第二章 单自由度系统20120306
机械振动学_第二章单自由度振动系统
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
机械振动学 第二章
第二章单自由度系统第一节 概 述任何一个单自由度系统都可以用这样一个理论模型（图 2.1-1）来描述：它是由理想的质量m （“无弹性”、“无阻尼”的质量）、理想的弹簧k （“无质量”、“无阻尼”的弹簧）和理想的阻尼（“无质量”“无弹性”的阻尼器）三个基本元件所组成的系统。
系统的运动只沿一个方向，比如，沿x 方向发生。
如果系统受到外力的作用，则外力也只沿这一方向，比如，外力()F t ，沿x 方向的作用。
实际的机械系统是由许多零件、部件组成的，这些零件，部件的材料是既有质量，又有弹性和阻尼的物质，且有分布性质。
运动也不一定只发生在某一位置和只沿一个方向。
那么，为什么要讨论单自由度系统的振动呢？首先，研究单自由度系统的振动有实践意义。
很多机械系统，从振动学的角度看，为了满足工作性能的要求，只需研究其在最低阶自由振动频率附近的振动特性，而且在某一方向的振动决定了该系统工作性能的优劣。
这时，为了改善机器工作的性能，分析其振动特性，可以把系统合理地简化为一个单自由度系统。
虽然这是对实际系统的近似描述，但却使分析得以简化，抓住了问题的实质，满足了工程需要。
例如，前章中提及的汽车由于颠簸而引起的振动，在一定条件下，可简化为图2.1-1的单自由度系统。
其次，研究单自由度系统的振动具有理论意义，单自由度系统是最简单的振动系统，通过对单自由度系统的分析，能够简单明了地阐明机械学振动的一些基本概念、原理和方法。
这些概念、原理和方法对于整个机械振动学的研究是很重要的，它们是机械振动学的基础。
我们在这一部分将要讨论的系统都是时不变、集中参数的线性系统。
那么，什么样的系统是一个线性系统呢？从物理的观点看，一个系统（图2.1-2）受到一个外界激励（或输入）()1F t 时，可测得其响应（或输出）为()2x t 。
而受到激励()2F t 时，测得的响应力()2x t 。
它们可表示为()()()()1122F t x t F t x t →→} （2.1-1）如果受到的激励将是()()()1122F t a F t a F t =+，对于线性系统，可以预测系统的响应将是()()()1122x t a x t a x t =+，12a a 和为任意常数。
第二章 单自由度系统
满载时其相对阻尼比 1 0.5
， v 100km/ h
道路简化为简谐波形，表示为
xs
sin
2
l
z
l 5m
求汽车的拖车在满载和空载时的振幅之比。
§2.6简谐激励强迫振动理论的应用
减振措施： 1．抑制振源强度 2．消振 3．隔振
一．积极隔振
积极隔振是把振源与地基隔离开来以减小它对 周围的影响而采取的措施。
§2.1概述
1．单自由度系统 理论模型
2．叠加原理 几个激励函数共同作用产生的总响应是各个
响应函数的总和。
§2.2无阻尼自由振动
一．物理模型
二、数学模型
mx kx 0
三．方程求解
令
2 n
k m
，代入运动方程，得
x
2 n
x
0
设 xt Bet
B2 e t
放大因子随频率比变化的曲线
r 0 M 1
阻尼对振幅的影响很小
r M 0
阻尼对振幅的影响很小
r 1 0 M
当系统中存在阻尼时，振幅是有 限的，其出现最大值时的频率为
rmax 1 2 2
M max
2
1
1 2
3．强迫振动和激励力之间的相位差
arctan k
2
放大因子
X Y
1 2r 2 (1 r 2 )2 2r 2
r0
r 2
X 1 Y
与 无关。
0
r 1
0
放大因子和相位差与频率比的关系曲线
0 r 1 0 r 0
第2章单自由度的自由系统
以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。
如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零， 其动能的极大值Tmax就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值Umax等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有
式中，k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时
下面证明一个等截面悬臂梁(如图)在自由端的
等效质量为
。假定梁自由振动时的振动形式
则系统的最大动能为
系统的最大势能为
则得固有频率ωn同前。
例2.2-2细杆OA可绕水平轴O转动，如图所示，
在静平衡时成水平。杆端锤的质量为m，杆与弹
簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程
及周期。
解：在杆有微小偏角φ时，
弹簧的伸长以及锤的位移与
速度可以近似地表示为aφ，
lφ与 。故振动系统的动能
与势能可以表示为
因为mg=kδs，上式仍可简化为
。
可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适
