2019年宁夏银川一中高三第一次模拟考试数学【理】试题及答案
宁夏银川一中届高中高三第一次模拟考试数学理.docx
绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷( 银川一中第一次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A0,2,4,6,8,10 ， B x 2x 3 4 ，则 A BA. 4, 8B.0,2,6C.0,2D.2,4, 62．复数z12i ，则z23 z1A．2i B． -2C．2i D． 23．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了 n 座城市作实验基地，这 n 座城市共享单车的使用量（单位：人次 / 天）分别为x1，x2，，x n，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是A．x1，x2，，x n的平均数B． x1， x2，， x n的标准差C．x1，x2，，x n的最大值D． x1， x2，， x n的中位数4．已知等比数列{ a n}中，有a3a114a7，数列 { b n} 是等差数列，其前n 项和为 S n，且 b7 a7，则 S13A． 26B． 52C． 78D． 1045．如图，在ABC 中， AN 2NC ，P是 BN 上3一点，若 AP t AB 1AC ，则实数t的值为3A．2B ．2C ．1D ．3(5 题图 ) 35646．学校就如程序中的循 体，送走一届，又会招来一 。
老目送着大家 去， 行 ⋯⋯． 行如 所示的程序框 ，若 入 x64， 出的 果A ． 2B ． 3C ．4D ． 5：x 2 2和直xy．双曲y 1( a0, b 0)1 ，若 C 的左焦b 253a 2点和点（ 0， -b ）的直 与 l平行， 双曲 C 的离心率A ．5B．5C．4D． 54338．已知函数 f (x)sin 2x3， g (x) sin x ，要得到函数 yg ( x) 的 象，只需将函数y f (x) 的象上的所有点A ．横坐 短 原来的1，再向右平移个 位得到26 B ．横坐 短 原来的1，再向右平移个 位得到23C ．横坐 伸 原来的2 倍，再向右平移 个 位得到6D ．横坐 伸 原来的2 倍，再向右平移个 位得到39．一个四棱 的三 如右 所示，其正 和全等的等腰直角三角形，俯 是2 的正方形， 几何体的所有 点都在同一个球面上，球的表面 A ．B ． 2C ． 4D ． 610．已知函数 f ( x)x 2 (m 1) e x2(m R) 有两个极 点， 数m 的取 范2A ． [1,0]B ． ( 11 , 1)ee1C． (, )D． (0, )11．如 ，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在 段 BC 1 上运 ， 下列判断中正确的是①平面 PB 1 D 平面 ACD ；② A 1P // 平面 ACD 1 ；③异面直线 A1P 与 AD1所成角的取值范围是(0,] ；3④三棱锥 D1APC 的体积不变.A．①②B．①②④C．③④D．①④e x112．已知函数f (x)x, x 0，若函数 g( x) f ( f ( x)) 2 恰有5个零点，且最小的零点小于ax3,x0-4 ，则a的取值范围是A．(, 1)B． (0,) C.(0,1)D． (1, )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分。
宁夏回族自治区银川一中2019届高三第一次月考数学(理)试卷(含答案)
的值为
A．32
B．16
C．8
D．64
7．函数
y=f（x）与
g(x)
(1)x 2
的图像关于直线
y＝x
对称,则
f
(4x
x2 )
的单调递增
区间为
A． (, 2)
B．（0,2）
C．（2,4） D．（2,＋∞）
8．已知函数 f (x) 3x3 ax 2 x 5 在区间[1，2]上单调递增，则 a 的取值范围是
A．命题“若 x2 3x 2 0 ，则 x 1 ”的逆否命题为：“若 x 1 ，则 x2 3x 2 0 ”
B．“ x 1 ”是“ | x | 1”的充分不必要条件
C．若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题．
D．若命题 p ：“ x R ，使得 x2 x 1 0 ”，则 p ：“ x R ，均有 x2 x 1 0 ”
上单调递增，在 (1, e] 上单调递减
所以 f (x) 在区间 0,e上的最大值为 f (1) ，令 f (1) 1，解得 a 2 ……
当a
0，
x2
1 2a
0
当
1 2a
1
时，
f
(x) 在 (0,
1) 2a
(1 上单调递增， 2a
,1) 上单调递减， (1,e)
上单调递增
x 1 所以最大值 1 可能在 2a 或 x e 处取得
A． (,5]
B． (,5)
(, 37]
C．
4
D． (,3]
9．函数 y x 2 6x 5 的值域为
2019年宁夏银川市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．73．（5分）已知f（x）是定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．14．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥l”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为（）A．4B．6C．8D．107．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，且|q|＞1，则其前4项的和为（）A．5B．10C．﹣5D．﹣108．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则＝（）A．B．1C．D．39．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．611．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，则g （x）在下列那个区间上单调递减（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）＝e x﹣1在（1，1）处切线方程是．14．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值是．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，则数列的前n项和为．16．（5分）已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：K2＝参考数据：19．（12分）已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0的左右顶点，直线BP交C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．（1）求C的方程；（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的上一点．（1）证明：当点D是AA1的中点时，DC1⊥平面BCD；（2）若二面角D﹣BC1﹣C的余弦值为，求AD的长．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0处取得极小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝xf（x）+b（b＞0），讨论函数g（x）的零点个数．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B 在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+|x+1|，设m＞0，n＞0且满足+t＝0，求证：g（m+2）+g （2n）≥4．2019年宁夏银川市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（0，1），则＝＝＝1﹣i．故选：B．2．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{z|z＝x﹣y，x∈A，y∈A}，∴x＝1，2，3，y＝1，2，3．当x＝1时，x﹣y＝0，﹣1，﹣2；当x＝2时，x﹣y＝1，0，﹣1；当x＝3时，x﹣y＝2，1，0．即x﹣y＝﹣2，﹣1，0，1，2．即B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．3．（5分）已知f（x）是定义在R上奇函数，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣3）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【解答】解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝log2（x+1），则f（3）＝log24＝2，又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣2；故选：A．4．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线的渐近线与直线x﹣2y+1＝0平行知，双曲线的渐近线方程为x﹣2y＝0，即y＝x，∵双曲线的渐近线为y＝±，即＝，离心率e＝＝＝＝＝＝，故选：B．5．（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，则“a⊥l”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由面面垂直的性质得当a⊥l，则a⊥β，则a⊥b成立，即充分性成立，反之当b⊥l时，满足a⊥b，但此时a⊥l不一定成立，即必要性不成立，即“a⊥l”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）执行如图的程序框图，若输出的S＝48，则输入k的值可以为（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：模拟执行程序框图，可得n＝1，S＝1不满足条件n＞k，n＝4，S＝6不满足条件n＞k，n＝7，S＝19不满足条件n＞k，n＝10，S＝48由题意，此时应该满足条件n＝10＞k，退出循环，输出S的值为48，故应有：7＜k＜10故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，且|q|＞1，则其前4项的和为（）A．5B．10C．﹣5D．﹣10【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为q，a3＝4，a2+a4＝﹣10，∴+4q＝﹣10，解得q＝﹣（舍去），或q＝﹣2，∴a1＝＝1，∴S4＝＝﹣5，故选：C．8．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为BC的中点，且，则＝（）A．B．1C．D．3【解答】解：由，可得点P为线段BC的三等分点且靠近点C，设，的夹角为θ，由||cosθ的几何意义为在方向上的投影，则有：＝||||cosθ＝||2＝（）2＝3，故选：D．9．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n＝＝36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m＝＝6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p＝＝．故选：A．10．（5分）已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．0B．2C．5D．6【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y＝﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝﹣3+2×4＝5．故选：C．11．（5分）将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，则g（x）在下列那个区间上单调递减（）A．B．C．D．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）的图象向左平移个单位得到g（x）＝sin（2x+）＝cos2x的图象，在区间[0，]上，则2x∈[0，π]，g（x）单调递减，故C满足条件，在区间[﹣，0]上，则2x∈[﹣π，0]，g（x）单调递增，故A不满足条件；在区间[，]上，则2x∈[，]，g（x）没有单调性，故B不满足条件；在区间[0，]上，则2x∈[0，π]，g（x）单调递减，故C满足条件；在区间[，π]上，则2x∈[π，2π]，g（x）没有单调性，故D不满足条件，故选：C．12．