矩阵K为nxn矩阵，具有nxn 个元素 k ij ，这些元素称为刚度影响系数。刚度影响系数 k ij 的 定义为使系统的第 j个坐标产生单位位移，而其他坐标位移为 零时，在第i个坐标上所需施加的作用力的大小；即当 x j 1 ， x r 0 ( r 1, 2 , 3 n ; r j ) 时，在第 i 个坐标上所需施加的作用 力的大小。
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3）拉格朗日法 拉格朗日法从能量的观点建立系统的动能T、势能U和功W 之间的标量关系，研究静、动力学问题的一种方法。它是一种 普遍、简单和统一的方法，适用于简单或复杂系统的分析。其 处理的方法为：取n个自由度系统的n个互为独立地变 量,q1,q2…qn为广义坐标，则拉格朗日方程的形式为
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四、多自由度系统的振动
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多自由度振动系统是二自由度系统的扩展，二自由度系统 是多自由度系统的特例，实际振动问题大都属于多自由度振 动系统。 由上一章可以看出，自由度由1 增加到 2，会引起系统行为 发生质变，带来一系列新的物理概念，即会引起性质上的一 些变化；而二自由度和多自由度系统的区别，主要体现在数 量上和系统的复杂程度上。
诸如：单自由度无阻尼系统和二自由度无阻尼系统的本质区 别：单自由度无阻尼系统的自由振动与固有振动属同一种振 动，在任意初始条件下总是简谐的；而二自由度无阻尼系统 的自由振动一般是两种不同频率固有振动的线性组合，未必 是简谐振动，甚至一般是非周期振动。
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1）直接法 所谓直接法就是直接应用动力学的基本定律或定理，例如利 用牛顿第二定律或达朗贝尔原理，来建立系统振动微分方程 的方法。以前建立单自由度和二自由度振动系统的微分方程， 就是采用的这种方法。该方法特点：分析比较直观、简便， 适用于比较简单的系统。 基本步骤： a) 对各质量取隔离体，进行受力分析； b) 根据牛顿第二定律，建立振动微分方程。
Qi U qi
式中，U为系统的势能。则保守系统的拉格朗日方程为
d dt ( T i q ) T i q U qi 0 ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
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2）当系统除了势力作用以外，还存在其他非势力的作用，则 将这部分非势力的虚功记为
引领专业投资 引领专业投资
机械振动学
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课程内容
一、概论
二、单自由度系统的振动 三、二自由度系统的振动 四、多自由度系统的振动
五、MATLAB在汽车振动分析中的应用 六、汽车振动试验及测试
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2）令 x 2 1, x 1 x 3 0 ，则
k 22 k 2 x 2 k 3 x 2 k 2 k 3 ; k 23 k 32 k 3 x 2 k 3
3）令 x 3 1, x 1 x 2 0，则
1、MATLAB软件及其特点 了解软件的特点 2、MATLAB语言程序设计 熟悉MATLAB语言程序设计的特点、方法和技巧，能够 数量编写计算程序。 MATLAB有很强的数值矩阵处理能力，它的基本元素是 矩阵。列向量被当作只有一列的矩阵；行向量被当作只有一 行的矩阵；标量被认为是一行一列的矩阵。
矩阵的定义；矩阵的运算；MATLAB的函数；MATLAB的控 制语句；M文件的编写（.m为扩展名）； MATLAB的图形命 令；Simulink的应用。
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3、MATLAB在汽车振动分析中的应用实例
单 自 由 度 简 谐 激 振 问 题
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2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1
以上三式，可用矩阵形式表示为
m1 0 0 0 m2 0 0 x1 c 1 c 2 0 x c 2 2 m3 x3 0 c2 c2 c3 c3 1 k 1 k 2 0 x k2 c3 x 2 3 c3 x 0 k2 k2 k3 k3 0 x1 p 1 ( t ) k 3 x 2 p 2 (t ) k3 x3 p 3 (t )
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注意：对弹性系统，刚度矩阵总是存在的，而柔度矩阵不一定存在。 当系统自由度中包括刚体振型时，就无法确定柔度系数。从数学上 讲，系统的刚度矩阵为奇异时，不存在逆矩阵，系统为半正定的。
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k 33 k 3 x 3 k 3
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所以，系统的刚度矩阵为：
k1 k 2 K k2 0 k2 k2 k3 k3 0 k3 k3
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式中，即为有阻尼振动系统的自由振动微分方程，是利用能量 （动能、势能和能量耗散函数）以及其他外部广义力表达的完 全的拉格朗日方程
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利用拉格朗日法，对下图三自由度振动系统建立微分方程。。