用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平
衡位置为坐标原点。
从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统
的固有频率。
因为由式
得
又
则
例2.1-1 均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EJ，重量 不计，自由端附有重为P=mg的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。
只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。
例2.2-1有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率ωn。
第二章单自由度系统的自由振动
f=1/T。
n
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
8
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)； (3)周期T 和固有频率 n 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I )。
重物匀速下降时处于静 平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0 x0 v
其振动规律为： x x0 cos nt
n
x0
sin nt
13
解：
x0 0 x0 v
根据：
x x0 cos nt
n
x0
sin nt
1 ( 3 M m) x 2 2 2
以平衡位置为计算势能的零位置， 并注意轮心位移x时，弹簧伸长2x
U k [( st 2 x) 2 st 2 ] ( M m) gx 2 2kx2 2k st x ( M m) gx
因平衡时
2k st x (M m) gx
O l C mg
16
解：取图示坐标系，将直升机桨叶视为一物 理摆，根据绕固定铰的动量矩定理得到其 摆动微分方程
J 0 mgl sin
O l C mg
sin
n
mgl , J0
J0 mgl 0
J0 Tn 2 mgl
mgl J0 2 Tn2 4
m Tn 2 n k 2
固有周期
k / m g / s
10
固有频率及固有周期
k g wn m s
第二章 单自由度系统的自由振动
35
第二章 单自由度系统的自由振动
方程的特征根为： 讨论在阻尼比ξ取值不同时，微分方程解 （1）小阻尼情况，即ξ<1：
此时特征方程的根：
的性质。
微分方程的解为：
设：
，考虑初始条件t=0时，有
，
，将其
代入微分方程的解中，有
t=0时
求解 得到
36
第二章 单自由度系统的自由振动
为：
T
1
•
m(l )2
2
U 1 k(a)2
2
平衡位置时： kas mgl
d
1 2
ml 2
•
2
1 2
k
(a
)
2
0
dt
••
k
(a)2
0
ml
n
a l
k m
T
2 n
2l
a
m k
22
第二章 单自由度系统的自由振动
2.3 瑞利法
8
第二章 单自由度系统的自由振动
例题讲解3 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ m
h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
第二章 单自由度系统的自由振动
解： 取平衡位置 以梁承受重物时的静平衡位 置为坐标原点建立坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl3
48EJ
1 2
m2
(
l2 l1
x)2
1 2
第二章2-单自由度系统阻尼自由振动
对数缩减率
前后相邻的任意两次振动的振幅之比的自 然对数，称为对数缩减率，记为：
x1 ln nTd x2
由于： Td
T 1
2
可得：
2 1 2
当在 1 的时候，有 2
作业2
证明：第t次与第t+n次振动的振幅对数缩减 率为 n ，第t次与第t+1次振动的振幅对数 缩减率为 ，则：
作业
有粘性阻尼的弹簧质量系统，无阻尼振动 的固有频率为 n ，从平衡位置拉开 x0 后释 放，初速度为零，求 1.25 和 1 时的 系统运动情况。
小阻尼系统的运动特点
当 1 ，特征方程的根
s1,2 n j 1 2 n
令：
d 减项的存在，因此阻尼振动既不 是简谐的，也不是周期的。而是随着时间t 趋于无穷时，振幅逐渐衰减为零，系统趋 于静止。这是阻尼自由振动和无阻尼自由 振动的主要区别之一。
阻尼振动的数字特征
习惯上，将函数 cos(d t ) 的周期称为衰 减振动的周期，故衰减振动的周期和频率 分别为： 2 T 2 Td d 1 2 1 2 n
对e
2
2
进行Taylor展开
2
e
4 8 1 2 2! 3!
2 3
当阻尼很小的时候， 1 ， 2 1
U 4 2 8 3 2 2 U1 2! 3!