（5分）已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）＝f（x）+x2，且当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3的解集为（）A．B．C．（﹣∞，﹣3）D．（﹣∞，3）【解答】解：根据题意，g（x）＝f（x）+x2，则f（x+1）﹣f（x+2）＞2x+3⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x+2）+（x+2）2⇒g（x+1）＞g （x+2），若f（x）为偶函数，则g（﹣x）＝f（﹣x）+（﹣x）2＝f（x）+x2＝g（x），即可得函数g （x）为偶函数，又由当x∈（﹣∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x+1）＞g（x+2）⇒|x+1|＞|x+2|⇒（x+1）2＞（x+2）2，解可得x＞﹣，即不等式的解集为（﹣，+∞）；故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）函数f（x）＝e x﹣1在（1，1）处切线方程是y＝x．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣1的导数为f′（x）＝e x﹣1，∴切线的斜率k＝f′（1）＝1，切点坐标为（1，1），∴切线方程为y﹣1＝x，即y＝x．故答案为：y＝x．14．（5分）已知P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值是2．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标（1，0），P是抛物线y2＝4x上一动点，定点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，则|P A|+|PQ|的最小值，就是PF的距离减去y轴与准线方程的距离，可得最小值为：﹣1＝3﹣1＝2．故答案为：2．15．（5分）设S n是数列{a n}的前n项和，点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，则数列的前n项和为．【解答】解：点（n，a n）（n∈N*）在直线y＝2x上，∴a n＝2n．∴S n＝＝n（n+1）．∴＝＝﹣．则数列的前n项和＝1﹣+……+﹣＝1﹣＝．故答案为：．16．（5分）已知球O的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球O的表面积为．【解答】解：由圆锥体积为，其底面半径为1，可求得圆锥的高为2，设球半径为R，可得方程：R2﹣（R﹣2）2＝1，解得R＝，∴＝，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在平面四边形ABCD中，已知，AB⊥AD，AB＝1．（1）若，求△ABC的面积；（2）若，AD＝4，求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•COS∠ABC，，解得，∴．（2）∵，∴，∴＝＝在△ABC中，，∴，∴CD2＝AC2+AD2﹣2AC•AD•cos∠CAD＝，∴．18．（12分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人．现从所有参加考试的学生中随机抽取100人，作检测成绩数据分析．（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；（3）如果规定成绩不低于130分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的5%，语文、数学两科都特别优秀的共有3人，依据以上样本数据，完成列联表，并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．参考公式：K2＝参考数据：【解答】解：（1）由于总体有明显差异的两部分构成，所以采用分层抽样法，由题意知，从示范性高中抽取100×＝40（人），从非示范性高中抽取100×＝60（人）；（2）由频率分布直方图估算样本平均数为：（60×0.005+80×0.018+100×0.02+120×0.005+140×0.002）×20＝92.4，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分为92.4；（3）由题意知，语文特别优秀学生有5人，数学特别优秀的学生有100×0.002×20＝4（人），且语文、数学两科都特别优秀的共有3人，填写列联表如下；计算K2＝＝42.982＞6.635，所以有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀．19．（12分）已知点P（0，2），点A，B分别为椭圆C：+＝1（a＞b＞0的左右顶点，直线BP交C于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且＝．（1）求C的方程；（2）设过点P的动直线l与C相交于M，N两点，O为坐标原点．当∠MON为直角时，求直线l的斜率．【解答】解：（1）由题意△ABP是等腰直角三角形，则a＝2，B（2，0），设点Q（x0，y0），由＝，则x0＝，y0＝，代入椭圆方程解得b2＝1，∴椭圆方程为+y2＝1．（2）由题意可知，直线l的斜率存在，令l的方程为y＝kx+2，则M（x1，y1），N（x2，y2），则，整理可得（1+4k2）x+16kx+12＝0，∴△＝（16k）2﹣48×（1+4k2）＞0，解得k2＞，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，当∠MON为直角时，k OM•k ON＝﹣1，∴x1x2+y1y2＝0，则x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＝（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＝（1+k2）•+2k（﹣）+4＝0，解得k2＝4，即k＝±2，故存在直线l的斜率为±2，使得∠MON为直角．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的上一点．（1）证明：当点D是AA1的中点时，DC1⊥平面BCD；（2）若二面角D﹣BC1﹣C的余弦值为，求AD的长．【解答】解：（1）证明：由题意：BC⊥AC且BC⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，则BC⊥DC1．又∵D是AA1的中点，AC＝AD，且∠CDA＝90°，∴∠ADC＝45°，同理∠A1DC1＝45°．∴∠C1DC＝90°，则DC1⊥DC，∴DC1⊥平面BCD；（2）以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AD＝h，则D（1，0，h），B（0，1，0），C1（0，0，2）．由条件易知CA⊥平面BC1C，故取＝（1，0，0）为平面BC1C的法向量．设平面DBC1的法向量为＝（x，y，z），则且，∵，，∴，取z＝1，得．由|cos＜＞|＝＝，解得h＝，即AD＝．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0处取得极小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）设g（x）＝xf（x）+b（b＞0），讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+1+a，∵函数f（x）＝xlnx+ax在x＝x0}处取得极小值﹣1，∴，得当a＝﹣1时，f'（x）＝lnx，则x∈（0，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数f（x）取得极小值﹣1，∴a＝﹣1（2）由（1）知，函数g（x）＝xf（x）+b＝x2lnx﹣x2+b（b＞0），定义域为（0，+∞），g'（x）＝2x（lnx﹣），令g'（x）＜0，得0＜x＜，令g'（x）＞0，得x＞，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，当x＝时，函数g（x）取得最小值b﹣，当b﹣＞0，即b＞时，函数g（x）没有零点；当b﹣＝0，即b＝时，函数g（x）有一个零点；当b﹣＜0，即0＜b＜时，g（e）＝b＞0，∴g（）g（e）＜0存在x1∈（，e），使g（x1）＝0，∴g（x）在（，e）上有一个零点x1设h（x）＝lnx+﹣1，则h'（x）＝﹣＝，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1）＝0，即当x∈（0，1）时，lnx＞1﹣，当x∈（0，1）时，g（x）＝x2lnx﹣x2+b＞x2（1﹣）﹣x2}+b＝b﹣x，取x m＝min{b，1}，则g（x m）＞0，∴g（）g（x m）＜0，∴存在x2∈（x m，），使得g（x2）＝0，∴g（x）在（x m，）上有一个零点x2，∴g（x）在（0，+∞）上有两个零点x1，x2，综上可得，当b＞时，函数g（x）没有零点；当b＝时，函数g（x）有一个零点；当0＜b＜时时，函数g（x）有两个零点．请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B 在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．设B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，∵|OA||OB|＝8，∴ρ•ρ0＝8，∴＝2cosθ，ρcosθ＝4，∴C2的极坐标方程为ρcosθ＝4（2）由题意知|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC＝|OC||ρB cosθ|＝|4﹣2cos2θ|，当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+|x+1|，设m＞0，n＞0且满足+t＝0，求证：g（m+2）+g （2n）≥4．【解答】解：（1）f（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|＝，显然，f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴t＝﹣2，证明（2）g（x）＝2|x﹣1|﹣|x+1|+|x+1|＝2|x﹣1|，∴g（m+2）+g（2n）＝2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，由于m＞0，n＞0，且＝2，∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝（m+2n）（）＝2++≥4，当且仅当＝，即当n＝，m＝1时取“＝”，故g（m+2）+g（2n）≥4。
宁夏银川一中2019届高三第一次月考数学(理)试题(解析版)
银川一中2019届高三年级第一次月考数学试卷（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合,，则＝A. ﹛|＜－5或＞－3﹜B. ﹛|－5＜＜5﹜C. ﹛|－3＜＜5﹜D. ﹛|＜－3或＞5﹜【答案】A【解析】【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【详解】在数轴上画出集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|x＜﹣5或x＞5}，则M∪N={x|x＜﹣5或x＞﹣3}．故选：A．【点睛】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．2.二次函数，对称轴，则值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的对称轴求出m，然后求解函数值即可．【详解】函数f（x）=4x2﹣mx+5的图象的对称轴为x=﹣2，可得：，解得m=﹣16，则f（1）=4+16+5=25．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的简单性质的应用，函数值的求法，考查计算能力．3. 下列说法错误的是( )A. 命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B. “x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C. 若p且q为假命题，则p、q均为假命题D. 命题p：“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”，则p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”【答案】C【解析】因为A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”成立，B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件，成立C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题，可能一真一假，故错误。
D．命题p：“∃x0∈R使得＋x0＋1<0”，则p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，成立。
故选C 4.当时，函数和的图象只能是A.B.C.D.【答案】B【解析】略5.下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为y=ln|x|是偶函数，并且当x>0时，y=lnx在上单调递增.6.已知函数，那么的值为A. 32B. 16C. 8D. 64【答案】C【解析】【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值．【详解】∵f（x）=，∴f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选：C．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．7.函数y=f（x）与的图像关于直线y＝x对称,则的单调递增区间为A. B. （0,2） C. （2,4） D. （2,＋∞）【答案】C【解析】【分析】由条件求得f（4x﹣x2）=（4x﹣x2），令t=4x﹣x2＞0，求得0＜x＜4，故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间．【详解】由题意可得函数f（x）与g（x）=的互为反函数，故f（x）=，f（4x﹣x2）=（4x﹣x2）．令t=4x﹣x2＞0，求得0＜x＜4，故f（4x﹣x2）的定义域为（0，4），个本题即求函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数f（4x﹣x2）在（0，4）上的减区间为（2，4），故选：C．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．8.已知函数在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出导函数，欲使函数f（x）在区间[1，2]上单调递增可转化成f′（x）≥0在区间[1，2]上恒成立，再借助参数分离法求出参数a的范围．【详解】f′（x）=9x2﹣2ax+1∵f（x）=3x3﹣ax2+x﹣5在区间[1，2]上单调递增∴f′（x）=9x2﹣2ax+1≥0在区间[1，2]上恒成立．即，即a≤5，故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题的转化，属于基础题．9.函数的值域为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），将原根式函数的值域问题转化为二次函数的值域问题解决即可．【详解】设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]．故选：D．【点睛】本小题主要考查函数的值域、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、转化能力．属于基础题．10.如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图像的交点，那么称这个点为"好点"．下列四个点P1（1，1），P2（1，2），P3（，），P4（2，2）中，"好点"有（）个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】可设指数函数为y=a x，对数函数为y=log b x，容易判断P1，P2不在对数函数图象上，从而判断这两点不是“好点”，然后将P3的坐标分别代入指数函数和对数函数解析式，从而可解出a，b，进而判断出P3为“好点”，同样的方法可判断P4为好点，进而找出正确选项．【详解】设指数函数为y=a x，对数函数为y=log b x；对于对数函数，x=1时，y=0，则P1，P2不是对数函数图象上的点；∴P1，P2不是好点；将P3的坐标分别代入指数函数和对数函数解析式得：；解得；即P3是指数函数和对数函数的交点，即P3为“好点”；同样，将P4坐标代入函数解析式得：；解得；∴P4是“好点”；∴“好点”个数为2．故选：B．【点睛】本题考查指数函数和对数函数解析式的一般形式，理解“好点”的定义，以及指数式和对数式的互化．11.设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．【详解】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（﹣x）=f （﹣x）g （﹣x）=﹣f （x）•g （x）=﹣F（x）．故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．故选：D．【点睛】本题主要考查复合函数的求导运算和函数的单调性与其导函数正负之间的关系．导数是一个新内容，也是高考的热点问题，要多注意复习．12.已知为常数，函数有两个极值点，则()A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：,由有两个极值点得有两个不同的实数解，即有两个实数解，从直线与曲线有两个交点，过点作的切线，设切点为，则切线的斜率，切线方程为，切点在切线上，所以，又切点在曲线上，所以，，即切点为，切线方程为，又直线与曲线有两个交点,所以直线位于两直线与之间（如下图所示），所以，即，则这个函数的极值点满足，且函数的递减区间为，递增区间为，所以，，所以.考点：导数及其应用.【名师点晴】本题主要考查的是导数的应用，属于难题．利用导数求函数的单调性与极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．由表格观察可不熟函数的极.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.函数y＝的定义域是___________．【答案】【解析】【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【详解】要使函数有意义，则，解得，1＜x＜2，则函数的定义域是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．14.在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称．而函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是___________．【答案】【解析】【分析】利用两个图象间的对称性，建立方程组即可.【详解】∵函数y=f（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=f（x）与y=e x互为反函数则f（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴g（x）=ln（﹣x），又∵g（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，，故答案为﹣．【点睛】互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于 X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于 Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．15.设有两个命题：(1)不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R；(2)函数f(x)=(7－3m)x在R上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则m的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】由绝对值得意义知，p：即 m＜1；由指数函数的单调性与特殊点得，q：即 m＜2．从而求得当这两个命题有且只有一个正确时实数m的取值范围．【详解】（1）：∵不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，而|x|+|x﹣1|表示数轴上的x到0和1的距离之和，最小值等于1，∴m＜1．（2）：∵f（x）=﹣（7﹣3m）x是减函数，∴7﹣3m＞1，m＜2．∴当 1≤m＜2时，（1）不正确，而（2）正确，两个命题有且只有一个正确，实数m的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．16.已知函数,有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，由函数图象的平移和二次函数的顶点可得关于a的不等式，解之可得答案．【详解】由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由指数函数过点（0，1），故需下移至多1个单位，故0＜a≤1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得＜a≤1，故答案为：＜a≤1【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．17.设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若A B，求实数a的取值范围．【答案】【解析】【分析】“A⊆B”说明集合A是集合B的子集，由此列端点的不等关系解得实数a的取值范围．【详解】由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}．由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}．因为A B，所以，于是0≤a≤1．【点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.18.设函数（，为常数），且方程有两个实根为．（1）求的解析式；（2）证明：曲线的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）把方程的两个实数根分别代入方程得到方程组，解此方程组求出待定系数，进而得到函数的解析式．（2）利用两个奇函数的和仍是奇函数，再利用图象平移找出所求函数的对称中心．【详解】（1）由解得故．（2）证明：已知函数，都是奇函数．所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形．而．可知，函数的图像沿轴方向向右平移1个单位，再沿轴方向向上平移1个单位,即得到函数的图像，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形．【点睛】题考查用待定系数法求函数解析式，函数图象的平移，属于中档题.19.设(1)求曲线在点(1，0)处的切线方程；(2)设，求最大值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；（2）令f′（x）＞0得增区间，令f′（x）＜0得减区间；然后即可得到最值.【详解】(1)，切线斜率切线方程即(2)令，列表：故，【点睛】函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．20.（本小题满分14分）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点. 已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b－1（a≠0）（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围【答案】（1）－1，3（2）0<a<1【解析】解（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，。
宁夏银川市2019年高考数学一模试卷(理科)D卷