单自由度系统阻尼自由振动
引言
惯性体由于任何外力原因离开平衡位置之 后，只受到和位移成比例的恢复力作用， 惯性体将在平衡位置附近按照其固有频率 进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下 去。
第二章-(第1节)单自由度系统的自由振动
tan 1
ωn x0 x 0
(2.1-11)
2.1 简谐振动
弹簧悬挂的物体沿铅锤方向的振动
当振动系统为静平衡时弹簧在 重力mg的作用下将有静伸长
s
mg k
(2.1-12)
在重力与弹簧力的作用下，
物体的运动微分方程为
mx mg k(s x) (2.1-13)
因为mg=ks，上式仍可简化为
mx kx
波变化。
2.1 简谐振动
振动周期
振动重复一次所需要的时间间隔，称之为振
动周期。 在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相
位就增加2，因此
[n(t+T)+]-(nt+)=2
故有
T 2 n
(2.1-9)
实际上T代表发生一次完整运动所需要的时间
，周期通常以秒(s)计。
2.1 简谐振动
振动频率
在单位秒时间内振动重复的次数，称为振动 频率，一般用f 表示。
解：取偏角为坐标。从平衡位
置出发，以逆时针方向为正，锤的
切向加速度为 ，l故 有运动微分方
程为
ml2 mgl sin
假定角不大，可令sin，则
上式简化为 g 0
l
图 2.1-5
2.1 简谐振动
例题：列写振动微分方程求系统的周期（例2.1-2）
故
n2
g l
则振动周期为
T 2 2 l
n
g
2.1 简谐振动
或
② x(t) Asin(nt )
(2.1-7)
式中常数A和(=/2-)分别称为振幅和相角。方程(2.1-
7)说明该系统以固有频率n作简谐振动。
2.1 简谐振动 简谐振动的定义及矢量表示
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解
ln 4.2 1.435
4
2 2
0.22265
n
2 T 1
2
1.14 3.58
作业 2——3、10、11、12、16、30b
例2-31：质量m=2000kg,以匀速度v=3cm/s运动，与弹簧k，阻尼器c相撞 后一起做自由振动。请问质量m在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振 幅是多少？已知 k 48020 N / m, c 1960 N s / m。
X
F
m 2 e me 2 M X (k 2 M ) 2 2c 2 (1 2 )2 (2 ) 2
系统的振动放大因子为：
MX me
d XM 0 d me 1 * 1 2 1 2 XM 1 M * me max 2 1 2
x(t ) xh (t ) xs (t ) Ae
n t
sin(d t )
F ( k m) c
2 2 2 2
sin(t )
由初始条件 x 0 x0 , x 0 x0 可以确定待定参数A和
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
2
2 1 n
单自由度有阻尼自由振动
解的讨论：
1,2 2 1 n
当 1时，1 2 n
x B1 B2t e nt
不属于振动
当 1时，1、2都是负实数
x B1e B2e
1t 2t
1 t B e 1 t Be
系统的势能为 U W R r 1 cos 2W R r sin 2
由于圆柱体作微振动，故系统的最大动能
2
Tmax
系统的最大势能
3W 2 R r n 2 A2 4g
1 U max W R r A2 2
由机械能守恒，有 Tmax U max ，解的系统的固有频率为
x(t ) xh (t ) xs (t )
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
齐次方程
m x c x kx 0
齐次方程通解
xh (t ) Aent sin(d t )
Fsint
A：振幅
式中，等效静位移 X 0 F k ， 频率比 / n 振幅放大因子
M X 1 X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
X 1 X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
M
振幅放大因子
/ n
等效静位移
对数衰减率
xi Aenti sin d ti
ti 3T
ti
ti 3T
xi 3T Ae
xi xi 3T
ln xi xi 3T
n ti 3T
sin d ti
en 3T
3nT
对数衰减率
ln
xi nT xi T
由 x 0，得最大振幅发生在 tm
根据题意有：
c 0.1 2 mk
1
d