宁夏银川市2019年高考数学一模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·吉林期中) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·惠州模拟) 若复数满足，则在复平面内，所对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高一下·龙岩期中) 在直角坐标系中，函数的图像可能是（）A .B .C .D .4. （2分）已知命题p：，命题q：“a=﹣1”是“直线x﹣y+5=0与直线（a﹣1）x+（a+3）y﹣2=0平行”的充要条件，则下列命题正确的是（）A . p∧qB . p∨（￢q）C . （￢p）∧qD . （￢p）∧（￢q）5. （2分） (2019高二上·邵阳期中) 已知数列满足，且，那么（）A . 8B . 9C . 10D . 116. （2分）(2017·崇明模拟) 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A . y=tanxB . y=3xC .D . y=lg|x|7. （2分） (2017高二下·黄冈期末) 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A . 5B . 6C . 7D . 88. （2分）某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（）A . 180B . 240C . 276D . 3009. （2分）从6人中选4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不同的选择方案共有（）A . 300种B . 240种C . 144种D . 96种10. （2分）在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为（）A .B .C .D .11. （2分） (2015高三上·江西期末) 双曲线C： =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，点P在右支上，且PF1与圆x2+y2=a2相切，切点为PF1的中点，F2到一条渐近线的距离为3，则△F1PF2的面积为（）A . 9B . 3C .D . 112. （2分） (2019高三上·柳州月考) 已知函数若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·南市期中) 如图在某路段检测点，对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有________辆．14. （1分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 的展开式中，x3的系数是________．（用数字填写答案）15. （1分） (2016高二上·莆田期中) 若x，y满足约束条件由约束条件围成的图形的面积________．16. （1分） (2015高三上·河北期末) 对于数列{an}，定义Hn= 为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值”Hn=2n+1 ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ，若Sn≤S5对任意的n（n∈N*）恒成立，则实数k的取值范围为________ ．三、解答题： (共7题；共50分)17. （10分）的内角的对边分别为，已知 .（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.18. （5分）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.19. （5分）(2017·东城模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．（Ⅰ）求证：FM∥平面BDE；（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？若存在，求的值；若不存在，说明理由．20. （5分） (2019高二下·上海月考) 讨论方程所表示的曲线(若有焦点,请指明焦点所在的坐标轴).21. （10分）(2018·吕梁模拟) 已知函数，若曲线在点处的切线方程为 .（1）求实数、的值；（2）证明： .22. （10分） (2018高二下·邱县期末) 在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），若以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，设是圆上任一点，连结并延长到，使 .（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）若直线与点轨迹相交于两点，点的直角坐标为，求的值.23. （5分） (2019高一下·安徽月考) 若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“ 距”增函数.（Ⅰ）若，是“ 距”增函数，求的取值范围；（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共7题；共50分) 17-1、17-2、18-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、。
宁夏银川一中高三第一次月考数学（理）试题
银川一中 高三年级第一次月考数 学 试 题（理）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知全集U=R ，集合A={x|-2≤x<0},B={x|2x-1<41},则C R （A ∩B ）= （ ）A ．（-∞，-2）∪[-1,+∞]B ． （-∞，-2]∪（-1,+∞）C ．（-∞,+∞）D ．（-2,+∞） 2．以下有关命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若0232=+-x x 则x=1”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”B ．“1=x ”是“”0232=+-x x 的充分不必要条件C ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．对于命题01,:,01:22≥++∈∀⌝<++∈∃x x R x p x x R x p 均有则使得3．下列函数中,在),0(+∞上为减函数的是（ ）A ．xx f 3)(= B ．xx f 1)(-=C ．x x f =)(D ．x x f 21log )(=4．若函数)(x f y =的定义域是[0,2]，则函数1)2()(-=x x f x g 的定义域是 （ ）A ．[0,1]B ．[0,1]∪（1,4）C ．[0,1]D ．（0,1） 5．函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ）A ．（3，4）B ．（2，e ）C ．（1，2）D ．（0，1）6． 已知函数f （221)1xx xx +=-则f （3）= （ ） A ．8B ．9C ．10D ．11 7．函数[)⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈=,1,log )1,(,32x x x y x 的值域为（ ）A ．（0，3）B ．[0，3]C ．(]3,∞-D ．[)+∞,08．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅的导函数是'()f x ，且'()f x 是奇函数。
2019年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2019年宁夏省银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2019•银川校级一模）已知全集U=R，设集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x≥2}，则A∩（C U B）=（）A．[1，2] B．（1，2）C．（1，2] D．[1，2）【考点】：交、并、补集的混合运算．【专题】：计算题．【分析】：由题意求出A，求出C U B，然后求出A∩（C U B）．【解析】：解：集合A={x|y=ln（x﹣1）}={x|x＞1}，C U B={x|x＜2}，A∩（C U B）=）}={x|x＞1}∩{x|x＜2}={x|1＜x＜2}，故选B．【点评】：本题是基础题，考查集合的基本运算，注意补集的运算，是解题的关键．2．（5分）（2019•银川校级一模）已知直线m、n和平面α，则m∥n的必要非充分条件是（）A．m、n与α成等角B．m⊥α且n⊥α C．m∥α且n⊂α D．m∥α且n∥α【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合直线平行的等价条件进行判断即可．【解析】：解：A．若m∥n，则m、n与α成等角，当m、n与α成等角是，m∥n不一定成立，故m、n与α成等角是m∥n的必要非充分条件，B．若m∥n，则m⊥α且n⊥α，反之也成立，故m⊥α且n⊥α是充要条件．C．若m∥n，则m∥α且n⊂α不一定成立，D．若m∥n，则m∥α且n∥α不一定成立，故选：A【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面平行的性质和判定是解决本题的关键．3．（5分）（2019•银川校级一模）若等比数列{a n}的前n项和，则a2=（）A． 4 B．12 C．24 D．36【考点】：等比数列的前n项和．【专题】：计算题；等差数列与等比数列．【分析】：由，和{a n}为等比数列，解得a=2，由此能求出a2．【解析】：解：∵，∴，a2=S2﹣S1=（9a﹣2）﹣（3a﹣2）=6a，a3=S3﹣S2=（27a﹣2）﹣（9a﹣2）=18a，∵{a n}为等比数列，∴（6a）2=（3a﹣2）×18a，解得a=2，或a=0（舍），∴a=2，∴a2=S2﹣S1=6a=12，故选B．【点评】：本题考查等差数列的前n项和公式的简单应用，数列版块在新课标的背景下要求降低，只强调等差、等比数列通项、前n项和，题干比较新鲜．4．（5分）（2019•银川校级一模）已知复数（1+i）（a+bi）=2+4i（a，b∈R），函数f（x）=2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）A．（﹣，1）B．（﹣，0）C．（﹣，3）D．（，1）【考点】：正弦函数的图象；复数代数形式的乘除运算．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由（1+i）（a+bi）=2+4i可得（a﹣b）+（a+b）i=2+4i，即可解得a，b的值，从而可得函数f（x）的解析式，从而得到答案．【解析】：解：∵复数2+4i=（1+i）（a+bi）=（a﹣b）+（a+b）i，∴，解得a=3，b=1．故函数f（x）=2sin（ax+）+b=2sin（3x+）+1，∵3x=kπ，k∈Z，∴x=，k∈Z，当k=1时，x=，故函数f（x）=2sin（ax+）+b图象的一个对称中心是（）．故选：D．【点评】：本题考查复数相等的充要条件的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意正弦函数图象的性质和应用．5．（5分）（2019•许昌二模）如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（）A．i＞100，n=n+1 B．i＞100，n=n+2 C．i＞50，n=n+2 D．i≤50，n=n+2【考点】：循环结构．【专题】：图表型．【分析】：写出前三次循环的结果，观察归纳出和的最后一项的分母i的关系，得到判断框中的条件．【解析】：解：此时，经第一次循环得到的结果是，经第二次循环得到的结果是经第三次循环得到的结果是据观察S中最后一项的分母与i的关系是分母=2（i﹣1）令2（i﹣1）=100解得i=51即需要i=51时输出故图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是分别是i＞50，n=n+2故选C【点评】：本题考查解决程序框图中的循环结构的有关的题目，常采用写出前几次循环的结果，找规律．6．（5分）（2019•漳州二模）设a=，则二项式展开式中的x3项的系数为（）A．﹣20 B．20 C．﹣160 D．160【考点】：二项式定理；微积分基本定理．【专题】：计算题．【分析】：计算定积分求得a的值，在二项式展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3项的系数．【解析】：解：由于a==（sinx+cosx）=﹣2，则二项式展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•=（﹣2）r••x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中的x3项的系数为﹣8×20=﹣160，故选C．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7．（5分）（2019•银川校级一模）给出下列四个结论：（1）如图Rt△ABC中，|AC|=2，∠B=90°，∠C=30°．D是斜边AC上的点，|CD|=|CB|．以B为起点任作一条射线BE交AC于E点，则E点落在线段CD上的概率是；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21；其中正确结论的个数为（）A． 1 B． 2 C． 3 D．4【考点】：两个变量的线性相关；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】：综合题；概率与统计．【分析】：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解析】：解：（1）由题意，|CD|=|CB|，∠C=30°，所以∠CBD=75°，所以E点落在线段CD上的概率是=，故不正确；（2）设某大学的女生体重y（kg）与身高x（cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的线性回归方程为=0.85x﹣85.71，则若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；（3）为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，在140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，应该用独立性检验最有说服力，正确；（4）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），图象关于x=1对称，因为P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21，正确；故正确结论的个数为3，故选：C．【点评】：本题考查命题的真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．8．（5分）（2019•银川校级一模）一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是右图．图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形．则这个四面体的外接球的表面积是（）A．π B．3π C．4π D．6π【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为．利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体．∴此四面体的外接球的直径为正方体的对角线长为．∴此四面体的外接球的表面积为表面积为=3π．故选：B．【点评】：本题考查了三棱锥的三视图、正方体与外接球的性质、球的表面积的计算公式，考查了推理能力与空间想象能力、计算能力，属于中档题．9．（5分）（2019•合肥一模）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．B．C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】：数形结合．【分析】：我们可以画出满足条件，的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数a的方程，即可得到a的取值．【解析】：解：画出x，y满足的可行域如下图：由，得A（1，1），由，得B（a，a），当直线z=2x+y过点A（1，1）时，目标函数z=2x+y取得最大值，最大值为3；当直线z=2x+y过点B（a，a）时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为3a；由条件得3=4×3a，∴a=，故选B．【点评】：如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），即可求出参数的值．10．（5分）（2019•北海四模）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 3 7 5 9 6 1 8 2 4数列{x n}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+…+x2019+x2019的值为（）A．7549 B．7545 C．7539 D．7535【考点】：数列的求和；函数解析式的求解及常用方法．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由题意知数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6=15，所以x1+x2+x3+x4+…+x2019+x2019=503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2．【解析】：解：∵数列{x n}满足x1=1，且对任意n∈N*，点（x n，x n+1）都在函数y=f（x）的图象上，∴x n+1=f（x n）∴x1=1，x2=3，x3=5，x4=6，x5=1，x6=3，x7=5，x8=6，…∴数列是周期数列，周期为4，一个周期内的和为1+3+5+6=15，∴x1+x2+x3+x4+…+x2019+x2019=503×（x1+x2+x3+x4）+x1+x2=503×15+1+3=7549．故选：A．【点评】：本题考查数列的前2019项的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性的合理运用．11．（5分）（2019•甘肃一模）已知F2、F1是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的上、下焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A． 3 B．C． 2 D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解析】：解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．【点评】：本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（5分）（2019•湖北校级模拟）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】：特称命题．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：将不等式进行转化，利用不等式有解，利用导数求函数的最值即可得到结论．【解析】：解：若若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]，时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F min（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．【点评】：本题主要考查不等式有解的问题，将不等式进行转化为函数，利用函数的单调性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2019•银川校级一模）等差数列{a n}中，a4+a8+a12=6，则a9﹣a11=．【考点】：等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知求得a8=2，再由a9﹣a11=（3a9﹣a11）转化为含有a8的代数式得答案．【解析】：解：在等差数列{a n}中，由a4+a8+a12=6，得3a8=6，a8=2．则a9﹣a11=（3a9﹣a11）=（a9+a7+a11﹣a11）=（a9+a7）=a8=．故答案为：．【点评】：本题考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．14．（5分）（2019•银川校级一模）若α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为1，或﹣．【考点】：二倍角的正弦．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由题意可得3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，求得cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=，分类讨论求得sin2α 的值．【解析】：解：∵α∈（0，π），且3cos2α=sin（﹣α），∴3cos2α﹣3sin2α=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或3（cosα+sinα）=．若cosα﹣sinα=0，则α=，sin2α=1；若3（cosα+sinα）=，平方求得sin2α=﹣，故答案为：1，或﹣．【点评】：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．15．（5分）（2019•银川校级一模）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为．【考点】：古典概型及其概率计算公式．【专题】：概率与统计．【分析】：基本事件总数为=17×16×3，选出火炬编号为a n=a1+3（n﹣1），根据分类计算原理可得共有12种选法，由经能求出所求概率．【解析】：解：基本事件总数m==17×16×3，选出火炬编号为a n=a1+3（n﹣1），当n=1时，由1，4，7，10，13，16可得4种选法，当n=2时，由2，5，8，11，14，17可得4种选法，当n=3时，由3，6，9，12，15，18可得4种选法，根据分类计算原理可得共有12种选法，∴所求概率为P===．故答案为：．【点评】：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．16．（5分）（2019•河南模拟）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．则抛物线C的方程为x2=2y．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知条件推导出点Q到抛物线C的准线的距离为=，由此能求出抛物线C 的方程．【解析】：解：抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，），设M（x0，），x0＞0，Q（a，b），由题意知b=，则点Q到抛物线C的准线的距离为b+===，解得p=1，∴抛物线C的方程为x2=2y．故答案为：x2=2y．【点评】：本题考查抛物线的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用．三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（12分）（2019•银川校级一模）△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥．（Ⅰ）求锐角B的大小；（Ⅱ）如果b=2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．【考点】：解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用．【专题】：计算题．【分析】：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量平行，利用平面向量平行时满足的条件列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简，求出tan2B的值，由B为锐角，得到2B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由B的度数求出sinB及cosB的值，进而由b及cosB的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式化简求出ac的最大值，再由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解析】：解：（Ⅰ）∵=（2sinB，﹣），=（cos2B，2cos2﹣1）且∥，∴2sinB（2cos2﹣1）=﹣cos2B，∴2sinBcosB=﹣cos2B，即sin2B=﹣cos2B，∴tan2B=﹣，又B为锐角，∴2B∈（0，π），∴2B=，则B=；…（6分）（Ⅱ）当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2﹣ac﹣4=0，当B=，b=2，由余弦定理cosB=得：a2+c2+ac﹣4=0，又a2+c2≥2ac，代入上式得：ac≤4（当且仅当a=c=2时等号成立），∴S△ABC=acsinB=ac≤（当且仅当a=c=2时等号成立），则S△ABC的最大值为．…（12分）【点评】：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，基本不等式的运用，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．18．（12分）（2019•银川校级一模）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间角．【分析】：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．【解析】：（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，∴DE⊥平面ACD…（4分），∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）（Ⅱ）依题意，…（6分），由（Ⅰ）知==，当且仅当时等号成立…（8分）如图所示，建立空间直角坐标系，则D（0，0，1），，，∴，，，…（9分）设面DAE的法向量为，，即，∴，…（10分）设面ABE的法向量为，，即，∴，∴…（12分）∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…（13分）【点评】：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2019•安徽模拟）前不久，省社科院发布了2019年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”．