arctand n Nhomakorabea注意：最大振幅并不发生在
sin d t 1 即 t
此时：
n
k 4.9( s 1 ) m
2 1
时， 2d
d 1 n 4.875( s )
单自由系统的振动分析
M
0
自由振动微分方程
m x c x kx 0
无阻尼自由振动方程：
2 x n x 0
C
K
方程解：
A
x x n
2 0 2 0
2
x A sin n t
固有圆频率：
arctan
n x0
x0
x
v
tm 0.3( s )
xmax
v
d
entm sin d tm 0.529(cm)
d
e
n
2d
0.526(cm)
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
振动微分方程
m x c x kx F sin t
F： 激振力幅值 ω：激振力频率 通解＝齐次方程通解＋非齐次方程特解
解：
系统自由振动的微分方程为：
m x c x kx 0 x 0 n x0 x ent x0 cos d t sin d t d x0 0，x0 v 初始条件下的响应为： v nt v nt x e sin d t , x e (d cos d t n sin d t ) d d
固有频率：
k n m
rad / s
n f 2
Hz
例：求倒摆的振动微分方程和固有频率
系统运动方程：
2 ML2 L mL Mg sin Ka tan a mgL sin 3 2
化简上式，得振动微分方程：
Ka 2 m M m 3 M Lg 2 0 2 L
x Ae nt sin(d t )
0 tg x0
1
0 tg x0
1
例1
建立如图所示系统的运动方程，试确定临界阻尼系数和有阻尼固有频率。
解
ml ka ca
2 2 2
2
ca 2 a k 2 0 l m l m
o t
o
M x c x kx me 2 sin t
方程稳态响应可表示为：
M m
x(t ) X sin(t )
对比力载荷强迫振动
(k 2 m) 2 2 c 2 m 2 e me 2 M X (k 2 M ) 2 2c 2 (1 2 )2 (2 ) 2
从而得到
F X Xe j k 2 m jc
式中X为振幅，是复振幅 X 的模，即
X X
F ( k 2 m) 2 2 c 2
c k 2m
为相角，是复振幅 X 的幅角，有
arctg X tan 1
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
因此，方程的特解 xs (t ) X e jt Xe j e jt Xe j t 方程的通解为（取虚部）
e jt cos t j sin t
实际解取复数解的虚部
单自由度系统在简谐激励下的强迫振动
假定方程的特解为 xs (t ) Xe jt 式中 X 为复振幅。代入振动微分方程
m x c x kx Fe jt
( 2 m jc k ) Xe jt Fe jt
1 1 1 K eq k1 k2
梁的等效弹簧刚度
悬臂梁端点静挠度
f
mgl 3 mg 3EI K eq
K eq
3EI l3
mg
简支梁中点静挠度
mgl 3 mg f 48EI K eq
48EI K eq 3 l
端面扭转角
Ml
GI P
G ——剪切弹性模量
I P ——抗扭截面惯性矩
X0 F k
频率比
简谐激励下的强迫振动
共振条件
dM 0 d
* 1 2 2 1
M max M * 1 2 1 2
旋转不平衡质量引起的强迫振动
系统的振动微分方程
单自由系统
me 2
x
e m
d 2x d2 ( M m) 2 m 2 ( x e sin t ) c x kx dt dt
d 1 2 n
单自由度有阻尼自由振动
x e nt B1 B2 cos d t j B1 B2 sin d t
ent B3 cos d t B4 sin d t
n t
e
x0 n x0 sin d t x0 cos d t d
2 2 n n
1
2
不属于振动
单自由度有阻尼自由振动 j 1 当 1时
2 1,2 n
j x Be
1
1 2 n t j 1 2 n t
e
n t
B e
1
j B e
2
1 2 n t
B2 e
j 1 2 n t
mg
固有频率：
Mg
n
Ka 2 m M m 3
M Lg 2 2 L
rad / s
例：求圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率
系统的动能为
系统的动能为
2 1 1 3W 2 2 2 T mo1 J o1 R r 2 2 4g
n
k m
阻尼比
c 2 mk
=
c cc
临界阻尼系数
cc
单自由度有阻尼自由振动
2 x 2n x n x 0
运动方程的解 常系数线性齐次微分方程通解
x Bet
2 2 2n n 0
特征方程
解得其特征根为
1,2
2 2 2n 4 2n 4n
n
2g 3 R r