随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：（1）根据所给的茎叶图看出16个数据，找出众数和中位数，中位数需要按照从小到大的顺序排列得到结论．（2）由题意知本题是一个古典概型，至多有1人是“极幸福”包括有一个人是极幸福和有零个人是极幸福，根据古典概型公式得到结果．（3）由于从该社区任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”学生的人数，得到变量的可能取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，算出概率，写出分布列和期望．【解析】：解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75；（Ⅱ）设A i表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则；（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3．；；；．则ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P所以Eξ=．另解：ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B（3，），．所以Eξ=．【点评】：本题是一个统计综合题，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．20．（12分）（2009•河北区二模）已知A，B，C是椭圆m：+=1（a＞b＞0）上的三点，其中点A的坐标为（2，0），BC过椭圆m的中心，且，且||=2||．（1）求椭圆m的方程；（2）过点M（0，t）的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且||=||．求实数t的取值范围．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用．【分析】：（1）如图，点A是椭圆m的右顶点，∴a=2；由•=0，得AC⊥BC；由=2和椭圆的对称性，得=；这样，可以得出点C的坐标，把C点的坐标代入椭圆标准方程，可求得．（2）如图，过点M的直线l，与椭圆m交于两点P，Q；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则﹣2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x1+x2的值可得PQ的中点H坐标，由=，得DH⊥PQ，所以斜率，这样得等式②；由①②可得t的范围．【解析】：解（1）如图所示，∵=2，且BC过点O（0，0），则；又•=0，∴∠OCA=90°，且A（2，0），则点C，由a=，可设椭圆的方程m：；将C点坐标代入方程m，得，解得c2=8，b2=4；∴椭圆m的方程为：；（2）如图所示，由题意，知D（0，﹣2），∵M（0，t），∴1°当k=0时，显然﹣2＜t＜2，2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则，消去y，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0；由△＞0，可得t2＜4+12k2 ①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），且PQ的中点为H（x0，y0）；则x0==﹣，y0=kx0+t=，∴H；由，∴DH⊥PQ，则k DH=﹣，∴=﹣；∴t=1+3k2 ②∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；综上，得t∈（﹣2，4）．【点评】：本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用；用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果．21．（12分）（2019•宿州一模）已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（Ⅲ）证明：+++…+＜（n∈N*且n＞1）【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，又由（1）知f（x）的最大值为f（），由此能确定实数k的取值范围．（Ⅲ）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈[2，+∞）上恒成立，由此能够证明+++…+＜（n∈N*且n＞1）【解析】：解：（Ⅰ）易知f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．（Ⅱ）当k≤0时，f（1）=1﹣k＞0，不成立，故只考虑k＞0的情况又f′（x）=当k＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0在上是增函数，在时减函数，此时要使f（x）≤0恒成立，只要﹣lnk≤0 即可解得：k≥1．（Ⅲ）当k=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，即lnx＜x﹣1在x∈（1，+∞）上恒成立，令x=n2，则lnn2＜n2﹣1，即2lnn＜（n﹣1）（n+1），∴（n∈N*且n＞1）∴+++…+＜=即：+++…+＜（n∈N*且n＞1）成立．【点评】：本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．选修4-1；几何证明选讲．22．（10分）（2019•葫芦岛二模）如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．【解析】：（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】：本题考查圆的性质，考查四点共圆的判定，考查割线的性质，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程．23．（2019•洛阳模拟）已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【考点】：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．【专题】：计算题．【分析】：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P 到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d 的最小值即可．【解析】：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．【点评】：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．选修4-5；不等式选讲．24．（2019•包头一模）选修4﹣5；不等式选讲．设不等式|2x﹣1|＜1的解集是M，a，b∈M．（I）试比较ab+1与a+b的大小；（II）设max表示数集A的最大数．h=max，求证：h≥2．【考点】：平均值不等式；不等式比较大小；绝对值不等式的解法．【专题】：压轴题；不等式的解法及应用．【分析】：（I）解绝对值不等式求出M=（0，1），可得0＜a＜1，0＜b＜1，再由（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0可得ab+1与a+b的大小．（II）由题意可得h≥，h≥，h≥，可得h3≥=≥8，从而证得h≥2．【解析】：解：（I）由不等式|2x﹣1|＜1 可得﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，从而求得M=（0，1）．由a，b∈M，可得0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（a﹣1）（b﹣1）＞0，∴（ab+1）＞（a+b）．（II）设max表示数集A的最大数，∵h=max，∴h≥，h≥，h≥，∴h3≥=≥8，故h≥2．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，不等式的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．。
2019年宁夏银川一中高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）全集U＝R，集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x+1＜0}，那么集合∁U（A∪B）等于（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x≤2}D．{x|x＜2}2．（5分）复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）＝3x（x＜﹣1）的值域为M，在区间（﹣1，1）上随机取一个数x，则x∈M的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，，则a5+a7+a9＝（）A．45B．51C．63D．815．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）6．（5分）的常数项为（）A．28B．56C．112D．2247．（5分）我国数学名著＜＜九章算术．商宫＞＞记载：“斜解立方，得两堑堵．其一为阳马，一为鳖臑．”其中的阳马是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．已知网格中的网格是由边长为1的小正方形组成，某阳马的三视图如图中的粗实线所示，则该阳马的表面积为（）A．4+8+8B．8+8+8C．8+16+4D．4+8+16 8．（5分）某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为（）A．[15，60）B．（15，60]C．[12，48）D．（12，48] 9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称10．（5分）已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在一点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．311．（5分）已知函数在区间内有极值，则整数n的值为（）A．1B．2C．3D．412．（5分）已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝（1﹣t），||在t0时取得最小值．当0＜t0＜时，夹角θ的取值范围为（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（0，）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y＝1，则xy的最大值为．14．（5分）已知x，y满足，则z＝x+2y的最大值是．15．（5分）若直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）与圆M：x2+y2﹣4y＝0相交于A、B两点，若∠ABM的平分线过线段MA的中点，则实数a＝．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为3的正方形，侧棱AA1＝a （a＞3），M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，则三棱锥P﹣BCD的体积的最大值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin B＝a sin A+（c﹣a）sin C．（1）求B；（2）若3sin C＝2sin A，且△ABC的面积为，求b．18．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC ＝2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD＝2DB，CE＝2EB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若P A与平面ABC所成的角为，求平面P AC与平面PDE所成的锐二面角．19．（12分）在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户．为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x和y，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户．若0＜x＜0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.6≤x≤0.8，则认定该户为“相对贫困户”，若0.8＜x≤1，则认定该户为“低收入户”；若y≥100，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”．（1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用ξ表示所选3户中乙村的户数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y的方差的大小（只需写出结论）．20．（12分）已知O为坐标原点，点M为圆O：x2+y2＝4内一动点，定点F（1，0），以线段FM为直径的圆内切与圆O．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）设点A（4，0），直线l经过点F（1，0）与动点M的轨迹C交于P，Q两点，求△OAP与△OAQ的面积之差的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝，（a＞0且a≠1），（Ⅰ）若f（x）为定义域上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）令a＝e，设函数g（x）＝f（x）﹣，且g（x1）+g（x2）＝0，求证：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）已知直线与曲线相交于A，B两点．（1）写出曲线C顶点的极坐标；（2）求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（1）若f（1）+f（﹣2）＞1，求a的取值范围；（2）若a＞0，对任意的x，y∈（﹣∞，a]，都有不等式恒成立，求a的取值范围．2019年宁夏银川一中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：A＝{x|log2x≥1}＝{x|x≥2}，B＝{x|x+1＜0}＝{x|x＜﹣1}，则A∪B＝{x|x≥2或x＜﹣1}，则∁U（A∪B）＝{x|﹣1≤x＜2}，故选：B．2．【解答】解：∵＝，∴在复平面内对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：函数f（x）＝3x（x＜﹣1）的值域为M＝（0，），则在区间（﹣1，1）上随机取一个数x，x∈M的概率为P＝．故选：D．4．【解答】解：∵，∴a7＝S7﹣S6＝72+2×7﹣62﹣2×6＝15，∴a5+a7+a9＝3a7＝45，故选：A．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜﹣f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2﹣x+2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．6．【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝•2r•x8﹣4r，令8﹣4r＝0，求得r ＝2，可得常数项为•22＝112，故选：C．7．【解答】解：由三视图知，该几何体为四棱锥，且底面是边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD，如图所示；则该几何体的表面积为：S＝S正方形ABCD+2S△P AD+2S△P AB＝+2××2×4+2××2×＝8+8+8．故选：B．8．【解答】解：模拟程序的运行，可得：当k＝2时，x＝﹣k＞3，继续循环，当k＝3时，x＝（﹣2）﹣3≤3，退出循环，输出k的值为3．由不等式组，解得：15＜x≤60．故选：B．9．【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为T＝π，所以ω＝＝4，所以f（x）＝sin（4x+φ）；将函数y＝f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y＝sin[4（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以4×+φ＝kπ+，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝sin（4x﹣），令4x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+，k∈Z；k＝0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，B正确．故选：B．10．【解答】解：∵不妨设双曲线右支上存在一点P，使PF1⊥PF2，可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|2+|PF2|2＝4c2，∴|PF1|•|PF2|＝2b2，∴△PF1F2的面积为|PF2|•|PF2|＝b2＝3，即m2﹣1＝3，∴a2＝m2＝4，c2＝7．则该双曲线的离心率为e＝．故选：B．11．【解答】解：f（x）＝xlnx+x2﹣3x，定义域为（0，+∞）；则f′（x）＝lnx+1+x﹣3＝lnx+x﹣2，令h（x）＝lnx+x﹣2，则h′（x）＝+1，又x＞0时，h'（x）＞0恒成立，所以h（x）在（0，+∞）为单调递增函数，且h（）＝ln﹣＝ln﹣ln＝ln＜0，h（2）＝ln2＞0，∴h（x）在区间（，2）上有零点x0，即函数f（x）在区间（，2）内有极值．所以整数n的值为2．故选：B．12．【解答】解：由题意可得•＝2×1×cosθ＝2cosθ，＝﹣═（1﹣t）﹣t，∴＝（1﹣t）2+t2﹣2t（1﹣t）＝（1﹣t）2+4t2﹣4t（1﹣t）cosθ＝（5+4cosθ）t2+（﹣2﹣4cosθ）t+1，由二次函数知，当上式取最小值时，t0＝，由题意可得0＜＜，求得﹣＜cosθ＜0，∴＜θ＜，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：，当且仅当x＝4y＝时取等号．故应填．14．【解答】解：画出x，y满足，表示的平面区域，如图所示；由解得A（﹣3，4），此时直线y＝﹣x+z在y轴上的截距最大，所以目标函数z＝x+2y的最大值为z max＝﹣3+2×4＝5．故答案为：5．15．【解答】解：如图，由圆M：x2+y2﹣4y＝0，得x2+（y﹣2）2＝4，圆心M（0，2），半径为2，直线l：ax﹣3y+12＝0（a∈R）过定点A（0，4），要使∠ABM的平分线过线段MA的中点，则AM＝BM，∴B为（，3）或（，3），∴，即a＝．故答案为：．16．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是面DCC1D1所在的平面内的动点，且满足∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP∽△Rt△PMC，∴＝2，即PD＝2PC，作PO⊥CD，设DO＝x，PO＝h，∴，化简得：3h2＝﹣3x2+24x﹣36，0≤x≤3，根据函数单调性判断：x＝3时，3h2最大值为9，h最大值＝，∵在正方体中，PO⊥面BCD，∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值：V＝×3×3×＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b sin B＝a sin A+（c ﹣a）sin C．所以：b2＝a2+（c﹣a）c，整理得：cos B＝＝，由于：0＜B＜π，故：B＝．（2）∵3sin C＝2sin A，∴由正弦定理可得：3c＝2a，①∵△ABC的面积为＝ac sin B＝ac，解得：ac＝24，②∴由①②解得：a＝6，c＝4，∴由余弦定理可得：b＝＝＝2．18．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）连接DE，由题意知AD＝4，BD＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∠ACB＝90°，…………………………………………………（2分）cos∠ABC＝＝，∴CD2＝﹣2×＝8，∴CD＝2，∴CD2+AD2＝AC2，∴CD⊥AB，…………………………………（4分）又∵平面P AB⊥平面ABC，∴CD⊥平面P AB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，AC、CD都在平面ABC内，∴PD⊥平面ABC．……………………………………………………………………（6分）（2）由（1）知PD，CD，AB两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系D﹣xyz，且P A与平面ABC所成的角为，有PD＝4，……………………………………………（7分）则A（0，﹣4，0），C（，0，0），B（0，2，0），P（0，0，4），∴＝（﹣2，2，0），＝（2，4，0），＝（0，﹣4，﹣4），∵AB＝2DB，CE＝2EB，∴DE∥AC，………………………………（8分）由（1）知AC⊥BC，PD⊥平面ABC，∴CB⊥平面DEP．∴＝（﹣2，2，0）为平面DEP的一个法向量．设平面P AC的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，则x＝，∴＝（）为平面P AC的一个法向量．……………………………（10分）∴cos＜＞＝＝﹣，…………………………（11分）∴平面P AC与平面PDE的锐二面角的余弦值为，∴平面P AC与平面PDE的锐二面角为30°．…………………………（12分）19．【解答】解：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，ξ的可能值为0，1，2，3．，，，．所以ξ的分布列为：故ξ的数学期望．（3）这100户中甲村指标y的方差大于乙村指标y的方差．20．【解答】，整理得．（2）显然直线不与x轴重合．设直线l：x＝my+1，依题意设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立．整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，△＞0恒成立，，，不妨设m＜0，令，所以，此时．成立．故△OAP与△OAQ的面积之差的最大值为：．21．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝2x2﹣3x+，由f（x）是增函数得f′（x）≥0恒成立，由2x2﹣3x+≥0得2x3﹣3x2≥﹣，设m（x）＝2x3﹣3x2，则m′（x）＝6x2﹣6x，令m′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故m（x）min＝m（1）＝﹣1，故﹣1≥﹣，当a＞1时，易知a≤e，当0＜a＜1时，则＜0，这与1≤矛盾，从而不能使得f′（x）≥0恒成立，故1＜a≤e；（Ⅱ）证明：g（x）＝﹣x2﹣3lnx+6x，∵g（x1）+g（x2）＝0，∴﹣﹣3lnx1+6x1+（﹣﹣3lnx2+6x2）＝0，故﹣﹣3lnx1+6x1+（﹣﹣3lnx2+6x2）＝0，∴﹣（+）﹣3ln（x1x2）+6（x1+x2）＝0，即﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣ln（x1x2）+2（x1+x2）＝0，则﹣（x1+x2）2+x1x2﹣ln（x1x2）+2（x1+x2）＝0∴﹣（x1+x2）2+2（x1+x2）＝ln（x1x2）﹣x1x2，令x1x2＝t，g（t）＝lnt﹣t，则g′（t）＝﹣1＝，g（t）在（0，1）上增，在（1，+∞）上减，g（t）≤g（1）＝﹣1，∴﹣（x1+x2）2+2（x1+x2）≤﹣1，整理得（x1+x2）2﹣4（x1+x2）﹣2≥0，解得x1+x2≥2+或x1+x2≤2﹣（舍），∴x1+x2≥2+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】解：（1）由消去θ得+＝1，其四个顶点的直角坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，），（0，﹣），根据互化公式可得四个顶点的极坐标为；（2，π），（2，0），（，），（，﹣）．（2）把代入+＝1并整理得：t2﹣t﹣3＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝，t1t2＝﹣，所以|AB|＝|t1﹣t2|＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】23，（1）f（1）+f（﹣2）＝|a﹣1|﹣2|a﹣2|＞1，故或或，解得：﹣4＜a≤2，即a∈（﹣4，2]（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f（x）]max≤[|y+|+|y﹣a|]min，当x∈（﹣∞，a]时，f（x）＝﹣x2+ax，[f（x）]max＝f（）＝，因为|y+|+|y﹣a|≥|a+|，所以当y∈[﹣，a]时，[|y+|+|y﹣a|]min＝|a+|＝a+，即≤a+，解得﹣1≤a≤5，结合a＞0，所以a的取值范围是（0，5]．。
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高考数学精品复习资料2019.5绝密★启用前普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(银川一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B yy ==，则A∩(C U B)= A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)2．已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 A ．m 、n 与α成等角 B. m ⊥α且n ⊥α C. m ∥α且n α⊂ D ．m ∥α且n ∥α 3．若等比数列}{n a 的前n 项和32nn S a =⋅-，则2a =否(第5题图)A ．4B ．12C ．24D ．364．已知复数i bi a i 42))(1(+=++),(R b a ∈，函数()2sin(6f x ax b π=++图象的一个对称中心是 A. （1,6π-） B. （,018π-） C.（,36π-） D.（5,118π） 5．如图给出的是计算11124100++⋅⋅⋅+的值的程序框图，则图中 判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 A. i ＞100,n=n+1B. i ＞100,n=n+2C. i ＞50,n=n+2D. i≤50,n=n+26．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为A. 160-B. 20C. 20-D. 160 7．给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中， 2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒D 是斜边AC 上的点，|CD|=|CB|. 以B 为起点 任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在 线段CD （2）设某大学的女生体重y (kg)与身高x (cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力;（4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()20.21;P ξ≤-=其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 48．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯AB CDE理科数学试卷 第1页(共6页)视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正 方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A.πB. 3πC. 4πD. 6π9．已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 A.112 B. 41C. 4D. 21110．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，则201420134321x x x x x x ++++++ 的值为A. 7549B. 7545C. 7539D. 755311．已知F 2、F 1是双曲线22221y x a b-=(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 2 12．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为A ．[1，+∞)B ．(1，+∞)C ．[0，+∞)D ．(0，+∞)第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第理科数学试卷 第3页(共6页)22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．等差数列{}n a 中，48126a a a ++=，则91113a a -= . 14．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 .15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 .16．在直角坐标平面xoy 中，F 是抛物线C: 22x py =（p>0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34，则抛物线C 的方程为__________________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2B m B n B =-=-2in ,3),(cos 2,2cos 1)2BB n B -=-且//m n （1）求锐角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．18．（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面， DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ； ⑵当三棱锥ADE C -体积最大时， 求二面角D AE B --的余弦值．19．(本题满分12分)某权威机构发布了度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)己知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b +=（0a b >>）上的三点，其中点A的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =。
（1）求椭圆m 的方程；（2）过点(0,)t 的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．21. (本小题满分12分)已知函数)(x f =1ln +-kx x . （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （3）证明：4)1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n （1,>∈*n N n ） 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分） 选修4—1；几何证明选讲．如图,圆O 的直径10=AB ,P 是AB 延长线上一点,2=BP ,割线PCD 交圆O 于点C ,D ,过点P 作AP 的垂线,交直线AC 于点E ,交直线AD 于点F .(I)求证:PDF PEC ∠=∠;理科数学试卷 第5页(共6页)(II)求PF PE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．已知直线: t t y t x (.23,211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数), 曲线:1C cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）. (I)设 与1C 相交于B A ,两点,求||AB ； (II)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21倍,纵坐标压缩为原来的23倍,得到曲线2C ,设点P 是曲线2C 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.24．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲．设不等式1|12|<-x 的解集是M ，M b a ∈,． （I ）试比较1+ab 与b a +的大小；（II ）设max 表示数集A 的最大数．⎭⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+=b ab ba ah 2,,2max 22,求证：2≥h ．银川一中高三第一次模拟考试数学(理科)参考答案13.43 14. 1或1817- 15. 681 16. 22x y =三．解答题17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）n m// B BB 2cos 3)12cos2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32t a n -=Bz 又B 为锐角 ()π,02∈∴B 322π=∴B 3π=∴B（2）,23B b π==， 由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=即0422=--+ac c a -又ac c a 222≥+ 代入上式得4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立）343sin 21≤==∆ac B ac S ABC （当且仅当 2==c a 时等号成立。
）…12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：因为AB 是直径，所以AC BC ⊥因为⊥CD 平面ABC ，所以BC CD ⊥ ， 因为C AC CD = ，所以⊥BC 平面ACD因为BE CD //， BE CD =，所以BCDE 是平行四边形， DE BC //，所以⊥DE 平面ACD因为⊂DE 平面ADE ，所以平面⊥ADE 平面ACD （Ⅱ）依题意，1414tan =⨯=∠⨯=EAB AB EB ， 由（Ⅰ）知DE S V V ACD ACD E ADE C ⨯⨯==∆--31DE CD AC ⨯⨯⨯⨯=2131BC AC ⨯⨯=6134121)(121222=⨯=+⨯≤AB BC AC ， 当且仅当22==BC AC 时等号成立…………8分如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,1)D ，E(22,0,0)A B ，则(AB =-，(0,0,1)BE =，DE =，1,)DA =-设面DAE 的法向量为1(,,)n xy z =，110n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩∴1(1n =， 设面ABE 的法向量为2(,,)n xy z =，220n BE n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩∴2(1,1,0)n =， 121212cos ,629n n n n n n ∴=== 可以判断12,n n 与二面角D AE B --的平面角互补∴二面角D AE B --的余弦值为6-.…12分 19．(本题满分12分) 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ………………10分 所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44kkkP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 20.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）∵||2|BC AC =且BC 过(0,0)，则||||OC AC =．∵0AC BC ⋅=，∴90OCA ∠=︒，即C ．又∵a =，设椭圆m 的方程为22211212x y c +=-， 将C 点坐标代入得23311212c +=-，解得28c =，24b =． ∴椭圆m 的方程为221124x y +=． （Ⅱ）由条件(0,2)D -，当0k =时，显然22t -<<；当0k ≠时，设l ：y kx t =+，221124x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得222(13)63120k x ktx t +++-=由0∆>可得，22412t k <+ ……①…设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点00(,)H x y ，则12023213x x kt x k +-==+，00213ty kx t k =+=+, ∴223(,)1313kt tH k k-++．由|||DP DQ =，∴DH PQ ⊥，即1DH k k =-。